Die lineare Wigner-Fokker

Transcription

Westfälische Wilhelms-Universität
Münster
Die lineare Wigner-Fokker-Planck
Gleichung
Diplomarbeit
im Studiengang Mathematik
von
Bastian Südfeld
bei Prof. Dr. Anton Arnold
am Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
des Fachbereichs Mathematik und Informatik
Münster, 2. November 2007
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
3
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
4
1 Einleitung
6
2 Vorbemerkungen
2.1 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wignertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
12
3 Die lineare Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
3.1 Umformulierung der Evolutionsgleichung auf die Wigner-Fokker-PlanckGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Harmonisches Oszillator-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Greensche Funktion für die lineare Wigner-Fokker-Planck-Gleichung . .
3.3.1 Definition der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Berechnung der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Die Lösung der linearen Wigner-Fokker-Planck-Gleichung . . . . . . . .
15
4 Dichte-Matrix-Funktion und Dichte-Matrix-Operator
4.1 Rücktransformation der Wigner-Funktion
. . . . . . . . . .
¡ 2. ¡. d. ¢¢
s
. . . . . . . . .
4.2 Betrachtung des Operators R (t) in J2 L R
4.2.1 Positivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Halbgruppeneigenschaft . . . ¡. . ¡. . ¢¢
. . . . . . . . . . .
. .
4.2.3 Zeitstetigkeit bezüglich der J2 L2 Rd -Norm¡. . ¡. . ¢¢
s
2
d
4.2.4 Zusammenfassung einiger Eigenschaften
¡ 2 ¡ d ¢¢in J2 L R
s
. . . . . . . . .
4.3 Betrachtung des Operators R (t) in J1 L R
4.3.1 Spurklasse-Norm-Erhaltung . ¡. . ¡. . ¢¢
. . . . . . . . . . .
. .
4.3.2 Zeitstetigkeit bezüglich der J1 L2 Rd -Norm¡. . ¡. . ¢¢
4.3.3 Zusammenfassung einiger Eigenschaften in J1s L2 Rd
4.4 Betrachtung des Operators R (t) im Energieraum E . . . . . . .
4.4.1 Energieraum-Erhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Zeitstetigkeit bezüglich der Energienorm . . . . . . . . .
29
29
33
33
36
38
39
40
40
44
45
46
47
53
1
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15
18
19
19
19
27
Inhaltsverzeichnis
4.4.3
2
Zusammenfassung einiger Eigenschaften im Energieraum . . . .
59
5 Zusammenfassung
61
Literaturverzeichnis
67
A Ausführlicher Beweis zu Lemma 3.2
71
B Halbgruppeneigenschaft im dritten Fall
74
C Ausführlicher Beweis zur Proposition 4.17
85
D Berechnungen für α̇ ¡= 0¢
D.1 Positivität
von R kπ
. .¡ . .¢ . . . . . . . . .
ω
¡ 2 ¡ d ¢¢
. . . . . . ¡. . ¢.
D.2 J1 L R -Norm von R kπ
ω
D.3 Kinetische und potentielle Energie von R kπ
ω
D.4 Stetigkeit der Energienorm in t = kπ
. . . . .
ω
.
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98
99
103
103
107
Abbildungsverzeichnis
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
¡ ¡ ¢¢
Energie und J2 ¡L2 ¡Rd ¢¢-Norm im 1. Fall . . . . . . . . . . . . .
Energie und J2 ¡L2 ¡Rd ¢¢-Norm im 2. Fall . . . . . . . . . . . . .
Energie und J2 L2 Rd -Norm im 3. Fall . . . . . . . . . . . . .
Energie im 1. Fall (Variation von Dpp , Dqq und Dpq - 1. Variante)
Energie im 1. Fall (Variation von Dpp , Dqq und Dpq - 2. Variante)
Energie im 1. Fall (Variation von und ω0 ) . . . . . . . . . . . . . .
Energie im 1. Fall (Variation von γ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0 und t = 0, 02 . . .
Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0, 1 und t = 0, 2 . .
Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0, 5 und t = 1 . . .
Zeitverlauf von ρ (x, x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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63
64
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66
66
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68
68
Abkürzungs- und
Symbolverzeichnis
~
< (z)
= (z)
z
x2
xT
MT
δ (a)
Fx→k
fˆ
−1
Fk→x
dk f
dtk
∂t
f˙
f¨
∇x
divx
∆x
A∗
|A|
T r (·)
N
R+
0¡
¢
C0p Rd
lp ¡ ¢
Lp ¡Rd ¢
H 1 Rd
Plancksches Wirkungsquantum
Realteil von z ∈ C
Imaginärteil von z ∈ C
komplex Konjugierte von z ∈ C
:=| x |2 für x ∈ Rd
transponierter Vektor zu x ∈ Rd
transponierte Matrix zu M ∈ Rd×d
Diracsche Deltadistribution an der Stelle a ∈ R
Fouriertransformation von x nach k
Fouriertransformierte von f ,
R
definiert durch fˆ (k) = Rd f (x) e−ix·k dx
inverse Fouriertransformation von k nach x
k-te Differentiation der Funktion f nach t
partielle Differentiation nach t
Differentiation der Funktion f nach t
Zweite Differentiation der Funktion f nach t
Gradient bezüglich x
Divergenz bezüglich x
Laplace-Operator bezüglich x ¡ ¡ ¢¢
adjungierter
Operator
A ¢¢
∈ L L2 R d
√
¡
¡ zu
:= A∗ A für A ∈ L L2 Rd
Spur
Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, . . .}
Menge der nicht-negativen reellen Zahlen
Raum der p-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf Rd
mit kompaktem Träger, 0 ≤ p ≤ ∞
Folgenraum, 1 ≤ p ≤ ∞
Lebesgue-Raum auf Rd , 1 ≤ p ≤ ∞
Sobolevraum auf Rd , in dem sowohl
¡ d ¢die Funktion als auch
2
die 1. schwache Ableitung in L R liegt
4
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
¡
¡ d ¢¢
p
C R+
R
0 ;L
¡
¡ ¢¢
C 1 R+ ; C p Rd
¡ ¡ ¢¢
L L2 R d
¡ ¡ ¢¢
J1 ¡L2 ¡Rd ¢¢
J1s L2 Rd
¡ ¡ ¢¢
J2 ¡L2 ¡Rd ¢¢
J2s L2 Rd
h·, ·iL2 (Rd )
k · k L2 ( Rd )
k·k
k · k1
h·, ·i2
k · k2
k · kE
5
¡ d¢
p
Raum der stetigen Funktionen auf R+
R ,
0 mit Werten in L
1≤p≤∞
Raum der stetig differenzierbaren
Funktionen auf R+
¡
¢
mit Werten in C p Rd , 0 ≤ p ≤ ∞
¡ d¢
2
Raum der
linearen,
stetigen
Operatoren
von
L
R
¡ ¢
nach L2 Rd
¡ ¢
Raum der Spurklasse-Operatoren auf L2 Rd
Unterraum
¡ ¢ der selbstadjungierten Spurklasse-Operatoren
auf L2 Rd
¡ ¢
Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf L2 Rd
Unterraum der selbstadjungierten
Hilbert-Schmidt¡ d¢
2
Operatoren auf L R¡ ¢
Skalarprodukt auf L2 Rd
¡ ¢
durch h·, ·iL2 (Rd ) induzierte Norm auf L2 Rd
¡ ¡ ¢¢
Operatornorm auf L L2 ¡ Rd¡ ¢¢
Spurklasse-Norm auf¡J1 ¡L2 ¢¢Rd
Skalaprodukt auf J2 L2 Rd ¡ ¡ ¢¢
Hilbert-Schmidt-Norm auf J2 L2 Rd
Energienorm auf dem Energieraum E
Kapitel 1
Einleitung
Die Quantenmechanik zählt zu den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik
([No04]) und ergänzt bei der Betrachtung und Erklärung bestimmter Naturerscheinungen die Gebiete der klassischen Physik ([Sc02]).
Um quantenmechanische Phänomene, zum Beispiel in der Quantenoptik ([Da76], [Ha70]),
in der Mikroelektronik ([St86]), in der Halbleitermodellierung ([GGKS93]) oder in
der Betrachtung der Brownschen Quantenbewegung ([Di93]) kinetisch beschreiben zu
können, kommen quantenkinetische Transportgleichungen, wie zum Beispiel die WignerGleichung ([Ta83]), zum Einsatz.
Gegenstand dieser Diplomarbeit ist die lineare Wigner-Fokker-Planck-Gleichung als
Beispiel für ein Quantensystem unter dem Einfluss eines harmonischen OszillatorPotentials und einem Hitzebad von harmonischen Oszillatoren in thermischem Gleichgewicht.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in vier Teile:
In Kapitel zwei werden wir einige grundlegende mathematische Vorbemerkungen machen. Wir werden zum einen einige Eigenschaften von Operatoren definieren, wie zum
Beispiel die Positivität und die Selbstadjungiertheit eines Operators, um anschließend die Begriffe Spurklasse-Operator, Hilbert-Schmidt-Operator und Dichte-MatrixOperator einzuführen. Zum anderen stellen wir die Wignertransformation vor. Mit Hilfe dieser lässt sich die Dichte-Matrix-Funktion ρ (x, y, t) eines Dichte-Matrix-Operators
R (t) auf die Wigner-Funktion w (x, ξ, t) transformieren.
Im dritten Abschnitt werden wir die Evolutionsgleichung (auch Master-Gleichung genannt) für den Dichte-Matrix-Operator R (t) betrachten und die zugehörige Evolutionsgleichung für die Dichte-Matrix-Funktion ρ (x, y, t) mit Hilfe der in Kapitel zwei
vorgestellten Wignertransformation in die Wigner-Fokker-Planck-Gleichung ummodellieren. Dann werden wir den Spezialfall eines harmonischen Oszillators genauer untersuchen. Durch die Wahl des quadratischen Potentials bekommen wir die lineare Wigner6
Kapitel 1. Einleitung
7
Fokker-Planck-Gleichung, die wir anschließend durch die Berechnung einer Greenschen
Funktion lösen werden.
Wenn wir danach in Kapitel vier die inverse Wignertransformation anwenden, erhalten wir eine Funktion ρ (x, y, t) beziehungsweise einen Operator R (t). Neben dieser
Rücktransformation werden wir in diesem Abschnitt Eigenschaften dieser Funktion
beziehungsweise dieses Operators genauer untersuchen. Um das Kapitel vier abzuschließen, werden wir zeigen, unter welchen Voraussetzungen an die Anfangsbedingung
unsere Lösung der Master-Gleichung ein selbstadjungierter Hilbert-Schmidt-Operator,
ein Spurklasse-Operator, ein Dichte-Matrix-Operator oder ein Operator aus dem Energieraum E ist.
Im fünften Kapitel werden wir dann die gezeigten Ergebnisse kurz zusammenfassen,
ein einfaches Beispiel geben und für dieses Beispiel einige Grafiken, die mit MATLAB
7.0.1 erstellt wurden, einbinden.
An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Roberta Bosi für die hervorragende
Unterstützung bei mathematischen Fragestellungen bedanken.
Kapitel 2
Vorbemerkungen
2.1
Operatoren
Da wir in dieser Diplomarbeit an vielen Stellen mit Operatoren arbeiten werden, empfiehlt es sich, einige grundlegende Definitionen beziehungsweise Eigenschaften von Operatoren darzustellen.
Um diese Ausarbeitungen nicht zu allgemein zu fassen, werden wir die Aussagen so
darstellen, wie wir sie später benötigen.
Für genauere Details empfehlen wir [RS80].
¡ ¢
Wir betrachten den Raum L2 Rd . Dieser Raum ist ein Hilbertraum (siehe [El02]),
also auch
¢¢
¡ dBanachraum.
¡ 2ein
wir die Menge aller linearen, stetigen Operatoren von
Mit¡ L ¢ L R ¡bezeichnen
¢
L2 Rd nach L2 Rd .
¡ ¡ ¢¢
kAψkL2 Rd
L L2 Rd wird mit der Operator-Norm k A k= supψ6=0 kψk 2 ( d ) für ein
L (R )
¡ 2 ¡ d ¢¢
selbst zu einem Banachraum.
A∈L L R
¡ ¢
R
Hierbei ist k ψ kL2 (Rd ) = hψ, ψiL2 (Rd ) = Rd ψ (x) ψ (x) dx für ein ψ ∈ L2 Rd .
Damit können wir nun die starke und die schwache Konvergenz einführen.
Definition 2.1 Konvergenzbegriffe
¡ ¡ ¢¢
Seien An (für n ∈ N) und A aus L L2 Rd . Dann definieren wir:
An konvergiert für n → ∞ (stark) gegen A (An →n→∞ A) genau dann, wenn
∀ψ∈L2 (Rd ) k An ψ − Aψ kL2 (Rd ) →n→∞ 0.
An konvergiert für n → ∞ schwach gegen A (An *n→∞ A) genau dann, wenn
∀ψ,φ∈L2 (Rd ) hψ, An φiL2 (Rd ) →n→∞ hψ, AφiL2 (Rd ) .
Als nächstes benötigen wir die Adjungiertheit und die Selbstadjungiertheit eines beschränkten Operators.
8
Kapitel 2. Vorbemerkungen
9
Definition¡ 2.2
und Selbstadjungiertheit
¢¢
¡ Adjungiertheit
d
2
ein beschränkter Operator, das heißt
Sei A ∈ L L R
∃c>0 ∀ψ∈L2 (Rd ) k Aψ kL2 (Rd ) ≤ c k ψ kL2 (Rd ) .
¡ ¢
Durch hψ, AφiL2 (Rd ) = hA∗ ψ, φiL2 (Rd ) für φ, ψ ∈ L2 Rd wird A∗ definiert, welchen
wir als adjungierten Operator zu A bezeichnen.
A heißt selbstadjungiert, wenn A = A∗ ist.
Mit der Adjunktion ergeben sich unter anderem folgende Rechenregeln
∀A,B∈L(L2 (Rd )) (AB)∗ = B ∗ A∗ ,
(A∗ )∗ = A
Definition¡ 2.3
ät
¡ Positivit
¢¢
Sei A ∈ L L2 Rd . A wird positiv genannt, genau dann, wenn hψ, AψiL2 (Rd ) ≥ 0 für
¡ ¢
alle ψ ∈ L2 Rd .
Als Kurzbezeichnung schreiben wir A ≥ 0.
Es lässt sich zeigen, dass jeder beschränkte, positive Operator¡ auf¡einem
¢¢ Hilbertraum
d
2
der Operator
selbstadjungiert ist. Speziell ist für ein beschränktes A ∈ L L R
∗
A A beschränkt, positiv und selbststadjungiert.
√
Wir möchten nun gerne mit | A |= A∗ A die Wurzel aus einem positiven Operator
definieren. Dass wir dies in dieser Form machen dürfen, erlaubt uns der nächste Satz.
Satz 2.4
¡ ¡ ¢¢
Sei A ein positiver¡Operator
aus L L2 Rd . Dann existiert ein eindeutiger, positiver
¢¢
¡
Operator B aus L L2 Rd mit B 2 = A.
Definition 2.5 Kompaktheit
¡ 2 ¡ d ¢¢
heißt kompakt, genau
Ein Operator
A
∈
L
L R
¡ ¢ dann, wenn A beschränkte Men¡ ¢
gen von L2 Rd auf präkompakte Mengen in L2 Rd abbildet.
Für kompakte Operatoren kann man eine kanonische Darstellung finden.
Satz 2.6
¡ ¢
Sei A ein kompakter
Operator auf L2 Rd . Dann
¡ d ¢ existieren orthonormale Mengen
¢
¡
2
d
2
{ψn }n=1,...,N ⊂ L R und {φn }n=1,...,N ⊂ L R und positive Zahlen {λn }n=1,...,N ,
so dass gilt:
N
X
A=
λn hψn , ·iL2 (Rd ) φn
n=1
Die endliche oder unendliche Summe ist hierbei normkonvergent und die λn sind hierbei
die Eigenwerte von | A |.
Betrachtet man positive, selbstadjungierte, kompakte Operatoren, so lässt sich auch
der folgende Satz zeigen.
10
Satz 2.7
¡ ¢
Sei A ein positiver, selbstadjungierter, kompakter Operator auf L2 Rd . Dann existiert
eine orthonormale Basis {φn }n und positive Zahlen {λn }n , so dass gilt:
X
A=
λn hφn , ·iL2 (Rd ) φn
n
Die λn sind hierbei die Eigenwerte von A und die Funktionen φn sind die Eigenvektoren
zu λn .
Als nächstes definieren wir die Spur eines Operators sowie die Menge der SpurklasseOperatoren und die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Definiton 2.8 Spur
¡ d¢
2
Sei {ψn¡}n=1,...,∞
eine
Orthonormalbasis
von
L
R . Für einen positiven Operator
¡ ¢¢
A ∈ L L2 Rd definieren wir die Spur von A durch
∞
X
tr (A) =
hψn , Aψn iL2 (Rd )
n=1
Damit diese Definition überhaupt möglich ist, muss (und kann auch) gezeigt werden,
dass die Spur unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis ist.
Mit Hilfe der Spur bekommen wir nun zwei wichtige Familien von Operatoren, nämlich
die Spurklasse-Operatoren und die Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Definition¡ 2.9¡ Spurklasse-Operator
und Hilbert-Schmidt-Operator
¢¢
d
2
Sei A ∈ L L R . Der Operator A ist ein Spurklasse-Operator genau dann, wenn
tr (| A |)
¢¢Die Familie der Spurklasse-Operatoren bezeichnen wir im Folgenden
¡ ∞.
¡ <
d
2
mit J1 L R .
¡ ¡ ¢¢
Die Menge der selbstadjungierten Spurklasse-Operatoren nennen wir J1s L2 Rd .
A wird
Hilbert-Schmidt-Operator bezeichnet, genau dann, wenn tr (A∗ A) < ∞. Mit
¡ 2 ¡alsd ¢¢
J2 L ¡R ¡ wird
¢¢ die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren bezeichnet.
Mit J2s L2 Rd bezeichnen wir die Menge der selbstadjungierten Hilbert-SchmidtOperatoren.
Für die Menge der Spurklasse-Operatoren lassen sich nun zwei wichtige Sätze formulieren.
Satz 2.10
¡ 2 ¡ d ¢¢
¡ ¡ ¢¢
J
Mit k · k1 (definiert durch k A k1 = tr (| A |) für ein A ∈ J1 L2 Rd ) wird
1
¡ ¡ L¢¢ R
zu einem Banachraum, in dem gilt, dass k A k≤k A k1 für alle A ∈ J1 L2 Rd .
11
Satz 2.11 ¡ ¡ ¢¢
Jedes A ∈ J1 L2 Rd ist kompakt.
¡ 2 ¡ d ¢¢
liegt, genau dann,
Andersherum
gilt,
dass
ein
kompakter
Operator
A
in
J
L R
1
P
wenn ∞
λ
<
∞,
wobei
die
λ
die
Eigenwerte
von
|
A
|
sind.
n
n=1 n
Ähnliches lässt sich auch für die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren zeigen. Also
möchten wir auch hier zwei Sätze angeben.
Satz 2.12
¡ d¢
¡ 2 ¡ d ¢¢
2
Für eine Orthonormalbasis
{ψ}
⊂
L
R
und
A,
B
∈
J
L R
ist der
n=1,...,∞
2
P
∗
absolut
summierbar
und
unabhängig
von
hψ
,
A
Bψ
i
Ausdruck hA, Bi2 = ∞
n
n L2 ( Rd )
n=1
der Wahl der Orthonormalbasis.
¡ ¡ ¢¢
Mit h·, ·i2 wird J2 L2 Rd zu einem Hilbertraum, in dem gilt:
k A k≤k A k2 =
p
hA, Ai2 ≤k A k1 ,
k A k2 =k A∗ k2
Satz 2.13 ¡ ¡ ¢¢
Jedes A ∈ J2 L2 Rd ist kompakt. ¡ ¡ ¢¢
Ein kompakter Operator A liegt in J2 L2 Rd , genau dann, wenn
P
∞
2
n=1 λn < ∞. Hierbei sind die λn die Eigenwerte von | A |.
¡ d¢
2
R lässt sich mit der Menge
Die¡ Menge
der
Hilbert-Schmidt-Operatoren
auf
L
¢
2d
2
vergleichen.
L R
Satz 2.14
¡ ¡ ¢¢
A ∈ L ¡L2 ¢Rd ist ein Hilbert-Schmidt-Operator genau dann, wenn es eine Funktion
g ∈ L2 R2d gibt mit
Z
g (x, y) ψ (y) dy
∀ψ∈L2 (Rd ) (Aψ) (x) =
Rd
Es gilt weiterhin:
k A k2 =k g kL2 (R2d )
Da wir ab dem nächsten Kapitel den Begriff Dichte-Matrix-Operator benötigen, möchten
wir diesen hier auch definieren.
Definition 2.15 Dichte-Matrix-Operator
Ein Dichte-Matrix-Operator A ist ein positiver, selbstadjungierter Spurklasse-Operator.
Aufgrund der Positivität eines Dichte-Matrix-Operators A gilt, dass
k A k1 = T r (A) ist.
12
Mit dem Satz 2.7 lässt sich ein Dichte-Matrix-Operator A in der Form
X
A=
λn hφn , ·iL2 (Rd ) φn
n
schreiben.
¡ ¢
Anderseits hat Aψ für ein ψ ∈ L2 Rd nach dem Satz 2.14 die Gestalt
Z
(Aψ) (x) =
g (x, y) ψ (y) dy
Rd
Somit lässt sich g (x, y) als
P
n
λn φn (x) φn (y) schreiben. Wir definieren:
Definition 2.16
Für einen Dichte-Matrix-Operator A heißt die Funktion g aus dem Satz 2.14 eine
Dichte-Matrix-Funktion oder der Kern von A.
Es lässt sich für eine Dichte-Matrix-Funktion g die Eigenschaft g (x, y) = g (y, x) zeigen.
2.2
Wignertransformation
Von E. Wigner wurde 1932 die sogenannte Wigner-Transformation eingeführt ([Wi32],
[LP93], [MRS90]).
¢
¡
in
Mit Hilfe dieser Transformation lässt sich die Dichte-Matrix-Funktion ρ ∈ L2 R2d
x,y
¡ 2d ¢
2
die Wigner-Funktion w ∈ L Rx,ξ umschreiben.
µ
¶
~
~
w (x, ξ) =
ρ x+
y, x −
y e−iξ·y dy
2m
2m
(2π)d ~ Rd
1
Z
(2.1)
Somit können wir unser quantenmechanisches Modell in eine kinetische Transportgleichung für die Wigner-Funktion w umformen.
Um von der Wigner-Funktion auf die Dichte-Matrix-Funktion zu schließen, benötigen
wir die inverse Wigner-Transformation.
µ
¶
Z
m
x+y
w
(2.2)
ρ (x, y) = ~
, ξ ei ~ ξ·(x−y) dξ
2
Rd
Im Folgenden wollen wir einige Eigenschaften der Wigner-Transformierten w (x, ξ) von
ρ (x, y) zeigen.
Lemma 2.17
Die Wigner-Funktion w ist eine reellwertige Funktion.
13
Beweis:
w (x, y) =
=
=
=
=
µ
¶
~
~
ρ x+
y, x −
y e−iξ·y dy
d
2m
2m
d
(2π) ~ R
µ
¶
Z
~
~
1
ρ x+
y, x −
y eiξ·y dy
d
2m
2m
d
(2π) ~ R
µ
¶
Z
~
~
1
ρ x−
y, x +
y eiξ·y dy
2m
2m
(2π)d ~ Rd
µ
¶
Z
~
~
1
ρ x+
y, x −
y e−iξ·y dy
d
2m
2m
(2π) ~ Rd
w (x, y)
1
Z
Hierbei wurde ausgenutzt, dass für die Dichte-Matrix-Funktion ρ (x, y) = ρ (y, x) gilt.
¤
Bemerkung: Im Allgemeinen gilt nicht, dass die Wigner-Funktion w nur Werte aus R+
0
annimmt.
¡ ¢
¡ ¢
Wir können die L2 R2d -Norm von ρ mit der L2 R2d -Norm von w vergleichen.
Lemma 2.18
¡ ¢
¡ ¢
Sei ρ ∈ L2 R2d oder sei w ∈ L2 R2d . Dann gilt die Formel:
µ ¶ d2
~
d
k ρ kL2 (R2d ) = (2π)
~ k w kL2 (R2d )
m
Beweis: ¡ ¢
Sei ρ ∈ L2 R2d .
kρ
k2L2 (R2d )
=x:=v−
Z
=
~
z,
2m
=
=
=
=
~
y:=v+ 2m
z
(2.3)
| ρ (x, y) |2 dxdy
µ ¶d Z
¶
µ
~
~
~
z, v +
z |2 dvdz
|ρ v−
m
2m
2m
R2d
µ ¶d Z
Z
~
|~
w (v, ξ) e−iξ·z |2 dvdz
m
R2d
Rd
µ ¶d Z
~
~2
| Fξ→z (w) (v, z) |2 dvdz
m
2d
R
µ ¶d
~
~2 k Fξ→z (w) k2L2 (R2d )
m
µ ¶d
~
2d
(2π)
~2 k w k2L2 (R2d )
m
R2d
14
Im letzten Schritt wurde
¢ Parsevalsche Gleichung (siehe [El02]) benutzt.
¡ 2ddie
2
und die Gleichung der Behauptung ist erfüllt.
Also ist auch w ∈ L R
¡ ¢
¡ ¢
Sei nun w ∈ L2 R2d . Mit analoger Rechnung zeigt man, dass ρ in L2 R2d liegt und
dass die Gleichung aus der Behauptung wahr ist.
¤
Kapitel 3
Die lineare
Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
In diesem Kapitel werden wir zunächst auf die Evolutionsgleichung für den DichteMatrix-Operator R (t) eingehen und diese dann in die Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
umformen. Anschließend werden wir diese partielle Differentialgleichung für den Spezialfall eines harmonischen Oszillators mit Hilfe einer Greenschen Funktion lösen.
3.1
Umformulierung der Evolutionsgleichung auf die
Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
Wir betrachten in dieser Arbeit die Bewegung eines Ensembles aus Quantenpartikeln,
bei dem der Einfluss der Umgebung durch einen Fokker-Planck-Term modelliert wird.
Als Beispiel nehmen wir die Bewegung von Elektronen unter dem Einfluss eines elektrostatischen Potentials V und einem Hitzebad aus harmonischen Oszillatoren in thermischem Gleichgewicht.
Für den Dichte-Matrix-Operator R (t) erhalten wir die zugehörige von Neumann-Gleichung
d
i
R (t) = − [H, R (t)] + A (R (t)) = L (R (t))
dt
~
mit der Anfangsbedingung
R (t = 0) = R0
(3.1)
(3.2)
Hierbei beschreibt A den Effekt, der durch den äußeren Einfluss hervorgerufen wird.
Dieser Fokker-Planck-Operator lautet:
¤
£
A (R (t)) = −γ x, [∇, R (t)]+ + Dqq [∇, [∇, R (t)]]
Dpp
2iDpq
− 2 [x, [x, R (t)]] −
[x, [∇, R (t)]]
~
~
15
(3.3)
Kapitel 3. Die lineare Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
16
[B, C] = BC − CB beziehungsweise [B, C]+ = BC + CB sind der Kommutator beziehungsweise der Antikommutator der Operatoren B und C ([Sc02]).
Der Operator H ist der Hamilton-Operator für das System (siehe [Sc02]) und L (R (t))
ist der Differentialoperator der Gleichung (3.1).
Von dieser¡ Gleichung
ausgehend, bekommen wir eine Evolutionsgleichung für
¢
ρ (t) ∈ L2 R2d , den Kern von R (t).
i
∂t ρ = − (Hx − Hy ) ρ − γ (x − y) · (∇x − ∇y ) ρ
~
Dpp
+Dqq | ∇x + ∇y |2 ρ − 2 | x − y |2 ρ
~
2iDpq
−
(x − y) · (∇x + ∇y ) ρ
~
ρ (x, y, t = 0) = ρ0 (x, y)
x, y ∈ Rd
(3.4)
(3.5)
Hierbei ist Hx (beziehungsweise Hy ), definiert durch
~2
∆x + V (x) ,
2m
der Hamilton-Operator bezüglich der Variablen x (beziehungsweise y).
Hx := −
Eine notwendige Bedingung, damit unser System bestimmte Eigenschaften des DichteMatrix-Operators erhält (also quantentheoretisch richtig ist), ist die folgende LindbladBedingung für unsere Konstanten Dpp , Dqq , Dpq und γ (siehe [AL07],[CF93], [AS04]).
Dpp > 0
Dqq ≥ 0
Dpq ≥ 0
~2 γ 2
2
Dpp Dqq − Dpq
≥
4
Zusätzlich nehmen wir an, dass
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
γ ≥ 0
(3.10)
ist.
Bemerkung: Die Konstanten sind für gewöhnlich durch
γ=
λ
,
2m
Dpp = λkB T,
Dqq =
λ~2
,
12m2 kB T
Dpq =
λΩ~2
12πmkB T
gegeben. λ > 0 ist die Kopplungskonstante für das Hitzebad, kB die BoltzmannKonstante, T die Temperatur des Bades und Ω die Cut-Off-Frequenzen der Oszillatoren im Reservoir (siehe [SCDM04], [ALMS04], [No04]).
17
Da unsere Konstanten im weiteren Verlauf dieser Diplomarbeit die Bedingungen (3.6)(3.10) erfüllen sollen, lässt sich die Dynamik unseres Quantensystems durch eine quantendynamische Halbgruppe beschreiben (siehe [AS04]).
Definition 3.1
¡ ¡ ¢¢
Sei X ⊂ J1s L2 Rd mit der Spurklasse-Norm k · k1 ein Banachraum. Eine konservative quantendynamische Halbgruppe auf X ist eine stark stetige Halbgruppe ([Pa83])
{S (t)}t≥0 von linearen beschränkten Operatoren auf X, so dass die beiden Bedingungen
1. ∀A∈X,A≥0
2. ∀A∈X
S (t) A ≥ 0
T r (S (t) A) = T r (A)
für alle t ≥ 0 erfüllt sind.
Mit Hilfe dieser Halbgruppen definieren wir später Lösungen für (3.1).
Zunächst betrachten wir aber die Wigner-Fokker-Planck-Gleichung. Auf dem Niveau
der Wigner-Funktionen liest sich die Gleichung (3.4) als Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
∂t w + ξ · ∇x w + Θ [V ] w = Qw
x, ξ ∈ Rd , t ∈ R+
(3.11)
mit der Anfangsbedingung
w (x, ξ, t = 0) = w0 (x, ξ)
(3.12)
Der Diffusions-Operator Q hat die Gestalt
Qw :=
Dpp
Dpq
+ 2γdivξ (ξw) + Dqq ∆x w + 2
∆ξ w
divx (∇ξ w)
2
|
{z
} |
m
{z
}
|m {z }
Reibung
klass. Diffusion
Quantendiffusion
(3.13)
und beschreibt die Wechselwirkung des Quantensystems mit seiner Umgebung.
Der Pseudo-Differential-Operator Θ[V ], definiert durch
¶
µ
¶¸
Z · µ
~
i
~
y −V x−
y
Θ [V ] w (x, ξ) :=
V x+
2m
2m
(2π)d ~ R2d
0
w (x, ξ 0 ) e−iy·(ξ−ξ ) dξ 0 dy,
(3.14)
erklärt den Einfluss des elektrostatischen Potentials V auf das Quantensystem.
Lemma 3.2
Die partiellen Differentialgleichungssysteme (3.4), (3.5) und (3.11), (3.12) sind äquivalent.
Beweis:
Wir werten die Gleichung (3.4) an der Stelle v := x +
multiplizieren mit (2π)1 d ~ e−iξ·y und integrieren über y.
Anschließend vergleichen wir die einzelnen Terme.
18
~
y
2m
und z := x −
~
y
2m
aus,
¤
Bemerkung: Der Vergleich der einzelnen Terme aus dem Beweis des obigen Lemmas
befindet sich in Anhang A.
3.2
Harmonisches Oszillator-Potential
Zur Vereinfachung der Rechnungen setzen wir im folgenden ~ = m = 1.
Außerdem betrachten wir im folgenden Verlauf dieser Diplomarbeit ein harmonisches
Oszillator-Potential (siehe [No04], [Sc02]).
V (x) =
ω02 2
|x| + a · x + b,
2
a ∈ Rd , b ∈ R, ω0 ≥ 0
Der Pseudo-Differential-Operator Θ [V ] lässt sich dann wie folgt berechnen.
Z h ³
³
i
y ´i
y´
0
Θ [V ] f (x, ξ) =
−
V
x
−
f (x, ξ 0 ) e−i(ξ−ξ )·y dξ 0 dy
V
x
+
d
2
2
(2π) R2d
Z
¡ 2
¢
i
0
ω
x
+
a
· yf (x, ξ 0 ) e−i(ξ−ξ )·y dξ 0 dy
=
0
d
(2π) R2d
Z
¡ 2
¢
= − ω0 x + a
δ (1) (ξ − ξ 0 ) f (x, ξ 0 ) dξ 0
d
Z R
¡ 2
¢
= ω0 x + a
δ (ξ − ξ 0 ) ∇ξ−ξ0 f (x, ξ 0 ) dξ 0
Rd
¡
¢
= − ω02 x + a ∇ξ f (x, ξ)
Hierbei ist δ die Diracsche Deltadistribution und δ (1) deren erste distributionelle Ableitung.
Die Gleichung (3.11) vereinfacht sich somit zu
¡
¢
∂t w
e + ξ · ∇x w
e − ω02 x + a · ∇ξ w
e = Qw
e
(3.15)
´
³
Mit der Definition w (x, ξ, t) := w
e x − ωa2 , ξ, t lässt sich a aus (3.15) eliminieren.
0
Somit erhalten wir für ein harmonisches Oszillator-Potential das folgende partielle Differentialgleichungssystem
∂t w + ξ · ∇x w − ω02 x · ∇ξ w = Qw
x, ξ ∈ Rd , t ∈ R+
w (x, ξ, t = 0) = w0 (x, ξ)
(3.16)
(3.17)
19
wobei Q dem Q aus (3.13) entspricht.
Die Gleichung (3.16) ist unsere lineare Wigner-Fokker-Planck-Gleichung.
3.3
Greensche Funktion für die lineare Wigner-FokkerPlanck-Gleichung
Greensche Funktionen (benannt nach dem Physiker und Mathematiker George Green)
sind Hilfsmittel, um gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen zu lösen.
In unserem Fall werden wir eine Greensche Funktion für unsere lineare Wigner-FokkerPlanck-Gleichung (3.16) berechnen, um dann anschließend eine Lösung der partiellen
Differentialgleichung anzugeben.
3.3.1
Definition der Greenschen Funktion
In der nächsten Definition werden wir die Greensche Funktion noch für den allgemeinen
Fall der Wigner-Fokker-Planck-Gleichung definieren, da sich dies mit dem Fall der
linearen Wigner-Fokker-Planck-Gleichung deckt.
Außerdem werden wir erklären, was wir unter einer milden beziehungsweise klassischen
Lösung verstehen.
Definition 3.3
Eine Funktion G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ), die (3.11) für alle festen (x0 , ξ0 ) ∈ R2d und alle t > 0
erfüllt und gleichzeitig der Anfangsbedingung
lim G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) = δ (x − x0 , ξ − ξ0 )
t&0
in einem schwachen Sinne genügt, heißt eine Greensche Funktion für die Gleichung
(3.11).
¡ 2d ¢¢
¡
p
mit 1 ≤ p < ∞ ist eine milde
des parR
Eine Funktion w ∈ C R+
0 ;L
¢
¡ Lösung
tiellen Differentialgleichungssystem (3.11),(3.12), wobei w0 ∈ Lp R2d , genau dann,
wenn
Z
w0 (x0 , ξ0 ) G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) dx0 dξ0
(3.18)
w (x, ξ, t) =
R2d
¡ ¢¢
¡
Wir nennen w eine klassische Lösung, falls zusätzlich gilt, dass w ∈ C 1 R+ ; C 2 R2d .
3.3.2
Berechnung der Greenschen Funktion
Um die Greensche Funktion für (3.16) zu berechnen, ordnen wir zunächst die partielle Differentialgleichung nach Termen mit Differentiationen 1. Ordnung und nach den
übrigen Termen.
20
¡
¢
∂t G + ξ · ∇x G − ω02 x + 2γξ · ∇ξ G
= Dpp ∆ξ G + 2γdG + Dqq ∆x G + 2Dpq divx (∇ξ G)
(3.19)
Die zugehörige Anfangsbedingung
lim G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) = δ (x − x0 , ξ − ξ0 )
t&0
(3.20)
ist aus der Definition 3.3 entnommen.
Fouriertransformation der Gleichung
Mit Hilfe der Fouriertransformation x → k, ξ → η
Z
f (x, ξ) e−i(x·k+ξ·η) dxdξ
Fx→k,ξ→η f (k, η) =
R2d
lassen sich Differentiationen vor der Fouriertransformation in Multiplikationen nach
der Fouriertransformation (und umgekehrt) umformen.
Die Fouriertransformation angewendet auf (3.19) ergibt die folgende Gleichung.
∂t Ĝ + i2 k · ∇η Ĝ − ω02 i2 η · ∇k Ĝ − 2γ i2 divη (ηĝ)
| {z }
=−dĜ−η·∇η Ĝ
= i Dpp | η | Ĝ + i Dqq | k | Ĝ + 2Dpq i2 η · k Ĝ + 2dγ Ĝ
2
2
2
2
Diese Gleichung lässt sich weiter zusammenfassen und wir erhalten die folgende partielle
Differentialgleichung für Ĝ (t, k, η).
∂t Ĝ + ω02 η · ∇k Ĝ + (2γη − k) · ∇η Ĝ
¡
¢
= − Dpp | η |2 +Dqq | k |2 +2Dpq η · k Ĝ
(3.21)
Die Fouriertransformation auf die Anfangsbedingung (3.20) angewendet, liefert eine
Anfangsbedingung für (3.21).
Z
Ĝ (0, x, ξ, x0 , ξ0 ) =
δ (x − x0 , ξ − ξ0 ) e−i(x·k+ξ·η) dxdξ
= e
R2d
−i(x0 ·k+ξ0 ·η)
(3.22)
Charakteristikenmethode
Unter Anwendung der Charakteristikenmethode auf (3.21) ergibt sich das folgende
Differentialgleichungssystem
∂t s
∂t y
∂t z
∂t Ĝ
=
=
=
=
1, s (0) = 0
ω02 z, y (0) = k
2γz − y, z (0) = η
¡
¢
− Dpp | z |2 +Dqq | y |2 +2Dpq z · y u,
Ĝ (0) = e−i(x0 ·k+ξ0 ·η)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
21
Aus (3.23) bekommt man sofort s = t.
Mit (3.24) und (3.25) erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in t und eine dazugehörige charakteristische Gleichung für λ
∂t2 y = ω02 ∂t z = 2γ ω02 z −ω02 y = 2γ∂t y − ω02 y
|{z}
∂t y
2
λ − 2γλ +
ω02
Somit ergibt sich λ1,2 = γ ±
in drei Fälle.
p
= 0
γ 2 − ω02 und eine damit verbundene Fallunterscheidung
Bemerkung: Falls im weiteren Verlauf vom 1.Fall, 2. Fall oder 3. Fall die Rede sein
sollte, so bezieht sich dies jeweils auf einen der drei folgenden Fälle.
1. 0 ≤ γ < ω0
⇒
λ1,2 = γ ± i
q
ω02 − γ 2
| {z }
ω
Mit Hilfe des Ansatzes y (t) = Aeγt eiωt + Beγt e−iωt und der Betrachtung der Anfangsbedingungen von (3.24) und (3.25), ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
für A und B.
k = y (0) = A + B
1
1
η = z (0) = 2 ẏ (0) = 2 [(γ + iω) A + (γ − iω) B]
ω0
ω0
¶µ ¶
µ ¶
µ
1
1
A
k
⇒
=
1
1
(γ
+
iω)
(γ
−
iω)
B
η
ω02
ω02
!µ ¶
Ã 1
µ ¶
(γ − iω) −1
k
ω02
A
ω02
⇔
=
1
− ω2 (γ + iω) 1
η
−2iω
B
0
µ 1
¶
(γ − iω) k − η
ω02
ω02
=
−2iω − 12 (γ + iω) k + η
ω
0
Setzen wir die Werte für A und B in den Ansatz für y (t) ein, so bekommen wir
y (t) und z (t) geliefert.
¢
¤
eγt £¡
(γ − iω) k − ω02 η (cos (ωt) + i sin (ωt))
−2iω
¢
¤
eγt £¡
− (γ + iω) k + ω02 η (cos (ωt) − i sin (ωt))
+
−2iω
¡
¢
¤
eγt £
−2iωk cos (ωt) + 2γk − 2ω02 η i sin (ωt)
=
−2iω
y (t) =
¤
eγt £
k (ω cos (ωt) − γ sin (ωt)) + ηω02 sin (ωt)
ω
1
z (t) =
∂t y (t)
ω02
¤
1 eγt £
2
=
γk
(ω
cos
(ωt)
−
γ
sin
(ωt))
+
γηω
sin
(ωt)
0
ω02 ω
¢
¤
1 eγt £ ¡ 2
+ 2
k −ω sin (ωt) − γω cos (ωt) + ηω02 ω cos (ωt)
ω0 ω

22
=
=

¡ 2
¢
1 eγt 

2
−k
sin
(ωt)
γ
+
ω
+ηω02 (γ sin (ωt) + ω cos (ωt))

2
ω0 ω
| {z }
=ω02
=
eγt
[η (γ sin (ωt) + ω cos (ωt)) − k sin (ωt)]
ω
2. γ > ω0
⇒ λ1,2 = γ ±
q
γ 2 − ω02
| {z }
=:ω
Diesmal wird der Ansatz y (t) = Ae(γ+ω)t + Be(γ−ω)t benutzt.
¤
eγt £
k (ω cosh (ωt) − γ sinh (ωt)) + ηω02 sinh (ωt)
y (t) =
ω
eγt
z (t) =
[−k sinh (ωt) + η (ω cosh (ωt) + γ sinh (ωt))]
ω
3. γ = ω0
⇒λ=γ
In diesem Fall ist der Ansatz y (t) = Aeγt + Bteγt zu wählen.
£
¤
y (t) = eγt k (1 − γt) + ηγ 2 t
z (t) = eγt [η (1 + γt) − kt]
y (t) und z (t) lassen sich für alle drei Fälle in einer einheitlichen Form schreiben.
y (t) = α (t) k + β (t) η
(3.27)
β̇ (t)
α̇ (t)
k+ 2 η
2
ω0
ω0
(3.28)
z (t) =
23
α (t) und β (t) sind dabei in den einzelnen Fällen definiert durch
1.
eγt
(ω cos (ωt) − γ sin (ωt)) ,
ω
β (t) =
ω02 eγt
sin ωt
ω
(3.29)
eγt
(ω cosh (ωt) − γ sinh (ωt)) ,
ω
β (t) =
ω02 eγt
sinh ωt
ω
(3.30)
α (t) =
2.
α (t) =
3.
α (t) = eγt (1 − γt) ,
β (t) = γ 2 teγt
(3.31)
Mit der Methode der Separation der Variablen (siehe [Wa00]) lässt sich auch (3.26)
sehr einfach lösen.
Ĝ (t) = Ĝ (0) e−
Rt
0
Dpp |z|2 +Dqq |y|2 +2Dpq z·yds
(3.32)
Benutzt man (3.27) und (3.28), so lässt sich das Integral in der Exponentialfunktion
von Ĝ (t) in der Form
Z t
Dpp | z |2 +Dqq | y |2 +2Dpq z · yds = r1 (t) | k |2 +r2 (t) | η |2 +r3 (t) k · η
0
schreiben.
Hierbei wurden
r1 (t) :=
r2 (t) :=
Z
Z
r3 (t) := 2
t
0
α̇ (s)2
α (s) α̇ (s)
Dpp 4 + Dqq α (s)2 + 2Dpq
ds
ω0
ω02
(3.33)
β̇ (s)2
β (s) β̇ (s)
+ Dqq β (s)2 + 2Dpq
ds
4
ω0
ω02
(3.34)
t
Dpp
0
Z
t
α̇ (s) β̇ (s)
+ Dqq α (s) β (s)
ω04
Ã
!
α (s) β̇ (s) β (s) α̇ (s)
+Dpq
+
ds
ω02
ω02
Dpp
0
(3.35)
gesetzt.
Ĝ (t, k, η, x0 , ξ0 ) = e−i(x0 ·k+ξ0 ·η) e−(r1 (t)|k|
2 +r
2 (t)|η|
2 +r
ist unsere Lösung für (3.21) mit der Anfangsbedingung (3.22).
3 (t)k·η
)
24
Inverse Fouriertransformation
Um eine Greensche Funktion für (3.19) mit der Anfangsbedingung (3.20) zu erhalten,
müssen wir nur noch einen letzten Schritt, nämlich die inverse Fouriertransformation
y → x, z → ξ von Ĝ (t, k, η, x0 , ξ0 ), vollziehen.
Mit Hilfe einer Variablentransformation (y, z) → (k, η) und zweimaligem Anwenden
der Formel
Z
³ π ´ d2
1
2
2
e− 4a |x| ,
e−ix·y e−a|y| dy =
a>0
(3.36)
a
Rd
erhält man die Greensche Funktion für (3.16)
G (t, x, ξ, x0 , ξ0 )
Z
−2d
Ĝ (t, k, η, x0 , ξ0 ) ei(x·y+ξ·z) dydz
= (2π)
=
µ
R2d
¶ µ
2γt d
e
2π
1
4r1 (t) r2 (t) − r3 (t)2
r1 (t)|ξ0 −β(t)x−
e
−
¶ d2
Ã
!
!Ã
α̇(t)
β̇(t)
α̇(t)
β̇(t) 2
ξ| +r2 (t)|x0 −α(t)x− 2 ξ|2 −r3(t) ξ0 −β(t)x− 2
· x0 −α(t)x− 2 ξ
2
ω0
ω0
ω0
ω0
4r1 (t)r2 (t)−r3 (t)2
(3.37)
An dieser Stelle müssen wir noch zeigen, dass der Term
4r1 (t) r2 (t) − r32 (t) > 0 ist. Dieses werden wir im folgenden Lemma erledigen. Desweiteren liefert uns das Lemma eine Aussage über die Positivität von r1 (t) und r2 (t).
Lemma 3.4
2
Sei Dpp > 0, Dqq ≥ 0, Dpq ≥ 0 und Dpp Dqq − Dpq
≥
γ2
.
4
Dann gilt für alle t > 0:
r1 (t) > 0
r2 (t) > 0
4r1 (t) r2 (t) − r3 (t)2 > 0
Beweis: Wir definieren für s ≥ 0
¶
¶
µ
µ
β (s)
α (s)
b (s) := β̇(s) ,
a (s) := α̇(s) ,
ω02
ω02
A :=
(3.38)
(3.39)
(3.40)
µ
Dqq Id Dpq Id
Dpq Id Dpp Id
Hierbei ist Id die d-dimensionale Einheitsmatrix.
Mit dieser Schreibweise lassen sich r1 (t), r2 (t) und r3 (t) umschreiben.
Z t
a (s)T Aa (s) ds
r1 (t) =
0
¶
r2 (t) =
Z
r3 (t) = 2
t
25
b (s)T Ab (s) ds
0
Z
t
a (s)T Ab (s) ds
0
Es gilt, dass a (s) 6≡ 0.
Dies lässt sich leicht begründen.
Angenommen a (s) ≡ 0, dann wäre α̇ (s) ≡ 0 und somit α (s) ≡ c ∈ R. Da a (s) ≡ 0,
würde folgen, dass α (s) ≡ c = 0. Dies ist aber ein Widerspruch zu den errechneten
α (s). Also ist a (s) 6≡ 0.
Für b (s) lässt sich in analoger Weise ebenfalls zeigen, dass b (s) 6≡ 0 ist.
1. γ > 0
Die Matrix A ist positiv definit und somit ist sowohl a (s)T Aa (s) ≥ 0 als auch
b (s)T Ab (s) ≥ 0.
Weiterhin gilt, dass a (s)T Aa (s) 6≡ 0 und b (s)T Ab (s) 6≡ 0.
Somit gelten die Ungleichungen (3.38) und (3.39).
√ √
Da A = AT und A ≥ 0, lässt sich A als Matrix-Operator in der Form A A
schreiben
√ (siehe
√ [RS80]). T
Durch h Ax, AyiA := x Ay, x, y ∈ R2d wird ein Skalarprodukt auf dem R2d
definiert.
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Vektoren a (s) und b (s) lautet unter
anderem nach Fischer [Fi00] dann
√
√
| a (s)T Ab (s) | = | h Aa (s) , Ab (s)iA |
√
√
√
1 √
1
≤ h Aa (s) , Aa (s)iA2 h Ab (s) , Ab (s)iA2
³
´ 21 ³
´ 12
= a (s)T Aa (s)
b (s)T Ab (s)
Die Integration über das Zeitintervall [0, t] und die Ausnutzung der Hölderschen
Ungleichung (siehe [El02]) liefern dann
Z t
Z t³
´ 21 ³
´ 12
T
T
T
a (s) Ab (s) ds ≤
a (s) Aa (s)
b (s) Ab (s) ds
0
0
≤
µZ
t
T
a (s) Aa (s) ds
0
¶ 21 µZ
t
T
b (s) Ab (s) ds
0
¶ 12
Mit dieser Ungleichung erhalten wir 4r1 (t) r2 (t) − r3 (t)2 ≥ 0.
In der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
gilt das Gleichheitszeichen, wenn
√
√
Aa
√(s) = c Ab (s) mit einem c ∈ R\{0}. Da die Determinante von A positiv ist,
ist A invertierbar. Also ist die Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
nur für a (s) = cb (s) gegeben.
26
Angenommen, dass für ein c ∈ R \ {0} a (s) = cb (s) gilt. Dann ist speziell
α (s) = cβ (s).
Wie man leicht sieht, ist β (s) = −α̇ (s). Also α (s) = −cα̇ (s). Somit ergibt sich
1
α (s) = c0 e− c s mit einem geeigneten c0 ∈ Rd .
Da die α (s) aus unseren 3 Fällen nicht diese Form haben, gibt es kein c ∈ R\{0},
so dass a (s) und b (s) linear abhängig sind.
Ungleichung (3.40) ist somit verifiziert.
2. γ = 0
Im Fall γ = 0 befinden wir uns in unserem ersten Fall. α (t) und β (t) sind dann
in (3.29) definiert. Wir erhalten explizit:
¶
¶
µ
µ
Dpp 1
1
1
Dpq
1
r1 (t) =
t−
sin (2ωt) + Dqq
t+
sin (2ωt) − 2 sin2 (ωt)
2
ω
2
4ω
2
4ω
ω
¶
¶
µ
µ
1
1
1
1
t+
sin (2ωt) + ω 2 Dqq
t−
sin (2ωt)
r2 (t) = Dpp
2
4ω
2
4ω
Dpq
+ 2 sin2 (ωt)
ω
Dpp
Dpq
r3 (t) = − 2 sin2 (ωt) + Dqq sin2 (ωt) +
sin (2ωt)
ω
ω
Wie man leicht erkennt, ist r2 (t) > 0 für t > 0, da Dpp > 0.
Es ergibt sich mit Hilfe des Additionstheorems
4 sin4 (ωt) + sin2 (2ωt) = 4 sin2 (ωt), dass
4r1 (t) r2 (t) − r3 (t)2
µ 2
¶
2
¡ 22
¢ 4Dpq
Dpp
2
2
+
D
sin2 (ωt)
=
ω
t
−
sin
(ωt)
−
qq
ω4
ω2
¢
2Dpp Dqq ¡ 2 2
+
ω t + sin2 (ωt)
2
ω
¶2
µ
¡ 22
¢ ¡
¢ 4
Dpp
2
2
ω
t
−
sin
(ωt)
+
D
D
−
D
+
D
sin2 (ωt)
=
pp
qq
qq
pq
ω2
ω2
> 0
Da 4r1 (t) r2 (t) > r3 (t)2 und r2 (t) > 0 ist, ist auch r1 (t) > 0.
¤
An dieser Stelle möchten wir eine weitere Ungleichung beweisen, die eine leichte Folgerung aus dem Lemma 3.4 ist und im späteren Verlauf dieser Diplomarbeit noch benötigt
wird.
Lemma 3.5
2
Sei Dpp > 0, Dqq ≥ 0, Dpq ≥ 0 und Dpp Dqq − Dpq
≥
kπ
1. Fall: t > 0, t 6= ω , k ∈ N):
γ2
.
4
27
Dann gilt für alle t > 0 (im
β̇ (t)
β̇ (t)2
r3 (t) > 0
2 r1 (t) + r2 (t) −
α̇ (t)
α̇ (t)
(3.41)
Beweis:
0
≤
=
<(3.40)
=
Ã
β̇ (t)
r3 (t)
r2 (t) −
2α̇ (t)
!2
β̇ (t)
β̇ (t)2 2
r2 (t) −
r3 (t)
r2 (t) r3 (t) +
α̇ (t)
4α̇ (t)2
2
β̇ (t)
β̇ (t)2
4r1 (t) r2 (t)
r2 (t) −
r2 (t) r3 (t) +
α̇ (t)
4α̇ (t)2
Ã
!
β̇ (t)2
β̇ (t)
r2 (t)
r1 (t) + r2 (t) −
r3 (t)
α̇ (t)
α̇ (t)2
2
Da nach dem Lemma 3.6 gilt, dass r2 (t) > 0, folgt die Behauptung des Lemmas.
¤
Zur übersichtlichen Darstellung der Formeln definieren wir einige Abkürzungen, die im
weiteren Verlauf dieser Diplomarbeit genutzt werden.
λ (t) := 4r1 (t) r2 (t) − r3 (t)2
(3.42)
β̇ (t)
ξ
ω02
α̇ (t)
Q2 (x, ξ, t) := α (t) x + 2 ξ
ω0
(3.43)
Q1 (x, ξ, t) := β (t) x +
(3.44)
Desweiteren werden wir die t-Abhängigkeit weglassen, sofern dies zu keinen Missverständnissen führt.
3.4
Die Lösung der linearen Wigner-Fokker-PlanckGleichung
Für die Wigner-Funktion w erhalten wir mit (3.18) und (3.37) die Darstellung
µ 2γt ¶d
Z
e
− d2
w (x, ξ, t) =
w0 (x0 , ξ0 )
λ
2π
R2d
e−
r1 |Q1 (x,ξ)−ξ0 |2 +r2 |Q2 (x,ξ)−x0 |2 −r3 (Q1 (x,ξ)−ξ0 )·(Q2 (x,ξ)−x0 )
λ
dx0 dξ0 (3.45)
28
Um w als milde Lösung unser linearen Wigner-Fokker-Planck-Gleichung anzusehen,
müssen wir noch zeigen, dass
Funktionen
¢
¡ stetigen
¡ 2dw¢ in dieser Form aus dem Raum pder
+
2d
p
auf R0 mit Werten im L R , 1 ≤ p < ∞ liegt, falls w0 ∈ L R .
Nach Sparber et al. [SCDM04] gilt der folgende Satz, der uns eine klassische Lösung
liefert und Aussagen über die Positivität der Wigner-Funktion macht.
Satz 3.6
2
2
Sei γ ≥ 0, Dpp > 0, Dqq ≥ 0, Dpq ≥ 0 und sei Dpp¡Dqq ¢− Dpq
≥ γ4 .
2d
p
1 ≤ p < ∞ eine eindeutige
Dann existiert zu jeder Anfangsbedingung
¢¢
¡ + p ¡ 2d ¢¢ w0 1∈¡L + R ∞ ¡mit
2d
mit
∩ C R ;C R
klassische Lösung w ∈ C R0 ; L R
Z
Z
w0 (x, ξ) dxdξ
w (x, ξ, t) dxdξ =
R2d
R2d
Falls w0 zusätzlich fast überall nicht-negativ ist, so ist für alle t ∈ R+ w (t) ebenfalls
fast überall nicht-negativ.
Bemerkung: Unsere Definitionen von α (t) und β (t) unterscheiden sich von den Definitionen, die in [SCDM04] benutzt werden. Dies liegt daran, dass wir die Charakteristiken im Fourierraum berechnet haben und Sparber et al. die Charakteristikenmethode
vor der Fouriertransformation angewendet haben. Es gilt jedoch mit dem X−t aus
[SCDM04]:
³
´
(Q2 (x, ξ, t) , Q1 (x, ξ, t)) = X−t (x, ξ) , Ẋ−t (x, ξ)
Außerdem unterscheidet sich die Wigner-Transformation in dieser Arbeit (vergleiche
[LP93]) von der Wigner-Transformation aus [SCDM04].
Wir weisen deshalb extra darauf hin, dass sich in beiden Fällen die gleiche Greensche
Funktion ergibt.
Kapitel 4
Dichte-Matrix-Funktion und
Dichte-Matrix-Operator
Im letzten Kapitel haben wir eine Lösung für die lineare Wigner-Fokker-Planck-Glei¡ 2d ¢
2
liegt, ist die ParR
chung gefunden. Da typischerweise
die
Wigner-Funktion
in
L
R
tikeldichte, die durch n (x, t) := Rd w (x, ξ, t) dξ gegeben ist, auf dem Wigner-Niveau
nicht unbedingt definiert (siehe [AS04], [ALMS04]). Daher betrachten wir den Operator
R (t). Denn es wird sich herausstellen, wenn R0 ein Dichte-Matrix-Operator
ist, so ist
R
auch R (t) ein Dichte-Matrix-Operator mit T r (R (t)) = Rd ρ (x, x, t) dx. Also existiert
die Partikeldichte ρ (x, x, t) fast überall.
Zunächst werden wir jedoch den Operator R (t) im Raum der selbstadjungierten HilbertSchmidt-Operatoren
Gleichung (3.1) eine Lösung aus
¡ d ¢¢
¡ dass
¡ 2 ¡ d ¢¢¢untersuchen und zeigen,
¡
2
s
s
liegt. Anschließend werden wir
R
L
besitzt,
falls
R
in
J
R
L
C R+
;
J
0
0
2
2
R0 aus der Menge der Spurklasse-Operatoren wählen und untersuchen, in welchem
Raum R (t) sich dann befindet. Zum Schluß des Kapitels werden wir uns dann noch
dem Energieraum E widmen.
4.1
Rücktransformation der Wigner-Funktion
Um den Operator R (t) zu bekommen, benötigen wir zunächst die zu w (x, ξ, t) gehörige
Funktion ρ (x, y, t).
Mit Hilfe der inversen Wigner-Transformation
µ
¶
Z
x+y
w
ρ (x, y, t) =
, ξ, t eiξ·(x−y) dξ
2
d
R
29
Kapitel 4. Dichte-Matrix-Funktion und Dichte-Matrix-Operator
30
und der Formel (3.18) sowie der Wigner-Transformierten von der Anfangsbedingung
ρ0 , lässt sich ρ (x, y, t) in Abhängigkeit von G und ρ0 darstellen.
µ
¶
Z
x+y
eiξ·(x−y) dξ
ρ (x, y, t) =
w
, ξ, t
2
Rd
{z
}
|
R
x+y
= R2d G(t, 2 ,ξ,x0 ,ξ0 )w0 (x0 ,y0 )dx0 dy0
µ
¶
Z
x+y
1
=
G t,
, ξ, x0 , ξ0
2
(2π)d
R3d
Z
³
y0
y0 ´ −iξ0 ·y0
dy0 dx0 dξ0 eiξ·(x−y) dξ (4.1)
ρ0 x 0 + , x 0 −
e
2
2
Rd
¡ ¢
Mit dem folgenden Lemma können wir eine Aussage über die L2 R2d -Norm von ρ (t)
treffen.
Lemma 4.1¡ ¢
¡ ¢
Sei ρ0 ∈ L2 R2d . Dann folgt für alle t ≥ 0, dass ρ (t) ∈ L2 R2d .
¡ ¢
Beweis: Sei also ρ0 ∈ L2 R2d .
Dann folgt mit (2.3), dass k ρ0 kL2 (R2d ) = (2π)d k w0 kL2 (R2d ) . Somit ist also auch die
¡ ¢
Wigner-Transformierte von ρ0 in L2 R2d .
¡ ¢
Satz 3.6 liefert uns dann für alle Zeiten t ≥ 0 ein w (t)¡∈ L2¢ R2d .
Ebenfalls mit (2.3) erhalten wir dann, dass ρ (t) in L2 R2d liegt.
¤
Durch
(R (t) ψ) (x) :=
Z
Rd
ρ (x, y, t) ψ (y) dy
(4.2)
¡ ¡ ¢¢
¡ ¢
für alle ψ ∈ L2 Rd definieren wir einen Operator auf L L2 Rd , wie uns das nächste
Lemma zeigen wird.
Lemma 4.2¡ ¢
¡ ¡ ¢¢
Sei ρ0 ∈ L2 R2d . Dann folgt für alle t ≥ 0, dass R (t) ∈ L L2 Rd .
Beweis: Die Linearität von R (t) ist¡klar.
¢
Nehmen wir ein beliebiges ψ aus L2 Rd .
Z
Z
2
k R (t) ψ kL2 (Rd ) =
|
ρ (x, y, t) ψ (y) dy |2 dx
Rd
Rd
!2
¶ 12
Z ÃµZ
| ρ (x, y, t) |2 dy
≤
k ψ kL2 (Rd ) dx
d
d
R
R
= k ψ k2L2 (Rd ) k ρ (t) k2L2 (R2d )
31
Für ein festes t0 ≥ 0 gilt dann mit Lemma 4.1
k R (t0 ) ψ kL2 (Rd ) ≤ k ρ (t0 ) kL2 (R2d ) k ψ kL2 (Rd )
|
{z
}
=M <∞
¡ ¢
¡ ¢
Also ist R (t0 ) ψ ∈ L2 Rd und R (t0 ) ist ein stetiger Operator auf L2 Rd .
Da t0 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.
¤
An dieser Stelle möchten wir auch schon ein Lemma beweisen, dass uns eine Aussage
über die Selbstadjungiertheit von R (t) liefert.
Lemma 4.3¡ ¢
Für ρ0 ∈ L2 R2d gelte, dass ρ0 (x, y) = ρ0 (y, x). Dann ist der durch (4.2) definierte
Operator selbstadjungiert.
Beweis: Benutzen wir die Eigenschaft von ρ0 (x, y), um die gleiche Eigenschaft für
ρ (x, y, t) zu zeigen.
=(4.1)
=
=
ρ (x, y, t)
Z
1
R4d
µ
¶ ³
x+y
y0 ´
y0
G
t,
,
ξ,
x
,
ξ
,
x
−
ρ
x
+
0
0
0
0
0
2
2
2
(2π)d
e−iξ0 ·y0 eiξ·(x−y) dy0 dx0 dξ0 dξ
µ
¶ ³
1
y+x
G t,
, ξ, x0 , ξ0 ρ0 x0 −
d
2
R4d (2π)
eiξ0 ·y0 eiξ·(y−x) dy0 dx0 dξ0 dξ
µ
¶ ³
Z
1
y+x
G t,
, ξ, x0 , ξ0 ρ0 x0 +
d
2
R4d (2π)
Z
e−iξ0 ·z eiξ·(y−x) dzdx0 dξ0 dξ
=
ρ (y, x, t)
¡ ¢
Damit ergibt sich dann für beliebige ψ, κ ∈ L2 Rd :
y0 ´
y0
, x0 +
2
2
z´
z
, x0 −
2
2
h(R (t))∗ κ, ψiL2 (Rd ) = hκ, R (t) ψiL2 (Rd )
Z
=
κ (x) ρ (x, y, t) ψ (y) dydx
R2d
Z
=
ψ (y) ρ (y, x, t) κ (x) dxdy
R2d
= hψ, R (t) κiL2 (Rd )
= hR (t) κ, ψiL2 (Rd )
32
¤
Wir werden nun zwei Lemmata beweisen, mit denen wir ρ (x, y, t) (und somit auch
R (t)) in einer einfacheren Form darstellen können.
Lemma 4.4
Sei t > 0. Dann gilt die Formel:
¶
µ
Z
x+y
G t,
, ξ, x0 , ξ0 e−iξ0 ·y0 dξ0
2
d
R
x+y
´
³
|Q2 ( 2 ,ξ)−x0 |2
r
e2dγt
,ξ )− 2r3 (Q2 ( x+y
,ξ )−x0 )
−
− 4rλ |y0 |2 −iy0 · Q1 ( x+y
2
2
4r1
1
=
e 1
e
d e
2d (πr1 ) 2
(4.3)
Beweis: Quadratische Ergänzung und Anwenden der Formel (3.36).
¤
Lemma 4.5
Sei t > 0.
Falls γ ≥ ω0 oder falls (γ < ω0 und t 6=
Z
=
e
|Q2
2
( x+y
2 ,ξ)−x0 |
Rd
µ
e
−
4πr1 ω04
α̇2
−i
µ³
e
4r1
¶ d2
e
−
4
r1 ω 0
|
α̇2
µ
kπ
,k
ω
∈ N), so gilt die Formel:
³
r
−iy0 · Q1 ( x+y
,ξ )− 2r3
2
´
,ξ )−x0 ) iξ·(x−y)
(Q2 ( x+y
2
1
e
dξ
r3 α̇
β̇
2 − 2r1 ω 2
ω0
0
´
2α
ω0
β̇
β− αα̇β̇ y0 · x+y
+ α̇
x0 ·y0 + α̇
2
¶
y0 −(x−y)|2
ω2
(x+y)·(x−y)
− α̇0 x0 ·(x−y)
2
¶
(4.4)
Beweis: Variablentransformation und Anwenden der Formel (3.36).
¤
Durch Anwendung dieser beiden Lemmata auf ρ (x, y, t) lassen sich die Integrationen
über ξ0 und ξ ausführen.
Desweiteren führen wir zwei neue Abkürzungen ein, die im weiteren Verlauf für Übersichtlichkeit sorgen sollen.
µ (t) :=
β̇ (t)
r3 (t)
−
α̇ (t) 2r1 (t)
ν (t) := β (t) −
= −
(4.5)
α (t) β̇ (t)
α̇ (t)
ω02 e2γt
α̇ (t)
(4.6)
33
Führen wir also nun die beiden Integrationen aus.
ρ (x, y, t)
µ 2γt 2 ¶d Z
³
2
ω0
e ω0
y0
y0 ´
2 − λ |y |2
=
e−r1 |µy0 − α̇ (x−y)| e 4r1 0 ρ0 x0 + , x0 −
2π | α̇ |
2
2
R2d
e
µ
2α
ω0
y ·(x+y)
β̇
+ α̇
x0 ·y0 + α̇
−i ν 0 2
ω2
(x+y)·(x−y)
− α̇0 x0 ·(x−y)
2
¶
dx0 dy0
(4.7)
Mit der Variablentransformation w := x0 + y20 , z := x0 − y20 erhalten wir eine äquivalente Darstellung, die wir hier angeben möchten, da sie im weiteren Verlauf ebenfalls
gebraucht wird.
ρ (x, y, t)
µ 2γt 2 ¶d Z
2
ω0
e ω0
2 − λ |w−z|2
e−r1 |µ(w−z)− α̇ (x−y)| e 4r1
=
ρ0 (w, z)
2π | α̇ |
R2d
e
µ
(w−z)·(x+y)
β̇
−i ν
+ α̇
2
2α
ω0
ω 2 (w+z)·(x−y)
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
+ α̇
− α̇0
2
2
2
¶
dwdz(4.8)
, k ∈ N nicht zu vergessen, sei angemerkt,
Bemerkung: Um den Fall γ < ω0 , t = kπ
ω
dass nur in diesem Fall α̇ = 0 ist. Damit die Notationen im weiteren Verlauf nicht
durch weitere Fallunterscheidungen beeinträchtigt werden, wird, wenn wir die Formel
(4.7) oder (4.8) benutzen, dieser Fall nicht berücksichtigt. Wir werden aber jedes Mal
explizit darauf hinweisen und einige Berechnungen für diesen Fall im Anhang liefern.
4.2
Betrachtung des Operators R (t) in
J2s
¡
¡ d¢¢
L R
2
Durch S (t) R0 := R (t) definieren wir S (t). Die Menge {S (t)}t≥0 wird im weiteren
Verlauf die Rolle der konservativen quantendynamischen Halbgruppe aus Definition
3.1 übernehmen.
Zunächst betrachten wir diese Familie von Operatoren allerdings auf dem Raum der
selbstadjungierten Hilbert-Schmidt-Operatoren.
¡ 2 ¡ d ¢¢ Wie wir sofort erkennen, ist S (t) lines
ar und S (0) ist die Identität auf J2 L R , da S (0) R0 = R (0) = R0 gilt.
4.2.1
Positivität
¡ ¡ ¢¢
Wir zeigen nun, dass für einen positiven Operator R0 ∈ J2s L2 Rd R (t) für alle
t > 0 ebenfalls positiv ist. Diese Eigenschaft sichert uns die Positivitätserhaltung der
Halbgruppe {S (t)}t≥0 .
Proposition 4.6
Sei R0 ein positiver selbstadjungierter Hilbert-Schmidt-Operator. Dann ist für alle t > 0
R (t) ebenfalls positiv.
34
¡ ¢
Beweis: Wir zeigen dies für den Fall γ = 0 und wählen ψ ∈ L2 Rd beliebig.
hψ, R (t) ψiL2 (Rd )
Z
=
ψ (x) ρ (x, y, t) ψ (y) dxdy
R2d
µ 2γt 2 ¶d Z
2
ω0
e ω0
2 − λ |w−z|2
ρ0 (w, z) ψ (y)
=
ψ (x) e−r1 |µ(w−z)− α̇ (x−y)| e 4r1
2π | α̇ |
R4d
e
µ
(w−z)·(x+y)
β̇
−i ν
+ α̇
2
2α
ω0
ω 2 (w+z)·(x−y)
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
+ α̇
− α̇0
2
2
2
¶
dwdzdxdy
Für γ = 0 gilt:
ω02
α̇
2
β̇ = ω0 α
ν = −
Damit ergibt sich dann:
µ 2γt 2 ¶d Z
2
2α
2
ω0
ω0
ω0
e ω0
2
2
2 − λ w2
=
ψ (x) ei α̇ w·x−i α̇ (x +w ) e−r1 |µw− α̇ x| e 4r1
2π | α̇ |
R4d
e
¶µ
¶
µ
ω2
ω2
2r1 µw− α̇0 x · µz− α̇0 y
ψ (y) e
2α
ω2
ω0
−i α̇0 z·y+i α̇
λ
e 2r1
w·z
ρ0 (w, z)
2
(y2 +z2 ) e−r1 |−µz+ ωα̇0 y|2 e− 4rλ1 z2 dwdzdxdy
Mitµder Potenzreihendarstellung
der Exponentialfunktion lassen sich e
¶µ
¶
e
2r1
ω2
µw− α̇0 x
·
ω2
µz− α̇0 y
2 4rλ w·z
1
und
in folgender Form darstellen:
³ ´m
λ
∞
X
λ
2r1
w·z
2r1
e
=
(w · z)m
m!
m=0
¶µ
¶
µ
¶ µ
¶¶n
µµ
2
2
∞
ω0
ω0
X
2r1 µw− α̇ x · µz− α̇ y
(2r1 )n
ω02
ω02
=
µw − x · µz − y
e
n!
α̇
α̇
n=0
Betrachten wir den Fall d = 3, so gilt weiterhin:
n
(a · b) =
n X
k µ ¶µ ¶
X
n k
k=0 j=0
k
j
(a1 b1 )n−k (a2 b2 )k−j (a3 b3 )j
35
Hierbei ist mit am , bm , m ∈ {1, 2, 3} die m-te Komponente von a ∈ R3 beziehungsweise
b ∈ R3 gemeint.
Somit ergibt sich
³ ´m
µ ¶µ ¶
∞
m
l
X X X 2rλ1
λ
l
m
w·z
2r1
(w1 z1 )m−l (w2 z2 )l−s (w3 z3 )s
e
=
s
l
m!
m=0 l=0 s=0
und
µ
¶µ
¶
ω2
ω2
2r1 µw− α̇0 x · µz− α̇0 y
e
µ ¶µ ¶ µµ
k
n X
∞ X
X
(2r1 )n n k
¶ µ
¶ ¶n−k
ω02
ω02
=
µz − y
µz − y
n!
α̇
α̇
k
j
1
1
n=0 k=0 j=0
µµ
¶
µ
¶
¶
µµ
¶ µ
¶ ¶j
k−j
ω02
ω02
ω02
ω02
µz − y
µz − y
µz − y
µz − y
α̇
α̇
α̇
α̇
2
2
3
3
P
Mit Satz 2.7 und Satz 2.14 lässt sich ρ0 (w, z) =
n λn φn (z) φn (w) mit positiven
λn schreiben. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass
ρ0 (w, z) = φ (z) φ (w).
Zusätzlich führen wir die Abkürzung
ω2
2
ω0
α̇
2
2
−r |µw− α̇0 x|2 − 4rλ w2 m−l l−s s
1
an,k,j,m,l,s (x, w, t) := φ (w) ψ (x) e (w·x−α(x +w )) e 1
w1 w2 w3
µ
¶
¶
¶j
µ
µ
n−k
k−j
2
2
2
ω
ω
ω
µw − 0 x
µw − 0 x
µw − 0 x
α̇
α̇
α̇
1
2
3
i
ein.
=
µ
2γt
ω02
e
2π | α̇ |
¶d X
∞ X
n X
k X
∞ X
m X
l
n=0 k=0 j=0 m=0 l=0 s=0
Z
R4d
(2r1 )
n!
n
³
λ
2r1
´m
m!
µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶
n k
m
l
k
j
l
s
an,k,j,m,l,s (x, w) an,k,j,m,l,s (y, z) dwdzdxdy
Mit
bn,k,j,m,l,s (t) :=
Z
R2d
an,k,j,m,l,s (x, w) dwdx
wird der Term
Z
an,k,j,m,l,s (x, w) an,k,j,m,l,s (y, z) dwdzdxdy = bn,k,j,m,l,s (t) bn,k,j,m,l,s (t) ≥ 0
R4d
Da sowohl r1 als auch
λ
r1
36
nach (3.38) und (3.40) positiv sind, gilt also:
hψ, R (t) ψiL2 (Rd ) ≥ 0
Für alle anderen Fälle verweisen wir auf [AS04] und die darin enthaltenen Referenzen.
¤
Bemerkung: Für den Fall 0 ≤ γ < ω0 mit t = kπ
, k ∈ N lässt sich die Behauptung der
ω
Proposition ebenfalls recht einfach zeigen. Wir geben daher den Beweis für diesen Fall
in Anhang D.1 an.
4.2.2
Halbgruppeneigenschaft
S (t) erfüllt die Halbgruppeneigenschaft S (s + t) = S (s) S (t), wie uns die folgende
Proposition zeigen wird.
Proposition 4.7
Für alle t, s ≥ 0 gilt die folgende Halbgruppeneigenschaft für S (t):
S (s + t) = S (s) S (t)
Beweis: Wir definieren die folgenden Abkürzungen:
p1 (s, t, x, y, x0 , y0 ) := ν (s)
ω 2 x0 + y 0
x+y
− 0
2
α̇ (t) 2
β̇ (s) ω02 α (t)
+
α̇ (s)
α̇ (t)
ω2
p3 (s, t, x, y, x0 , y0 ) := − 0 (x − y) + ν (t) (x0 − y0 )
α̇ (s)
ω 4 r1 (t)
λ (s)
p4 (s, t) := −r1 (s) µ (s)2 −
− 0 2
4r1 (s)
α̇ (t)
2
2
2ω r1 (t) µ (t)
2ω0 r1 (s)
(x − y) + 0
(x0 − y0 )
p5 (s, t, x, y, x0 , y0 ) :=
α̇ (s)
α̇ (t)
R
2
Lösen wir zunächst R2d ep4 b +p5 ·b e−i(p1 ·b+p2 a·b+p3 ·a) dadb.
Z
2
ep4 b +p5 ·b e−i(p1 ·b+p2 a·b+p3 ·a) dadb
2d
Z
ZR
p4 b2 +p5 ·b −ip1 ·b
e−ia·(p2 b+p3 ) dadb
=
e
e
p2 (s, t) :=
Rd
Rd
d
Z
37
2
ep4 b +p5 ·b e−ip1 ·b δ (p2 · b + p3 ) db
Rd
Z
³
´2
z−p
z−p
p
1
p4 p 3 +p5 p 3 −i p1 (z−p3 )
d
2
2 e
2
e
δ (z) dz
= (2π)
| p 2 | d Rd
= (2π)
2
p4 p3
p p
− 5p 3 i p1 p3
1
p2
2
2
e
e p2
= (2π)
| p 2 |d
d
Nun betrachten wir den Kern von S (s) (S (t) R0 ).
Wir nehmen die Variablentransformation a := w+z
, b := w − z und wenden obige
2
Formel an:
µ 2γs 2 ¶d
e ω0
2π | α̇ (s) |
Z
2
ω0
2 − λ(s) |w−z|2
e−r1 (s)|µ(s)(w−z)− α̇(s) (x−y)| e 4r1 (s)
R2d
µ
β̇(s)
(w−z)·(x+y)
+ α̇(s)
−i ν(s)
2
e
Z
2 α(s)
2
ω0
ω0
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
(w+z)·(x−y)
+ α̇(s)
− α̇(s)
2
2
2
2
ω0
2
e−r1 (t)|µ(t)(x0 −y0 )− α̇(t) (w−z)| e
R2d
µ
(x −y )·(w+z)
β̇(t)
+ α̇(t)
−i ν(t) 0 02
λ(t)
|x0 −y0 |2
1 (t)
¶
µ
e2γt ω02
2π | α̇ (t) |
− 4r
2 α(t)
2
ω0
ω0
(x0 +y0 )·(x0 −y0 )
(x0 +y0 )·(w−z)
(w+z)·(w−z)
+ α̇(t)
− α̇(t)
2
2
2
¶
e
ρ0 (x0 , y0 ) dx0 dy0 dwdz
µ
¶d
e2γ(s+t) ω04
=
4π 2 | α̇ (s) || α̇ (t) |
¶
µ 2
Z
³
´
4
ω0 α(s) (x+y)·(x−y)
β̇(t) (x0 +y0 )·(x0 −y0 )
r1 (s)ω0
λ(t)
2
2
2 −i
+
−
(x−y) − r1 (t)µ(t) + 4r (t) (x0 −y0 )
α̇(s)
2
α̇(t)
2
1
e α̇(s)2
e
2d
R
Z
2
ep4 b +p5 ·b e−i(p1 ·b+p2 a·b+p3 ·a) dadbdx0 dy0
ρ0 (x0 , y0 )
=
µ
Z
R2d
e2γ(s+t) ω04
2π | α̇ (s) || α̇ (t) || p2 (s, t) |
e
R2d
−
¶d
³
´
4
r1 (s)ω0
λ(t)
(x−y)2 − r1 (t)µ(t)2 + 4r (t) (x0 −y0 )2
α̇(s)2
1
ρ0 (x0 , y0 ) e
p4 p2
3 − p5 p3
p2
p2
2
e
i
p1 p3
p2
e
−i
µ
2 α(s)
ω0
(x+y)·(x−y)
β̇(t) (x +y )·(x −y )
+ α̇(t) 0 0 2 0 0
α̇(s)
2
dx0 dy0
Der Kern von S (s + t) R0 lautet andererseits:
¶d
µ
e2γ(s+t) ω02
2π | α̇ (s + t) |
Z
2
ω0
λ(s+t)
−r1 (s+t)|µ(s+t)(x0 −y0 )− α̇(s+t)
(x−y)|2 − 4r (s+t) |x0 −y0 |2
ρ0 (x0 , y0 )
e
e 1
R2d
¶
¶d
e
µ
(x −y )·(x+y)
β̇(s+t)
−i ν(s+t) 0 02
+ α̇(s+t)
38
2 α(s+t)
2
ω0
ω0
(x0 +y0 )·(x0 −y0 )
(x0 +y0 )·(x−y)
(x+y)·(x−y)
+ α̇(s+t)
− α̇(s+t)
2
2
2
¶
dx0 dy0
Wir vergleichen jetzt die einzelnen Terme dieser beiden Kerne und können so auf die
Behauptung schließen.
¤
Bemerkung: Eine ausführliche Rechnung für den 3. Fall (siehe (3.31)) befindet sich im
Anhang B.
Bemerkung: Wir haben den Fall γ < ω0 , t = kπ
, k ∈ N an dieser Stelle nicht betrachtet.
ω
Es lässt sich aber zeigen, dass auch in diesem Fall die Halbgruppeneigenschaft aus dem
Satz erfüllt ist.
4.2.3
¡ ¡ ¢¢
Zeitstetigkeit bezüglich der J2 L2 Rd -Norm
Zunächst zeigen wir, dass der Kern von R (t) stetig in der Zeit ist.
Lemma 4.8¡ ¢
Für ρ0 ∈ L2 R2d ist ρ (t) stetig in t auf R+
0 bezüglich k · kL2 (R2d ) .
¡ ¢
¢
¡
Beweis: Da ρ0 ∈ L2 R2d¡ , folgt,¡ dass¢¢w0 ∈ L2 R2d . Mit dem Satz 3.6 erhalten wir
2
die Aussage, dass w ∈ C R+
R2d .
0 ;L
Sei ε > 0 gewählt.
Für alle t ≥ 0 folgt dann
k ρ (t + ε) − ρ (t) k2L2 (R2d )
x,y
µ
¶
µ
¶
Z
Z
x+y
x+y
iξ·(x−y)
= k
w
, ξ, t + ε e
dξ −
w
, ξ, t eiξ·(x−y) dξ k2L2 (R2d )
x,y
2
2
Rd
Rd
Mit der Transformation v :=
x+y
,
2
k ρ (t + ε) − ρ (t) k2L2 (R2d )
x,y
z := y − x folgt dann:
=
=
k Fξ→z (w) (t + ε) − Fξ→z (w) (t) k2L2 (R2d )
v,z
(2π)
2d
k w (t + ε) − w (t)
k2L2 (R2d )
x,ξ
→ε→0 0
¤
¡ ¡ ¢¢
Hieraus erhalten wir nun die Zeitstetigkeit für den Operator R (t) in J2s L2 Rd .
Proposition¡ 4.9¡ ¢¢
Sei R0 ∈ J2s L2 Rd . Dann ist R (t) stetig in t (für alle t ≥ 0) bezüglich k · k2 .
¡ ¢
¡ ¡ ¢¢
Beweis: Für R0 ∈ J2s L2 Rd wissen wir, dass das zugehörige ρ0 ∈ L2 R2d ist.
39
¡ ¡ ¢¢
¡ ¢
Nach Lemma 4.1 ist ρ (t) ∈ L2 R2d und R (t) in J2s L2 Rd (siehe Satz 2.14 und
Formel (4.2) sowie Lemma 4.3).
Lemma 4.8 liefert uns, dass ρ (t) stetig in t auf R+
0 bezüglich k · kL2 (R2d ) .
Wählen wir ein t0 ≥ 0.
Mit Satz 2.14 folgt dann:
lim k R (t0 + ε) − R (t0 ) k2 = lim k ρ (t0 + ε) − ρ (t0 ) kL2 (R2d )
ε→0
ε→0
= 0
¡ ¡ d ¢¢
Also ist R (t) stetig in t0 bezüglich der J2 L2 R
¡ + -Norm.
¡ ¡ ¢¢¢
Da t0 beliebig gewählt war, ist somit R (t) ∈ C R0 ; J2 L2 Rd .
4.2.4
¤
¡ ¡ ¢¢
Zusammenfassung einiger Eigenschaften in J2s L2 Rd
An dieser Stelle möchten wir einige Eigenschaften des Operators R (t) zusammenfassen.
Es hat sich nämlich gezeigt, dass unser Operator R (t) ein selbstadjungierter HilbertSchmidt-Operator ist, falls denn unsere Anfangsbedingung R0 ein selbstadjungierter
Hilbert-Schmidt-Operator ist.
¡ ¡ ¢¢
Außerdem
ist¡ unser
Operator R (t) stetig in t mit Werten in J2s L2 Rd , falls
¢¢
¡
R0 ∈ J2s L2 Rd ist.
Im nächsten Satz zeigen wir weiterhin, dass R (t) für alle Zeiten t ≥ 0 existiert.
Falls zusätzlich R0 positiv ist, so hat R (t) ebenfalls diese Eigenschaft.
Diese Tatsachen fassen wir nun im folgenden Satz zusammen.
Satz 4.10 ¡ ¡ ¢¢
Sei R0 ∈ J2s L2 R¡d .¡ Dann
¢¢ ist {S (t)}t≥0 eine stark stetige Halbgruppe von linearen
Operatoren auf J2s L2 Rd . Weiterhin gilt, dass k R (t) k2 ≤k R0 k2 .
Falls R0 zusätzlich positiv ist, so ist auch R (t) für alle Zeiten positiv.
Beweis:
¡ ¡ ¢¢
Sei also R0 ∈ J2s L2 Rd .
Da R0 selbstadjungiert ist, hat der Kern ρ0 die Eigenschaft ρ0 (x, y) = ρ0 (y, x). Nach
Lemma 4.3 ist dann der Operator R (t) ebenfalls
selbstadjungiert.
¡
¡ 2 ¡ d ¢¢¢
.
R
Proposition 4.9 liefert uns, dass R (t) ∈ C R+
;
J
2 L
0
Zusammmen mit der Halbgruppeneigenschaft aus
4.7 wissen wir also, dass
¡ ¢¢
¡ Proposition
{S (t)}t≥0 eine stark stetige Halbgruppe auf J2s L2 Rd ist.
¡ ¡ ¢¢
Betrachten wir nun die J2 L2 Rd -Norm von R (t). Wir benutzen hierbei je zweimal
die Formel (2.3) und die Aussage des Satzes 2.14.
k R (t) k2 = k ρ (t) kL2 (R2d )
40
= (2π)d k w (t) kL2 (R2d )
≤ (2π)d k w0 kL2 (R2d )
= k ρ0 kL2 (R2d )
= k R 0 k2
Die Ungleichung k w (t) kL2 (R2d ) ≤k w0 kL2 (R2d ) haben wir hierbei aus dem Beweis von
Korollar 3.1 aus [SCDM04] entnommen.
Sei nun zusätzlich R0 positiv. Dann folgt die Positivität von R (t) mit Proposition 4.6.
¤
4.3
4.3.1
Betrachtung des Operators R (t) in
Spurklasse-Norm-Erhaltung
J1s
¡
¡ d¢¢
L R
2
Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass für einen positiven selbstadjungierten SpurKlasse-Operator R0 und für alle t ≥ 0 der Operator R (t) ebenfalls ein positiver,
selbstadjungierter Spurklasse-Operator ist, der folgende Gleichung erfüllt
Z
k R (t) k1 =
ρ (x, x, t) dx
d
ZR
=
ρ0 (x, x) dx
Rd
= k R 0 k1
Hierzu benötigen wir die Stetigkeit von ρ (x, y, t) in (x, y). Um diese zu zeigen, brauchen
wir zunächst das folgende Lemma.
Lemma 4.11
Für die Greensche Funktion (3.37) gilt:
Z
¢
¡
G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) dξ ∈ L2 R2d
x0 ,ξ0
Rd
Beweis: Für den Beweis benötigen wir die Formel
Z
³ π ´ d2 |b|2
2
e 4c
∀a,b∈Rd ∀c∈(0,∞)
e−c|a| +a·b da =
c
Rd
Durch Zuhilfenahme von (4.9) lässt sich nun G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) über ξ integrieren.
Z
G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) dξ
Rd
(4.9)
=
=
µ
µ
Z
=
e
2π
e2γt
2π
¶d
e−
Rd
µ
e
¶
2γt d
e2γt
2π
Ã
d
λ− 2
Z
r1 |βx+
e−
Ã
!Ã
!
β̇
β̇
2 +r |αx+ α̇ ξ−x |2 −r
α̇ ξ−x
βx+
·
αx+
ξ−ξ
|
ξ−ξ
0
2
0
3
0
0
2
2
2
2
ω0
ω0
ω0
ω0
λ
41
dξ
Rd
d
λ− 2 e −
r1 |βx−ξ0 |2 +r2 |αx−x0 |2 −r3 (βx−ξ0 )·(αx−x0 )
λ
!
Ã
Ã
!!
β̇
β̇
β̇ 2
α̇β̇
2
α̇2
α̇
α̇
·ξ
4 r1 + ω 4 r2 − ω 4 r3 |ξ| + 2r1 ω 2 (βx−ξ0 )+2r2 ω 2 (αx−x0 )−r3 ω 2 (αx−x0 )+ ω 2 (βx−ξ0 )
ω0
0
0
0
0
0
0
λ
¶d
λ
− d2
µ
πλω04
β̇ 2 r1 + α̇2 r2 − α̇β̇r3
¶ d2
e−
dξ
r1 |βx−ξ0 |2 +r2 |αx−x0 |2 −r3 (βx−ξ0 )·(αx−x0 )
λ
|2r1 β̇(βx−ξ0 )+2r2 α̇(αx−x0 )−r3 (β̇(αx−x0 )+α̇(βx−ξ0 ))|2
4λ(β̇ 2 r1 +α̇2 r2 −α̇β̇r3 )
³
2
2
´
Es bleibt zu zeigen, dass 4λ β̇ r1 + α̇ r2 − α̇β̇r3 > 0 ist.
Für den Fall γ < ω0 , t = kπ
, k ∈ N ist α̇ = 0 und β̇ 6= 0.
ω
Da nach Lemma 3.4 λ > 0 und r1 > 0, ist also auch 4λβ̇ 2 r1 > 0.
In allen anderen Fällen betrachten wir die Ungleichungen (3.40) und (3.41).
Es gilt:
¢
¡
α̇2 4r1 r2 − r32 > 0 ⇔ 4β̇ 2 r12 + 4α̇2 r1 r2 − 4α̇β̇r1 r3 > 4β̇ 2 r12 − 4β̇ α̇r1 r3 + α̇2 r32
4β̇ 2 r12 − 4β̇ α̇r1 r3 + α̇2 r32
r1
³
´
⇔ 0>− +
λ
2
2
4λ β̇ r1 + α̇ r2 − α̇β̇r3
R
von
|
Somit ist der ξ02 -Term in der Exponentialfunktion
G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) dξ |2 negativ
Rd
R
und es folgt mit der Formel (4.9), dass | Rd G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) dξ |2 über ξ0 integrierbar
ist.
Nochmaliges Anwenden von (4.9) für x0 auf das Ergebnis der ξ0 -Integration liefert dann
die Behauptung aus dem Lemma.
¤
Nun können wir uns mit der Stetigkeit von ρ (x, y, t) in (x, y) befassen und kommen zu
folgendem Lemma.
Lemma 4.12
¡ ¢
¡ ¢
Sei ρ0 ∈ L2 R2d . Dann ist für alle t > 0 ρ (t) ∈ C R2d .
Beweis: Zu unserem ρ0 erhalten wir mit Hilfe der Wigner-Transformation ein w0 und
dann mit dem Satz 3.6 die Lösung w¡ (t). ¡ ¢¢
Zunächst zeigen wir, dass w (t) ∈ C Rdx ; L1 Rdξ .
Sei xn ∈ Rd für alle n ∈ N mit limn→∞ xn = 0, dann gilt:
Z
| w (x + xn , ξ, t) − w (x, ξ, t) | dξ
Rd
=
Z
Z
Rd
|
Z
Z
R2d
42
(G (t, x + xn , ξ, x0 , ξ0 ) − G (t, x, ξ, x0 , ξ0 )) w0 (x0 , ξ0 ) dx0 dξ0 | dξ
| G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) − G (t, x + xn , ξ, x0 , ξ0 ) || w0 (x0 , ξ0 ) | dx0 dξ0 dξ
Z
| G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) − G (t, x + xn , ξ, x0 , ξ0 ) | dξ kL2 (R2d )
≤ k w0 kL2 (R2d ) k
≤
Rd
R2d
x0 ,ξ0
Rd
Hierbei wurde beim letzten Schritt, die Höldersche Ungleichung (siehe [El02]) verwendet.
Nach Lemma 2.18 und der Voraussetzung des Lemmas gilt:
k w0 kL2 (R2d ) = (2π)−2d k ρ0 kL2 (R2d ) < ∞
Mit Hilfe des Lemmas 4.11 und der Stetigkeit von G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) in x, wissen wir,
dass
Z
| G (t, x, ξ, x0 , ξ0 ) − G (t, x + xn , ξ, x0 , ξ0 ) | dξ kL2 (Rx ,ξ ) = 0
lim k
n→∞
0
Rd
0
¡
¡ ¢¢
Somit können wir folgern, dass w (t) in C Rdx ; L1 Rdξ liegt.
Daraus schließen¡ wir, dass
¢¢ Fouriertransformierte Fξ→η w (x, η, t) von w (x, ξ, t) eine
¡ ddie
d
Funktion aus C Rx ; C0 Rη ist.
Z
Fξ→η w (x, η, t) =
w (x, ξ, t) e−iξη̇ dξ
Rd
³
η
η ´
= ρ x − ,x + ,t
2
2
Somit ist also auch ρ (t) in beiden Variablen stetig.
¤
Proposition¡ 4.13
¡ d ¢¢
positiv. Dann gilt für alle t ≥ 0:
Sei R0 ∈ J¡1s L¡2 R¢¢
d
s
2
R (t) ∈ J1 L R , R (t) ist positiv und
Z
Z
ρ0 (x, x) dx =k R0 k1
ρ (x, x, t) dx =
k R (t) k1 =
Rd
Rd
Beweis: Die Positivität
¡ 2 ¡ d ¢¢ von R (t) folgt aus dem Satz 4.10,
¢¢ die Selbstadjungiertheit
¡ 2 ¡ dund
s
s
R0 auch in J2 L R .
da mit R0 ∈ J1 L R
Fixieren wir ein
0.
¡ ¡ ¢¢
¡ 2t0¡ ≥d ¢¢
s
Aus R0 ∈ J1¡ L¡ R¢¢ folgt, dass R0 ∈ J2s L2 Rd . Somit
¡ ¢erhalten wir ein
R (t0 ) ∈ J2s L2 Rd bzw. das dazugehörige ρ (t0 ) ∈ L2 R2d .
43
Nach Lemma 4.12 wissen wir, dass, ρ (x, y, t0 ) stetig in x und y ist und nach Proposition
4.6 erhalten wir:
Z
∀ψ∈L2 (Rd )
ψ (x) ρ (x, y, t0 ) ψ (y) dxdy ≥ 0
R2d
¡ ¡ ¢¢
Da R0 in J1s L2 Rd liegt, lässt sich nach Satz 2.7 und Satz 2.14 ρ0 (x, y) in der Form
P
ρ0 (x, y) = n λn φn (x) φn (y) schreiben. Mit der Formel (4.8) gilt dann, dass
Z
ρ (x, x, t0 ) dx
Rd
Z µ 2γt0 2 ¶d Z
´
³
³
´
β̇ (w+z)·(w−z)
e ω0
− r1 µ2 + 4rλ |w−z|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
1
e
e
ρ0 (w, z) dwdzdx
=
2π | α̇ |
R2d
Rd
Ã
!
µ 2γt0 2 ¶d Z
³
´
X
e ω0
− r1 µ2 + 4rλ |w−z|2 −i β̇ (w+z)·(w−z)
2
1
e
e α̇
λn φn (w) φn (z)
=
2π | α̇ |
R2d
n
Z
e−iν(w−z)·x dx dwdz
d
|R
{z
}
2π d
( |ν| ) δ(w−z)
!
Ã
¶d Z
µ 2γt0 2 ¶d µ
³
´
X
λ
2
2
(w+z)·(w−z)
β̇
2π
e ω0
− r µ +
|w−z| −i
2
e 1 4r1
e α̇
λn φn (w) φn (z)
=
2π | α̇ |
|ν|
R2d
n
=
=
Z
Z
Rd
Rd
Ã
X
δ (w − z) dwdz
!
λn φn (z) φn (z) dz
n
ρ0 (z, z) dz
< ∞
¡ 2 ¡ d ¢¢
Theorem 2.12 aus
R [Si05] liefert unsRdann einen eindeutigen Operator At0 in J1 L R
mit k At0 k1 = Rd ρ (x, x, t0 ) dx = Rd ρ0 (x, x) dx =k R0 k1 .
Aufgrund der Tatsache, dass
der Kern von R (t0 ) ist und At0 eindeutig ist, stim¡ 0 )d ¢¢
¡ ρ2 (t
s
überein.
men At0 und R (t0 ) auf J1 L R
Da t0 ≥ 0 beliebig gewählt wurde, erhalten wir die Aussage der Proposition.
¤
R
Bemerkung: Bei der Berechnung von Rd ρ (x, x, t) haben wir die Formel (4.8) benutzt.
Eine Rechnung für den Fall γ < ω0 , t = kπ
, k ∈ N wird im Anhang D.2 gegeben.
ω
4.3.2
44
¡ ¡ ¢¢
Zeitstetigkeit bezüglich der J1 L2 Rd -Norm
Wir zitieren an dieser Stelle das Theorem 2.20 aus [Si05] mit p = 1.
Satz 4.14
Für die Operatoren An und A seien die Voraussetzungen
An
| An |
| A∗n |
k A n k1
*
*
*
→
A
|A|
| A∗ |
k A k1
erfüllt.
Dann gilt:
k An − A k 1 → 0
Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich nun die folgende Aussage über die Stetigkeit von R (t)
in t bezüglich k · k1 leicht beweisen.
Proposition¡4.15
¡ ¢¢
Sei R0 ∈ J1s L2 Rd positiv. Dann gilt: R (t) ist stetig in t für alle t ≥ 0 bezüglich
k · k1 .
Beweis: Sei t0 ≥ 0 fest. Zu t0 wählen wir eine beliebige Folge (tn )n=1,2,... in R mit
limn→∞ tn = 0 und t0 + tn ≥ 0 für alle n ∈ N.
Wir setzen dann An := R (t0 + tn ) und A := R (t0 ).
Da sowohl R (t0 + tn ) als auch R (t0 ) selbstadjungiert und positiv sind (siehe Satz 4.10),
gilt:
An = A∗n =| An |,
A = A∗ =| A |
¡ ¢
¡ + 2 ¡ 2d ¢¢
liegen, folgt für alle ψ, κ ∈ L2 Rd
Da die zu R (·) gehörigen ρ (·) in C R0 ; L R
Z
Z
ρ (x, y, t0 + tn ) κ (y) dydx
ψ (x)
=
hψ, An κiL2 (Rd )
d
d
ZR
ZR
→n→∞
ρ (x, y, t0 ) κ (y) dydx
ψ (x)
=
Rd
Rd
hψ, AκiL2 (Rd )
Weiterhin gilt nach Proposition 4.13:
k An k1 =k R0 k1 =k A k1
Somit folgt mit dem Satz 4.14, dass
lim k An − A k1 = 0
n→∞
¤
4.3.3
45
¡ ¡ ¢¢
Zusammenfassung einiger Eigenschaften in J1s L2 Rd
Mit den bisher gezeigten Eigenschaften können wir nun schließen, dass für einen selbstadjungierten Spurklasse-Operator R0 der in (4.2) erzeugte Operator R (t) ebenfalls ein
selbstadjungierter Spurklasse-Operator ist, der auf R+
0 stetig in t bezüglich der k · k1 Norm ist.
Weiterhin können wir aussagen, dass {S (t)}t≥0 , generiert durch den Evolutionsoperator L (siehe (3.1)), eine eindeutige konservative quantendynamische Halbgruppe ist.
Diese Halbgruppe ergibt die eindeutige Lösung unserer Gleichung (3.1).
Satz 4.16
Sei R0 ein selbstadjungierter Spurklasse-Operator und es gelten die Bedingungen (3.6)(3.10).
¡ ¡ ¢¢
Dann ist {S (t)}t≥0 eine konservative quantendynamische Halbgruppe auf J1s L2 Rd
und R (t) ist¡ die eindeutige
der Gleichung (3.1) mit der Anfangsbedingung R0
¢¢¢
¡ 2 ¡ dLösung
s
.
R
L
im Raum C R+
;
J
0
1
Beweis: Zunächst stellen wir fest, dass sich ein selbstadjungierter Spurklasse-Operator
A in einen Positivteil und einen Negativteil teilen lässt.
A = A + − A−
Wir können A± so wählen, dass A± selbstadjungiert sind, A± ≥ 0 und
T r (| A |) = T r (| A+ |) + T r (| A− |) (siehe [RS80]).
Aufgrund der Erhaltung der Positivität (siehe Proposition 4.6) und der Aussage von
Proposition 4.13 können wir also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen,
dass R0 ≥ 0 und R (t) ≥ 0.
Aufgrund der Selbstadjungiertheit von R (t) (siehe Proposition 4.13), der Halbgruppengeigenschaft
(siehe Proposition 4.7) und der Stetigkeit von R (t) in t bezüglich der
¡ ¡ ¢¢
(t)}t≥0 , definiert durch
J1 L2 Rd -Norm, können wir schließen, dass die Menge
¡ 2 ¡{Sd ¢¢
s
ist.
S (t) R0 := R (t), eine stark stetige Halbgruppe auf J1 L R
Da R0 ≥ 0 ist, ist nach Proposition 4.6 auch R (t) positiv.
Weiterhin gilt nach Proposition 4.13 und der Positivität von R0 und R (t):
T r(R (t)) =k R (t) k1 =k R0 k1 = T r (R0 )
¡ ¡ ¢¢
Also ist {S (t)}t≥0 eine konservative quantendynamische Halbgruppe auf J1s L2 Rd .
¡ ¡ ¢¢
Die Existenz von R (t) in J1s L2 Rd für alle Zeiten t ≥ 0 wird uns durch
T r (R (t)) = T r (R0 ) gegeben.
¡ 2 ¡ d ¢¢¢
¡
s
.
R
;
J
Somit ist R (t) eine Lösung der Gleichung (3.1) in C R+
0
1 L
Angenommen, wir hätten zwei globale Lösungen R1 (t) und R2 (t) zu der Anfangsbedingung R0 .
46
Wir betrachten dann die Differenz P (t) = R1 (t)−R2 (t). Die Anfangsbedingung dieser
Differenz wäre 0. Somit wäre der Kern von P (t) fast überall 0. Also ist der Kern von
R1 (t) fast überall gleich dem Kern von R2 (t). Wir erhalten somit R1 (t) = R2 (t).
Unsere Lösung ist also eindeutig.
¤
4.4
Betrachtung des Operators R (t) im Energieraum E
Die kinetische Energie eines Quantensystems lässt sich für den Dichte-Matrix-Operator
A in folgender Art darstellen:
1
1
Ekin (A) := − T r (∆x A) = T r (| ∇ | A | ∇ |) ≥ 0
2
2
√
Hierbei ist | ∇ ¡|:= ¢ −∆ ein Pseudo-Differential-Operator mit dem Symbel | η |. Dieser
−1
(| η | (Fx→η ψ) (η)) ([Ar06]).
ist für ψ ∈ H 1 Rd definiert durch (| ∇ | ψ) (x) = Fη→x
Die potentielle Energie ist durch den Ausdruck
1
Epot (A) := T r (| x | A | x |) ≥ 0
2
gegeben.
Wir definieren den Energieraum (siehe [AS04])
p
¡ ¡ ¢¢
¡ ¡ ¢¢ p
E := {A ∈ J1s L2 Rd | 1 − ∆+ | x |2 A 1 − ∆+ | x |2 ∈ J1s L2 Rd }
p
Zur Abkürzung des Pseudo-Differentialoperators 1 − ∆+ | x |2 verwenden wir das
Symbol Υ.
Führen wir zusätzlich die Energie-Norm
p
p
k A kE :=k 1 − ∆+ | x |2 A 1 − ∆+ | x |2 k1
für ein A aus E ein, so wird E mit dieser Norm zu einem Banachraum.
Wir können A ∈ E in einen “Positivteil” und einen “Negativteil” splitten.
A = A 1 − A2
Hierbei sind die Operatoren A1 und A2 definiert durch
A1,2 := Υ−1 (ΥAΥ)± Υ−1
(4.10)
47
und (ΥAΥ)¡± sind
¢¢ Positivteil beziehungsweise Negativteil von
¡ dder
2
s
(siehe [RS80]).
ΥAΥ ∈ J1 L R
Es gilt (siehe [AS04]):
A1,2 ∈ E,
A1,2 ≥ 0,
k A kE =k A1 kE + k A2 kE
Für positive Operatoren A ∈ E gilt weiterhin:
k A kE =k A k1 + k| ∇ | A | ∇ |k1 + k| x | A | x |k1 = T r (A) + 2Ekin (A) + 2Epot (A)
4.4.1
Energieraum-Erhaltung
Im folgenden Lemma werden wir eine Aussage treffen, unter welchen Voraussetzungen
an unsere Anfangsbedingung R0 R (t) im Energieraum E liegt.
Es gilt nämlich, dass, wenn unsere Anfangsbedingung R0 ein selbstadjungierter SpurklasseOperator ist, der im Energieraum E liegt, so ist auch R (t) ein Operator aus dem Energieraum E.
Proposition 4.17
Sei R0 ∈ E. Dann ist R (t) ein Operator aus E.
Beweis: Aufgrund der Splittung (4.10) und der Positivitätserhaltung der quantendynamischen Halbgruppe {S (t)}t≥0 (siehe Satz 4.16) können wir uns ohne Beschränkung
der Allgemeinheit auf den Fall R0 ≥ 0 und somit R (t) ≥ 0 beschränken.
1. Teil:
¡ ¡ ¢¢
Da R0 ∈ E, ist R0 ∈ J1s L2 Rd .
¡ ¡ ¢¢
Nach Proposition 4.13 gilt dann, dass R (t) ∈ J1s L2 Rd mit k R (t) k1 =k R0 k1 < ∞.
2. Teil:
In diesem Teil des ¡Beweises
zeigen wir, dass T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) < ∞.
¢
Da für alle ψ ∈ L2 Rd gilt, dass
(| ∇ | R (t) | ∇ |) ψ (y) = − (∇R (t) ∇) ψ (y)
Z
ρ (x, y, t) ∇y ψ (y) dy
= −∇x ·
Rd
Z
(∇y ρ (x, y, t)) ψ (y) dy,
= ∇x ·
Rd
erhalten wir für die Spur von | ∇ | R (t) | ∇ | das folgende Integral
Z
T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) =
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
Benutzen wir die Darstellung (4.8) für ρ (x, y, t), so erhalten wir
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x)
=
µ
e2γt ω02
2π | α̇ |
¶d Z
e
R2d
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
³
β̇
|(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
e
(w+z)·(w−z)
2
´
48
ρ0 (w, z)
r1 ω04
2d 2 dwdz
α̇
¶d Z
´
³
´
³
β̇ (w+z)·(w−z)
e2γt ω02
− 4rλ +r1 µ2 |(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
1
ρ0 (w, z)
−
e
e
2π | α̇ |
R2d
µµ 2 4 2
¶
¶
ω04
4r1 ω0 µ
ν2
2r1 ω04 µ
2
2
(w − z) − 2 (w + z) + i
+
(w + z) · (w − z) dwdz
α̇2
4
4α̇
α̇2
µ 2γt 2 ¶d Z
³
´
³
´
β̇ (w+z)·(w−z)
e ω0
− 4rλ +r1 µ2 |(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
1
e
e
ρ0 (w, z)
+
2π | α̇ |
R2d
¶
µ
4r1 ω04 αµ
ω04 α
(w − z) · xdwdz
− 2 (w + z) + i
α̇
α̇2
µ 2γt 2 ¶d Z
³
´
´
³
β̇ (w+z)·(w−z)
e ω0
− 4rλ +r1 µ2 |(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
1
e
+
e
ρ0 (w, z)
2π | α̇ |
R2d
ω04 α2 2
x dwdz
α̇2
µ
Mit der Variablentransformation v := ν (t) (w − z), s :=
ω02
α̇(t)
(w + z), den Abkürzungen
α̇ (t)
ω02
1
α̇ (t)
α̇ (t)
τ (t) :=
=
= − 2 e−2γt
ν (t)
ω0
α̇ (t) β (t) − α (t) β̇ (t)
µ 2γt 2 ¶d µ
¶d µ
¶d
e ω0
| σ (t) |
| σ (t) || τ (t) |
C (t) :=
=
2π | α̇ (t) |
2
4π
σ (t) :=
(4.11)
(4.12)
(4.13)
und anschließender Integration über x, bekommen wir
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
µ
¶
Z
´
³
σs + τ v σs − τ v
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
d
α̇
2
1
ρ0
δd (v)
= (2π) C
e
e
,
2
2
R2d
µ 2 4 2
¶
¶
µ
4r1 ω0 µ
ν2
2r1 ω02 µτ
r1 ω04
1 2
2 2
+
s · v dsdv
2d 2 −
τ v + s −i
α̇
α̇2
4
4
α̇
µ
¶
Z
³
´
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
(1)
d
1
+ (2π) C
e
,
iδd (v)
e α̇ 2 ρ0
2
2
2d
R
¶
µ
4r1 ω04 αµτ
ω02 α
s+i
v dsdv
−
α̇
α̇2
¶
µ
Z
³
´
ω 4 α2
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
(2)
d
1
e
− (2π) C
δd (v) 0 2 dsdv
,
e α̇ 2 ρ0
2
2
α̇
R2d
49
(1)
(2)
Hierbei wurden für v = (v1 , v2 , . . . , vd )T ∈ Rd die Ausdrücke δd (v), δd (v) und δd (v)
definiert.
δd (v) :=
d
Y
δ (vk )
(4.14)
k=1
Q

δ (1) (v1 ) dk=1,k6=1 δ (vk )

 δ (1) (v ) Qd
2

(1)
k=1,k6=2 δ (vk ) 
δd (v) := 

..


.
Qd
(1)
δ (vd ) k=1,k6=d δ (vk )
Ã
!
d
d
X
Y
(2)
δd (v) :=
δ (2) (vk )
δ (vj )

(4.15)
(4.16)
j=1,j6=k
k=1
δ, δ (1) und δ (2) sind die Diracsche Deltadistribution in einer Dimension sowie deren
erste beiden distributionellen Ableitungen.
R
Als nächstes betrachten wir die Summanden von Rd [∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx einzeln,
.
führen jeweils die v-Integration aus und machen die Substition x = σs
2
1. Summand:
¶
e
ρ0
(2π) C
e
δd (v)
,
2
2
R2d
µ
¶
µ 2 4 2
¶
4r1 ω0 µ
r1 ω04
1 2
ν2
2r1 ω02 µτ
2 2
2d 2 −
τ v + s −i
+
s · v dsdv
α̇
α̇2
4
4
α̇
¶d Z
µ
µ
¶
r1 ω04 x2
2
d
ρ0 (x, x) 2d 2 + 2 dx
= (2π) C
|σ|
α̇
σ
Rd
d
Z
2. Summand:
d
−
Z
³
λ
+r1 µ2
4r1
−
³
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
λ
+r1 µ2
4r1
´
στ
2
µ
v·s
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
στ
2
v·s
µ
,
2
2
¶
(1)
ρ0
iδd (v)
e
e
µ
¶
ω02 α
4r1 ω04 αµτ
−
s+i
v dsdv
α̇
α̇2
¶d Z
¶
µ
µ
τ
2ω04 α
2
d
= −i (2π) C
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · − 2 x dx
|σ|
α̇
Rd 2
!
Ã
µ
¶d Z
4
4
αµτ
4dr
ω
ατ
2
2
β̇ω
1 0
0
dx
−i (2π)d C
x2 + i
ρ0 (x, x) i
3
|σ|
α̇
α̇2
Rd
(2π) C
3. Summand
d
− (2π) C
Z
R2d
e
R2d
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
e
στ
2
v·s
ρ0
µ
,
2
2
¶
(2)
δd (v)
ω04 α2
dsdv
α̇2
ω 4 α2
= − (2π) C 0 2
α̇
d
ω 4 α2
− (2π) C 0 2
α̇
d
ω 4 α2
− (2π) C 0 2
α̇
d
µ
µ
µ
2
|σ
¶d Z
τ2
[(∆x − 2∇y · ∇x + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
Rd 4
Ã
!
¶d Z
β̇τ
τ [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · −i x dx
|
α̇
Rd
Ã

!2 µ
¶d Z
¶
β̇τ
λ
+ r1 µ2 2dτ 2  dx
ρ0 (x, x)  −i x −
|
α̇
4r
d
1
R
2
|σ|
2
|σ
50
Addieren wir diese drei Terme und fassen wir die zeitabhängigen Konstanten vor den
Integralen zusammen, so ergibt sich
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
Ã
!2
Ã
! 
2 2
4
αβ̇
α α̇
αα̇
2dω0 
αβ̇
=
1 − 2 e−2γt r1 + 4 e−4γt r2 + 2 e−2γt 1 − 2 e−2γt r3 
2
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
Z
ρ0 (x, x) dx
d
R
Z
2 −4γt
ρ0 (x, x) x2 dx
+β e
d
R
Z
−4γt
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx
+iαβe
Rd
Z
1 2 −4γt
− α e
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
4
Rd
P
Aufgrund der Darstellung ρ0 (x, y) = k λk φk (x) φk (y) mit {λk }k∈N ⊂ l1 (R), können
wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass
ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y).
Damit erhalten wir die Formeln
Z
Z
¡
¢
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx = 2i
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
d
Rd
Z
ZR
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx = −4
| ∇x φ (x) |2 dx
Rd
Rd
und bekommen
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
Ã
!2
Ã
! 
4
2 2
2dω0 
αβ̇ −2γt
β̇ −2γt
αα̇ −2γt
α α̇ −4γt
=
1
−
e
e
r
+
e
e
1
−
r3 
r
+
2
1
2
4
2
α̇2
ω0
ω0
ω0
ω02
Z
+β 2 e−4γt
−2αβe
ZR
+α2 e−4γt
| φ (x) |2 dx
d
Rd
Z
−4γt
Z
51
| φ (x) x |2 dx
Rd
Rd
¡
¢
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
| ∇x φ (x) |2 dx
Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung lässt sich zeigen, dass
µ Z
¶ 12 µ Z
Z
¡
¢
2
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx ≤ 2
| φ (x) x | dx
2
Rd
Rd
2
Rd
| ∇x φ (x) | dx
¶ 21
gilt.
R
R
2
2
Die
R Ausdrücke 2 Rd | φ (x) | dx, Rd | φ (x) x | dx beziehungsweise
| ∇x φ (x) | dx entsprechen der Spur von R0 , der Spur von | x | R0 | x | bezieRd
hungsweise der Spur von | ∇ | R
R 0 | ∇ | und sind nach Voraussetzung endlich.
Somit können wir das Integral Rd [∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx nach oben und nach unten
abschätzen.
Weiterhin gilt, dass
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx ≥ 0
Rd
ist.
Zusammenfassend bekommen wir also die folgende Aussage:
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx = T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) < ∞
0≤
Rd
3. Teil:
Wir zeigen in diesem Teil, dass T r (| x | R (t) | x |) < ∞.
Wir
wählen dieses Mal die Darstellung (4.7) für ρ (x, y, t) und betrachten das Integral
R
ρ (x, x, t) | x |2 dx, welches der Spur von | x | R (t) | x | entspricht.
Rd
Mit der Substition z := ν (t) y0 , anschließender x-Integration und z-Integration erhalten
wir
Z
| x |2 ρ (x, x, t) dx
Rd
Z
τ2
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0
= −
4 Rd
Z
β̇τ 2
+i
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) · x0 dx0
α̇ Rd
Z
β̇ 2 τ 2
+ 2
ρ0 (x0 , x0 ) x20 dx0
α̇
d
R
µ
λ
+2 r1 µ +
4r1
Da nach (3.41) r1 µ2 +
λ
4r1
2
=
µ
β̇ 2
r
α̇2 1
¶
dτ
2
Z
Rd
52
ρ0 (x0 , x0 ) dx0
+ r2 − α̇β̇ r3 > 0 ist, gilt:
λ
0 ≤ 2 r1 µ +
4r1
2
¶
dτ
2
Z
Rd
ρ0 (x0 , x0 ) dx0 < ∞
Sei nun wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y), so ist
(analog zum 2. Teil)
Z
τ2
−
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0
4 Rd
Z
Z
β̇τ 2
β̇ 2 τ 2
ρ0 (x0 , x0 ) x20 dx0
+i
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) · x0 dx0 + 2
α̇ Rd
α̇
Rd
Z
Z
¢
¡
β̇τ 2
2
2
= τ
| ∇x0 φ (x0 ) | dx0 − 2
= φ (x0 ) ∇x0 φ (x0 ) · x0 dx0
α̇ Rd
Rd
Z
β̇ 2 τ 2
| φ (x0 ) x0 |2 dx0
+ 2
α̇
Rd
Ebenso, wie in Teil 2 des Beweises, lässt sich dieser Term nach oben und unten
abschätzen und mit der Aussage
Z
ρ (x, x, t) | x |2 dx ≥ 0
Rd
gilt:
0≤
Z
Rd
ρ (x, x, t) | x |2 dx < ∞
Also ist 0 ≤ T r (| x | R (t) | x |) < ∞.
Somit ist k R (t) kE < ∞ und R (t) ∈ E.
¤
Bemerkung: Einen ausführlicheren Beweis finden wir im Anhang C.
Bemerkung: Da wir die Formeln (4.7) und (4.8) benutzt haben, verweisen wir für den
Fall γ < ω0 , t = kπ
, k ∈ N auf den Anhang D.3.
ω
4.4.2
53
Zeitstetigkeit bezüglich der Energienorm
Als nächstes zeigen wir, dass R (t) bezüglich der Energienorm k · kE stetig in der Zeit
ist. Hierfür benötigen wir zwei Lemmata.
Im ersten dieser beiden Lemmata zeigen wir, dass für alle t0 ≥ 0 die Energienorm von
R (t) gegen die Energienorm von R (t0 ) konvergiert, falls t gegen t0 ¡konvergiert.
Das
¢
zweite Lemma sagt aus, dass ΥR (t) Υ schwach gegen ΥR (t0 ) Υ in L2 Rd konvergiert,
falls R0 ein Operator aus dem Energierraum ist.
Lemma 4.18
Sei R0 ∈ E. Dann gilt für alle t0 ≥ 0:
lim k R (t) kE =k R (t0 ) kE
t→t0
Beweis: Aufgrund der Splittung (4.10) und der Positivitätserhaltung von {S (t)}t≥0
können wir uns wieder auf den Fall R0 ≥ 0 und R (t) ≥ 0 beschränken.
Nehmen wir zusätzlich ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass
ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y). Betrachten wir den Beweis der vorherigen Proposition, so erhalten wir
2Ekin (R (t))
Ã
!2
Ã
! 
4
2 2
αβ̇ −2γt
αα̇ −2γt
2dω0 
αβ̇ −2γt
α α̇ −4γt
1
−
e
e
r
+
e
e
=
1
−
r3 
r
+
2
1
α̇2
ω02
ω04
ω02
ω02
Z
| φ (x) |2 dx
d
Z
ZR
¡
¢
2
−4γt
2 −4γt
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
| φ (x) x | dx − 2αβe
+β e
d
Rd
ZR
| ∇x φ (x) |2 dx
+α2 e−4γt
Rd
2Epot (R (t))
Z
´Z
2d −4γt ³ 2
2
2
2
=
| φ (x) | dx + τ
e
β̇ r1 + α̇ r2 − β̇ α̇r3
| ∇φ (x) |2 dx
ω04
d
d
R
R
Z
Z
¢
¡
β̇τ 2
β̇ 2 τ 2
−2
| φ (x) x |2 dx
= φ (x) ∇x φ (x) · xd + 2
α̇ Rd
α̇
Rd
Damit ergibt sich für die Energienorm von R (t):
k R (t) kE
54
µ
´¶ Z
2d −4γt ³ 2
2
| φ (x) |2 dx
=
1 + 4e
β̇ r1 + α̇ r2 − β̇ α̇r3
ω0
Rd
Ã
!2
Ã
! 
4
2 2
αβ̇
2dω
α α̇
αβ̇
αα̇
+ 2 0  1 − 2 e−2γt r1 + 4 e−4γt r2 + 2 e−2γt 1 − 2 e−2γt r3 
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
Z
| φ (x) |2 dx
d
R
Ã
!Z
2
¡
¢
2
β̇τ
− 2αβe−4γt +
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
α̇
Rd
Z
¡
¢
+ α2 e−4γt + τ 2
| ∇φ (x) |2 dx
d
R
Ã
!Z
2 2
β̇
τ
| φ (x) x |2 dx
+ β 2 e−4γt + 2
α̇
d
R
Wir zeigen zunächst, dass die zeitabhängigen Terme stetig in t0 = 0 sind.
Über die Ausdrücke α (t), β (t), α̇ (t) und β̇ (t) können wir Folgendes aussagen:
lim α (t) = 1
t→0
lim β (t) = 0
t→0
lim α̇ (t) = 0
t→0
lim β̇ (t) = ω02
t→0
r1 (t), r2 (t) und r3 (t) konvergieren für t → 0 gegen 0.
Wir betrachten nun die zeitabhängigen Terme vor den Integralen der Energienorm von
R (t) separat.
¡
¢
R
1. Rd = φ (x) ∇x φ (x) · xdx-Term
!!
Ã
Ã Ã
Ã
!!
2
α̇β̇
2β̇τ
lim − 2αβe−4γt +
= lim −2e−4γt αβ − 4
t→0
t→0
α̇
ω0
= 0
2.
R
Rd
| ∇φ (x) |2 dx-Term
¡
2 −4γt
lim α e
t→0
+τ
2
¢
µ
= lim e
t→0
= 1
−4γt
µ
α̇2
α + 4
ω0
2
¶¶
3.
R
Rd
| φ (x) x |2 dx-Term
Ã
β̇ 2 τ 2
lim β 2 e−4γt + 2
t→0
α̇
!
Ã
= lim e−4γt
t→0
Ã
β̇ 2
β2 + 4
ω0
55
!!
= 1
4.
R
Rd
| φ (x) |2 dx-Term
Diesen Term splitten wir in drei Teile.
(a) Der erste Teil lautet:
µ
¶
´
2d −4γt ³ 2
2 −4γt
2
lim 1 + 4 e
r2
β̇ r1 + α̇ r2 − β̇ α̇r3 + 2dα e
= 1
t→0
ω0
³
´
αβ̇e−2γt
1 − ω2
r3 . Wir wissen, dass
(b) Im zweiten Teil betrachten wir
0
der Grenzwert von α̇ = −β (beziehungsweise r3 ) den Wert 0 annimmt, wenn
wir t gegen 0 laufen lassen.
!
Ã
α̇β + αβ̇
α̇β̇
Dpq
lim r˙3 = lim 2 4 Dpp + 2αβDqq + 2
t→0
t→0
ω0
ω02
2dω02 αe−2γt
α̇
= 2Dpq
³ ´
lim α̈ = lim −β̇
t→0
t→0
= −ω02
pq
Also hat rα̈˙3 den Grenzwert − 2D
. Die Regel von de l’Hospital (siehe [Fo99])
ω02
besagt dann, dass
r3
2Dpq
= − 2
t→0 α̇
ω0
lim
Somit können wir folgern:
Ã
Ã
! !
2dω02 αe−2γt
αβ̇e−2γt
= 0
lim
1−
r3
t→0
α̇
ω02
(c) Wir zeigen im dritten Teil, dass gilt:

Ã
!2 
4
2dω
αβ̇
lim  2 0 1 − 2 e−2γt r1  = 0
t→0
α̇
ω0
56
Uns ist bekannt, dass limt→0 α̇ = 0 und limt→0 α̈ = −ω02 .
Weiterhin gilt:
Ã
!
αβ̇ −2γt
lim 1 − 2 e
= 0
t→0
ω0
!!
Ã Ã
µ −2γt ³
´¶
e
αβ̇ −2γt
d
= lim − 2 α̇β̇ + αβ̈ − 2γαβ̇
1− 2e
lim
t→0
t→0
dt
ω0
ω0
µ −2γt
´¶
e
e−2γt ³
= lim − 2 α̇β̇ − 2 α β̈ − 2γ β̇
t→0
ω0
ω0
= 0
Im letzten Schritt wurde benutzt, dass gilt:
´
³
lim α̇ = 0,
lim β̈ − 2γ β̇ = 0
t→0
t→0
Also können wir mit der Regel von de l’Hospital folgern, dass
!!
Ã Ã
αβ̇ −2γt
1
= 0
1− 2e
lim
t→0
α̇
ω0
Somit gilt:

2dω 4
lim  2 0
t→0
α̇
Ã
1−
αβ̇ −2γt
e
ω02
!2

r1  = 0
Fassen
R wir alle drei Teile zusammen, so wissen wir, dass der zeitabhängige Term
vor Rd | φ (x) |2 dx gegen 1 konvergiert, falls t gegen 0 konvergiert.
Also erhalten wir:
lim k R (t) kE =
t→0
Z
2
Rd
| φ (x) | dx +
= k R 0 kE
Z
2
Rd
| ∇φ (x) | dx +
Z
Rd
| φ (x) x |2 dx
Für t0 > 0 sind die zeitabhängigen Terme vor den Integralen stetig in t0 durch die
Definition von α (t), β (t), r1 (t), r2 (t) und r3 (t) (siehe (3.29), (3.30), (3.31), (3.33),
(3.34) und (3.35)).
Wir schließen also:
lim k R (t) kE = k R (t0 ) kE
t→t0
¤
57
Bemerkung: Wir haben an dieser Stelle nicht gezeigt, dass die Aussage aus dem Lemma
auch für den ersten Fall (3.29) mit t0 = kπ
, k ∈ N gilt. Den Beweis für diesen Fall geben
ω
wir in Anhang D.4.
Lemma 4.19
¡ ¢
Sei R0 ∈ E. Dann gilt für alle ψ, κ ∈ L2 Rd :
lim hψ, ΥR (t) ΥκiL2 (Rd ) = hψ, ΥR (t0 ) ΥκiL2 (Rd )
t→t0
Beweis:
Wie schon in den letzten beiden Beweisen, können wir aufgrund der Splittung (4.10)
und der Positivitätserhaltung von {S (t)}t≥0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen, dass R0 ≥ 0 und somit auch R (t) ≥ 0.
Wir wählen ein ε > 0.
¡ ¢
¡ ¢
Zu ψ und κ wählen wir Folgen {ψn }n∈N und {κn }n∈N in C0∞ Rd , die in der L2 Rd Norm gegen ψ und κ konvergieren.
¡ ¢
Da nach Voraussetzung an ψn und κn sowohl Υψn als auch Υκn in L2 Rd sind und
R (t), R (t0 ) nach Satz 4.16 selbstadjungierte Spurklasse-Operatoren, die stetig in t, t 0
sind, gilt:
lim hψn , Υ (R (t) − R (t0 )) Υκn iL2 (Rd ) = lim hΥψ, (R (t) − R (t0 )) ΥκiL2 (Rd )
t→t0
t→t0
= 0
Wir können also ein t1 finden, so dass für alle | t − t0 |< t1
hψn , Υ (R (t) − R (t0 )) Υκn iL2 (Rd ) ≤
ε
3
Nach Propositon 4.17 ist R (t) aber auch ein Operator aus E und wir wissen, dass
1)
für alle | t − t0 |< t1 und einem geeigneten M (t1 ). Mit dieser
k ΥR (t) Υ k≤ M (t
2
Ungleichung gilt dann:
| hψ − ψn , Υ (R (t) − R (t0 )) ΥκiL2 (Rd ) | ≤ M (t1 ) k ψ − ψn kL2 (Rd ) k κ kL2 (Rd )
| hψn , Υ (R (t) − R (t0 )) Υ (κ − κn )iL2 (Rd ) | ≤ M (t1 ) k κ − κn kL2 (Rd ) k ψn kL2 (Rd )
Wählen wir nun ein m ∈ N groß genug, so dass für alle n > m gilt:
ε
k ψ − ψ n k L2 ( Rd ) ≤
3M (t1 ) k κ kL2 (Rd )
ε
k κ − κ n k L2 ( Rd ) ≤
6M (t1 ) k ψ kL2 (Rd )
ε
≤
3M (t1 ) k ψn kL2 (Rd )
58
Dann gilt aber:
| hψ, Υ (R (t) − R (t0 )) ΥκiL2 (Rd ) | ≤ | hψn , Υ (R (t) − R (t0 )) Υκn iL2 (Rd ) |
+ | hψn , Υ (R (t) − R (t0 )) Υ (κ − κn )iL2 (Rd ) |
+ | h(ψ − ψn ) , Υ (R (t) − R (t0 )) ΥκiL2 (Rd ) |
ε
ε
≤
k ψ n k L2 ( Rd )
+ M (t1 )
3
3M (t1 ) k ψn kL2 (Rd )
ε
+M (t1 )
k κ k L2 ( Rd )
3M (t1 ) k κ kL2 (Rd )
≤ ε
Da ε beliebig gewählt war, erhalten wir
lim hψ, ΥR (t) ΥκiL2 (Rd ) = hψ, ΥR (t0 ) ΥκiL2 (Rd )
t→t0
¤
Wir können nun beweisen, dass R (t) stetig in t für alle t ∈ R+
0 mit Werten im Energieraum E ist.
Proposition 4.20
Sei R0 ∈ E. Dann ist R (t) stetig in t für alle t ∈ R+
0 bezüglich der Energienorm k · kE .
Beweis: In der Proposition 4.17 haben wir bereits gesehen, dass aus R0 ∈ E folgt, dass
R (t) ein Operator aus E ist.
Wir wählen nun ein t0 ∈ R+
0 fest.
Lemma 4.18 liefert uns dann
lim k R (t) kE =k R (t0 ) kE
t→t0
Mit Hilfe des Lemmas 4.19 wissen wir, dass
ΥR (t) Υ *t→t0 ΥR (t0 ) Υ
Eine analoge Version von Satz 4.14 (siehe [Si05]) liefert uns dann
lim k R (t) − R (t0 ) kE = 0
t→t0
Also ist R (t) stetig in t0 mit Werten aus dem Energieraum.
Da t0 beliebig gewählt wurde, folgt die Behauptung der Proposition.
¤
4.4.3
59
Zusammenfassung einiger Eigenschaften im Energieraum
Wie schon in den vorherigen Kapiteln möchten wir auch dieses Mal wieder einen abschließenden Satz über die Eigenschaften von R (t) angeben.
Satz 4.21
Sei R0 ∈ E. Es gelten die Bedingungen (3.6)-(3.10).
Dann ist {S (t)}t≥0 eine konservative quantendynamische Halbgruppe auf E und
R (t) = S (t) R0 ist eine
Lösung der Gleichung (3.1) mit der Anfangsbedin¡ +eindeutige
¢
gung R0 im Raum C R0 ; E .
Beweis: Auch dieses Mal gilt wieder, dass wir mit Hilfe der Splittung (4.10) und der
Positivitätserhaltung von {S (t)}t≥0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen
können, dass R0 ≥ 0 und somit auch R (t) ≥ 0.
In Proposition 4.17 haben wir bereits gesehen, dass für einen Operator R0 aus dem
Energieraum, der Operator R (t) ebenfalls ein Operator aus dem Energieraum ist.
Proposition 4.20 liefert uns, dass R (t) stetig in t bezüglich der Energienorm ist.
Nehmen wir wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y)
ist, so gilt:
Z
¡
¢
1
1
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx ≤ (2T r (| x | R0 | x |)) 2 (2T r (| ∇ | R0 | ∇ |)) 2
Rd
1
1
= (Epot ) 2 (Ekin ) 2
Für die Energienorm haben wir bereits erhalten (siehe Beweis zu Lemma 4.18):
k R (t) kE
= T r (R (t)) + 2Ekin (R (t)) + 2Epot (R (t))
= T r (R0 )
+T r (R0 )
Ã
!2
Ã
! 
4
2 2
2dω0 
αβ̇
α α̇
αα̇
αβ̇
2
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
Z
¢
¡
= φ (x) ∇x (x) · xdx
+2α2 e−4γt Ekin (R0 ) + 2β 2 e−4γt Epot (R0 ) − 2αβe−4γt
Rd
´
2d −4γt ³ 2
β̇ r1 + α̇2 r2 − α̇β̇r3
+T r (R0 ) 4 e
ω0
Z
¡
¢
α̇2 −4γt
β̇ 2 −4γt
α̇β̇ −4γt
+2 4 e
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
Ekin (R0 ) + 2 4 e
Epot (R0 ) − 2 4 e
ω0
ω0
ω0
Rd
³
´
2d
≤ T r (R0 ) + T r (R0 ) 4 e−4γt β̇ 2 r1 + α̇2 r2 − α̇β̇r3
ω0
+T r (R0 )
2dω04
α̇2
Ã
!2
2
2
α α̇ −4γt
αα̇
e
r2 + 2 e−2γt
4
ω0
ω0
Ãµ
Ã
!
!
¶
2
2
α̇
β̇
+6e−4γt
α2 + 4 Ekin (R0 ) + β 2 + 4 Epot (R0 )
ω0
ω0
 1 − αβ̇ e−2γt
ω02
r1 +
Ã
60
1−
αβ̇ −2γt
e
ω02
!

r3 
Wir haben schon im Beweis zu Lemma 4.18 (siehe auch Anhang D.4) gezeigt, dass die
zeitabhängigen Koeffizienten vor T r (R0 ), Ekin (R0 ) und Epot (R0 ) stetig in t für alle
t ∈ R+
0 sind.
Somit können wir eine stetige Funktion C (t) finden, so dass
k R (t) kE ≤ C (t) k R0 kE
Dies garantiert uns, dass R (t) für alle Zeiten t ≥ 0 im Energieraum liegt.
Also ist {S (t)}¡t≥0 eine
¢ quantendynamische Halbgruppe auf E und R (t) eine Lösung
+
für (3.1) aus C R0 ; E .
Die Eindeutigkeit der Lösung bekommen wir wieder durch die Annahme, dass wir zwei
Lösungen hätten, und anschließender Differenzenbildung dieser beiden Lösungen.
¤
Kapitel 5
Zusammenfassung
Wir haben mit Hilfe der Greenschen Funktion für die lineare Wigner-Fokker-PlanckGleichung (3.16) eine Funktion ρ (x, y, t) und dann einen Operator R (t) konstruiert.
¡ ¡ ¢¢
Anschließend haben wir gesehen, dass für R0 in J2s L2 Rd die Menge
¢¢ t≥0 (de¡ (t)}
¡ {S
finiert durch R (t) = S (t) R0 ) eine stark stetige Halbgruppe auf J2s L2 Rd ist, die
sogar die Positivität erhält. Wir haben außerdem festgestellt, dass k R (t) k2 ≤k R0 k2
für alle Zeiten t ≥ 0.
Danach haben wir den Raum der selbstadjungierten Spurklasse-Operatoren betrachtet ¡und¡gezeigt,
¢¢ dass {S (t)}t≥0 eine konservative quantendynamische Halbgruppe auf
J1s L2 Rd ist, also dass neben der Positivität auch die Spurklassen-Norm erhalten
bleibt.
Abschließend haben wir im letzten Kapitel die Eigenschaften von R (t) im Energieraum
untersucht und unter der Annahme, dass R0 im Energieraum E liegt, bewiesen, dass
{S (t)}t≥0 sogar eine quantendynamische Halbgruppe auf E ist.
Wir können also unter der Voraussetzung, dass unser Potential ein harmonisches Oszillator-Potential ist und die Gleichung (3.1) in ¡Lindblad-Form
vorliegt (siehe (3.6)¢
(3.10)), R (t) als Lösung von (3.1) im Raum ¡C R¡+
;
X
ansehen,
0 ¢¢
¢¢ die Anfangsbe¡ 2 ¡ falls
d
s
d
2
s
beziehungsweise
dingung R0 in X liegt. Hierbei steht X für J2 L R , J1 L R
E.
Zum Abschluss dieser Diplomarbeit möchten wir noch ein einfaches Beispiel betrachten.
Wir definieren für unser Beispiel die Anfangsbedingung R0 durch das dazugehörige
ρ0 (x, y).
ρ0 (x, y) =
1
(2π)d
³
e− 2 ((x−a1 )
1
2
+(y−a1 )2 )
61
+ e− 2 ((x−a2 )
1
2
+(y−a2 )2 )
´
Kapitel 5. Zusammenfassung
62
Hierbei sind a1 , a2 ∈ Rd .
ρ0 (x, y) ist also die Summe von zwei Gaußschen Glockenkurven, wobei die eine um a1
und die andere um a2 verschoben ist.
R0 ist, wie wir schnell erkennen, ein positiver selbstadjungierter Operator aus dem
Energieraum und die Darstellung aus Satz 2.7 sieht dann wie folgt aus:
R0 = hφ1 , ·iL2 (Rd ) φ1 + hφ2 , ·iL2 (Rd ) φ2
φ1 (x) =
φ2 (x) =
1
−
d e
(2π) 2
1
−
d e
(x−a1 )2
2
(x−a2 )2
2
(2π) 2
Mit
Z
Z
Rd
ρ0 (x, x) =
1
d
(4π) 2
¡
¢
= φn (x) ∇x φn (x) · xdx = 0
Rd
Z
d
| ∇x φn (x) |2 dx =
d
Rd
2 (4π) 2
µ
¶
Z
1
d
2
2
| φn (x) · x | dx =
+ an
d
Rd
(4π) 2 2
und dem Beweis von Lemma 4.18 erhalten wir
=
Ekin (R (t))
Ã
4
2dω0 
(4π)
+
=
d
2
α̇2
e−4γt ¡¡
d
2
2 (4π)
Epot (R (t))
µ
e−4γt
d
(4π) 2 ω02
1−
αβ̇ −2γt
e
ω02
!2
2
r1 +
2
α α̇ −4γt
αα̇
e
r2 + 2 e−2γt
4
ω0
ω0
Ã
1−
¢
¢
d + a21 + a22 β 2 + dα2
³
2
2
2d β̇ r1 + α̇ r2 − α̇β̇r3
´
d + a21 + a22 2
d
β̇
+ α̇2 +
2
2
αβ̇ −2γt
e
ω02
!

r3 
¶
Wir haben hierbei die potentielle Energie noch mit ω02 multipliziert, denn unser eigentω2
liches Potential lautet V (x) = 20 | x |2 +a · x + b (vergleiche Kapitel 3.2) und nicht
V (x) = 21 | x |2 wie wir es bei der Definition von dem Energieraum benutzt haben.
63
Nach einer etwas längeren Rechnung erhalten wir außerdem
k R 0 k 2 = k ρ 0 k L2 ( Rd )
√ q
(a1 −a2 )2
2
=
1 + e− 2
d
(4π) 2
k R (t) k2 = k ρ (t) kL2 (Rd )
¶ d4
µ
¶d µ
√ e2γt 2
r1
2
=
4π
(4r1 + 1) (λ + r1 ) + r32
Ã
! 21
2
2
1
2r1 (λ+r1 )(a1 −a2 )
2
1 + e− 2 (a1 −a2 ) e (4r1 +1)(λ+r1 )+r3
Für die nachfolgenden Grafiken 5.1-5.7 haben wir
 
 
1
0
d = 3,
a1 =  0  ,
a2 = −  2 
0
0
gewählt.
In den Abbildungen 5.1-5.3 haben wir zusätzlich Dpp = 5, Dqq = 2 und Dpq = 1 gesetzt.
3
0.035
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Kinetische Energie + Potentielle Energie
2.5
0.03
0.025
2
L2−Norm
Kinetische Energie, Potentielle Energie, Gesamtenergie
In Abbildung 5.1 sehen wir den Verlauf der kinetischen Energie, der potentiellen Energie ¡und¡ der
¢ den Verlauf der
¡ sowie
¢¢ Summe aus kinetischer und potentieller Energie
2d
2
d
2
J2 L R -Norm von R (t), der gleich dem Verlauf der L R -Norm von ρ (t) ist,
für γ = 4 und ω0 = 5. Wir befinden uns also im ersten Fall (siehe (3.29)).
1.5
0.02
0.015
1
0.01
0.5
0
0.005
0
2
4
6
Zeit t
8
10
0
0
2
4
6
8
Zeit t
¡ ¡ ¢¢
Abbildung 5.1: Energie und J2 L2 Rd -Norm im 1. Fall (siehe (3.29))
10
64
2.5
0.035
0.03
2
0.025
1.5
L2−Norm
Kinetische Energie
Potentielle Energie
1
0.015
0.5
0
0.02
0.01
0
0.5
1
Zeit t
1.5
0.005
2
0
0.5
1
Zeit t
1.5
2
¡ ¡ ¢¢
3
0.035
Kinetische Energie
Potentielle Energie
2.5
0.03
2
0.025
L2−Norm
¡ ¡ ¢¢
Abbildung 5.2 spiegelt die Darstellung der Energien und der J2 L2 Rd -Norm für
den zweiten Fall (siehe (3.30)) mit γ = 5¡und¡ ω0¢¢
= 4 wider.
Der Zeitverlauf der Energien und der J2 L2 Rd -Norm im dritten Fall (siehe (3.31))
mit γ = ω0 = 5 ist in Abbildung 5.3 dargestellt.
1.5
0.02
1
0.015
0.5
0.01
0
0
0.5
1
Zeit t
1.5
2
0.005
0
0.5
1
Zeit t
1.5
2
¡ ¡ ¢¢
In allen drei Schaubildern ist bei den Energien ein Anstieg zu Beginn des Zeitverlaufs
−4γt
zu erkennen. Dies liegt daran, dass für kleine t die Terme e d ((d + a21 + a22 ) β 2 + dα2 )
2(4π) 2
´
³
e−4γt
2
2
2
2
bei der potentiellen
)
β̇
+
a
d
α̇
+
(d
+
a
bei der kinetischen Energie und
d
2
1
2
2(4π) 2 ω0
Energie führend sind.
Der weitere Verlauf wird dann durch den anderen Term in der kinetischen beziehungsweise potentiellen Energie bestimmt.
65
In den nächsten vier Abbildungen betrachten wir nun nur noch die Energien im ersten
Fall und verändern die Konstanten γ, ω0 , Dpp , Dqq und Dpq .
Für die Grafik 5.4 haben wir γ = 4, ω0 = 5, Dpp = Dqq = 15 und Dpq = 10 gesetzt.
16
14
12
10
8
Kinetische Energie
Potentielle Energie
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
Zeit t
Abbildung 5.4: Energie im 1. Fall (Variation von Dpp , Dqq und Dpq - 1. Variante)
Um die Abbildung 5.5 zu erhalten, haben wir γ = 4, ω0 = 5, Dpp = 3, Dqq = 75 und
Dpq = 10 benutzt.
80
70
60
50
40
Kinetische Energie
Potentielle Energie
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
Zeit t
Abbildung 5.5: Energie im 1. Fall (Variation von Dpp , Dqq und Dpq - 2. Variante)
Die Konstanten Dpp , Dqq und Dpq werden nur in r1 , r2 und r3 benötigt und sind daher nur in einem Term der kinetischen beziehungsweise potentiellen Energie vertreten.
66
Diese Konstanten nehmen Einfluss auf die Höhe der Gesamtenergie sowie auf die Amplitude und die Frequenz der Schwingungen in der Energie.
Für die Abbildungen 5.6 und 5.7 haben wir Dpp = Dqq = 15, Dpq = 10 und ω0 = 10
gesetzt.
Bei Grafik 5.6 wurde γ = 4 und bei Grafik 5.7 wurde γ = 8 angenommen.
35
30
25
20
15
10
Kinetische Energie
Potentielle Energie
5
0
0
2
4
6
8
10
Zeit t
Abbildung 5.6: Energie im 1. Fall (Variation von ω0 )
35
30
25
20
15
Kinetische Energie
Potentielle Energie
10
5
0
0
2
4
6
8
10
Zeit t
Abbildung 5.7: Energie im 1. Fall (Variation von γ)
Vergleichen wir die Grafiken 5.6 und 5.7 mit der Abbildung 5.4, so können wir erkennen, dass ω0 und γ ebenfalls Einfluss auf die Höhe der Gesamtenergie sowie auf die
Amplitude und die Frequenz der Schwingungen in der Energie ausüben.
67
Wir möchten nun noch die Wigner-Funktion w (x, ξ, t) für bestimmte Zeiten und den
Zeitverlauf der Partikeldichte ρ (x, x, t) darstellen.
Dafür wählen wir d = 1, a1 = 1, a2 = −2, γ = 4, ω0 = 5, Dpp = 5, Dqq = 2 und
Dpq = 1.
Vergleichen wir die Abbildungen 5.8-5.10 mit der Abbildung 5.11, so können wir erkennen, dass die Integration von w (x, ξ, t) über ξ identisch ist mit ρ (x, x, t).
t = 0.02
t=0
0.1
0.08
0.08
0.06
w
w
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0
5
0
5
5
0
xi
5
0
0
−5
−5
xi
x
0
−5
−5
x
Abbildung 5.8: Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0 und t = 0, 02
t = 0.2
t = 0.1
0.06
0.04
0.05
0.03
0.03
w
w
0.04
0.02
0.02
0.01
0.01
0
5
0
5
5
0
xi
0
−5
−5
x
5
0
xi
0
−5
−5
x
Abbildung 5.9: Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0, 1 und t = 0, 2
68
t=1
t = 0.5
0.05
0.08
0.04
0.06
w
w
0.03
0.04
0.02
0.02
0.01
0
5
0
5
5
0
xi
−5
−5
5
0
0
0
−5
xi
x
−5
x
Abbildung 5.10: Wigner-Funktion im 1. Fall zu den Zeiten t = 0, 5 und t = 1
0.4
rho(x,x,t)
0.3
0.2
0.1
0
10
5
5
0
t
0
−5
x
Abbildung 5.11: Zeitverlauf von ρ (x, x, t)
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Anhang A
Ausführlicher Beweis zu Lemma 3.2
Im Beweis von Lemma 3.2 haben wir die einzelnen Terme nicht explizit verglichen.
Dieses möchten wir hier nun nachholen.
Lemma A.1
Die partiellen Differentialgleichungssysteme (3.4), (3.5) und (3.11), (3.12) sind äquivalent.
Beweis:
Als Abkürzung definieren wir
~
y
2m
~
z := x −
y
2m
Damit ergibt sich für ein passendes f :
µ ∂f (v,z) ¶
∂x1
∇x (f (v, z)) =
..
.
µ ∂f (v,z) ∂v1 + ∂f (v,z) ∂z1 ¶
∂v1 ∂x1
∂z1 ∂x1
=
..
.
µ ∂f (v,z) + ∂f (v,z) ¶
∂v1
∂z1
=
..
.
= (∇v + ∇z ) f (v, z)
∆x (f (v, z)) = (∆v + 2∇v · ∇z + ∆z ) f (v, z)
~
(∇v − ∇z ) f (v, z)
∇y (f (v, z)) =
2m
Im Beweis werden auch noch folgende zwei Formeln benötigt.
Z
−i
∇ξ w (x, ξ, t) =
yρ (v, z, t) e−iξ·y dy
d
d
(2π) ~ R
v := x +
71
Anhang A. Ausführlicher Beweis zu Lemma 3.2
−1
∆ξ w (x, ξ, t) =
d
(2π) ~
Z
Rd
72
y 2 ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
Wir werten nun die Gleichung (3.4) an v und z aus, multiplizieren mit
integrieren über y.
Im Folgenden werden diese Terme einzeln behandelt.
1
e−iξ·y
(2π)d ~
1.
=
=
=
=
Z
−2iDpq 1
(v − z) · (∇v + ∇z ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
d
~
d
(2π) ~ R
Z
−2iDpq
y · ∇x (ρ (v, z, t)) e−iξ·y dy
d
d
(2π) ~m R
µ Z
¶
−2Dpq
−iξ·y
divx i
yρ (v, z, t) e
dy
(2π)d ~m
Rd
µ Z
¶
2Dpq
−iξ·y
divx ∇ξ
ρ (v, z, t) e
dy
(2π)d ~m
Rd
2Dpq
divx (∇ξ w (x, ξ, t))
m
2.
Z
Dqq
d
=
(2π) ~
Z
Dqq
Rd
d
(2π) ~ Rd
Z
Dqq
| ∇v + ∇z |2 ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
(∆v + 2∇v · ∇z + ∆z ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
∆x (ρ (v, z, t)) e−iξ·y dy
(2π)d ~ Rd
= Dqq ∆x w (x, ξ, t)
=
3.
Dpp
Z
| v − z |2 ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
(2π)d ~3 Rd
Z
Dpp ~2
= −
y 2 ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
d 3 m2
(2π) ~
Rd
Dpp
∆ξ w (x, ξ, t)
=
m2
−
4.
−
γ
d
(2π) ~
Z
Rd
(v − z) · (∇v − ∇z ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
und
Anhang A. Ausführlicher Beweis zu Lemma 3.2
73
Z
~
y · (∇v − ∇z ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
m
(2π) ~ Rd
Z
~
2γ
(∇v − ∇z ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
−y ·
=
d
2m
(2π) ~ Rd
Z
2γ
=
−y · (∇y (ρ (v, z, t))) e−iξ·y dy
d
d
(2π) ~ R
= 2γdivξ (ξw (x, ξ, t))
γ
= −
d
5.
Z
i
=
=
=
=
=
=
=
=
(2π)d ~2
Z
−i
d
(2π) ~
1
d
Rd
Rd
ξ·
Z
−
~2
(∆w − ∆z ) ρ (w, z, t) e−iξ·y dy
2m
((∇y · ∇x ) (ρ (v, z, t))) e−iξ·y dy
∇x (ρ (v, z, t)) e−iξ·y dy
(2π) ~
Rd
ξ · ∇x w (x, ξ, t)
Z
i
(V (v) − V (z)) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
d 2
(2π) ~ Rd
¶
µ
Z
~ 0 −iξ·y
i
~ 0
y ,x −
y e
(V (v) − V (z)) ρ x +
2m
2m
(2π)d ~2 R2d
δ (y 0 − y) dy 0 dy
¶
µ
Z
~ 0 −iξ·y
~ 0
i
y ,x −
y e
(V (v) − V (z)) ρ x +
2m
2m
(2π)2d ~2 R2d
Z
0
0
e−iξ ·(y −y) dξ 0 dy 0 dy
Rd
Z
i
0
(V (v) − V (z)) w (x, ξ 0 , t) e−iy·(ξ−ξ ) dy
d
(2π) ~ R2d
Θ [V ] w (x, ξ, t)
Z
i
(Hv − Hz ) ρ (v, z, t) e−iξ·y dy
d 2
(2π) ~ Rd
ξ · ∇x w (x, ξ, t) + Θ [V ] w (x, ξ, t)
¤
Anhang B
Halbgruppeneigenschaft im dritten
Fall
In Proposition 4.7 haben wir die Halbgruppeneigeschaft von {S (t)}t≥0 behandelt. Wir
behalten die Abkürzungen aus der Proposition 4.7 bei und möchten nun eine vollständige Rechnung für den Termvergleich im dritten Fall angeben.
Dann ergeben sich explizit:
γ 2 eγs (1 + γs) γ 2 eγt (1 − γt)
+
−γ 2 seγs
−γ 2 teγt
µ
¶
1 + γs 1 − γt
+
= −
s
t
s+t
= −
st Ã
!
β̇ (s)2 β̇ (s) r3 (s)
r3 (s)2
r3 (s)2
ω04
−
−
r
(s)
+
r1 (t)
p4 (s, t) = −r1 (s)
+
−
2
4r1 (s) α̇ (t)2
α̇ (s)2 α̇ (s) r1 (s) 4r1 (s)2
p2 (s, t) =
= −
Z
(1 + γs)2
1 + γs
e−2γt
r
(s)
−
r
(s)
−
r
(s)
−
r1 (t)
1
3
2
s2
s
t2
α (s) α̇ (s)
α̇ (s)2
+ Dqq α (s)2 + 2Dpq
ds
4
ω0
ω02
0
¢
¢ Dqq ¡ 2γt ¡ 2 2
¢
¢
Dpp ¡ 2γt ¡ 2 2
2γ t − 2γt + 1 − 1 +
e
2γ t − 6γt + 5 − 5
e
=
3
4γ
4γ
¡
¡
¢
¢
Dpq
+ 2 e2γt γ 2 t2 − 2γt + 1 − 1
γ
Z t
β̇ (s)2
β (s) β̇ (s)
Dpp 4 + Dqq β (s)2 + 2Dpq
r2 (t) =
ds
ω0
ω02
0
¢
¢ Dqq γ ¡ 2γt ¡ 2 2
¢
¢
Dpp ¡ 2γt ¡ 2 2
e
2γ t + 2γt + 1 − 1 +
e
2γ t − 2γt + 1 − 1
=
4γ
4
r1 (t) =
t
Dpp
74
Anhang B. Halbgruppeneigenschaft im dritten Fall
75
+Dpq e2γt γ 2 t2
Ã
!
Z t
α̇ (s) β̇ (s)
α̇ (s) β̇ (s) α (s) β̇ (s)
r3 (t) = 2
Dpp
+ Dqq α (s) β (s) + Dpq
+
ds
ω04
ω02
ω02
0
¡
¢
¡
¡
¢
¢
¡
¢
= Dpp e2γt −t2 + Dqq e2γt −γ 2 t2 + 2γt − 1 + 1 + Dpq e2γt −2γt2 + 2t
Somit ergibt sich für den Vergleich der einzelnen Terme von dem Kern von S (s) S (t) R0
mit den Termen vom Kern von S (s + t) R0 .
1. Zeitabhängige Konstante vor dem Integral
µ
µ
¶d
¶d
e2γ(s+t) ω04
e2γ(s+t) γ 4
st
=
2π | α̇ (s) || α̇ (t) || p2 (s, t) |
2πγ 2 teγt γ 2 seγs s + t
µ γ(s+t) ¶d
e
=
2π (s + t)
¶d
µ
e2γ(s+t) ω02
=
2π | α̇ (s + t) |
2. Term mit e−i
(x0 −y0 )·(x+y)
...
2
−
3. Term mit e−i
ν (s) ν (t)
−γ 2 e2γs (−γ 2 e2γt ) st
=
p2 (s, t)
−γ 2 seγs (−γ 2 teγt ) s + t
eγ(s+t)
=
s+t
= ν (s + t)
(x0 +y0 )·(x0 −y0 )
...
2
β̇ (t)
ω02 ν (t)
γ 2 eγt (1 + γt)
−γ 2 e2γt
+
=
+
α̇ (t) α̇ (t) p2 (s, t)
−γ 2 teγt
(−γteγt )2
1 + γt
s
= −
+
t
(s + t) t
1 + γ (s + t)
= −
s+t
β̇ (s + t)
=
α̇ (s + t)
4. Term mit e−i
µ
st
−
s+t
(x+y)·(x−y)
...
2
t
γ 2 eγs (1 − γs)
ω02 α (s) ω02 ν (s)
+
+
=
2
γs
˙
α̇ (s) p2
−γ se
(s + t) s
α (s)
¶
76
1 − γs
t
+
s
(s + t) s
1 − γ (s + t)
= −
s+t
2
ω0 α (s + t)
=
α̇ (s + t)
= −
5. Term mit e−i
(x0 +y0 )·(x−y)
...
2
γ4
ω04
= −
−
α̇ (s) α̇ (t) p2 (s, t)
(−γ 2 seγs ) (−γ 2 teγt )
e−γ(s+t)
=
s+t
ω02
= −
α̇ (s + t)
2
µ
st
−
s+t
¶
6. Term mit e(x−y) ...
ω04 p4 (s, t)
2ω04 µ (s)
ω04
r1 (s) +
+
r1 (s)
−
α̇ (s)2
α̇ (s)2 p2 (s, t)2 α̇ (s)2 p2 (s, t)
¡
¢
ω04
2
= −
2
2 p2 (s, t) r1 (s) − p4 (s, t) − 2p2 (s, t) µ (s) r1 (s)
α̇ (s) p2 (s, t)
!
Ã
γ 4 t2 e2γt
(1 + γs)2
1 + γs
1
(s + t)2
= −
r1 (s) +
r1 (s) +
r3 (s) + 2 2γt r1 (t)
s2 t 2
s2
s
te
α̇ (s + t)2
µ
¶
γ 4 t2 e2γt 2 (s + t)
1 + γs
r3 (s)
−
−
r1 (s) −
2
st
s
2
α̇ (s + t)
4 2γt
¡
¢
γ e
2
2
2
= −
2 2 (s + t) + t (1 + γs) − 2t (s + t) (1 + γs) r1 (s)
α̇ (s + t) s
γ 4 e2γt
2 2
−
2 2 s t r2 (s)
α̇ (s + t) s
£¡
¢
¤
γ 4 e2γt
(1 + γs) st2 − st (s + t) r3 (s) + s2 e−2γt r1 (t)
−
2 2
α̇ (s + t) s
£¡ 2
¢
¤
γ 4 e2γt
2 2 2
2
2 2
s
+
γ
s
t
−
2γs
t
r
(s)
+
s
t
r
(s)
= −
1
2
α̇ (s + t)2 s2
¡ 22
¢
γ4
γ 4 e2γt
2
γs
t
−
s
t
r
(s)
−
−
r1 (t)
3
α̇ (s + t)2 s2
α̇ (s + t)2
£¡
¢ 2γt
¡ 2
¢ 2γt
¤
γ4
2 2
2 2γt
1
+
γ
t
−
2γt
e
r
(s)
+
t
e
r
(s)
+
γt
−
t
e
r
(s)
= −
1
2
3
α̇ (s + t)2
γ4
r1 (t)
−
α̇ (s + t)2
77
4
γ
Wir werden nun zeigen, dass der Ausdruck hinter − α̇(s+t)
2 identisch mit r1 (s + t)
ist.
Aufgrund der Länge der Terme betrachten wir nun diesen Term einzeln für Dpp ,
Dqq und Dpq .
(a) Dpp -Term
=
=
=
=
D -Term von
¡ pp 2 2
¢
¡
¢
1 + γ t − 2γt e2γt r1 (s) + t2 e2γt r2 (s) + γt2 − t e2γt r3 (s) + r1 (t)
¢¡
¢
¡
¢¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
2γ s − 2γs + 1 1 + γ 2 t2 − 2γt + γ 2 t2 2γ 2 s2 + 2γs + 1
3
4γ
¢
e2γ(s+t) 3 2 ¡ 2
−
4γ s γt − t
3
4γ
2γt £
¡
¢¤
e
1
− 3 1 + γ 2 t2 − 2γt + γ 2 t2 − 2γ 2 t2 − 2γt + 1 − 3
4γ
4γ
2γ(s+t) ¡
¢
1
e
2 2
2 2
2
2γ
t
+
2γ
s
+
4γ
st
−
2γs
−
2γt
+
1
− 3
3
4γ
4γ
¢
¤
1 £ 2γ(s+t) ¡ 2
2γ (s + t)2 − 2γ (s + t) + 1 − 1
e
4γ 3
Dpp -Term von r1 (s + t)
(b) Dqq -Term
=
=
=
=
D -Term von
¡ qq 2 2
¢
¡
¢
1 + γ t − 2γt e2γt r1 (s) + t2 e2γt r2 (s) + γt2 − t e2γt r3 (s) + r1 (t)
¢¡
¢
¡
¢¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
2γ s − 6γs + 5 1 + γ 2 t2 − 2γt + γ 2 t2 2γ 2 s2 − 2γs + 1
4γ
¢¡
¢
e2γ(s+t) ¡
+
4γ −γ2s2 + 2γs − 1 γt2 − t
4γ
2γt £ ¡
¢
¡
¢ ¡
¢¤
e
5 1 + γ 2 t2 − 5γt + γ 2 t2 − 4γ γt2 − t − 2γ 2 t2 − 6γt + 5
−
4γ
5
−
4γ
2γ(s+t) ¡
¢
5
e
2γ 2 s2 + 2γ 2 t2 + 4γ 2 st − 6γs − 6γt + 5 −
4γ
4γ
¢
¤
1 £ 2γ(s+t) ¡ 2
e
2γ (s + t)2 − 6γ (s + t) + 5 − 5
4γ
Dqq -Term von r1 (s + t)
(c) Dpq -Term
Dpq -Term von
=
=
=
=
78
¡
¢
¡
¢
1 + γ 2 t2 − 2γt e2γt r1 (s) + t2 e2γt r2 (s) + γt2 − t e2γt r3 (s) + r1 (t)
¶
¸
·µ
¢
1 ¡
2s
2 2
2 2 2
2γ(s+t)
2
1 + γ t − 2γt + γ s t
+ 2
e
s −
γ
γ
¡
¢¡
¢
+e2γ(s+t) −2γs2 + 2s γt2 − t
¡
¢¤
e2γt £
1
− 2 1 + γ 2 t2 − 2γt − γ2t2 − 2γt + 1 − 2
γ
γ
µ
¶
2s 2t
1
1
e2γ(s+t) s2 + t2 + 2st −
− + 2 − 2
γ
γ
γ
γ
¢
¤
1 £ 2γ(s+t) ¡ 2
e
γ (s + t)2 − 2γ (s + t) + 1 − 1
γ2
Dpq -Term von r1 (s + t)
Somit gilt also, dass
¡
¢
¡
¢
1 + γ 2 t2 − 2γt e2γt r1 (s) + t2 e2γt r2 (s) + γt2 − t e2γt r3 (s) + r1 (t) = r1 (s + t)
Wir können also nun folgern:
ω04 p4 (s, t, x, y, x0 , y0 )
2ω04 µ (s)
ω04
r
(s)
+
+
r1 (s)
1
α̇ (s)2
α̇ (s)2
p2 (s, t)2
α̇ (s)2 p2 (s, t)
£¡
¢ 2γt
¡ 2
¢ 2γt
¤
γ4
2 2
2 2γt
1
+
γ
t
−
2γt
e
r
(s)
+
t
e
r
(s)
+
γt
−
t
e
r
(s)
= −
1
2
3
α̇ (s + t)2
γ4
−
r1 (t)
α̇ (s + t)2
ω04
r1 (s + t)
= −
α̇ (s + t)2
−
7. Term mit e(x0 −y0 )
2
...
λ (t)
ν (t)2 p4 (s, t) 2ν (t) µ (t) ω02 r1 (t)
−r1 (t) µ (t) −
−
+
4r1 (t)
α̇ (t) p2 (s, t)
p2 (s, t)2
Ã
!
2
2
β̇ (t)
r3 (t) β̇ (t)
r3 (t)
r3 (t)2
= −r1 (t)
−
+
− r2 (t) +
4r1 (t)
α̇ (t)2 r1 (t) α̇ (t) 4r1 (t)2
Ã
!
β̇ (s)2
β̇ (s)
γ4
γ 4 e4γt
−
r1 (s) +
r3 (s) − r2 (s) −
r1 (t)
+
α̇ (s)
α̇ (t)2 p2 (s, t)2
α̇ (s)2
α̇ (t)2
Ã
!
2γ 4 e2γt
β̇ (t)
r3 (t)
+
r1 (t)
−
α̇ (t) 2r1 (t)
α̇ (t)2 p2 (s, t)
2
= −
e2γt
1 + γt
(1 + γs)2
(1 + γt)2
r
(t)
−
r1 (s)
r
(t)
−
r
(t)
−
1
3
2
t2
t
s2
t2 p2 (s, t)2
79
e2γt
e2γt
1
1 + γs
r
(s)
−
r1 (t)
3
2
2 r2 (s) − 4
2
2
s t p2 (s, t)
t p2 (s, t)
t p2 (s, t)2
1 + γt
1
2
r1 (t) − 2
r3 (t)
− 2
t p2 (s, t) t
t p2 (s, t)
Ã
!
µ
¶
2s (1 + γt)
(1 + γt)2
s2
1 + γt
s
= −r1 (t)
− 2
− r3 (t)
+
−
t2
t (s + t)
t
t (s + t)
t2 (s + t)2
−
¢
e2γt ¡
2
2
2 (s + γs) r1 (s) + s r2 (s) + (s + γs) sr3 (s)
(s + t)
£¡
¢
¤
1
= −
1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (t) + (s + t)2 r2 (t)
2
(s + t)
£¡
¢
¤
1
−
(s + t) + γ (s + t)2 r3 (t) + e2γt (1 + γs)2 r1 (s)
2
(s + t)
£ 2γt 2
¤
1
−
s r2 (s) + e2γt s (s + γs) r3 (s)
2 e
(s + t)
−r2 (t) −
Andererseits gilt:
−r1 (s + t) µ (s + t)2 −
λ (s + t)
4r1 (s + t)
β̇ (s + t)
β̇ (s + t)2
= −
r3 (s + t) − r2 (s + t)
2 r1 (s + t) +
α̇ (s + t)
α̇ (s + t)
1 + γ (s + t)
(1 + γ (s + t))2
r3 (s + t)
r1 (s + t) − r2 (s + t) −
= −
2
s+t
(s + t)
¡
1
2¢
2
= −
1
+
2γ
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
r1 (s + t)
(s + t)2
£
¡
¤
1
2
2¢
−
r3 (s + t)
2 (s + t) r2 (s + t) + (s + t) + γ (s + t)
(s + t)
Wir betrachten nun ebenfalls die Dpp -, Dqq - und Dpq -Terme der Klammer-Ausdrücke und stellen fest, dass diese identisch sind.
(a) Dpp -Term
¡
¢
Dpp -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (t) + (s + t)2 r2 (t)
¡
¢
+ (s + t) + γ (s + t)2 r3 (t) + e2γt (1 + γs)2 r1 (s)
+e2γt s2 r2 (s) + e2γt s (s + γs) r3 (s)
¢¡
e2γt ¡ 2 2
2¢
2
2γ
t
−
2γt
+
1
1
+
2γ
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
=
4γ 3
¢
¡
¢¤
e2γt £¡
+ 3 2γ 4 t2 + 2γ 3 t + γ 2 (s + t)2 − 4γ 3 t2 (s + t) + γ (s + t)2
4γ
80
¤
e2γt £
2
2 2
−
(1
+
γs)
−
γ
s
4γ 3
¤
1 £
− 3 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 + γ 2 (s + t)2
4γ
¢
¡ 4 2
¢ 2¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
2
3
2
+
2γ
s
−
2γs
+
1
(1
+
γs)
+
2γ
s
+
2γ
s
+
γ
s
4γ 3
¤
e2γ(s+t) £
3 2
−4γ
s
s
(1
+
γs)
+
4γ 3
¤ e2γ(s+t)
1 £
= − 3 1 + 2γ (s + t) + 2γ 2 (s + t)2 +
4γ
4γ 3
¢¡
¢
e2γ(s+t) ¡ 2
2γ (s + t)2 − 2γ (s + t) + 1 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2
=
3
4γ
¢
e2γ(s+t) ¡ 4
2
3
2
+
2γ
(s
+
t)
+
2γ
(s
+
t)
+
γ
(s + t)2
3
4γ
2γ(s+t) £
e
2¡
2 ¢¤
3
+
−4γ
(s
+
t)
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
4γ 3
¡
¢
= Dpp -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (s + t)
¡
¢
+ (s + t)2 r2 (s + t) + (s + t) + γ (s + t)2 r3 (s + t)
+
(b) Dqq -Term
¡
¢
Dqq -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (t) + (s + t)2 r2 (t)
¡
¢
+ (s + t) + γ (s + t)2 r3 (t) + e2γt (1 + γs)2 r1 (s)
¢¡
¢
e2γt ¡ 2 2
=
2γ t − 6γt + 5 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2
4γ
¢
e2γt ¡ 4 2
2γ t − 2γ 3 t + γ 2 (s + t)2
+
4γ
¢¡
¢
e2γt ¡
+
−4γ 3 t2 + 8γ 2 t − 4γ (s + t) + γ (s + t)2
4γ
¤
e2γt £
−5 (1 + γs)2 − γ 2 s2 + 4γs (1 + γs)
+
4γ
¢
¡
¢¤
1 £ ¡
5 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 − 4γ (s + t) + γ (s + t)2
−
4γ
¢
¡
¢ ¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
2γ s − 6γs + 5 (1 + γs)2 + 2γ 4 s2 − 2γ 3 s + γ2 s2
+
4γ
2γ(s+t) ¡
¢
e
+
−4γ 3 s2 + 8γ 2 s − 4γ s (1 + γs)
4γ
81
¤ 5e2γ(s+t)
1 £
5 + 6γ (s + t) + 2γ 2 (s + t)2 +
4γ
4γ
2
¢¡
¢
e γ (s + t) ¡ 2
=
2γ (s + t)2 − 6γ (s + t) + 5 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2
4γ
2
¢
e γ (s + t) ¡ 4
+
2γ (s + t)2 − 2γ 3 (s + t) + γ 2 (s + t)2
4γ
2
¢¡
¢
e γ (s + t) ¡
−4γ 3 (s + t)2 + 8γ 2 (s + t) − 4γ (s + t) + γ (s + t)2
+
4γ
£
¡
¢
¤
1
−
5 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 + γ 2 (s + t)2
4γ
¡
¢¤
1 £
−4γ (s + t) + γ (s + t)2
−
4γ
¡
¢
= Dqq -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (s + t)
¡
¢
+ (s + t)2 r2 (s + t) + (s + t) + γ (s + t)2 r3 (s + t)
= −
(c) Dpq -Term
¡
¢
Dpq -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (t) + (s + t)2 r2 (t)
¡
¢
+ (s + t) + γ (s + t)2 r3 (t) + e2γt (1 + γs)2 r1 (s)
¢¡
e2γt £¡ 2 2
2¢
2¤
2
4 2
=
γ
t
−
2γt
+
1
1
+
2γ
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
+
γ
t
(s
+
t)
γ2
¢¡
¢
¤
e2γt £¡
+ 2 −2γ 3 t2 + 2γ 2 t (s + t) + γ (s + t)2 − (1 + γs)2
γ
¤
1 £
− 2 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2
γ
¤
¢
e2γ(s+t) £¡ 2 2
γ s − 2γs + 1 (1 + γs)2 + γ 4 s2 s2
+
2
γ
2γ(s+t) ¡
¢
e
3 2
2
+
−2γ
s
+
2γ
s
(1 + γs) s
γ2
¢ e2γ(s+t)
1 ¡
= − 2 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (1 + t)2 +
γ
γ2
¢¡
e2γ(s+t) ¡ 2
2
2¢
2
=
γ
(s
+
t)
−
2γ
(s
+
t)
+
1
1
+
2γ
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
γ2
e2γ(s+t)
(s + t)2 γ 4 (s + t)2
+
γ2
¢
e2γ(s+t) ¡
2¢ ¡
2
3
2
+
(s
+
t)
+
γ
(s
+
t)
−2γ
(s
+
t)
+
2γ
(s
+
t)
γ2
¤
1 £
− 2 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2
γ
82
¡
¢
= Dqq -Term von 1 + 2γ (s + t) + γ 2 (s + t)2 r1 (s + t)
¡
¢
+ (s + t)2 r2 (s + t) + (s + t) + γ (s + t)2 r3 (s + t)
Also gilt:
ν (t)2 p4 (s, t) 2ν (t) µ (t) ω02 r1 (t)
λ (t)
+
−
−r1 (t) µ (t) −
4r1 (t)
α̇ (t) p2 (s, t)
p2 (s, t)2
λ (s + t)
= −r1 (s + t) µ (s + t)2 −
4r1 (s + t)
2
8. Term mit e(x−y)·(x0 −y0 )...
2ω02 ν (t) p4 (s, t)
2µ (t) ω04
2ω02 ν (t) µ (s)
+
r
(t)
−
r1 (s)
1
α̇ (t) α̇ (s) p2 (s, t)
α̇ (s) p2 (s, t)
α̇ (s) p2 (s, t)2
¸
·
2ω02 ν (t)
ω02 µ (t) p2 (s, t)
= −
r1 (t) + p2 (s, t) µ (s) r1 (s)
p4 (s, t) −
α̇ (t) ν (t)
α̇ (s) p2 (s, t)2
"
#
2e2γt s2 t2
(1 + γs)2
1 + γs
1
=
−
r1 (s) −
r3 (s) − r2 (s) − 2 2γt r1 (t)
s2
s
te
st (s + t)2 eγ(s+t)
·
µ
¶¸
2e2γt s2 t2
s + t 1 + γt
1
+
r1 (t) + r3 (t)
2 γ(s+t)
2γt
e st
t
2
st (s + t) e
¶¸
µ
·
2γt 2 2
1
s + t 1 + γs
2e s t
r1 (s) + r3 (s)
+
st
s
2
st (s + t)2 eγ(s+t)
¤
e−γ(s+t) £
2γt
=
r1 (s) − 2ste2γt r2 (s)
2 2 (1 + γs) (1 − γt) e
(s + t)
¤
e−γ(s+t) £ 2γt
(s − t − 2γst) r3 (s) + 2 (1 + γ (s + t)) r1 (t) + (s + t) r3 (t)
+
2 e
(s + t)
−
Anderseits gilt wiederum:
2ω02 µ (s + t)
r1 (s + t)
α̇ (s + t)
µ
¶
e−γ(s+t) 2 (1 + γ (s + t))
=
r1 (s + t) − r3 (s + t)
(s + t)
s+t
e−γ(s+t)
=
(2 (1 + γ (s + t)) r1 (s + t) + (s + t) r3 (s + t))
(s + t)2
Wir vergleichen ebenfalls die Terme in den Klammern für Dpp , Dqq und Dpq
einzeln.
83
(a) Dpp -Term
=
=
=
=
Dpp -Term von 2 (1 + γs) (1 − γt) e2γt r1 (s) − 2ste2γt r2 (s)
+e2γt (s − t − 2γst) r3 (s) + 2 (1 + γ (s + t)) r1 (t) + (s + t) r3 (t)
¢ ¡
¢
e2γ(s+t) ¡ 2 2
2γ s − 2γs + 1 2 1 + γs − γt − γ 2 st
3
4γ
¢
¤
e2γ(s+t) £ ¡ 4 2
3
2
3 2
−
2γ
s
+
2γ
s
+
γ
2st
−
4γ
s
(s
−
t
−
2γst)
+
4γ 3
2γt £ ¡
¢
¤
e
− 3 2 1 + γs − γt − γ 2 st − γ 2 2st
4γ
¢
¤
e2γt £ ¡
− 3 − 2γ 2 t2 − 2γt + 1 2 (1 + γs + γt) + 4γ 3 t2 (s + t)
4γ
1
− 3 2 (1 + γ (s + t))
4γ
2γ(s+t)
e
1
[2 − 2γ (s + t)] − 3 [2 + 2γ (s + t)]
3
4γ
4γ
2γ(s+t) ¡
¢
e
2
2
2γ
(s
+
t)
−
2γ
(s
+
t)
+
1
2 (1 + γ (s + t))
4γ 3
¤
e2γ(s+t) £
2
3
+
−4γ
(s
+
t)
(s
+
t)
4γ 3
1
− 3 [2 + 2γ (s + t)]
4γ
Dpp -Term von 2 (1 + γ (s + t)) r1 (s + t) + (s + t) r3 (s + t)
(b) Dqq -Term
Dqq -Term von 2 (1 + γs) (1 − γt) e2γt r1 (s) − 2ste2γt r2 (s)
e2γt (s − t − 2γst) r3 (s) + 2 (1 + γ (s + t)) r1 (t) + (s + t) r3 (t)
¢¡
¢¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
2γ s − 6γs + 5 2 + 2γs − 2γt − 2γ 2 st
=
4γ
¢ ¤
e2γ(s+t) £ ¡ 4 2
+
− 2γ s − 2γ 3 s + γ 2 2st
4γ
2γ(s+t)
¡
¢
e
+
4γ −γ 2 s2 + 2γs − 1 (s − t − 2γst)
4γ
2γt £ ¡
¢
¤
e
5 2 + 2γs − 2γt − 2γ 2 st − γ 2 2st − 4γ (s − t − 2γst)
−
4γ
¢
¤
e2γt £ ¡ 2 2
− 2γ t − 6γt + 5 (2 + 2γs + 2γt)
−
4γ
¡
¢
¤
e2γt £
−4γ −γ 2 t2 + 2γt − 1 (s + t)
−
4γ
84
1
[5 (2 + 2γs + 2γt) − 4γ (s + t)]
4γ
1
e2γ(s+t)
[10 − 6γ (s + t)] −
[10 + 6γ (s + t)]
=
4γ
4γ
¢
e2γ(s+t) ¡ 2
2γ (s + t)2 − 6γ (s + t) + 5 2 (1 + γ (s + t))
=
4γ
¢
¤
e2γ(s+t) £ ¡ 2
+
4γ −γ (s + t)2 + 2γ (s + t) − 1 (s + t)
4γ
1
− [5 (2 + 2γ (s + t)) − 4γ (s + t)]
4γ
= Dqq -Term von 2 (1 + γ (s + t)) r1 (s + t) + (s + t) r3 (s + t)
−
(c) Dpq -Term
=
=
=
=
Dpq -Term von 2 (1 + γs) (1 − γt) e2γt r1 (s) − 2ste2γt r2 (s)
e2γt (s − t − 2γst) r3 (s) + 2 (1 + γ (s + t)) r1 (t) + (s + t) r3 (t)
¢
¤
e2γ(s+t) £¡ 2 2
4 2
γ
s
−
2γs
+
1
2
(1
+
γs)
(1
−
γt)
−
γ
s
2st
γ2
¢
¤
e2γ(s+t) £¡
3 2
2
−2γ
s
+
2γ
s
(s
−
t
−
2γst)
+
γ2
¡
¢
¤
e2γt £
− 2 2 (1 + γs) (1 − γt) − γ 2 t2 − 2γt + 1 2 (1 + γs + γt)
γ
¢
¤
e2γt £ ¡
− 2 − −2γ 3 t2 + 2γ 2 t (s + t)
γ
1
− 2 [2 + 2γ (s + t)]
γ
2γ(s+t)
e
1
[2
−
2γ
(s
+
t)]
−
[2 + 2γ (s + t)]
γ2
γ2
¢
¤
e2γ(s+t) £¡ 2
2
γ
(s
+
t)
−
2γ
(s
+
t)
+
1
2
(1
+
γ
(s
+
t))
γ2
¢
¤
e2γ(s+t) £¡
2
3
2
−2γ
(s
+
t)
+
2γ
(s
+
t)
(s
+
t)
+
γ2
1
− 2 [2 + 2γ (s + t)]
γ
Dpq -Term von 2 (1 + γ (s + t)) r1 (s + t) + (s + t) r3 (s + t)
Zusammengefasst erhalten wir:
2ω02 ν (t) p4 (s, t)
2µ (t) ω04
2ω02 ν (t) µ (s)
+
r
(t)
−
r1 (s)
1
α̇ (t) α̇ (s) p2 (s, t)
α̇ (s) p2 (s, t)
α̇ (s) p2 (s, t)2
2ω02 µ (s + t)
r1 (s + t)
=
α̇ (s + t)
−
Anhang C
Ausführlicher Beweis zur
Proposition 4.17
In dem Beweis zur Propostion 4.17, der sich hier in diesem Anhang befindet, geben wir
eine ausführlichere Rechnung als in Kapitel 4.4.1 an.
Proposition C.1
Sei R0 ∈ E. Dann ist R (t) ein Operator aus E.
Beweis:
Aufgrund der Splittung (4.10) und der Positivitätserhaltung der quantendynamischen
Halbgruppe {S (t)}t≥0 (siehe Satz 4.16) können wir uns ohne Bechränkung der Allgemeinheit auf den Fall R0 ≥ 0 und somit R (t) ≥ 0 beschränken.
1. Teil:
¡ ¡ ¢¢
Da R0 ∈ E, ist R0 ∈ J1s L2 Rd .
¡ ¡ ¢¢
Nach Proposition 4.13 gilt dann, dass R (t) ∈ J1s L2 Rd mit k R (t) k1 =k R0 k1 < ∞.
2. Teil:
In diesem Teil des ¡Beweises
zeigen wir, dass T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) < ∞.
¢
Da für alle ψ ∈ L2 Rd gilt, dass
(| ∇ | R (t) | ∇ |) ψ (y) = − (∇R (t) ∇) ψ (y)
Z
= −∇x ·
ρ (x, y, t) ∇y ψ (y) dy
d
Z R
= ∇x ·
(∇y ρ (x, y, t)) ψ (y) dy,
Rd
erhalten wir für die Spur von | ∇ | R (t) | ∇ | das folgende Integral.
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) =
Rd
85
Anhang C. Ausführlicher Beweis zur Proposition 4.17
86
Führen wir die Abkürzungen
C (t) :=
µ
q (w, z, t) := e
¶d
(C.1)
ρ0 (w, z)
(C.2)
e2γt ω02
2π | α̇ (t) |
−
λ(t)|w−z|2
4r1 (t)
ein und benutzen die Darstellung (4.8) für ρ (x, y, t), so erhalten wir
∇ ρ (x, y, t)
Zy
2
ω0
2
Cq (w, z) e−r1 |µ(w−z)− α̇ (x−y)|
=
R2d
µ
(w−z)·(x+y)
β̇
+ α̇
−i ν
2
2α
ω0
ω 2 (w+z)·(x−y)
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
+ α̇
− α̇0
2
2
2
¶
µ
¶¶
µ e 2
ν
2r1 ω04
ω02 α
ω02
2r1 ω0 µ
(x − y) − i
(w − z) +
(w − z) −
y+
(w + z)
dwdz
−
α̇
α̇2
2
α̇
2α̇
∇x · ∇y ρ (x, y, t)
Z
2
ω0
2
Cq (w, z) e−r1 |µ(w−z)− α̇ (x−y)|
=
R2d
e
+
Z
µ
(w−z)·(x+y)
β̇
+ α̇
−i ν
2
R2d
Cq (w, z) e
2α
ω0
ω 2 (w+z)·(x−y)
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
+ α̇
− α̇0
2
2
2
−r1 |µ(w−z)−
¶
2dr1 ω04
dwdz
α̇2
2
ω0
(x−y)|2
α̇
µ
µ
¶¶
2r1 ω02 µ
2r1 ω04
ω02 α
ω02
ν
(x − y) − i
−
(w − z) +
(w − z) −
y+
(w + z)
α̇
α̇2
2
α̇
2α̇
µ
µ
¶¶
2r1 ω04
ω02 α
ω02
ν
2r1 ω02 µ
(x − y) − i
(w − z) −
(w − z) +
x−
(w + z)
α̇
α̇2
2
α̇
2α̇
e
µ
(w−z)·(x+y)
β̇
+ α̇
−i ν
2
2α
ω0
ω 2 (w+z)·(x−y)
(w+z)·(w−z)
(x+y)·(x−y)
+ α̇
− α̇0
2
2
2
¶
dwdz
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x)
Z
³
´
β̇ (w+z)·(w−z)
−r1 |µ(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
e
Cq (w, z) e
=
R2d
µ
µ 2 4 2
¶
¶
r1 ω04
ν2
ω04
4r1 ω0 µ
2
2
2d 2 −
+
(w − z) + 2 (w + z)
α̇
α̇2
4
4α̇
Z
³
´
(w+z)·(w−z)
β̇
−r1 |µ(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
e
Cq (w, z) e
+
R2d
µ
¶
2r1 ω04 µ
−i
(w + z) · (w − z) dwdz
α̇2
Z
2
³
−i ν(w−z)·x+ β̇
87
(w+z)·(w−z)
´
α̇
2
Cq (w, z) e−r1 |µ(w−z)| e
R2d
¶
µ
4r1 ω04 αµ
ω04 α
(w − z) · xdwdz
− 2 (w + z) + i
α̇
α̇2
Z
³
´
β̇ (w+z)·(w−z) ω 4 α2
0
−r1 |µ(w−z)|2 −i ν(w−z)·x+ α̇
2
+
Cq (w, z) e
e
x2 dwdz
α̇2
R2d
+
Mit der Variablentransformation v := ν (t) (w − z), s :=
ω02
α̇(t)
(w + z), den Abkürzungen
α̇ (t)
ω02
1
α̇ (t)
α̇ (t)
τ (t) :=
=
= − 2 e−2γt
ν (t)
ω0
α̇ (t) β (t) − α (t) β̇ (t)
µ
¶d
| σ (t) || τ (t) |
C1 (t) := C (t)
2
σ (t) :=
(C.3)
(C.4)
(C.5)
und anschließender Integration über x, erhalten wir
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
µ
¶
Z
´
³
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −ix·v −i β̇ στ v·s
1
e
e α̇ 2 ρ0
,
=
C1
e
2
2
R3d
¶
µ
µ 2 4 2
¶
4 2
4
2
4r1 ω0 µ
ω0 σ 2
r1 ω 0
ν
2r1 ω04 µστ
2 2
τ v +
2d 2 −
+
s −i
s · v dxdsdv
α̇
α̇2
4
4α̇2
α̇2
¶
µ
Z
´
³
1
,
e
e α̇ 2 ρ0
+C1
e
2
2
R3d
µ
¶
4
4
ω ασ
4r1 ω0 αµτ
− 02 s+i
v · xdxdsdv
α̇
α̇2
¶
µ
Z
´
³
α̇
2
1
e
e
ρ0
+C1
,
e
2
2
R3d
4 2
ω0 α 2
x dxdsdv
2
µ
¶
Z α̇ ³
´
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
d
1
δd (v)
=x-Int (2π) C1
e
e α̇ 2 ρ0
,
2
2
R2d
¶
µ
µ 2 4 2
¶
r1 ω04
1 2
ν2
2r1 ω02 µτ
4r1 ω0 µ
2 2
τ v + s −i
2d 2 −
+
s · v dsdv
α̇
α̇2
4
4
α̇
µ
¶
Z
³
´
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
(1)
d
α̇
2
1
ρ0
iδd (v)
+ (2π) C1
e
e
,
2
2
R2d
µ
¶
2
4
ω α
4r1 ω0 αµτ
− 0 s+i
v dsdv
α̇
α̇2
d
− (2π) C1
Z
e
R2d
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
e
στ
2
v·s
ρ0
ω04 α2
dsdv
α̇2
µ
88
,
2
2
¶
(2)
δd (v)
(1)
(2)
Hierbei wurden für v = (v1 , v2 , . . . , vd )T ∈ Rd die Ausdrücke δd (v), δd (v) und δd (v)
definiert.
d
Y
δd (v) :=
δ (vk )
(C.6)
k=1
Q

δ (1) (v1 ) dk=1,k6=1 δ (vk )

 δ (1) (v2 ) Qd

(1)
k=1,k6=2 δ (vk ) 
δd (v) := 

..


.
Q
d
δ (1) (vd ) k=1,k6=d δ (vk )
Ã
!
d
d
X
Y
(2)
δd (v) :=
δ (2) (vk )
δ (vj )

(C.7)
(C.8)
j=1,j6=k
k=1
δ, δ (1) und δ (2) sind die Diracsche Deltadistribution in einer Dimension sowie deren
erste beiden distributionellen Ableitungen.
R
Als nächstes betrachten wir die Summanden von Rd [∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx einzeln,
führen jeweils die v-Integration aus und machen die Substition x = σs
.
2
1. Summand:
¶
,
ρ0
e
δd (v)
(2π) C1
e
2
2
R2d
µ
¶
µ 2 4 2
¶
r1 ω04
1 2
ν2
2r1 ω02 µτ
4r1 ω0 µ
2 2
2d 2 −
τ v + s −i
+
s · v dsdv
α̇
α̇2
4
4
α̇
Z
³ σs σs ´ µ r ω 4 1 ¶
1
d
ρ0
2d 2 0 + s2 ds
(2π) C1
,
2 2
α̇
4
Rd
µ
¶
¶d Z
µ
r1 ω04 x2
2
d
ρ0 (x, x) 2d 2 + 2 dx
(2π) C1
|σ|
α̇
σ
Rd
Z
d
=v-Int
=
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
στ
2
v·s
µ
2. Summand:
d
(2π) C1
Z
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
στ
2
v·s
µ
,
2
2
e
ρ0
e
µ
¶
ω02 α
4r1 ω04 αµτ
v dsdv
−
s+i
α̇
α̇2
R2d
¶
(1)
iδd (v)
d
89
Z
= −i (2π) C1
2d
¶¶
¶µ
µ ³ R ´
µ
λ
4r1 ω04 αµτ
ω02 α
− 4r +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
1
divv e
v
,
s+i
−
e α̇ 2 ρ0
2
2
α̇
α̇2
δd (v) dsdv
¶¶
µ µ
Z
d
= −i (2π) C1
δd (v) ∇v ρ0
,
2
2
R2d
µ
¶
³
´
λ
ω02 α
4r1 ω04 αµτ
− 4r +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
α̇
2
1
·e
e
−
s+i
v dsdv
α̇
α̇2
¶ ³
µ
Z
´
σs + τ v σs − τ v − 4rλ +r1 µ2 τ 2 v2 −i β̇ στ v·s
d
1
,
e
−i (2π) C1
δd (v) ρ0
e α̇ 2
2
2
R2d
! µ
Ã µ
¶
¶
στ
ω02 α
4r1 ω04 αµτ
β̇
λ
2
2
+ r1 µ τ v − i
s · −
s+i
v
−2
4r1
α̇ 2
α̇
α̇2
¶ ³
µ
Z
´
d
1
e α̇ 2
,
−i (2π) C1
δd (v) ρ0
e
2
2
R2d
4dr1 ω04 αµτ
i
dsdv
α̇2
Z
τ
= −i (2π)d C1
δd (v) [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)]( σs+τ v , σs−τ v )
2
2
2
R2d
¶
µ
´
³
4r1 ω04 αµτ
ω02 α
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
1
s+i
v dsdv
e α̇ 2
·e
−
α̇
α̇2
Ã
!
µ
¶
Z
³ σs σs ´
β̇ στ
ω02 α
4dr1 ω04 αµτ
d
−i (2π) C1
ρ0
,
−i
s· −
s +i
ds
2 2
α̇ 2
α̇
α̇2
Rd
µ
¶
Z
ω02 α
τ
d
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)]( σs , σs ) · −
s ds
= −i (2π) C1
2
2
α̇
Rd 2
Ã
!
¶d Z
µ
2β̇ω04 ατ 2
4dr1 ω04 αµτ
2
d
ρ0 (x, x) i
dx
x +i
−i (2π) C1
|σ|
α̇3
α̇2
Rd
µ
¶
¶d Z
µ
2ω04 α
2
τ
d
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · − 2 x dx
= −i (2π) C1
|σ|
α̇
Rd 2
Ã
!
µ
¶d Z
4
4
4dr1 ω0 αµτ
2
2β̇ω0 ατ 2
x +i
−i (2π)d C1
ρ0 (x, x) i
dx
3
|σ|
α̇
α̇2
Rd
3. Summand:
d
− (2π) C1
= − (2π)d C1
Z
e
ZR
2d
R2d
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
δd (v)
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
e
στ
2
v·s
ρ0
µ
,
2
2
¶
(2)
δd (v)
ω04 α2
dsdv
α̇2
90
¶
¶
σs + τ v σs − τ v ω04 α2
,
∆v e
e
dsdv
ρ0
2
2
α̇2
µ µ
¶¶ ³
Z
´
ω04 α2
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2
d
1
δd (v) ∆v ρ0
,
e
= − (2π) C1 2
α̇
2
2
R2d
µ
−
β̇ στ
2
eZ−i α̇
2
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
στ
2
v·s
µ
v·s
dsdv µ µ
¶¶
,
δd (v) 2∇v ρ0
2
2
R2d
µ ³
¶
´
λ
− 4r +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
α̇
2
1
·∇v e
dsdv
e
¶
µ
Z
ω04 α2
d
,
δd (v) ρ0
− (2π) C1 2
α̇
2
2
R2d
µ ³
¶
´
− 4rλ +r1 µ2 τ 2 v 2 −i β̇ στ v·s
1
∆v e
dsdv
e α̇ 2
Z
ω04 α2
τ2
d
= − (2π) C1 2
δd (v) [(∆x − 2∇y · ∇x + ∆y ) ρ (x, y)]( σs+τ v , σs−τ v )
2
2
α̇
4
R2d
ω4α
− (2π)d C1 0 2
α̇
ω04 α2
d
− (2π) C1 2
α̇
ω04 α2
− (2π) C1 2
α̇
d
− (2π)d C1
ω04 α2
α̇2
= − (2π)d C1
ω04 α2
α̇2
ω04 α2
− (2π) C1 2
α̇
d
− (2π)d C1
ω04 α2
α̇2
Z
e
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v 2 −i β̇
α̇
e
στ
2
v·s
dsdv
−
³
λ
+r1 µ2
4r1
´
τ 2 v2
δd (v) τ [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)]( σs+τ v , σs−τ v ) e
2
2
R2d
Ã µ
!
¶
β̇ στ
λ
β̇τ
σ
+ r 1 µ2 τ 2 v − i
s dsdv
·e−i α̇ 2 v·s −2
4r1
2α̇
µ
¶ ³
Z
´
1
e α̇ 2
e
δd (v) ρ0
,
2
2
R2d
!2
Ã µ
¶
β̇στ
λ
s dsdv
+ r1 µ2 τ 2 2v − i
−
4r1
2α̇
µ
¶ ³
Z
´
1
δd (v) ρ0
,
e α̇ 2
e
2
2
R2d
¶¶
µ µ
λ
2
+ r1 µ
2dτ 2 dsdv
−
4r1
Z
τ2
[(∆x − 2∇y · ∇x + ∆y ) ρ0 (x, y)]( σs , σs ) ds
2
2
Rd 4
Ã
!
Z
β̇τ σ
τ [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)]( σs , σs ) · −i
s ds
2
2
2α̇
Rd

Ã
!2 µ
¶
Z
³ σs σs ´
 −i β̇στ s − λ + r1 µ2 2dτ 2  ds
ρ0
,
2 2
2α̇
4r1
Rd
ω 4 α2
= − (2π) C1 0 2
α̇
d
ω 4 α2
− (2π) C1 0 2
α̇
d
ω 4 α2
− (2π) C1 0 2
α̇
d
µ
µ
µ
2
|σ
2
|σ
¶d Z
τ2
[(∆x − 2∇y · ∇x + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
Rd 4
Ã
!
¶d Z
β̇τ
τ [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · −i x dx
|
α̇
Rd
Ã

!2 µ
¶d Z
¶
β̇τ
λ
+ r1 µ2 2dτ 2  dx
ρ0 (x, x)  −i x −
|
α̇
4r
d
1
R
2
|σ|
Die Konstante vor dem Integral lässt sich zu 1 vereinfachen.
C1 (2π)
d
µ
2
|σ|
¶d
µ
µ
¶d µ
¶2
¶d
e2γt ω02
2
| σ || τ |
d
=
(2π)
2π | α̇ |
2
|σ|
!−d
µ 2 ¶d Ã
ω0
| β α̇ − αβ̇ |
= e2dγt
| α̇ |
| α̇ |
= e2dγt
= 1
ω02d
| β α̇ − αβ̇ |d
Addieren wir die drei Terme, so ergibt sich
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
µ
µ
¶¶ Z
2dr1 ω04 4dr1 ω04 αµτ
λ
2dω04 α2 τ 2
2
=
+
+
+ r1 µ
ρ0 (x, x) dx
α̇2
α̇2
α̇2
4r1
Rd
!Z
Ã
2β̇ω04 ατ
ω04 α2 β̇ 2 τ 2
1
+
+
ρ0 (x, x) x2 dx
+
2
3
4
σ
α̇
α̇
Rd
!Z
Ã
τ ω04 α ω04 α2 β̇τ 2
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx
+i
+
α̇2
α̇3
Rd
Z
ω04 α2 τ 2
−
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
4α̇2
Rd
Fassen wir als nächstes die zeitabhängigen Terme vor den Integralen zusammen.
1.
µ
¶¶
µ
2dr1 ω04 4dr1 ω04 αµτ
λ
2dω04 α2 τ 2
2
+
+
+ r1 µ
α̇2
α̇2
α̇2
4r1
Ã
!!
Ã
2αα̇
2dω04
β̇
r3
r1 +
=
r1
−
α̇2
−ω02 e2γt
α̇ 2r1
91
2dω04
+ 2
α̇
2dω04
α̇2
2
2
α α̇
ω04 e4γt
Ã
Ã
r2 −
r32
4r1
+ r1
Ã
2
β̇
β̇ r3
−
+
2
α̇
α̇ r1
2
92
r32
4r12
!!
2
2
2
!
2
β̇ α
2αβ̇
αα̇
α α̇
α β̇ α̇
r + 2 2γt r3 + 4 4γt r2 + 4 4γt r1 − 4 4γt r3
2 2γt 1
ω0 e
ω0 e
ω0 e
ω0 e
ω0 e
Ã
!2
Ã
! 
2 2
4
α α̇ −4γt
αβ̇ −2γt
αα̇ −2γt
2dω0 
αβ̇ −2γt
r
+
1
−
r3 
e
e
r
+
e
e
=
1
−
1
2
2
4
2
α̇2
ω0
ω0
ω0
ω02
=
2.
r1 −
Ã
2β̇ω04 ατ
ω04 α2 β̇ 2 τ 2
1
+
+
σ2
α̇3
α̇4

!

ω04 
2αβ̇
α2 β̇ 2

1
+
+

³
´2 
2
α̇
α̇β − αβ̇
α̇β − αβ̇
¶
µ
³
´
³
´2
ω04
2 2
α̇β − αβ̇ + 2αβ̇ α̇β − αβ̇ + α β̇
=
³
´2
α̇2 α̇β − αβ̇
=
=
=
ω04
2 2
³
´2 α̇ β
α̇2 α̇β − αβ̇
β2
e4γt
3.

ω04 α 
α̇
τ ω04 α ω04 α2 β̇τ 2
+
=
+

2
3
2
α̇
α̇
α̇
α̇β − αβ̇
=
=
ω04 α
³
α̇ α̇β − αβ̇
αβ
e4γt
αβ̇ α̇2

³
´2 
α̇ α̇β − αβ̇
³
´
´2 α̇β − αβ̇ + αβ̇
4.
−
ω04 α2 τ 2
= −
4α̇2
= −
ω04 α2 α̇2
³
´2
2
4α̇ α̇β − αβ̇
α2
4e4γt

93
R
Mit diesen Vereinfachungen lässt sich das Integral Rd [∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx in der
folgenden Form schreiben.
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx
Rd
Ã
!2
Ã
! 
4
2 2
2dω0 
α α̇
αβ̇
αα̇
αβ̇
=
2
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
Z
ρ0 (x, x) dx
Rd
Z
2 −4γt
ρ0 (x, x) x2 dx
+β e
d
R
Z
−4γt
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx
+iαβe
d
R
Z
1 2 −4γt
− α e
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
4
Rd
P
Aufgrund der Darstellung ρ0 (x, y) = k λk φk (x) φk (y) mit {λk }k∈N ⊂ l1 (R), können
wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass
ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y).
Damit erhalten wir die Formeln:
1.
Z
=
=
=
=
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx
d
ZR
ZR
d
ZR
d
ZR
£
£
d
−
= 2i
= 2i
φ (y) ∇x φ (x) − φ (x) ∇y φ (y)
¤
(x,x)
· xdx
¡
¢
φ (x) ∇x φ (x) − φ (x) ∇x φ (x) · xdx
[< (φ (x)) − i= (φ (x))] [∇x < (φ (x)) + i∇x = (φ (x))] · xdx
Rd
Z
¡
¢¤
(∇x − ∇y ) φ (x) φ (y) (x,x) · xdx
Rd
Z
ZR
d
Rd
[< (φ (x)) + i= (φ (x))] [∇x < (φ (x)) − i∇x = (φ (x))] · xdx
[< (φ (x)) ∇x = (φ (x)) − = (φ (x)) ∇x < (φ (x))] · xdx
¡
¢
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
2.
Z
=
=
Z
Rd
ZR
d
Rd
= −4
= −4
94
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
£
£
Z
¡
¢¤
(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) φ (x) φ (y) (x,x) dx
¡
¢
¤
φ (y) ∆x φ (x) − 2 (∇x φ (x)) · ∇y φ (y) + φ (x) ∆y φ (y) (x,x) dx
ZR
d
Rd
¢
¡
(∇x φ (x)) · ∇x φ (x) dx
| ∇x φ (x) |2 dx
Verwenden wir diese beiden Formeln, so ergibt sich:
Z
Z
2
−4γt
2 −4γt
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x,x) · xdx
ρ0 (x, x) x dx + iαβe
β e
Rd
Rd
Z
1 2 −4γt
− α e
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x,x) dx
4
d
Z R
Z
¢
¡
2 −4γt
2
−4γt
= β e
| φ (x) x | dx − 2αβe
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
Rd
Rd
Z
+α2 e−4γt
| ∇x φ (x) |2 dx
Rd
Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung lässt sich zeigen, dass
Z
Z
¡
¢
¢
¡
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx |
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx ≤ |
d
Rd
ZR
¢
¡
= |
φ (x) ∇x φ (x) − φ (x) ∇x φ (x) · xdx |
d
Z R
≤
| φ (x) x | · | ∇x φ (x) | + | φ (x) x | · | ∇x φ (x) | dx
Rd
µ Z
≤
2
¶ 21 µ Z
| φ (x) x | dx
2
2
Rd
2
Rd
| ∇x φ (x) | dx
¶ 12
gilt.
Benutzen wir diese Ungleichung, so gilt:
−∞
2 −4γt
< β e
Z
2
Rd
2 −4γt
| φ (x) x | dx + α e
µ Z
−4γt
2
−2 | α || β | e
Z
Rd
| ∇x φ (x) |2 dx
¶ 21 µ Z
| φ (x) x | dx
2
2
Rd
2
Rd
| ∇x φ (x) | dx
¶ 12
Z
95
Z
| ∇x φ (x) |2 dx
| φ (x) x | dx + α e
Rd
Rd
Z
¡
¢
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
−2αβe−4γt
Rd
Z
Z
2
2 −4γt
2 −4γt
| ∇x φ (x) |2 dx
| φ (x) x | dx + α e
≤ β e
2 −4γt
≤ β e
2
2 −4γt
Rd
Rd
µ Z
−4γt
+2 | α || β | e
2
< ∞
¶ 12 µ Z
| φ (x) x | dx
2
2
Rd
2
Rd
| ∇x φ (x) | dx
¶ 12
R
R
Hierbei wurde Rbenutzt, dass die Ausdrücke Rd | φ (x) |2 dx, Rd | φ (x) x |2 dx beziehungsweise Rd | ∇x φ (x) |2 dx der Spur von R0 , der Spur von | x | R0 | x |
beziehungsweise der Spur von | ∇ | R0 | ∇ | entsprechen und dass sie nach Voraussetzung endlich sind.
R
Somit können wir das Integral Rd [∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx nach oben und nach unten
abschätzen.
Weiterhin gilt, dass
Z
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx ≥ 0
Rd
ist.
Zusammenfassend bekommen wir also die folgende Aussage:
Z
0≤
[∇x · ∇y ρ (x, y, t)](x,x) dx = T r (| ∇ | R (t) | ∇ |) < ∞
Rd
3. Teil:
Wir zeigen in diesem Teil, dass T r (| x | R (t) | x |) < ∞.
Wir
wählen dieses Mal die Darstellung (4.7) für ρ (x, y, t) und betrachten das Integral
R
ρ (x, x, t) | x |2 dx, welches der Spur von | x | R (t) | x | entspricht.
Rd
Mit der Substition z := ν (t) y0 , anschließender x-Integration und z-Integration erhalten
wir
Z
| x |2 ρ (x, x, t) dx
d
R
Z
³
³
´
´
β̇
λ
2
2
2
2
2 − r1 µ + 4r1 τ |z| −iτ z· νx+ α̇ x0
=
C|τ |
|x| e
e
R3d
³
τz ´
τz
ρ0 x 0 + , x 0 −
dxdzdx0
2
2
Z
³
´
− r µ2 + λ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
(2)
=x-Int −C | τ |2 (2π)d
δd (z) e 1 4r1
e α̇
R2d
³
τz
τz ´
dzdx0
ρ0 x 0 + , x 0 −
2
2
=
=
=
¶
³
τz
τz ´
δd (z) ∆z e
ρ0 x 0 + , x 0 −
−
e
dzdx0
2
2
R2d
Z
³
´
³ ³ ³
τz
τ z ´´´ − r1 µ2 + 4rλ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
1
e
dzdx0
e α̇
δd (z) ∆z ρ0 x0 + , x0 −
−
2
2
2d
R
Z
³ ³ ³
τ z ´´´
τz
−
δd (z) 2 ∇z ρ0 x0 + , x0 −
2
2
R2d
µ ³
¶
´
− r µ2 + λ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
·∇z e 1 4r1
dzdx0
e α̇
µ ³
¶
Z
´
³
τz
τz ´
− r1 µ2 + 4rλ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
1
−
δd (z) ρ0 x0 + , x0 −
∆z e
dzdx0
e α̇
2
2
R2d
Z
³ τ ´2
δd (z)
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 + τ z ,x0 − τ z )
−
2
2
2
R2d
Z
Z
e
³
´
− r1 µ2 + 4rλ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
α̇
1
³
´
− r1 µ2 + 4rλ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
α̇
1
e
dzdx0
τ
δd (z) 2 [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 + τ z ,x0 − τ z )
2
2
2
R2d
!
Ã
¶
µ
³
´
λ
2
2
2
β̇τ
λ
β̇τ
− r µ +
τ |z| −i z·x0
τ 2 z − i x0 dzdx0
·e 1 4r1
−2 r1 µ2 +
e α̇
4r1
α̇
Z
³
´
³
´
τz
τ z − r1 µ2 + 4rλ τ 2 |z|2 −i β̇τ z·x0
1
−
δd (z) ρ0 x0 + , x0 −
e
e α̇
2
2
R2d
Ã

!2
µ
¶
µ
¶
 −2 r1 µ2 + λ τ 2 z − i β̇τ x0 − 2 r1 µ2 + λ dτ 2  dzdx0
4r1
α̇
4r1
Z
τ2
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0
−
4 Rd
Z
β̇τ 2
+i
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) · x0 dx0
α̇ Rd
Z
β̇ 2 τ 2
+ 2
ρ0 (x0 , x0 ) x20 dx0
α̇
d
¶
µ R
Z
λ
2
2
ρ0 (x0 , x0 ) dx0
dτ
+2 r1 µ +
4r1
Rd
−
=z-Int
µ
96
Sei nun wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y). Dann lässt
sich analog zu Teil 2 zeigen, dass
−∞
Z
τ2
< −
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0
4 Rd
Z
Z
β̇ 2 τ 2
β̇τ 2
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) · x0 dx0 + 2
+i
ρ0 (x0 , x0 ) x20 dx0
α̇ Rd
α̇
d
R
Z
β̇τ 2
= τ
| ∇x0 φ (x0 ) | dx0 − 2
α̇
Rd
Z
β̇ 2 τ 2
| φ (x0 ) x0 |2 dx0
+ 2
α̇
Rd
< ∞
2
2
λ
4r1
Da außerdem nach (3.41) r1 µ2 +
µ
=
λ
0 ≤ 2 r1 µ +
4r1
2
Z
β̇ 2
r
α̇2 1
¶
dτ
2
Rd
97
¡
¢
= φ (x0 ) ∇x0 φ (x0 ) · x0 dx0
+ r2 − α̇β̇ r3 > 0 ist, gilt:
Z
Rd
ρ0 (x0 , x0 ) dx0 < ∞
R
Somit lässt sich Rd ρ (x, x, t) | x |2 dx nach unten und nach oben abschätzen.
Mit der Aussage
Z
Rd
gilt dann:
0≤
Z
ρ (x, x, t) | x |2 dx ≥ 0
Rd
ρ (x, x, t) | x |2 dx < ∞
Also ist 0 ≤ T r (| x | R (t) | x |) < ∞.
Somit ist k R (t) kE < ∞ und R (t) ∈ E.
¤
Anhang D
Berechnungen für α̇ = 0
In diesem Anhang betrachten wir ausschließlich den Fall, dass α̇ = 0. Dies tritt dann
ein, wenn wir uns im ersten Fall (siehe (3.29)) mit t = kπ
, k ∈ N befinden.
ω
Es ergeben sich explizit:
¶
kπγ
kπ
= (−1)k e ω ξ
Q1 x, ξ,
ω
¶
µ
kπγ
kπ
Q2 x, ξ,
= (−1)k e ω x
ω
µ
(D.1)
(D.2)
Im Fall, dass γ 6= 0 ist, erhalten wir außerdem mit Hilfe einiger Formeln aus [BSMM05]:
µ
¶
µ ¶
¶
´µ 1
5γ 1
kπ
ω 2 ³ 2kπγ
4
Dpp +
+
r1
(D.3)
e ω −1
=
Dqq + 2 Dpq
ω
4ω02
ω02 γ
ω2 γ
ω
¶
µ ¶
´ µµ 5γ 1 ¶
kπ
4ω02
ω 2 ³ 2kπγ
ω04
+
r2
(D.4)
e ω −1
=
Dpp + 2 Dqq + 2 Dpq
ω
4ω02
ω2 γ
ω γ
ω
µ ¶
´
kπ
1 ³ 2kπγ
r3
= − 2 e ω − 1 Dpp
(D.5)
ω
ω0
³ 2kπγ
´2
µ
¶
µ ¶
ω
e
−
1
1
4γ 2 + ω02 2
16 2
kπ
2
D +
Dqq + 2 Dpq
=
λ
ω
4
ω02 γ 2 pp
γ2
ω0
³ 2kπγ
´2
¶
e ω − 1 µ 2ω 4 + 16γ 4 + 8γ 2 ω 2
0
0
+
Dpp Dqq
4
ω04 γ 2
´2
³ 2kπγ
¶
e ω − 1 µ 8ω 2 + 16γ 2
8ω02 + 16γ 2
0
Dpp Dpq +
Dqq Dpq (D.6)
+
4
ω04 γ
ω02 γ
Für den Fall, dass γ = 0 ist, bekommen wir:
µ ¶
¶
µ
kπ
kπ Dpp
r1
=
+ Dqq
ω
2ω ω 2
98
(D.7)
Anhang D. Berechnungen für α̇ = 0
99
¶
¢
kπ ¡
kπ
r2
=
Dpp + ω 2 Dqq
ω
2ω
µ ¶
kπ
= 0
r3
ω
µ ¶2
µ ¶
¢2
kπ ¡
kπ
2
=
λ
D
+
ω
D
pp
qq
ω
ω2
µ
(D.8)
(D.9)
(D.10)
¡
¢
Für unser ρ x, y, kπ
erhalten wir die folgende Darstellung, die wir vereinfachen, indem
ω
wir die ξ0 -Integration schon ausführen.
µ
¶
kπ
ρ x, y,
ω
Ã 2kπγ !d
d
e ω
=
λ− 2
2
4π
Z
e−
=
e
2kπγ
ω
2π
!d µ
Z
D.1
λ
R4d
e
Ã
!Ã
Ã
!
kπγ
kπγ
kπγ
kπγ
x+y
2 −r
k e ω x+y −x
k e ω ξ−ξ
−x
|
·
(−1)
r1 |(−1)k e ω ξ−ξ0 |2 +r2 |(−1)k e ω
(−1)
0
0
3
0
2
2
−iξ0 ·y0 iξ·(x−y)
e
1
4πr1
e
R3d
−
¶ d2
³
y0
y0 ´
ρ0 x 0 + , x 0 −
dy0 dx0 dξ0 dξ
2
2
kπγ
x+y
2
|(−1)k e ω
2 −x0 |
4r1
e
µ
µ
kπγ
kπγ
r3
k
k
− 4rλ |y0 |2 −iy0 · (−1) e ω ξ− 2r1 (−1) e ω
1
e
y ´
³
y0
0
dy0 dx0 dξ
eiξ·(x−y) ρ0 x0 + , x0 −
2
2
Positivität von R
x+y
−x0
2
¶¶
(D.11)
¡ kπ ¢
ω
Wir zeigen ¡nun,
¢ dass für einen positiven selbstadjungierten Operator R0 auch der
kπ
Operator R ω im ersten Fall (siehe (3.29)) positiv ist.
Proposition D.1
¡ ¢
für
Für einen positiven selbstadjungierten Hilbert-Schmidt-Operator R0 ist auch R kπ
ω
alle k ∈ N positiv.
¡ ¢
Beweis: Sei ψ ∈ L2 Rd .
µ ¶
kπ
hψ, R
ψiL2 (Rd )
ω
µ
¶
Z
kπ
=
ψ (x) ρ x, y,
ψ (y) dxdy
ω
R2d
=(D.11)
e
2dkπγ
ω
d
2d (2π)d (πr1 ) 2
Z
R5d
e
=ξ-Int
=
e
2d
(πr1 )
e
Z
2dkπγ
ω
d
2
R4d
ψ (x) e
100
−
kπγ
x+y
2
|(−1)k e ω
2 −x0 |
4r1
e
µ
µ
kπγ
kπγ
r
−iy0 · (−1)k e ω ξ− 2r3 (−1)k e ω
1
ψ (x) e
−
kπγ
x+y
2
|(−1)k e ω
2 −x0 |
4r1
e
− 4rλ |y0 |2
1
x+y
−x0
2
³
y0 ´
y0
ρ0 x 0 + , x 0 −
2
2
¶¶
eiξ(x−y) dy0 dx0 dξdxdy
µ
kπγ
r3
k
− 4rλ |y0 |2 i 2r1 y0 · (−1) e ω
e
1
x+y
−x0
2
¶
³
´
kπγ
y0
y0 ´ ³
ρ0 x 0 + , x 0 −
δd (−1)k e ω y0 − (x − y)
2
2
ψ (y) dy0 dx0 dxdy
2dkπγ
ω
d
2d (πr1 ) 2
Z
R4d
ψ (x) e
kπγ
x+y w+z 2
|(−1)k e ω
2 − 2 |
−
4r1
e
− 4rλ |w−z|2
1
e
µ
kπγ
r
i 2r3 (w−z)· (−1)k e ω
1
x+y
− w+z
2
2
¶
´
³
kπγ
ρ0 (w, z) δd (−1)k e ω (w − z) − (x − y) ψ (y) dwdzdxdy
Mit der Transformation
g := (−1)k e
k
h := (−1) e
erhalten wir:
hψ, R
=
e
µ
kπ
ω
2dkπγ
ω
kπγ
ω
w−x
z−y
ψiL2 (Rd )
d
2d (πr1 ) 2
!
Ã
kπγ
2kπγ
w+z |2
k e ω g+h − 1−e ω
Z
|−(−1)
2
2
´
³
−
− λ |w−z|2
k kπγ
4r1
ω
e 4r1
ψ −g + (−1) e w e
R4d
e
µ
kπγ
r
−i 2r3 (w−z)· (−1)k e ω
g+h
−
2
µ
1−e
2kπγ
ω
¶
w+z
2
¶
ρ0 (w, z)
³
´
k kπγ
δd (g − h) ψ −h + (−1) e ω z dwdzdgdh
e
=g-Int
¶
kπγ
ω
2dkπγ
ω
1
d
2d (πr1 ) 2
!
Ã
kπγ
2kπγ
w+z |2
Z
|−(−1)k e ω h− 1−e ω
2
´
³
kπγ
−
− λ |w−z|2
4r1
e 4r1
ψ −h + (−1)k e ω w e
R3d
e
µ
µ
¶
¶
kπγ
2kπγ
r
w+z
−i 2r3 (w−z)· (−1)k e ω h− 1−e ω
2
1
ρ0 (w, z)
³
101
k
ψ −h + (−1) e
kπγ
ω
´
z dwdzdh
Wir definieren nun die Funktion
³
κh (z) := ψ −h + (−1)k e
e
r
−i 2r3
1
Ã
1−e
2kπγ
ω
2
kπγ
ω
´
 Ã
z e
z 2 −(−1)k e


− 4r1 
1 
kπγ
ω
h·z
1−e
2kπγ
ω
!2
4
!

 2
kπγ
k
ω
+λ
z +(−1) e
µ
1−e
2kπγ
ω
¶


h·z 

und benutzen die Potzenreihenentwicklung der Exponentialfunktion.
µ ¶
kπ
hψ, R
ψiL2 (Rd )
ω
=
=
e
2dkπγ
ω
2d (πr1 )
e
d
2
2dkπγ
ω
d
2d (πr1 ) 2
Z
e
R3d
∞
X
n=0
− 4r1 e


Z
2kπγ
ω
h2
1
λ− 1
4
κh (w) e
Ã
1−e
2kπγ
ω
!2
2r1
w·z
ρ0 (w, z) κh (z) dwdzdh
¶ n
µ
2kπγ 2
λ− 41 1−e ω

2r1
n!
e
− 4r1 e
2kπγ
ω
1
Rd
h2
Z
R2d
κh (w) (w · z)n ρ0 (w, z) κh (z) dwdzdh
Da R0 nach Voraussetzung ein positiver Operator ist, ist der Ausdruck
Z
κh (w) (w · z)n ρ0 (w, z) κh (z) dwdz ≥ 0
R2d
und somit
Z
e
− 4r1 e
2kπγ
ω
1
Rd
Wir zeigen, dass
h2
Z
R2d
µ
¶
2kπγ 2
λ− 41 1−e ω
2r1
κh (w) (w · z)n ρ0 (w, z) κh (z) dwdzdh ≥ 0
≥ 0.
Da r1 > 0, bleibt nur noch zu zeigen, dass λ ≥
µ
e
2kπγ
ω
4
−1
¶2
.
1. γ = 0
Für γ = 0 vereinfacht sich die Ungleichung zu λ ≥ 0. Dies wurde schon gezeigt
(siehe(3.40)).
102
2. γ 6= 0
λ
µ
kπ
ω
¶
=
=
≥
≥
=
´2
³ 2kπγ
¶
e ω −1 µ 1
4γ 2 + ω02 2
16 2
2
D +
Dqq + 2 Dpq
4
ω02 γ 2 pp
γ2
ω0
³ 2kπγ
´2
¶
e ω − 1 µ 2ω 4 + 16γ 4 + 8γ 2 ω 2
0
0
+
Dpp Dqq
4
ω04 γ 2
´2
³ 2kπγ
¶
e ω − 1 µ 8ω 2 + 16γ 2
8ω02 + 16γ 2
0
+
Dpp Dpq +
Dqq Dpq
4
ω04 γ
ω02 γ
³ 2kπγ
´2
¶
ω
e
−1 µ 4
¢
4
4 ¡
2
2
+
D − Dpp Dqq + 2 Dpp Dqq − Dpq
4
γ 2 pq γ 2
γ
´2
³ 2kπγ
¶
e ω −1 µ 1 ¡
¢2
16 2
2
2
Dpp − ω0 Dqq + 4Dqq + 2 Dpq
4
ω02 γ 2
ω0
´2
³ 2kπγ
¶
e ω − 1 µ 16γ 2 + 8ω 2
0
Dpp Dqq
+
4
ω04
³ 2kπγ
´2
¶
e ω − 1 µ 8ω 2 + 16γ 2
8ω02 + 16γ 2
0
+
Dpp Dpq +
Dqq Dpq
4
ω04 γ
ω02 γ
³ 2kπγ
´2
e ω −1 4 ¡
¢
2
+
D
D
−
D
pp
qq
pq
4
γ2
´2
³ 2kπγ
e ω −1 4 ¡
¢
2
Dpp Dqq − Dpq
2
4
γ
´2
³ 2kπγ
e ω − 1 4 γ2
4
γ2 4
´2
³ 2kπγ
e ω −1
4
Hierbei wurden (3.6), (3.7), (3.8) und (3.9) benutzt.
¡ ¢
¡ ¢
ψiL2 (Rd ) ≥ 0.
Zusammenfassend erhalten wir also, dass für ψ ∈ L2 Rd hψ, R kπ
ω
¤
D.2
103
¡ ¡ ¢¢
¡ ¢
J1 L2 Rd -Norm von R kπ
ω
¡ ¡ ¢¢
¡ ¢
für alle k ∈ N
Für einen positiven Operator R0 ∈ J1s ¡L2 ¡Rd ¢¢ist der Operator R kπ
ω
2
d
s
ebenfalls ein positiver Operator aus J1 L R . Dies ist die Aussage der Proposition
4.13 für den Spezialfall t = kπ
der¢ Beweis
¡
Rω . Damit
R der Proposition vollständig ist,
müssen wir noch die Rechnung Rd ρ x, x, kπ
dx
=
ρ (x, x) dx für diesen Spezialfall
ω
Rd 0
nachvollziehen.
¶
µ
Z
kπ
ρ x, x,
ω
Rd
Ã 2kπγ !d µ
µ
µ
¶¶
¶ d2 Z
kπγ
kπγ
r
k
k
ω ξ− 3
ω x−x0
λ
2
−iy
·
(−1)
e
(−1)
e
e ω
1
0
−
|y |
2r1
e 4r1 0 e
=(D.11)
2π
4πr1
4d
R
e
=ξ-Int
e
2dkπγ
ω
(4πr1 )
d
2
Z
e
−
=
=w-Int
=x-Int
=
2dkπγ
ω
d
(4πr1 ) 2
e
dkπγ
ω
(4πr1 )
e
dkπγ
ω
d
2
Z
R3d
Z
e
R3d
−
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
4r1
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
4r1
ρ0
e
−
³
r
e
k
3
− 4rλ |y0 |2 i 2r1 y0 · (−1) e
e
1
kπγ
ω
x−x0
´
y0 ´ ³
y0
k kπγ
ω
δd (−1) e y0 dy0 d0 dξdx
x0 + , x 0 −
2
2
¶
µ
kπγ
2
|(−1)k e ω x− w+z
2 |
4r1
r
e
k
3
− 4rλ |w−z|2 i 2r1 y0 · (−1) e
1
e
kπγ
ω
x− w+z
2
´
³
kπγ
ρ0 (w, z) δd (−1)k e ω (w − z) dwdzdx
e
kπγ
|(−1)k e ω x−z|2
−
4r1
R2d
− dkπγ
ω
(4πr1 )
d e
(4πr1 ) 2
Z
ρ0 (x, x) dx
d
2
Z
Rd
e
µ
¶
kπγ
r
i 2r3 y0 · (−1)k e ω x−z
1
ρ0 (z, z) dzdx
ρ0 (z, z) dz
Rd
¡
Wir beachten hierbei, dass nach [LP93] ρ0 x0 +
D.3
³
y0
y0 ´
ρ0 x 0 + , x 0 −
dy0 d0 dξdx
2
2
µ
¶
y0
, x0
2
−
y0
2
¢
stetig in y0 = 0 ist.
Kinetische und potentielle Energie von R
¡ kπ ¢
ω
Anhang
berechnen
wir fürR den Fall 0¡ ≤ γ < ¢ω0 die Integrale
£
¡
¢¤
RIn diesem
kπ
∇x · ∇y ρ x, y, ω (x,x) dx und Rd | x |2 ρ x, x, kπ
dx.
ω
Rd
Dies entspricht der zweifachen kinetischen
der zweifachen po¡ ¢ Energie
¡ kπbeziehungsweise
¢
tentiellen Energie des Operators R kπ
,
falls
R
positiv
ist.
ω
ω
104
Wir führen die Abkürzung
Ã
C :=
ein.
e
2kπγ
ω
2π
!d µ
1
4πr1
¶ d2
µ
¶
kπ
∇y ρ x, y,
ω
µ
¶¶
µ
kπγ
Z
kπγ x+y
kπγ
x+y
r
k
k
|(−1)k e ω
−x0 |2
ω ξ− 3
ω
λ
2
(−1)
e
−x
−iy
·
(−1)
e
2
0
0
−
|y |
−
2r1
2
4r1
e 4r1 0 e
= C
e
eiξ·(x−y)
3d
R
µ
¶
µ
¶
2kπγ x + y
1
r3
k kπγ
k kπγ
− (−1) e ω x0 + i
e ω
(−1) e ω y0 − iξ
−
4r1
2
4r1
³
y0 ´
y0
ρ0 x 0 + , x 0 −
dy0 dx0 dξ
2
2
µ
¶
kπ
∇x · ∇y ρ x, y,
ω
µ
µ
¶¶
kπγ
Z
kπγ x+y
kπγ
x+y
r
k
k
|(−1)k e ω
−x0 |2
ω ξ− 3
ω
λ
2
(−1)
e
−x
−iy
·
(−1)
e
2
0
0
−
−
|y |
2r1
2
4r1
= C
e
e 4r1 0 e
eiξ·(x−y)
R3d
¶
µ
µ
¶
2kπγ x + y
r3
1
k kπγ
k kπγ
−
e ω
− (−1) e ω x0 + i
(−1) e ω y0 − iξ
4r1
2
4r1
¶
¶
µ
µ
2kπγ x + y
r3
1
k kπγ
k kπγ
− (−1) e ω x0 + i
(−1) e ω y0 + iξ
e ω
−
4r1
2
4r1
³
y0
y0 ´
ρ0 x 0 + , x 0 −
dy0 dx0 dξ
2
2
µ
¶¶
µ
kπγ
Z
kπγ
kπγ x+y
x+y
r
k
k
|(−1)k e ω
−x0 |2
ω ξ− 3
ω
λ
2
−x
−iy
·
(−1)
e
(−1)
e
2
0
0
−
−
|y |
2r1
2
4r1
e
e 4r1 0 e
eiξ·(x−y)
+C
R3d
µ
¶
³
y0
d 2kπγ
y0 ´
−
dy0 dx0 dξ
ρ0 x 0 + , x 0 −
e ω
2
2
8r1
Z
Rd
= C
Z
·
µ
kπ
∇x · ∇y ρ x, y,
ω
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
−
4r1
e
R4d
Ãµ
¶¸
e
dx
(x,x)
− 4rλ |y0 |2
1
e
¶¶
µ
µ
kπγ
kπγ
r
−iy0 · (−1)k e ω ξ− 2r3 (−1)k e ω x−x0
1
¶2
2kπγ
´
1 ³ 2kπγ
de ω
r3
k kπγ
k kπγ
2
−
e ω x − (−1) e ω x0 + i
(−1) e ω y0 + ξ −
4r1
4r1
8r1
´
³
y0
y0
dy0 dx0 dξdx
ρ0 x 0 + , x 0 −
2
2
!
= C
Z
−
R3d
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
4r1
e
Ãµ
e
105
¶
µ
kπγ
r3
k
− 4rλ |y0 |2 i 2r1 y0 · (−1) e ω x−x0
1
e
!
¶2
2kπγ
´
³
ω
kπγ
kπγ
2kπγ
r3
1
de
(−1)k e ω y0 −
−
e ω x − (−1)k e ω x0 + i
4r1
4r1
8r1
´
´
³
³
kπγ
y0
y0
ρ0 x 0 + , x 0 −
(2π)d δd (−1)k e ω y0 dy0 dx0 dx
2
2
µ
¶
kπγ
Z
kπγ
kπγ
r
k e ω x−x |2
2kπγ
k − ω
k
|(−1)
ω x−x0
λ − ω
2 i 3 (−1) e
z·
(−1)
e
0
dkπγ
−
e
|z|
−
4r1
e 4r1
+Ce− ω
e 2r1
e
3d
R
´
³
kπγ z
kπγ z
(2)
ρ0 x0 + (−1)k e− ω , x0 − (−1)k e ω
(2π)d i2 δd (z) dzdx0 dx
2
2
Führen wir nun die y0 - beziehungsweise z-Integration aus, so erhalten wir:
¶¸
µ
Z ·
kπ
dx
∇x · ∇y ρ x, y,
ω
Rd
(x,x)
Ã 2kπγ ! d2 Z
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
e ω
−
4r1
=
e
ρ0 (x0 , x0 )
4πr1
2d
R
!
Ãµ
´¶2 de 2kπγ
ω
1 ³ 2kπγ
k kπγ
−
e ω x − (−1) e ω x0
dx0 dx
−
4r1
8r1
Ã 2kπγ ! d2 Z
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
e ω
−
4r1
ρ0 (x0 , x0 )
e
−
4πr1
2d
R
Ãµ
!
´¶2 2dλ 2kπγ
r3 ³
k − kπγ
dx0 dx
i
x − (−1) e ω x0
−
e− ω
2r1
4r1
Ã 2kπγ ! d2 Z
kπγ
³
´
|(−1)k e ω x−x0 |2
kπγ
kπγ
e ω
r3
−
4r1
e
−
i
(−1)k e− ω x − (−1)k e− ω x0
4πr1
2r1
R2d
−
Ã
2kπγ
e ω
4πr1
! Z
[(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0 dx
d
2
e
R2d
−
kπγ
|(−1)k e ω x−x0 |2
4r1
1 − 2kπγ
e ω
4
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0 dx
Ã
!
2kπγ
|z|2
ω
2kπγ
1
de
1
−
=
e ω z2 −
e 4r1
ρ0 (x0 , x0 ) dx0 dz
2
4πr1
16r1
8r1
R2d
¶ d2 Z
¶
µ
µ
|z|2
1
r32 − 2kπγ 2 2dλ − 2kπγ
− 4r
e 1 − 2e ω z −
e ω
ρ0 (x0 , x0 ) dx0 dz
−
4πr1
4r1
4r1
R2d
µ
¶ d2 Z
−
−
µ
µ
1
4πr1
1
4πr1
¶ d2 Z
¶ d2 Z
|z|2
1
e
− 4r
e
− 4r
R2d
R2d
|z|2
1
i
106
r3 − 2kπγ
e ω z [(∇x − ∇y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0 dz
2r1
1 − 2kπγ
e ω [(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0 dz
4
Durch Ausführen der z-Integration bekommen wir:
¶¸
µ µ ¶¶
µ
Z ·
kπ
kπ
=
dx
∇x · ∇y ρ x, y,
2Ekin R
ω
ω
Rd
(x,x)
µ
¶Z
d 2kπγ
2dr1 2kπγ
e ω −
ρ0 (x0 , x0 ) dx0
=
e ω
16r12
8r1
Rd
¶Z
µ 2
2dλ − 2kπγ
r3
− 2kπγ
ρ0 (x0 , x0 ) dx0
e ω
2dr1 e ω +
+
4r12
4r1
Rd
Z
1 − 2kπγ
ω
− e
[(∆x − 2∇x · ∇y + ∆y ) ρ0 (x, y)](x0 ,x0 ) dx0
4
Rd
µ
¶
kπ
− 2kπγ
T r (R0 )
= 2de ω r2
ω
+2e−
2kπγ
ω
Ekin (R0 )
¡ ¢
Falls R0 ∈ E positiv ist, ist die kinetische Energie von R kπ
< ∞.
ω
¡ ¢
.
Berechnen wir nun die potentielle Energie von R kπ
ω
µ µ ¶¶
kπ
2Epot R
ω
µ
¶
Z
kπ
2
| x | ρ x, x,
dx
=
ω
Rd
¶
µ
kπγ
Z
kπγ
kπγ
r
k
k
|(−1)k e ω x−x0 |2
λ
2 −i(−1) e ω y0 ·ξ+i 3 y0 · (−1) e ω x−x0
−
|y
|
2r
0
2 −
1
4r1
|x| e
e 4r1
= C
e
R4d
³
y0
y0 ´
ρ0 x 0 + , x 0 −
dy0 dx0 dξdx
2
2
µ
¶ d2 Z
2kπγ
kπγ
−
r
|y|2
1
− 4r
− λe 4r ω |z|2 i 2r3 (−1)k e− ω z·y
− 2kπγ
2
1
e ω | y + x0 | e 1 e
=
e 1
4πr1
R3d
´
³
kπγ z
kπγ z
ρ0 x0 + (−1)k e− ω , x0 − (−1)k e− ω
δd (z) dzdydx0
2
2
µ
¶ d2
Z
¡ 2
¢ − |y|2
1
− 2kπγ
ω
e
=
y + 2y · x0 + x20 e 4r1 ρ0 (x0 , x0 ) dydx0
4πr1
R2d
Z
¡
¢
2kπγ
= e− ω
2dr1 + x20 ρ0 (x0 , x0 ) dx0
Rd
= 2de
− 2kπγ
ω
r1
µ
kπ
ω
¶
T r (R0 ) + 2e−
Also ist die potentielle Energie von R
dem Energieraum ist.
D.4
107
2kπγ
ω
¡ kπ ¢
ω
Epot (R0 )
endlich, falls R0 ein positiver Operator aus
Stetigkeit der Energienorm in t =
kπ
ω
In diesem Anhang beenden wir den Beweis des Lemmas 4.18.
Wir müssen noch zeigen, dass die Energienorm von R (t) in den Zeitpunkten t =
k ∈ N stetig ist, falls wir uns im ersten Fall (siehe (3.29)) befinden.
kπ
,
ω
Sei also die Anfangsbedingung R0 aus dem Energieraum E mit R0 positiv.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir wieder an, dass ρ0 (x, y) = φ (x) φ (y)
Aus Satz 4.16 und Anhang D.2 wissen wir bereits, dass für alle Zeiten die Spur von
R (t) identisch ist mit der Spur von R0 . Für t 6= kπ
erhalten wir aus dem Beweis des
ω
Lemmas 4.18 die kinetische und die potentielle Energie von R (t).
2Ekin (R (t))
Ã
!2
Ã
! 
2 2
4
α α̇
αβ̇
αβ̇
αα̇
2dω0 
1 − 2 e−2γt r1 + 4 e−4γt r2 + 2 e−2γt 1 − 2 e−2γt r3  T r (R0 )
=
2
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
Z
¡
¢
2 −4γt
2 −4γt
−4γt
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
+2β e
Epot (R0 ) + 2α e
Ekin (R0 ) − 2αβe
Rd
2Epot (R (t))
´
2de−4γt ³ 2
2
β̇
r
+
α̇
r
−
α̇
β̇r
=
1
2
3 T r (R0 )
ω04
α̇2
β̇ 2
α̇β̇
+2 4 e−4γt Ekin (R0 ) + 2 4 e−4γt Epot (R0 ) − 2 4 e−4γt
ω0
ω0
ω0
Z
Rd
¡
¢
= φ (x) ∇x φ (x) · xdx
entnehmen wir aus dem Anhang D.3.
Die kinetische und potentielle Energie für t = kπ
ω
µ µ ¶¶
µ ¶
2kπγ
kπ
kπ
− 2kπγ
2Ekin R
= 2de ω r2
T r (R0 ) + 2e− ω Ekin (R0 )
ω
ω
µ ¶
µ µ ¶¶
2kπγ
2kπγ
kπ
kπ
= 2de− ω r1
T r (R0 ) + 2e− ω Epot (R0 )
2Epot R
ω
ω
Aus (3.29) wissen wir, dass
lim α (t) = (−1)k e
t→ kπ
ω
kπγ
ω
108
lim β (t) = 0
t→ kπ
ω
lim α̇ (t) = 0
t→ kπ
ω
lim β̇ (t) = ω02 (−1)k e
kπγ
ω
t→ kπ
ω
Wir vergleichen nun die einzelnen zeitabhängigen Koeffizienten für t → kπ
. Wir beginω
nen mit der potentiellen Energie.
!
Ã
α̇β̇ −4ωt
= 0
lim 2 4 e
ω0
t→ kπ
ω
!
Ã
2kπγ
β̇ 2 −4γt
lim 2 4 e
= 2e− ω
ω0
t→ kπ
ω
¶
µ 2
α̇ −4γt
lim 2 4 e
= 0
ω0
t→ kπ
ω
µ
µ ¶
´¶
2de−4γt ³ 2
kπ
− 2kπγ
2
= 2de ω r1
β̇ r1 + α̇ r2 − α̇β̇r3
lim
4
ω0
ω
t→ kπ
ω
Nun betrachten wir die Terme der kinetischen Energie.
¡
¢
lim −2αβe−4γt = 0
t→ kπ
ω
¢
¡
2kπγ
lim 2α2 e−4γt = 2e− ω
t→ kπ
ω
¡
¢
lim 2β 2 e−4γt = 0
t→ kπ
ω
Für den zeitabhängigen Koeffizienten vor T r (R0 ) benötigen wir wieder die Regel von
de l’Hospital.
Es gilt:
³ ´
lim α̈ = lim −β̇
t→ kπ
ω
lim
t→ kπ
ω
d
lim
dt
t→ kπ
ω
Ã
Ã
αβ̇
1 − 2 e−2γt
ω0
αβ̇
1 − 2 e−2γt
ω0
t→ kπ
ω
!
!
= −ω02 (−1)k e
kπγ
ω
= 0
=
lim
t→ kπ
ω
= 0
µ
´¶
e−2γt ³
− 2 α̇β̇ + αβ̈ − 2γαβ̇
ω0
109
Die Regel von de l’Hospital liefert uns dann:
lim
t→ kπ
ω
1−
αβ̇ −2γt
e
ω02
α̇
= 0
Somit erhalten wir für den Term vor T r (R0 ):
Ã

!2
Ã
! 
2 2
4
αβ̇
α α̇
αβ̇
αα̇
2dω
lim  2 0  1 − 2 e−2γt r1 + 4 e−4γt r2 + 2 e−2γt 1 − 2 e−2γt r3 
α̇
ω0
ω0
ω0
ω0
t→ kπ
ω
µ ¶
kπ
− 2kπγ
= 2de ω r2
ω
Also ist sowohl die Spur als auch die kinetische und die potentielle Energie von R (t)
stetig in t = kπ
.
ω
110
Die selbstständige und eigenhändige Anfertigung dieser Arbeit versichere ich an Eides
statt.
Münster, 02. November 2007

Die lineare Wigner-Fokker

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