Aufgabenblatt 4 – Securitization 1) CDO Evaluator (Präsentation

COMMERCIAL BANKING
Wahrenburg / Raupach
Sommersemester 2002
Aufgabenblatt 4
Aufgabenblatt 4 – Securitization
1) CDO Evaluator (Präsentation)
Die Ausfälle für CDO-Tranchen werden in folgenden Schritten simuliert:
a) Ausgangspunkt: Portfolio aus endfälligen Krediten mit jährlichen Kupons; spezifische
Verlustraten und aktuelle Ratings – in ganzen Zahlen von 1 (AAA) bis 7 (CCC) bzw.
8 (Default)
b) Über die ganze Laufzeit (hier max. 5 Jahre) Würfeln von korrelierten „Assetreturns“;
Annahme: Portfolio stammt komplett aus einer Branche, damit sind Returns innerhalb
eines Jahres zwischen verschiedenen Krediten korreliert mit ρ = 0.3 . Unabhängigkeit
(Æ keine Korrelation) zwischen Assetreturns verschiedener Jahre. Realisation mit
Ein-Faktor-Modell wie in der Übung zu CreditMetrics.
c) Analog zum CreditMetrics-Modell werden für jeden Kredit Rating-Migrationen zugeordnet – mit der Matrix „Thresholds“, die Schwellen passend zur Übergangsmatrix.
Folge: Die durch einen Assetreturn so gewürfelte Ratingmigration hat genau die
Wahrscheinlichkeit aus der Migrationsmatrix.
d) Auswirkung der Ratings: Kupon/Kapital wird gezahlt bei Rating 1-7, bei Ausfall sofortige + letztmalige Zahlung von (1-LGD)*Nominalwert (andere Spezifikationen
möglich).
e) Aggregation: Für jedes Jahr werden die Cash Flows aus dem Portfolio addiert. Hieraus
speisen sich die Rückzahlungen an die Investoren der Verbriefung.
f) Aufteilung (Verbriefung): Unser Beispiel: Tranchen T1 (super senior) bis T3 (equity),
unmittelbare Bedienung in strikter Reihenfolge, ungeachtet des Charakters der eingehenden CF (Kupon, Kapital, Liquidation bei Ausfall); Ergebnis eines Szenarios: Für
jedes Jahr und jede Tranche ein Cash Flow
g) Simulation: Vielfache Ausführung von b) bis f), Notierung der Ergebnisse aus f)
h) Auswertung
• statistische
Verlustverteilung
für
die
Tranchen,
daraus
(u.a.)
Verlustwahrscheinlichkeit, erwarteter Verlust
• Verteilung der Zeitstruktur der Tranchen-Rückzahlungen
i) Kalibrierung: Um für eine Tranche ein bestimmtes Rating zu garantieren, wird ihre
Größe so eingestellt, dass die (simulierte) Ausfallwahrscheinlichkeit einen bestimmten
Wert nicht übersteigt; Definition Ausfall einer Tranche: unvollständige Befriedigung
Fragen (für die selbständige Arbeit)
a) Warum werden in dem Modell überhaupt Ratingmigrationen simuliert, wenn in der
Verlustrechnung letztlich doch nur eingeht, ob die fälligen Cash Flows gezahlt werden
oder nicht?
b) Untersuchen Sie beispielhaft die Wirkung von Korrelationsänderungen oder Änderungen der Granularität auf die Portfolio-Verlustverteilung und die der Tranchen. Special:
Berechnen Sie insbesondere den erwarteten Verlust von T3 und seine Abhängigkeit
von Korrelationsänderungen.
c) Untersuchen Sie die Verteilung der gewichteten mittleren Rückzahlungszeitpunkte für
T1 und vergleichen Sie dies mit T2 und T3
d) Wie würde sich für diese Tranche ein hinzukommendes Zinsrisiko wie in Aufgabe 3)
mit Blick auf die Rückzahlungszeiten auswirken? Welche Konsequenz hat dies für den
Spread von T1?
e) Warum führt S&P für das Tranchen-Rating nicht ein Marking to Market durch wie
etwa in CreditMetrics? Es gibt hierfür mathematisch-technische und prinzipielle
Gründe.
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Wahrenburg / Raupach
Sommersemester 2002
Aufgabenblatt 4
2) Collateralized Loan Obligation (CLO)
Ein Kreditportfolio soll in drei Tranchen (I bis III) verbrieft werden, die strikt in dieser
Reihenfolge zu bedienen sind (betrifft sowohl Zinsen als auch Kapital). Dabei behält die
Bank aus den bekannten Anreizgründen die letzte Tranche III mit einem Anteil von 3 %.
Das Portfolio besteht aus 10 in Volumen und Assetqualität identischen Krediten an verschiedene Kunden. Annahmen:
• recovery rate = 0,4 (fest).
• Ausfallereignisse A1 bis A10 . Gleiche Wahrscheinlichkeit P( Ai ) = 2 % .
• stochastische Unabhängigkeit.
a) Von welchem Typ ist die Verlustverteilung des Portfolios?
b) Wie hoch ist der erwartete Verlust des Portfolios?
c) Wie hoch ist das unerwartete Verlustrisiko des Portfolios (Varianz des Verlustes relativ zur Forderung)?
d) Nehmen Sie an, das Portfolio bestünde nun nicht aus 10, sondern 1000 Krediten. Um
welchen Faktor verändert sich die Varianz des relativen Verlustes?
e) Stellen Sie in einem Diagramm die Abhängigkeit der Verluste der einzelnen Tranchen
vom zufälligen Portfolioverlust dar.
f) Wie hoch ist der erwartete relative Verlust für die Tranche III der Bank?
i) Nehmen Sie dazu wie o.a. eine Stückelung von 10 an.
ii) Entwickeln Sie einen prinzipiellen Ansatz für höhere Stückzahlen (Hinweis: für
große N ist eine Binomial(p,N)-verteilte Zufallsgröße annähernd normalverteilt mit
Erwartung pN und Varianz p(1-p)N. )
g) Sie wollen die Größe der Tranche I maximieren und gleichzeitig ein AAA-Rating garantieren. Dieses Rating erhält die Tranche, wenn ein (Teil-) Ausfall für diese Tranche
eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 0,004% hat. Wie gehen Sie (prinzipiell) vor
und wie groß kann man die Tranche wählen?
h) Angenommen, die Recovery Rate ist nicht fest, sondern stochastisch (z.B. unabhängig
von der Gesamtheit der Ausfallereignisse, mit einem gleichbleibenden Erwartungswert
von 0,4). Welchen Einfluss hat dies auf das unerwartete Verlustrisiko?
i) Wie ordnen Sie das Ergebnis eine Risikoanalyse unter Unabhängigkeit ein im Vergleich zu alternativen Methoden? In welcher Weise kann es nützlich sein?
3) Collateralized Mortgage Obligations (CMO)
In den USA emittiert die Quasi-Regierungsorganisation Freddie Mac Loan Obligations
auf langlaufende Hypothekardarlehen. In den entsprechenden Verträgen sind normalerweise Freiräume für eine vorzeitige Rückzahlung der Kredite gegeben. Die verschiedenen
Tranchen werden in strikter Reihenfolge bedient.
a) Wie verteilt sich das Risiko vorzeitiger Rückzahlung (prepayment risk) auf die Tranchen, und wie das Ausfallrisiko?
b) Stellen Sie einen Zusammenhang zum Zinsrisiko her. Verdeutlichen Sie sich diesen
Zusammenhang mit Hilfe des Black/Derman/Toy-Modelles und stellen Sie – stark
vereinfacht – den ungefähren Zusammenhang zwischen aktuellem Zins und dem Wert
von T1 zu einem Zeitpunkt mitten in der Laufzeit in einem Diagramm dar.