Der Einsatz des Text-Editors im TI 89 / VoyageTM 200

Der Einsatz des Text-Editors im TI 89 / VoyageTM 200
Beispiel: Geometrische Berechnung des Fulleren C28
Otto M. Keiser
D
Was ist ein Fulleren?
Um 1985 entdeckten Chemiker, dass Kohlenstoff im festen
Zustand ausser als Diamant und Graphit auch in Form käfigartiger Moleküle vorliegen kann. Das berühmteste darunter,
das „Buckminsterfulleren“C60, hat die Gestalt eines etwa auf
1nm verkleinerten Fussballs, d.h. die 60 C-Atome bilden ein
von 12 regulären Fünf- und 20 regulären Sechsecken begrenztes konvexes Polyeder [1]. Inzwischen wurde ein ganzer
„Zoo“ solcher „Fullerene“ gefunden und beschrieben, vom
kleinsten „Buckybaby“C28 bis zu „Buckyriesen“C960 [1]. Allen
ist gemeinsam, dass es sich - aus chemischen Gründen - um
Polyeder handelt, die von lauter Fünf- und Sechsecken begrenzt sind. Schon Euler selber hat - die Überlegungen sind
einfach - aus seiner Polyederformel abgeleitet, dass ein solches Polyeder genau 12 Fünfecke enthalten muss.
Die Entdecker dieser neuen Kohlenstoffform erhielten 1996
den Nobelpreis für Chemie [2]. Seither bin ich in der Mathematik immer wieder auf dieses reichhaltige und anregende
Thema zu sprechen gekommen und bin dabei auf begeistertes Interesse der Schüler gestossen. Sie haben mich ermuntert, hin und wieder in der analytischen Geometrie Fullerene
zu berechnen.
Ein Tetraederfulleren
Man kann ein Fulleren C28 aus dem Tetraeder (Seite S) wie
folgt konstruieren [3]:
Man zeichnet auf jeder Tetraederseitenfläche um seinen
Schwerpunkt M ein reguläres Sechseck mit der Seite s,
gemäss der Figur aus Abbildung 1.
Man ergänzt die Figur durch zwölf Fünfecke. Dabei sind
je vier Punkte jedes Fünfecks bereits gezeichnet und die
fünfte Ecke, die gemeinsame Ecke von je drei Fünfecken,
kommt jeweils automatisch auf die entsprechende Tetraederhöhe zu liegen.
z
S
N
Y
y
A
B
x
C
Abb. 1
Die Berechnung von s
Die Höhen in der Tetraederseitenfläche haben die Länge:
Bei dieser Wahl haben dann automatisch drei Fünfeckseiten
die Länge s. Ob dabei die Fünfecke regulär werden, kann
durch die Schüler selber, z.B. als Hausaufgabe, untersucht
werden.
S
3.
2
h
Die nachfolgenden Berechnungen beziehen sich auf das
angedeutete Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der
Mitte der Seite AB, welche auf der y-Achse liegt. Die x-Achse
geht durch C. In diesem Koordinatensystem haben die Eckpunkte die folgenden Koordinaten:
S
S
|0 , B 0| |0 , C h|0|0 ,
2
2
A 0|
D
h
| 0 | S2
3
Der Schwerpunkt M des
rM
BCD hat den Ortsvektor
(rB
rN
rC
(rC
rD ) / 3 .
rD ) / 2 .
Der Punkt X hat den Ortsvektor
rX
rM
t MN , wobei t
.
Nun soll t so gewählt werden, dass
XY
s.
Weil XY symmetrisch zur xz-Ebene liegt und weil s
dies äquivalent zu
2 yX
Seite 1 / 2
2
( h)2 .
3
Für die Mitte N der Seite CD gilt:
In diesem Beitrag soll nur die folgende Frage beantwortet
werden:
Wie gross muss die Sechseckseite s gewählt werden, damit
auch die Kante XY die Länge s hat?
s
M
X
MX , ist
MX .
aus: TI – Nachrichten 2 / 05
Otto M. Keiser
Geometrische Berechnung des Fulleren C28
Berechnung von s mit Hilfe des Text-Editors
Hand aufs Herz: Wie oft ärgern Sie sich über sich, weil Sie
eine Rechnung nach einem Tippfehler nochmals von vorne
beginnen müssen. Für längere Sequenzen empfiehlt es sich
deshalb, die Formeln - quasi auf Vorrat - in eine neue TextEditor-Datei zu schreiben (siehe untenstehendes Protokoll).
Ausser dass die eingegebenen Formeln als Kommandozeilen
zu kennzeichnen sind ( 1:Command), ist nichts Neues zu
beachten. Willkommen ist zudem die Möglichkeit, die Zeilen
zu kommentieren, damit man später die automatisch gespeicherte Datei besser versteht.
In aller Ruhe kann man zuletzt die Kommandos überprüfen
und sie schliesslich mit
schrittweise im Rechenfenster
1:Script view
ausführen lassen. Dabei ist es über
möglich, den Bildschirm horizontal zu teilen, damit man
gleichzeitig die Text-Editor-Datei und das Rechenfenster sieht
(mit
kann man zwischen den beiden Fenstern hinund herschalten.)
Erst jetzt erkennen wir den grossen Vorteil unseres Vorgehens: Aufgrund von unvorhergesehenen Reaktionen des CAS
können wir die Text-Editor-Datei nachträglich schmerzlos
korrigieren und/oder ergänzen und die Kommandos mit
nochmals ausführen lassen. In unserem Fall erweist es sich
beispielsweise als sehr hilfreich,
die Definition der Tetraederecke D mit der Information
S>0 einzugeben und
die Gleichung 2 y X
MX unter den Bedingungen t>0
und S>0 zu lösen.
Die Ausführung des Skripts liefert:
s
21 12
3
3
S
0,155 S .
Literatur
[1]
[2]
[3]
[4]
R. F. Curl; R. E. Smalley: Fullerene; Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1991
W. Andreoni: Fullerene: eine neue Ära in der Chemie;
NZZ, 30. Oktober 1996
H. R. Schneebeli: Zur Geometrie der Mikrocluster; Elemente der Mathematik 1993, Vol. 48, No.1
J. Douglas Child: Scripting Guide for the TI-92 and TI-92
Plus: Precalculus and Calculus Applications, Texas Instruments 1998, ISBN 1-886309-20-5
Autor:
Abb. 2
Otto M. Keiser
Hochstrasse 44
CH-8037 Zürich
E-Mail: omkeiser@smile.ch
Abb. 3
Seite 2 / 2
aus: TI – Nachrichten 2 / 05