DEVOIR À LA MAISON NO 14 : CORRIGÉ

© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
D EVOIR
À LA MAISON N O
14 :
CORRIGÉ
Problème 1 — E3A/E4A 2001
1. On a clairement δh ◦ δh−1 = δh−1 ◦ δh = IdG donc δh est une bijection de G dans G.
2. L(E) étant une algèbre, on a directement u+ ∈ L(E). Soit h ∈ G.
Ñ
é
X
−1
1
1 X −1
1 X
1 X
u+ h =
g−1 u g h =
g ugh =
h h−1 g−1 u gh =
h δh (g)
u δh (g)
m
m
m
m
g∈G
g∈G
g∈G
g∈G
é
Ñ
é
Ñ
−1
1 X 0−1
1 X
δh (g)
u δh (g) = h
g
u g 0 = hu+
en posant g 0 = δh (g)
=h
m
m 0
g ∈G
g∈G
donc ∀h ∈ G,
u+ h = hu+ .
3. Comme u+ commute avec tout élément de G, on a :
(u+ )+ =
1 X −1 +
1 X −1
1 X +
1
g u g=
g g u+ =
u =
m u+
m
m
m
m
g∈G
g∈G
g∈G
soit (u+ )+ = u+ .
4. Soit x ∈ F = Im p, on a donc
p+ (x) =
1 X −1
g p g(x)
m
g∈G
Or, pour tout g ∈ G, F est stable par g donc g(x) ∈ F = Im p et donc p g(x) = g(x). Ainsi,
p+ (x) =
1 X −1
1 X
g g(x) =
x=x
m
m
g∈G
g∈G
donc x ∈ Im p+ . Donc F ⊂ Im p+ .
5. On a vu à la question .4 que pour tout y ∈ F, g−1 p g(y) = y. Or pour tout x ∈ E, p h(x) ∈ Im p = F. Donc
h−1 p h(x) ∈ F car F est stable par h−1 ∈ G. On a, par conséquent,
∀x ∈ E, g−1 p g h−1 p h(x) = h−1 p h(x)
donc g−1 p g h−1 p h = h−1 p h.
6. On a
Ñ
p
+ 2
=
é
X
1
g−1 p g
m
g∈G
=
1
m2
X X
g∈G h∈G
g∈G h∈G
d’après la question .5
1 X
1
m p+ = 2 m2 p+ = p+
m2
m
g∈G
donc p+ est un projecteur.
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h∈G
g−1 p g h−1 p h
1 X X −1
h ph
= 2
m
=
!
1 X −1
h ph
m
1
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7. On a vu précédemment que, pour tout x ∈ E et tout g ∈ G, g−1 p g(x) ∈ F donc p+ (x) =
donc Im p+ ⊂ F et, comme F ⊂ Im p+ , Im p+ = F = Im p.
1
m
P
g∈G
g−1 p g(x) ∈ F
8. Puisque p+ est un projecteur, Ker p+ est un supplémentaire de F = Im p+ .
Pour tout g ∈ G, g et p+ commutent, donc Ker p+ est stable par g.
9. Si F est stable par tout g ∈ G, il suffit de choisir un projecteur d’image F (qui existe car F admet des supplémentaires)
et d’appliquer la question précédente. Tout sous-espace stable par tout g ∈ G admet au moins un supplémentaire
stable par tout g ∈ G.
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