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Optionen
Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft
SS 2001
Prof. Dr. Mark Wahrenburg
Finanzwirtschaft Wahrenburg
22.04.01
1
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2
Übersicht
• Der Optionsvertrag
•
•
•
•
Pay Offs / Financial Engineering
Wertgrenzen
Put-Call-Paritätsbedingung
Bewertung von Optionen
•
Binomialmodell
•
Black/Scholes Modell
• Optionsrisiken
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Definition Optionsvertrag
1. Für den Käufer:
- Das Recht (keine Pflicht!),
- einen Vermögensgegenstand (Underlying)
- zu einem vorab festgelegten Ausübungspreis
(Strike, Exercise Price)
- innerhalb der Laufzeit (amerikanische Option) oder
am Verfallstag (europäische Option)
- zu kaufen (Call Option) oder
zu verkaufen (Put Option)
2. Verkäufer (Stillhalter):
Pflicht, das Underlying zu verkaufen
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Optionspositionen
• Long call
• Long put
• Short call
• Short put
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Underlying von börsengehandelten Optionen
• Aktien
• Anleihen
• Fremdwährungskurse
• Aktienindices
• Futures
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Terminologie
Moneyness von Calls :
•
At-the- money option
Strike = aktueller Kurs
•
In-the- money option
Strike > aktueller Kurs
•
Out-of-the-money option
Strike < aktueller Kurs
(Puts: <> zeichen vertauschen)
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Bestandteile eines Optionsvertrages
• Optionsprämie = Preis der Option
• Optionsfrist (Laufzeit, Maturity)
• Ausübungspreis (Strike)
• Basiswert (Underlying Asset)
• Sonderklauseln, z.B.
- Dividendenschutz
- Verwässerungsschutz
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8
Weitere Formen von Optionsgeschäften
• Optionsscheine
• Optionsanleihen
• Wandelanleihen
• Kündbare Anleihen
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Exotische Optionen
Beispiele:
» Barrier options
» Asian options
» Binary options
» Chooser options
» Compound options
» Lookback options
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Motive für den Abschluß von Optionsgeschäften
Für Optionskäufer:
• Spekulation mit begrenztem Kapitaleinsatz
z.B. Kauf eines Calls
• Absicherung einer Position gegen Verlustrisiken
z.B. Absicherung einer Aktie durch Put (Versicherung gegen
sinkende Kurse)
Für Optionsverkäufer:
• Vereinnahmung der Optionsprämie
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5
Pay Off der europäischen Standardoption am Laufzeitende
Call
Put
X
X
ST
Pay Off = max(0; ST - X)
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ST
X
Pay Off = max(0; X - ST )
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Was macht Optionen zu „einzigartige Innovationen“?
1. Asymmetrisches Kreditrisiko
Kreditwürdigkeit des Käufer irrelevant
=> anonymer Handel ohne Marginleistungen möglich
2. Durch Portfoliobildung aus Optionen, Underlying und Anleihen
können vielfältige Pay Offs generiert werden.
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Netto Pay Offs (nach Berücksichtigung der Optionsprämie)
Gewinn
ST
X
- OP
OP: Optionsprämie
X: Ausübungspreis
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Kombination von Aktie (long) und Put (long )
Gewinn
Aktie
Gesamtposition
X-OP
ST
X
Option
OP: Optionsprämie
X: Ausübungspreis
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Financial Engineering: Straddle
Long Call
+
Long Put
X
=
Straddle
X
X
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Variation: Der Strangle
Gewinn
X1
X2
ST
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Ein Butterfly Spread aus Call Optionen
Gewinn
X1
X2
X3
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ST
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Notation
•
•
•
•
c:
Wert Europäischer Call
p:
Wert Europäischer Put
C : Wert amerikanischer Call
P : Wert amerikanischer Put
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•
•
•
•
•
•
S:
Aktienkurs
X : Ausübungskurs
T : Laufzeit
σ:
Volatilität der Aktie
S T : Aktienkurs in T
r:
risikoloser Zins
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Wirkung der Variablen auf Optionswert
Variable
c
p
C
P
S
X
T
σ
r
+
–
?
+
+
–
+?
+
–
+
–
+
+
+
–
+
+
+
–
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Amerikanische vs europäische Optionen
Eine amerikanische Option ist c.p. mindestens so
viel wert wie eine europäische Option
C ≥c
P ≥p
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Wertuntergrenze für Call
• Für Option auf Aktie ohne Dividendenzahlung bis T gilt:
C ≥ St − Xe − rT
• Beweis:
Portfolio A: Call + Zerobond mit Nominalwert X
Portfolio B: Aktie
Wert in T
Portfolio A
Portfolio B
Vergleich
ST<X
X
ST
VA>VB
ST >X
(ST-X)+X=ST
ST
VA=VB
⇒ C + Xe − rT ≥ St
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Keine Ausübung vor Laufzeitende
• Es gilt:
C ≥ St − Xe − rT
⇒ C > St − X
(=Erlös bei Ausübung)
• Verkauf der Option bringt höheren Erlös als vorzeitige Ausübung
• Vorzeitige Ausübung irrational!
• Wert der amerikanischen und europäischen Option identisch!
(Beachte: Annahme: Dividenden = 0)
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Bewertungsgrenzen: Call
C≤S
C ≥ S - Xe-rT
Wert des Calls
C≥0
St
Xe-rT X
Option aus dem Geld
Option im Geld
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Innerer Wert und Zeitwert der Option
Optionswert Ct
Zeitwert
(Time Value)
Innerer Wert
(Intrinsic Value)
K
St
St
Innerer Wert = St - X
Zeitwert = Ct - Innerer Wert
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Beziehung zwischen Call und Put: Put-Call-Parität (1)
1. Kombination von Call (long) und Put (short)
Pay Off Call
Total
Pay Off Put
=
+
0
0
X
X
X
-X
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Put-Call-Parität (2)
2. Kombination von Aktie (long) und Kredit über X (bis T)
Aktie
=
+
0
-x
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total
Kredit
0
X
-K
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Put-Call-Paritätsbeziehung (3)
Fazit:
Wert Call - Wert Put
=
Aktienkurs - Barwert des Basispreises
⇔
Ct - Pt = S t - Xe-rT
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Optionsbewertung
• Grundidee des Black Scholes Modells:
eine (dynamisch angepaßte) Handelsstrategie in Aktien und
Anleihen kann geeignet sein, eine Option zu replizieren
=> Wert des Calls = Wert des replizierenden Portfolios
Voraussetzung: Gültigkeit eines stochastischen Modells der
Aktienkursentwicklung („Brownian Motion Annahme“)
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Binomialbewertungsmodell für Call
• Option mit Strike = 100, eine Periode Laufzeit
• Annahme: Der Aktienkurs kann zukünftig zwei Werte
annehmen (Binomialmodell)
125
100
25
c
75
0
• Welche Aussagen kann man über die faire Optionsprämie c
machen?
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Schritt 1: Risikoloses Portfolio bilden
• Kaufe eine Aktie und verkaufe m Optionen, so daß das Portfolio
risikolos ist:
125
100
100-mc
-mc
75
125-25m
-25m
75
0
• Welches m macht das Portfolio risikolos?
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Schritt 2: Bewertung durch Arbitrage
• m = 2 führt zu risikolosem Portfolio
• => Portfolio ist äquivalent zu einem Zerobond mit
Rückzahlung von 75.
• => Portfoliowert muß identisch mit Wert des Zerobonds
sein: V= 75/(1+r) = 75/1,1 = 68,18
75
75
68,18
100-2c
75
75
• 100 – 2c = 68,18
=> c = 0,5*(100- 68,18) = 15,91
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Optionsdelta
• Wir haben abgeleitet: c = 0,5*(St - Zerobondwert(75)
⇒ c = 0,5 * St − Zerobondwert ( 37,5)
• Allgemein: Option = Delta * Aktien + Kredit
• Option ≈ kreditfinanzierter Aktienkauf
• Beachte: Delta ändert sich, sowie sich der Aktienkurs ändert!
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„Risikoneutrale“ Bewertung
• Erstaunlich: die Wahrscheinlichkeit einer Kurssteigerung hat
keinen Einfluß auf Optionswert!
=> Die erwartete Rendite der Aktie ist irrelevant !
=> Wir können „so tun, als ob die Welt risikoneutral wäre“
=> Aktie hätte eine erwartete Rendite i.H.d. sicheren Zinses
prob(ST=125)*125 + [1-prob(ST=125)]*75 = 100*1,1
à prob(ST=125) = 0,7
=> Optionswert ergibt sich bei Risikoneutralität als abgezinster
erwarteter Pay Off
[0,7 * 25 + (1-0,7) * 0] / 1,1 = 15,91
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Erweiterung auf mehrere Perioden
• Beispiel: Strike = 55, Laufzeit 2 Perioden, Zins = 10%
17
72
cu
60
54
50
0
c
cd
45
0
40,5
1. Start mit Bestimmung von Cu :
-17m
72
60-1,06cu
-mCu
60
0
54
60 - 1,06cu = 54/1,1 => cu = 10,3
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54
54
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17
Erweiterung auf mehrere Perioden ff
2. Bestimmung von cd :
0
54
cd
45
0
40,5
cd verfällt in jedem Fall wertlos => cd = 0
3. Bestimmung von C:
-10,3m
60
-mc
0
45
50-1,46c = 45/1,1 => c = 6,24
50
45
50-1,46c
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Der Grenzfall: Black-Scholes
• Binomialbaum mit unendlich vielen Schritten
=> normalverteilte „Momentanrendite“
=> lognormalverteilte Totalrendite
prob
prob
0
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dS/S
(ST - S)/S
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Das zugrundeliegende Konzept von Black-Scholes
• Option und Aktie hängen von der gleichen Quelle der
Unsicherheit ab
• Ein Portfolio aus Aktie und Option kann gebildet werden,
dass die Unsicherheit eliminiert (für eine kurze Zeitperiode)
• Das Portfolio ist risikolos und muß im Marktgleichgewicht
eine Rendite in Höhe des risikolosen Zins aufweisen
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Die Black/Scholes Formel
c = S * N (d 1) − Xe − rT N ( d 2 )
„Aktie * Delta - Kredit“
d1 =
ln( S / X ) + ( r + σ 2 / 2 )T
σ T
d 2 = d1 − σ T
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Benötigte Parameter:
•
•
•
•
•
Kurs des Underlying heute
Ausübungskurs
sicherer Zins
Volatilität des Underlying
Laufzeit
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Die N(x) Funktion
• N(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
standardnormalverteilte Variable geringer als x ist
• Quellen:
1. Statistik-Lehrbuch
2. Excel: Funktion „STANDNORMVERT(x)“
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Die implizite Volatilität
• Die implizite Volatilität ist diejenige Volatilität, die einen
theoretischen B/S-Wert in Höhe des beobachteten Marktpreises
der Option gibt.
• Ermittlung:
1. Trial and Error
2. Excel „ZIELWERTSUCHE“
• Interpretation: Erwartung des Marktes über zukünftige
Kursschwankungen
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Delta
• Delta (∆) misst die Sensitivität der Option in bezug auf
Aktienkursänderungen
Optionswert
Steigung = ∆
S
Gegenwärtiger
Altienkurs
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Delta Hedging
• Optionshändler halten in der Regel „deltaneutrale“
Portfolios
à short/long-Position in Aktien in Höhe von Delta
• Delta muß ständig angepasst werden!
• Ermittlung von Delta
1. Numerisch
2. Analytisch ∆ = N (d1 ) für europäischen Call ohne Dividenden
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Vega
• Vega (ν ) misst die Sensitivität der Option in bezug auf
Änderungen der (impliziten) Volatilität
• Vega ist für Optionshändler das wichtigste (größte) Risiko
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Numerische Optionsbewertung mit Binomialbäumen
• Häufig benutzt zur Bewertung komplexer Optionsformen
• In jedem Zeitintervall geht Aktienkurs um Faktior u nach oben
oder Faktor d nach unten
• Optionen werden durch Rückwärtsinduktion bewertet (s.o.)
• Für kleine ∆t (fast) perfekte Approximation an Black/Scholes
Formel
uS
S
dS
∆t
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„Kochbuchrezept“ Optionsbewertung mit Binomialbaum
Beispiel. Europäischer Call mit 5 Monaten Laufzeit,
S = 100, X = 100, r = 10%, σ = 40%)
Schritt 1. Wähle ∆t (möglichst klein, z.B. ∆t = 1/12 (1 Monat))
Schritt 2. Berechne u, d, p:
u = eσ
∆t
d = e −σ
∆t
= 1,1224
= 0,8909
e r ∆t − d
p =
= 0,5076
u −d
p = „risikoneutrale
Wahrscheinlichkeit“
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Schritt 3: Berechnung des Binomialbaums für das Underlying
178,13
158,71
141,40
125,98
112,24
100,00
141,40
125,98
112,24
100,00
89,09
112,24
100,00
89,09
79,38
89,09
79,38
70,72
70,72
63,01
56,14
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4. Bewertung durch ‚“risikoneutrale Bewertung i.V.m.
Rückwärtsinduktion
= [ p * 78,13 + (1 − p) 41,4]e− r∆ t
78,13
59,54
43,05
29,72
19,75
12,72
41,40
26,81
16,50
9,81
5,70
12,24
6,16
3,10
1,56
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Zum Vergleich: Black/Scholes Wert = 12,23
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