Cost-Average-Strategie versus Einmalanlage - MADOC

Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie,
Portfolio Management und Versicherungswirtschaft
Nr. 154
Cost-Average-Strategie versus Einmalanlage :
Shortfallrisiken und Probable Minimum Wealth
von
Peter Albrecht, Ivica Dus und Raimond Maurer
Mannheim 12/2003
Cost-Average-Strategie versus Einmalanlage :
Shortfallrisiken und Probable Minimum Wealth
Peter Albrecht, Ivica Dus und Raimond Maurer
A.
Einleitung
B.
CA-Strategie und Durchschnittspreiseffekt
C.
B.I
Basiseigenschaften
B.II
Ex-post-Vergleich von Einmalinvestment und CA-Strategie
Ex-ante Rendite-/Risikoanalyse des Cost-Averaging
C.I
Strategiedefinition und Spezifikation der Kursdynamik
C.II
Erwartungswert/Varianz-Analyse
C.III Analyse von Shortfallrisiken
C.IV Analyse des Probable Minimum Wealth
D.
Fazit und Ausblick
Prof. Dr. Peter Albrecht, Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Universität Mannheim, Email: risk@bwl.uni-mannheim.de.
Prof. Dr. Raimond Maurer/Dipl. Wirtsch.-Inf. Ivica Dus , Lehrstuhl für Investment, Portfolio Management und Alterssicherung, J.W. Goethe-Universität Frankfurt am Main, Email: investment@wiwi.uni-frankfurt.de.
2
A.
Einleitung
Ist es günstiger, ein zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhandenes Vermögen unmittelbar in risikobehaftete Fondsanteile anzulegen (Einmalanlage) oder aber über den vo rbestimmten Anlagezeitraum verteilt, in gleichmäßigen Abständen und gleich hohen
Beträgen zu investieren (Cost-Average(CA) -Strategie)? Das zentrale Argument für die
Cost-Average-Strategie besteht in der Nutzung des sogenannten Durchschnittspreiseffekts (Cost-Average Effekt). Durch die zeitliche Verteilung des Investitionsbudgets im
Sparplankontext werden im Zeitablauf bei niedrigen Kursen jeweils relativ mehr
Fondsanteile erworben, bei hohen Kursen jeweils relativ weniger. Intuitiv führt dies
dazu, dass der durchschnittliche Einstandskurs der Fondsanteile unter dem durchschnittlichen Fondspreis im betreffenden Zeitraum liegt. Aus dem Vorliegen eines
Durchschnittspreiseffekts kann allerdings nicht auf eine grundsätzliche Überlegenheit
der CA-Strategie gegenüber der Einmalanlage geschlossen werden. Vielmehr ist es
für die Beantwortung der gestellten Frage notwendig, eine Explikation der Rendite-/
Risikoprofile der beiden alternativen Investitionsstrategien vo rzunehmen.
In der Literatur wird die Frage um die Rendite-/Risikowirkungen des Cost-AverageEffekts kontrovers beantwortet.1 So kommt etwa Rozeff (1994) in seiner Untersuchung zur Folgerung „Those who hesitate, lose“. Methodisch gesehen vergleicht Rozeff dabei eine Variante einer Einmalanlage, bei der ein Teilbetrag in Fonds, der andere Teilbetrag mit sicherer Ve rzinsung angelegt wird. Diese Aufspaltung wird dabei
derart festgelegt, dass (gemessen an der Standardabweichung des Endvermöge ns) ein
identisches Risiko resultiert wie bei einem alternativen Sparplan. Rozeff kommt unter
diesen Bedingungen zur Schlussfolgerung, dass die Einmalanlage zu einem höheren
mittleren Endvermögen führt, risikoadjustiert somit dem Sparplan überlegen ist. Für
diese Schlussfolgerung liefert Rozeff die folgende Begründung: Eine Einmalanlage
unterliegt einer größeren Anzahl von unabhängigen Realisationen (implizit wird somit
eine Random-Walk-Hypothese für den Wertverlauf des Investments getroffen), was
das Risiko im Sinne der Standardabweichung reduziert. Allerdings ist die zum Sparplan betrachtete Alternative nicht wirklich eine Einmalanlage in dasselbe Asset, sondern eine Mischung aus einer Einmalanlage in dieses Asset und einer sicheren Anlage.
Ferner geht Rozeff im allgemeinen Fall von einer Approximationsformel für den Erwartungswert sowie die Varianz des Endvermögens aus, auch dies kann zu Verzerrungen führen.
Die alleinige Aufarbeitung der Literatur zum Thema Cost-Average ist dabei nicht ausreichend. Zum einem werden in der Literatur in diesem Zusammenhang meist nur
kurzfristige Zeithorizonte2 betrachtet, zum anderen verbleibt die Rendite/RisikoAnalyse in der Regel im klassischen Markowitz-Rahmen (Erwartungswert/VarianzAnalyse). In dem vorliegenden Beitrag betrachten wir hingegen - aufgrund der stei-
3
genden Bedeutung einer privaten Altersvorsorge - zum einen langfristig ausgerichtete
Sparpläne 3. Zum anderen wird sowohl eine weitergehende Risikoanalyse auf der Basis
von Shortfallrisikomaßen durchgeführt als auch der Value-at-Risk (im vorliegenden
Kontext als wahrscheinliches Endvermögen bzw. Probable Minimum Wealth interpretiert) als Variante eines risikoadjustierten Performancemaßes in die Analyse mit einbezogen4.
B. CA-Strategie und Durchschnittspreiseffekt
B.I Basiseigenschaften
Wenden wir unsere Aufmerksamkeit zunächst der Formalisierung des angesprochenen
„Kerneffektes“ des Cost-Averaging zu. Hierzu wird ein Investor unterstellt, der über
ein anfängliches Vermögen V0 verfügt, das er zu den äquidistanten Zeitpunkten t = 0,
1, ..., T-1 sukzessive und in gleich hohen Sparraten V0/T vollständig in risikobehaftete
Fondsanteile inve stiert. Ist St der (unsichere) Anteilspreis im Zeitpunkt t, so werden in
V /T
diesem Zeitpunkt nt = 0
Fondsanteile erworben. Für den durchschnittlichen
St
Einstandspreis der Fondsanteile im Rahmen einer CA-Strategie DCA,T ergibt sich damit:
DCA ,T =
V0
T −1
∑ nt
t =0
=
V0
=
T −1
V0 1
∑T S
t =0
t
T
T −1
1
∑S
t =0 t
≤
1 T −1
∑ S t = DT .
T t =0
(1)
Die letzte Ungleichung beruht darauf, dass das harmonische Mittel stets kleiner gleich
dem arithmetischen Mittel ist (die Gleichheit gilt dabei nur im Falle S0 = S1 = ... =
ST −1 ). Damit ist der durchschnittliche Einstandspreis der CA-Strategie DCA,T stets ge1
ringer ist als der Durchschnittskurs der Fondsanteile DT =
T
den Zeitraum.
T −1
∑ S t über den betreffent =0
Allerdings kann hieraus nicht gefolgt werden, dass ein Sparplan bei gleichem Kapitaleinsatz stets zu einem günstigeren Endvermögen im Vergleich zu einem Einmalinvestment führt. Um die zu illustrieren, wird das (ex-ante unsichere) Endvermögen der
beiden Investitionsstrategien betrachtet. Im Falle des Einmalinvestments resultiert ein
Endvermögen in Höhe von
4
VLS (T ) =
V0
S
ST = V0 T .
S0
S0
(2)
Hierbei stellt V0/S0 die Anzahl der erworbenen Fondsanteile dar, die im Zeitpunkt t=0
erworben wurden, und ST den unsicheren Preis des Fondsanteils in T. Das bedeutet,
das realisierte Endvermögen hängt von der absoluten Höhe der Wertsteigerung der
Fondsanteile ab und zwar unabhängig davon über welchen Kurspfad diese realisiert
worden ist. Im stochastischen Sinne ist die Ei nmalanlage damit pfadunabhängig.
Im Falle der CA-Strategie wird fortlaufend zu den äquidistanten Zeitpunkten t = 0, 1,
..., T-1 ein konstanter Geldbetrag in Höhe von I = V0/T investiert. Dies führt zu einem
Endvermögen V CA(T) in Höhe von:
 I
I
I 
 ST
VCA (T ) =  + +... +
S
S
S
 0
1
T −1 
=I
T −1
∑ (S T / S t )
(3)
t =0
= V0
ST
.
DCA ,T
Im Unterschied zum Einmalinvestment kommt es bei der CA-Strategie damit nicht nur
auf das Verhältnis der Fondspreise zu Anfang und Ende der Investitionsperiode an,
sondern auch auf das Verhältnis von mittlerem Einstandskurs D CA,T zum Preis des Anlageobjekts am Ende Investitionsperiode. Die CA-Strategie führt dann zu einem höheren Endvermögen als die Einmalanlage, wenn der resultierende durchschnittliche
Einstandskurs DCA,T geringer ist als der Fondspreis S0 zu Beginn der Investitionsperiode. Da zu Beginn der Investitionsperiode die zukünftigen Fondspreise jedoch unsichere Größen sind, ist die Einhaltung der Bedingung abhängig von jeweils realisierten
Kurspfad. Im Gegensatz zu Einmalinvestments ist das resultierende Endvermögen bei
der CA-Strategie damit pfadabhängig. Dies soll am Beispiel eines einfachen Zweiperiodenmodells illustriert werden, welches in der nachfolgenden Tabelle 1 enthalten ist.
Zeitpunkt
t=0
t=1
Kurspfad 1
100
50
Kurspfad 2
100
200
Tabelle 1: Pfadabhängigkeit der CA-Strategie
t=2
150
150
VLS
150
150
VCA
225
112,5
5
Verfügt der Anleger über ein Anfangskapital von 100 Euro und ist der Wert des
Fondsanteils im Startzeitpunkt ebenfalls 100 (V0 = S0 = 100), so ergibt sich beim Einmalinvestment für beide Kursentwicklungen ein Endvermögen in Höhe von VLS = 150.
Dagegen ergibt sich bei der CA-Strategie ein Endvermögen in Höhe von VCA = 225
Euro beim ersten Kurspfad und V CA = 112,5 Euro beim zweiten Kurspfad. Ein Szenario mit anfänglichem Kursverlust und anschließendem Kursgewinn ist demnach bei
der CA-Strategie günstig zu bewerten. Dagegen ist es für die CA-Strategie ungünstig,
wenn die Kurse zunächst steigen und am Ende des Anlagehorizonts fallen.
Um die beiden Investitionsstrategien hinsichtlich des resultierenden Endvermögens zu
vergleichen, gilt es weiterhin zu bedenken, dass bei der CA-Strategie der noch nicht
im Fondsinvestment gebundene Teil des Gesamtbudgets zu einem risikolosen Zinssatz
(etwa in einem Geldmarktfonds) angelegt werden kann. Dabei erhöhen die erzielbaren
Anlagezinsen den insgesamt für das Fondsinvestment zur Verfügung stehenden Betrag. Um die beiden Investitionsstrategien hinsichtlich der jeweiligen Kapitalbindung
unmittelbar miteinander vergleichen zu können, muss daher der Barwert aller Sparraten dem anfänglich vorhandenen Investitionsbudget entsprechen. Verlangt man zusätzlich, dass die Sparraten konstant bleiben5, mithin die entstehenden Zinsgewinne
gleichmäßig auf die Raten verteilt werden, bedeutet dies bei einem sicheren Einperiodenzins von i:
T −1
I ⋅ ∑ (1 + i) −t = V0 .
(4)
t =0
Daraus ergibt sich als konstante Sparrate
I (i, T ) =
1 − (1 + i ) −1
⋅ V0 .
1 − (1 + i) −T
(5)
Der Zinssatz beeinflusst damit das erzielbare Endvermögen der CA-Strategie, indem
er auf die Höhe der Sparraten einwirkt. Je höher der sichere Anlagezins, desto höher
die geleisteten Sparraten und desto höher damit auch das erzielbare Endvermögen.
Insgesamt können damit keine unmittelbaren Aussagen über eine generelle Überlegenheit eines Einmalinvestments gegenüber der CA-Strategie bzw. vice versa getroffen werden. Im Einzelfall ist diese Überlegenheit sowohl „pfadabhängig“ (abhängig
vom konkreten realisierten Kursverlauf), „zeithorizontabhängig“ (abhängig vom im
Einzelnen fixierten Zeitabschnitt) als auch „zinsabhängig“ (abhängig vom jeweils spezifizierten sicheren Zins).
6
B.II
Ex-post-Vergleich von Einmalinvestment und CA-Strategie
In diesem Abschnitt soll die Vorteilhaftigkeit der beiden betrachteten Investitionsalternativen – Einmalinvestment versus CA-Strategie – im Rahmen einer ex-post Betrachtung verglichen werden. Hierzu wird die historische Wertentwicklung von fünfbzw. zehnjährigen Einmalinvestments bzw. Sparplänen über verschiedene Startzeitpunkte betrachtet. Datenbasis der Auswertungen ist die Kurszeitreihe des (um steuerliche Effekte bereinigten) Deutschen Aktienindex (DAX) im Zeitraum von 1972 bis
2001. Dieser kann als Repräsentant für die Wertentwicklung eines diversifizierten Index-Portfolios aus deutschen Blue Chip-Aktien aufgefasst werden. Es wird unterstellt,
dass der Investor über ein Anfangskapital in Höhe von 100 EUR verfügt, welches er
über eine Halteperiode von fünf (zehn) Jahren investieren möchte. Dabei wird beim
Einmalinvestment der gesamte zur Verfügung stehende Anlagebetrag sofort in den
DAX investiert. Dagegen wird bei der CA-Strategie ein anfängliches Vermögen sukzessive in fünf (zehn) gleich hohen Beträgen jeweils am Jahresanfang in den DAX
investiert. Der dabei jeweils noch nicht im Aktieninvestment gebundene Teil des Gesamtbudgets kann zu einem risikolosen Zinssatz angelegt werden, wobei die erzielbaren Anlagezinsen den insgesamt für den Aktieninvestment zur Verfügung stehenden
Betrag erhöhen. Dabei gehen wir von einem (fristenunabhängigen) risikolosen Zinssatz aus, welcher der Umlaufrendite für inländische Staatsanleihen mit einer mittleren
Restlaufzeit zu Beginn der Anlageperiode entspricht. Die Höhe des im Rahmen des
Sparplans jährlich vorschüssig in Aktien angelegten Betrages hängt damit sowohl von
der Länge des vorgegebenen Zeithorizontes als auc h von der Höhe des risikolosen
Zinssatzes ab. Im Besonderen wird somit für jeden fixierten Zeithorizont, unter Wahrung der Finanzierungsgleichheit eine andere Sparplanstrategie mit dem Einmalinvestment verglichen.
Beginnt im Jahr 1972 die erste, im Jahr 1973 die zweite und im Jahr 1997 die letzte
Investitionsperiode, so resultieren insgesamt 26 überlappende Fünf-Jahreszeiträume.
Entsprechend ergeben sich 21 überlappende Zehn-Jahreszeiträume. Für jede Anlageperiode wird das resultierende Endvermögen des Einmalinvestments mit dem der CAStrategie verglichen. In der nachfolgenden Tabelle 2 wird die relative Häufigkeit angegeben, dass das Einmalinvestment zu einem höheren Endvermögen geführt hat als
die CA-Strategie (VLS > VCA). Weiterhin sind die Endvermögen für die jeweils drei
besten Investitionszeiträume aufgeführt, bei denen die Wertentwicklungsdifferenz des
Einmalinvestments höher war als die des Sparplans bzw. umgekehrt.
7
5 Jahres Zeitraum: Anteil VLS > VCA = 77%
Überlegenheit Einmalinvestment („Top 3“)
Überlegenheit Sparplan („Top 3“)
1982-1986
VLS
VCA
VLS
VCA
1996-2000
1995-1999
1987-1991
1990-1994
1973-1977
397
267
294
342
108
125
130
191
256
128
139
142
10 Jahres Zeitraum: Anteil VLS > VCA = 85%
Überlegenheit Einmalinvestment („Top 3“)
Überlegenheit Sparplan („Top 3“)
1977-1986
1980-1989 1981-1990 1987-1996 1986-1995 1973-1982
495
515
393
208
172
172
392
335
228
222
180
173
Tabelle 2: Wertentwicklung Einmalinvestments bzw. Sparplan für alternative Zeiträume
Die Tabelle bestätigt die zuvor getroffenen Aussagen: Je nach Startzeitpunkt und Investmenthorizont führt einmal der Sparplan, ein anderes mal das Einmalinvestment zu
einem höheren Wertzuwachs. Bei einer 5-jährigen Haltedauer ist das Endvermögen
des Sparplans in 77% der Fälle größer als bei der CA-Strategie. Dieser Anteil erhöht
sich bei einer 10-jährigen Haltedauer auf 85%. Der Zeitraum mit der deutlichsten Überlegenheit eines Einmalinvestments gegenüber dem Sparplan war von 1982 bis 1986
für 5-jährige und von 1977 bis 1986 für 10-jährige Anlagehorizonte. Für diese Zeiträume beträgt die Endvermögensdifferenz zwischen Einmalinvestment und Sparplan
130 EUR für den Fünf- und 103 EUR für den Zehn-Jahreszeitraum. Der Sparplan war
dem Einmalinvestment in den Jahren 1987 bis 1991 bzw. 1987 bis 1996 am deutlichsten überlegen. Allerdings fallen die entsprechenden Endvermögensdifferenzen in Höhe
von 20 EUR bzw. 14 EUR deutlich geringer aus als beim Einmalinvestment.
Eine Betrachtung der konkreten Kursentwicklung zeigt, dass der Sparplan besonders
dann gut abgeschnitten hat, wenn am Anfang des Investitionszeitraums eine Abwärtsoder Seitwärtsbewegung aufgetreten ist und die Kurse sich anschließend wieder erholt
haben. Dagegen ist in Situationen anhaltender Kurssteigerungen das Einmalinvestment
dem Sparplan überlegen. Auch in Anlageperioden in denen anfänglich eine Seitwärtsbewegung oder ein Kursanstieg erfolgt und gegen Ende des Investitionszeitraums eine
Konsolidierung stattfindet, ist die CA-Strategie dem Einmalinvestment unterlegen.
8
C.
C.I
Ex-ante Rendite-/Risikoanalyse des Cost-Averaging
Strategiedefinition und Spezifikation der Kursdynamik
Die Analyse auf der Basis historischer Wertentwicklungen besitzt den Vorteil, dass
nur wenige Modellannahmen getroffen werden müssen und die Auswertungen auf der
Basis tatsächlicher Marktpreise erfolgen. Dem steht allerdings der Nachteil gegenüber,
dass die gesamten Auswertungen nur auf einem, dem realisierten, Kurspfad basieren.
Mit Ausnahme der Ein-Jahreszeiträume wurden die verwendeten Wertentwicklungen
aus sich (stark) überlappenden sukzessiven Perioden gewonnen. Dies bedingt eine hohe Autokorrelation der verwendeten rollierenden Renditen, was besonders für langfristige Investitionsperioden zu erheblichen Verzerrungen bei der Wahrscheinlichkeitsermittlung führen kann. Eine hohe Schätzsicherheit würde erst die Verwendung von unabhängigen, sich nicht überlappenden 5-, 10-, 15- oder 20-Jahresperioden ergeben.
Doch die bestehende Kurshistorie ist zu kurz, um auf diese Weise eine ausreichende
Datengrundlage zu gewinnen.
Eine alternative Möglichkeit besteht darin, ein geeignetes wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell bezüglich der Preis- bzw. Renditeentwicklung eines Investments zu spezifizieren, dessen Parameter aus unabhängigen Beobachtungen zu ermitteln und dann
die interessierenden Rendite-/Risikoprofile aus dem durch das Verteilungsmodell spezifizierten Spektrum der möglichen Wertentwicklungen zu gewinnen. Zu treffen ist in
diesem Zusammenhang dann eine Hypothese über die Zufallsgesetzmäßigkeit der
Kursentwicklung. Als „traditionelle“ These kann man hierbei von einer Random
Walk-Annahme ausgehen6, d.h. die Wertveränderungen über künftige Investmentperioden sind unabhängig und identisch verteilt. Insbesondere sind dann die „im Mittel“
gewonnenen Aussagen unabhängig von der konkreten Wahl des Startzeitpunktes des
Investments.
Zur Quantifizierung der unterschiedlichen Rendite- und Risikowirkungen des Sparplan- bzw. Einmalinvestments bedarf es vorab einer Spezifikation der Dynamik der
zufallsabhängigen Wertentwicklungen des getätigten DAX-Investments. Wir unterstellen dabei das Standard-Referenzmodell der modernen Finanzmathematik, die geometrische Brownsche Bewegung (geometrischer Wiener-Prozess). Für die kontinuierlichen Jahresrenditen (Log-Renditen) ist dies äquivalent zur Annahme einer Normalve rteilung. Zur Gewinnung der Parameter der Verteilung der (kontinuierlichen) Jahresrenditen legen wir die Entwicklung des DAX über den Zeitraum von 1972 – 2001
zugrunde. Die Parameter mittlere (kontinuierliche) Rendite und Renditestandardabweichung (Volatilität) nehmen über diesen Zeitraum die Werte 10,74% bzw. 22,76%
an. Es kann gezeigt werden, dass unter diesen Voraussetzungen das Endvermögen des
Einmalinvestments nach T-Jahren logarithmisch normalverteilt ist. Dies erlaubt wiederum, verschiedene hier interessierende Rendite-/Risikokennziffern bezüglich des
9
resultierenden Endvermögens (Erwartungswert, Median, Varianz, Value-at-Risk sowie
verschiedene Shortfallrisikokenngrößen) in geschlossen analytischer Form zu spezifizieren. Dagegen ist die Endvermögensverteilung der CA-Strategie nicht bekannt, was
(regelmäßig) den Einsatz von Monte-Carlo-Simulationstechniken erfordert.
Im Zentrum der weiteren Analysen steht der Vergleich der resultierenden Rendite-/Risikoprofile über Investmenthorizonte von 1 bis 30 Jahren eines Einmalinvestments und
einer (finanzierungsäquivalenten) CA-Strategie in den Deutschen Aktienindex. Bei der
CA-Strategie wird angenommen, dass der jeweils noch nicht im Aktieninvestment gebundene Teil des Gesamtbudgets zu einem (zeithorizontunabhängigen) risikolosen
Zinssatz von 3% p.a. angelegt wird, wobei die erzielbaren Anlagezinsen den insgesamt
für das Aktieninvestment zur Verfügung stehenden Betrag erhöhen.
C.II
Erwartungswert/Varianz-Analyse
Die nachstehende Abbildung 1 vermittelt zunächst einen Eindruck von der mittleren
Entwicklung des Endvermögens der beiden alternativen Investmentstrategien über ve rschiedene Zeithorizonte.
Erwartungswert des Endvermögens:
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
6000%
5000%
4000%
3000%
2000%
1000%
0%
0
5
10
15
20
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
25
30
Einmalinvestment
Abbildung 1: Einmalinvestment vs. Sparplan: Mittlerer Wert des Endvermögens
Es wird deutlich, dass das Einmalinvestment zu einem höheren mittleren Endvermögen führt, wobei die Differenz umso größer wird, je länger der Zeithorizont ist. Dieses
10
Ergebnis ist systematisch, d.h. generell valide 7, solange der sichere Zins unterhalb der
angenommenen erwarteten DAX-Rendite liegt.
Intuitiv liegt dieses Ergebnis begründet in der positiven Drift-Differenz bzw. Risikoprämie der Aktienanlage relativ zur sicheren Anlage im Beispiel in Höhe von 7,78%
(auf kontinuierlicher Basis). Je mehr Kapital unter diesen Bedingungen investiv in Aktien gebunden ist, desto besser ist im Erwartungswert das Ergebnis. Die größere Kapitalbindung in Aktien besteht beim Einmalinvestment, die Kapitalbindungsdifferenz ist
dabei umso größer, je länger der Zeithorizont für das Cost-Averaging ist. Die Höhe der
Drift-Differenz ist wiederum abhängig von der angenommenen Höhe der sicheren
Verzinsung, je höher der sichere Zins, desto geringer der dargestellte Vorteil der Aktienanlage und damit des Einmalinvestments.
Nun ist bekannt, dass gerade mit zunehmendem Zeithorizont aufgrund der damit einhergehenden Zunahme der Schiefe der Endvermögensverteilung, der Erwartungswert
immer weniger aussagekräftig hinsichtlich der „im Durchschnitt“ zu erwartenden
Endvermögensposition wird. So weist unter den getroffenen Annahmen der Schiefekoeffizient für das Endvermögen bei einem Einmalinvestment und einen Investitionszeitraum von 1, 10, 20 bzw. 30 Jahren entsprechende Werte von 0,70/ 3,03/ 6,50/
13,01 auf. Bei einem Sparplan (mit einem sicheren Zins von 3%) liegen die entsprechenden Werte bei 0,70/ 2,13/ 4,21/ 7,78. Insofern steigt die Rechtsschiefe des zufallsabhängigen Endvermögens sowohl beim Einmalinvestment als auch beim Sparplan
mit zunehmendem Investitionshorizont deutlich an. Allerdings fällt dieser Effekt beim
Sparplan geringer aus als beim Einmalinvestment.
Hinsichtlich der Analyse einer mittleren Wertentwicklung ist daher der Median (50%Quantil), d.h. diejenige Position, oberhalb und unterhalb derer jeweils die Hälfte der
Wahrscheinlichkeitsmasse liegt, ebenfalls von Interesse. Zur Vervollständigung des
Bildes enthält daher Abbildung 2 die Entwicklung des Medians der beiden Strategiealternativen.
11
Median
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
3000%
2500%
2000%
1500%
1000%
500%
0%
0
5
10
15
20
25
30
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 2: Median des Endvermögens
Es wird deutlich, dass hinsichtlich des Medians grundsätzlich die gleichen Aussagen
wie beim Erwartungswert gelten, die Differenz des mittleren Endvermögens aber
(deutlich) geringer ausfällt.
Abbildung 3 stellt schließlich entsprechend die Entwicklung der Volatilität (Standardabweichung) des Endvermögens der beiden alternativen Strategien dar.
12
Volatilität des Endvermögens
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
12000%
10000%
8000%
6000%
4000%
2000%
0%
0
5
10
15
20
25
30
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 3: Volatilität des Endvermögens.
Es wird deutlich, dass das Einmalinvestment eine höhere Volatilität (und damit auch
eine höhere Varianz) des Endvermögens besitzt als der Sparplan. Auch dieses Resultat
ist generell valide.
Zusammengenommen bedeuten die beiden vorstehenden Resultate, dass hinsichtlich
des Markowitzschen Erwartungswert/Varianz-Kriteriums keine Dominanz einer der
beiden Strategiealternativen vorliegt. Der Sparplan beinhaltet im Vergleich zum Einmalinvestment sowohl einen niedrigeren Erwartungswert des Endvermögens als auch
ein geringeres Risiko, gemessen anhand der Standardabweichung des Endve rmögens.
C.III Analyse von Shortfallrisiken
Die Varianz bzw. die Standartabweichung als Wurzel aus der Varianz stellen zwar
„die“ traditionellen Risikomaße dar, unterliegen in dieser Hinsicht jedoch der Kritik.
Zum einem erhöhen aufgrund ihrer symmetrischen Konstruktion sowohl negative als
auch positive Abwe ichungen vom Erwartungswert das Risiko, wohingegen bei einem
intuitiven Risikoverständnis nur negative Abweichungen Risikorelevanz besitzen.
Zum anderen setzt die symmetrische Konstruktion auch eine Symmetrie der zugrunde
liegenden Verteilung voraus, was – wie bereits dargestellt - mit zunehmenden Zeithorizont immer unrealistischer wird.
13
Insofern ist es gerade aufgrund der mit dem Zeithorizont zunehmenden Rechtsschiefe
von Interesse entsprechende asymmetrische Risikomaße in die Analyse mit einzubeziehen. Hierzu sollen Risikomaße des Shortfall-Typus betrachtet werden. Generell
quantifizieren Shortfallrisikomaße Risiko als die Gefahr der Unterschreitung einer
(vorzugebenden) Zielgröße8. Im Folgenden wählen wir diese Zielgröße einheitlich als
die Wertentwicklung der sicheren Anl age, d.h. gehen in den Illustrationen von einer
(diskreten) Zielrendite von 3% per annum aus.
Als einfachstes Shortfallrisikomaß wird zunächst die Shortfallwahrscheinlichkeit, d.h.
die Wahrscheinlichkeit der Verfehlung der spezifischen Targetgröße, betrachtet. Neben der Wahrscheinlichkeit für einen Shortfall ist auch die mittlere Höhe eines Shortfalls relativ zum Target von Relevanz, d.h. es wird der Shortfallerwartungswert bestimmt. Darüber hinaus wird der sog. Mittlere Verlust im Verlustfall (Mean Excess
Loss) betrachtet. Dieser misst die mittlere Shortfallhöhe unter der Bedingung, dass ein
Shortfall eintritt. Im Unterschied zum Shortfallerwartungswert wird hierbei nicht die
mittlere Unterschreitung der Targetrendite über alle künftigen Realisationen betrachtet, sondern nur über diejenigen, die zu einer Verfehlung des Target führen. Der Mean
Excess Loss kann intuitiv als Worst Case-Risikomaß apostrophiert werden, denn er
misst nur die Konsequenzen (mittlere Targetunterschreitung) für die Fälle, in denen
der Worst Case (hier: Targetunterschreitung) eintritt. Ein fundamentaler Zusammenhang zwischen den vorstehenden Risikomaßen besteht darin, dass der Shortfallerwartungswert das Produkt aus Shortfallwahrscheinlichkeit und Mean Excess Loss ist.
Die Abbildung 4 vermittelt zunächst einen Eindruck von der Entwicklung der Shortfallwahrscheinlichkeit bei Vorgabe einer Zielrendite von 3% p.a. im Zeitablauf.
14
Shortfallwahrscheinlichkeit
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
5
10
15
20
25
30
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 4: Shortfallwahrscheinlichkeit: Targetverzinsung 3% p.a.
Es wird deutlich, dass das Einmalinvestment nicht nur hinsichtlich der mittleren Wertentwicklung, sondern auch hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit der Verfehlung einer
Targetrendite von 3% dem Sparplan überlegen ist. Es weist damit (nur) in diesem Sinne ein geringeres Risiko auf. Intuitiv liegt dies wiederum begründet in dem „Drifteffekt“, der schon bei der mittleren Wertentwicklung für die Überlegenheit des Einmalinvestments ausschlaggebend war. Auch hinsichtlich der Vorgabe einer Targetrendite
führt dieser Effekt dazu, dass beim Einmalinvestment weniger Realisationen das Target verfehlen. Das Ausmaß der Wirkung des Drifteffektes ist aber deutlich weniger
stark ausgeprägt als im Falle der mittleren Wertentwicklung. Die Shortfallwahrscheinlichkeiten beim Einmalinvestment sind nur geringfügig geringer als beim Sparplan.
Zudem wird diese Differenz umso geringer, je höher der als sicher angenommene (Anlage- und) Targetzins gewählt wird.
Wenden wir uns nun dem Mittleren Verlust im Verlustfall (Mean Excess Loss) zu. Die
entsprechende Situation wird in Abbildung 5 dargestellt.
15
Mean Excess Loss
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
5
10
15
20
25
30
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 5: Mean Excess Loss: Targetverzinsung 3% p.a.
Abbildung 5 macht deutlich, dass die festgestellte Überlegenheit eines Einmalinvestments hinsichtlich der Shortfallwahrscheinlichkeit ins Gegenteil umschlägt, wenn man
sich auf diejenigen Realisationen beschränkt, die zu einer Verfehlung der Targetrendite führen. Die mittlere Unterschreitung der Targetrendite ist dann beim Sparplan deutlich geringer als beim Einmalinvestment. Der Sparplan wirkt als „Risikodämpfer“, er
schützt besser im Falle von Worst Case-Ereignissen (hier: Verfehlung der Targetrendite). Je länger der Investmenthorizont, desto besser ist die Risikodämpfung durch den
Sparpl an relativ zum Einmalinvestment. Dieses strukturelle Ergebnis gilt auch für alternative (Anlage- und) Targetrenditen.
Wenden wir uns abschließend dem Verlauf des Shortfallerwartungswertes der beiden
alternativen Strategien bei Vorgabe einer Target-Rendite von 3% zu.
16
Shortfallerwartungswert
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
6.0%
5.0%
4.0%
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
0
5
10
15
20
25
30
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 6: Shortfallerwartungswert: Targetverzinsung 3% p.a.
Der Shortfallerwartungswert ist das Produkt aus Shortfallwahrscheinlichkeit und Mean
Excess Loss. Im Saldo wirkt die deutlich bessere Risikodämpfung beim Sparplan hinsichtlich des Mean Excess Loss offenbar stärker als die geringfügig niedrigere Shortfallwahrscheinlichkeit beim Einmalinvestment. Dies führt zu einer geringeren mittleren Benchmarkunterschreitung im Falle des Sparplans bei einer Mittlung über alle
künftigen Renditerealisationen. Auch für alternative Festlegungen der (Anlage- und)
Targetrenditen bestätigt sich dieses strukturelles Ergebnis.
C.IV Analyse des Probable Minimum Wealth
Der Value-at-Risk (VaR) zum Konfidenzniveau α ist allgemein9 derjenige Wert, der
maximal mit Wahrscheinlichkeit α%, d.h. vereinfacht gesagt nur in maximal 100α von
100 Perioden unterschritten wird. Im vorliegenden Kontext kennzeichnet der Value-atRisk den 100(1-α)%-Probable Minimum Wealth (PMW), d.h. ein Endvermögensniveau, das in 100(1-α)% der Fälle mindestens erreicht wird, bzw. in 100α% der Fälle
unterschritten wird.
Wir gehen des Weiteren von der Interpretation10 aus, dass der Value-at-Risk (und damit der PMW) als ein spezifisches risikoadjustiertes Performancemaß aufgefasst we rden kann, insoweit bei seiner Bestimmung ein spezifischer Trade-off zwischen „Risiko“ und „(mittlerer) Rendite“ durchgeführt wird.
17
Die folgenden Abbildungen 7-9 enthalten den Verlauf des Probable Minimum Wealth
des Endvermögens unter den beiden betrachteten alternativen Investmentstrategien,
jeweils für ein Konfidenzniveau von 10%, 5% und 1%.
Probable Minimum Wealth 90%
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
600%
500%
400%
300%
200%
100%
0%
0
5
10
15
20
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 7: 90% Probable Minimum Wealth
25
30
18
Probable Minimum Wealth 95%
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
350%
300%
250%
200%
150%
100%
50%
0%
0
5
10
15
20
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
25
30
25
30
Einmalinvestment
Abbildung 8: 95% Probable Minimum Wealth
Probable Minimum Wealth 99%
Vergleich von Einmalinvestment und Sparplan
sicherer Zins 3%
180%
160%
140%
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
0
5
10
15
20
Anlagedauer in Jahren
Sparplan
Einmalinvestment
Abbildung 9: 99% Probable Minimum Wealth
Es zeigt sich dabei insgesamt, dass der Sparplan generell in einer „Startphase“ einen
höheres wahrscheinliches Endvermögen impliziert und damit in dieser Startphase aus
risikoadjustierter Sicht 11 der Einmalanlage überlegen ist. Die Länge dieser Startphase
19
hängt dabei entscheidend von dem tolerierten Risikoniveau ab. Je risikoaverser der
Investor, desto länger hält die risikoadjustierte Überlegenheit des Sparplans an. Bei
Wahl eines Konfidenzniveaus in Höhe von 99% ist diese Überlegenheit wie in Abbildung 9 ersichtlich für mehr als dreißig Jahre gegeben. Auch die angenommene Höhe
des sicheren (Anlage- und) Targetzinses beeinflusst die Länge dieser Startphase. Alternativrechnungen zeigen, dass diese Startphase umso länger ist, je höher der sichere
Zins (und vice versa).
D.
Fazit und Ausblick
Die vorliegenden Ausführungen hatten den Vergleich der Rendite/Risiko-Profile von
DAX-Sparplan und DAX-Einmalanlage zum Gegenstand. Unter den Hypothesen eines
Random Walk für die künftigen Renditerealisationen eines Aktieninvestments sowie
der Möglichkeit einer sicheren Anlage des beim Sparplan jeweils nicht in Aktien gebundenen Kapitals können die folgenden Ergebnisse resümiert werden.
-
-
-
Das Einmalinvestment ist systematisch überlegen hinsichtlich der mittleren Wertentwicklung. Dieser Vorteil steigt generell mit der Länge des Investmenthorizonts
und vermindert sich mit der angenommenen Höhe des sicheren Zinses.
Der Sparplan ist hingegen systematisch überlegen hinsichtlich der Standardabwe ichung des Endvermögens.
Hinsichtlich des Erwartungswert/Varianz-Kriteriums besteht somit keine Dominanz einer der beiden Investmentalternativen über die andere.
Das Einmalinvestment weist geringfügig geringere Wahrscheinlichkeiten für die
Verfehlung der Targetrendite auf.
Der Sparplan ist ein besserer Dämpfer hinsichtlich der Risikohöhe im Sinne des
Risikomaßes Mean Excess Loss. Gemessen wird dabei die mittlere Unterschreitung
der Targetrendite in den Szenarien, in denen eine solche Unterschreitung eintritt.
Auch hinsichtlich des Risikomaßes Shortfallerwartungswert ist der Sparplan überlegen.
Hinsichtlich des Value-at-Risk bzw. im vorliegendem Kontext des Probable Minimum Wealth (hier interpretiert als risikoadjustiertes Performancemaß) besteht in
einer „Startphase“ eine Überlegenheit des Sparplans. Diese Startphase ist umso
länger, je höher das gewählte Konfidenzniveau und je höher der sichere Zins ist.
Die Vorteilhaftigkeit der beiden alternativen Investmentstrategien ist somit differenziert zu sehen. Sowohl These (Überlegenheit des Sparplans) als auch Gegenthese (Überlegenheit des Einmalinvestments) sind nicht generell valide.
Zur Bestimmung eines „Saldoeffektes“ über die hinsichtlich des Shortfallrisikos gewonnenen Teileffekte müsste der Investor sowohl Trade-offs zwischen Shortfallwahr-
20
scheinlichkeit und Mean Excess Loss als Teilrisikomaße, als auch mit dem Erwartungswert als Chancenmaß durchführen, um zu einer persönlich optimalen Entscheidung hinsichtlich Einmalinvestment versus Sparplan zu gelangen.12 Das Ergebnis
hängt entscheidend vom jeweiligen Ausmaß dieser beiden Trade-offs ab. Im vorliegenden Beitrag beschränken wir uns jedoch auf die Offenlegung der Teileffekte, die
beim Einmalinvestment bzw. Sparplan wirksam sind.
Auch bei Quantifizierung des „Saldoeffektes“ auf der Basis des Probable Minimum
Wealth in seiner Interpretation als risikoadjustiertes Performancemaß ergibt sich keine
eindeutige Überlegenheit einer der beiden Strategien. In einer (vom gewählten Konfidenzniveau und der angenommenen Höhe des sicheren Zinses abhängigen) „Startphase“ ist dabei jedoch die Sparplanstrategie überlegen.
21
Literaturverzeichnis
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1
Vgl. etwa Constantinides (1979), Knight/Mandell (1993), Samuelson (1994), Rozeff (1994), Stephan/Telöken (1997, 1998), Ebertz/Scherer (1998a, 1998b, 2003), Reichling/Schulmerich (1998),
Abeysekera/Rosenbloom (2000), Langner/Nauhauser (2002) sowie Milevsky/Posner (2003).
22
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
In der Regel sind es zwölf Monate; eine Ausnahme bildet etwa der Beitrag von Reic hling/Schulmerich (1998).
Für eine detaillierte Rendite/Risiko-Analyse von Aktiensparplänen vgl. etwa Löffler (2000). Hier
ist die betrachtete Alternative jedoch ein Rentensparplan und keine Einma lanlage in Aktien.
Erste Ergebnisse zum Value-at-Risk für eine Cost-Average Strategie enthalten auch die Beiträge
von Reichling/Schulmerich (1998) und Albrecht/Dus/Maurer/Ruckpaul (2003).
Alternativ könnte der jeweils nicht riskante investierte Teil sicher angelegt werden und der erzie lte Zinsgewinn zusätzlich zu den Raten investiert werden, vgl. hierzu etwa Bacon/Williams/Ainina
(1997), Abeysekera/Rosenbloom (2000) oder Milevsky/Posner (2003).
Vgl. etwa Albrecht/Maurer (2002), S. 140 ff.
Vgl. etwa Reichling/Schulmerich (1998).
Vgl. allgemein Albrecht/Maurer (2002), S. 108 ff.
Vgl. allgemein Albrecht/Maurer (2002), S. 115 ff. sowie S. 673 ff.
Vgl. zu dieser Interpretation Albrecht (2003), S.9 und S.30. Im Falle des Vorliegens einer Normalverteilung wird dabei der im Haupttext angesprochene Trade-off zwischen Risiko und mittlerer Rendite besonders deutlich, da hier der VaR explizit als „Erwartungswert minus Vielfaches
der Standardabweichung“ bestimmt werden kann, vgl. etwa Albrecht/Maurer (2002), S. 674ff. Im
allgemeinen Fall erfolgt der entsprechende Trade-off implizit. Bei vielen Anwendungen in der Literatur wird dagegen der VaR als reines Risikomaß verstanden. Dies liegt darin begründet, dass
der Erwartungswert hierbei approximativ gleic h null gesetzt wird (z.B. in Fällen, in denen die
mittlere Rendite eines Finanzmarkttitels über einen sehr kurzen Zeithorizont betrachtet wird).
Zumindest bei Zugrundelegung des Value-at-Risk als riskoadjustiertes Performancemaß.
Vgl. Albrecht/Maurer/Ruckpaul (2001), S.488, Fußnote 17 zu einer entsprechenden Formalisierung.