Devoir surveillé n 9 - Mathématiques en MPSI à Corot

© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Devoir surveillé no 9
I La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
I On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
I Les calculatrices sont interdites.
Problème 1 —
L’objet de ce problème est de s’intéresser à résoudre dans certains cas l’équation fonctionnelle suivante :
Zx
∀x ∈ R, f(x) − (x − t)f(t) dt = g(x)
(1)
0
où f est une fonction inconnue supposée continue sur R ensemble des nombres réels et g une fonction donnée
définie sur R.
ex − e−x
ex + e−x
On rappelle que la fonction sh est définie par sh x =
et la fonction ch par ch x =
·
2
2
Partie I –
Dans cette partie on suppose que la fonction g est de classe C 2 sur R.
1. Montrer que les fonctions f solutions de (1) sont elles aussi de classe C 2 sur R et qu’elles vérifient :
∀x ∈ R, f 00 (x) − f(x) = g 00 (x)
2. En déduire la solution de l’équation (1) quand g est la fonction nulle.
3. Déduire aussi que l’équation (1) (que g soit de classe C 2 ou pas) a au plus une solution.
4. Montrer que toute fonction f de la forme :
ïZ
ò
ïZ
ò
ex x −t 00
e−x x t 00
∀x ∈ R, f(x) =
e g (t) dt + kA −
e g (t) dt + kB
2 0
2
0
où kA et kB sont des constantes réelles est solution de (2).
5. Montrer qu’une solution f de (2) vérifiant :
f(0) = g(0) et f 0 (0) = g 0 (0)
est également solution de (1).
6. Déduire des deux questions précédentes la solution f de (1) quand g est la fonction exponentielle.
Partie II –
Dans cette partie on suppose que la fonction g est seulement continue.
On note E l’ensemble des fonctions continues de R dans R.
On définit l’application A qui à une fonction f de E associe la fonction (notée A(f)) par la relation :
Zx
∀x ∈ R, A(f)(x) = (x − t)f(t) dt
0
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1
(2)
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1. Montrer que pour f ∈ E, A(f) et de classe C 2 et calculer A(f) 0 et A(f) 00 en fonction de f.
2. Montrer que l’application A est un endomorphisme injectif de E.
3. On définit une application U de E dans E par :
Zx
∀x ∈ R, U(f)(x) =
sh(x − t)f(t) dt
0
Montrer que U ◦ A = U − A.
4. Pour n ∈ N∗ , on désigne par An la n-ème itérée de l’application A :
A2 (f) = A(A(f)), . . . , An (f) = A(An−1 (f))
Montrer que pour tout f ∈ E, pour tout x ∈ R et pour tout n ∈ N∗ ,
Zx
(x − t)2n−1
n
A (f)(x) =
f(t) dt
0 (2n − 1)!
5. Pour n ∈ N∗ , on pose Un = A + A2 + · · · + An .
a. Montrer que pour tout u ∈ R et pour tout n ∈ N∗ , on a :
n
2n+1
2k−1 X
u
6 ch (u)|u|
sh (u) −
(2k − 1)! (2n + 1)!
k=1
b. En déduire que pour toute fonction f de E, pour tout réel x et pour tout n ∈ N∗ :
Z
ch (x)|x|2n+1 x
|U(f)(x) − Un (f)(x)| 6
|f(t)| dt
(2n + 1)!
0
puis que U(f)(x) − Un (f)(x) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.
c. En déduire que A ◦ U = U − A.
6.
a. On note I l’application identité de E dans E.
Montrer que les application I − A et I + U sont (pour la composition des applications) des bijections
de E dans E réciproques l’une de l’autre.
b. En déduire la fonction f de E solution de l’équation (1).
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Problème 2 —
Å
Pour t ∈ R∗+ , on définit f(t) = exp −
1
t
ã
et g(t) =
f(t)
.
t
Partie I – Etude de deux suites implicites
1. Prouver que f et g sont C ∞ sur R∗+ .
2. Montrer que g peut se prolonger en 0 en une fonction de classe C 1 sur R+ . On notera encore g ce prolongement.
3. Faire un tableau de variations de g sur R+ puis en faire un graphe.
Å ã
1
∗
4. Soit H la primitive sur R+ de t 7→ g
s’annulant en 1.
t
a. Calculer H.
b. En donner un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 1.
t
5. Soit n > 3 un entier naturel. On introduit l’équation (En ) : f(t) = d’inconnue t ∈ R∗+ .
n
a. En utilisant la question I.3, montrer que (En ) a une unique solution dans ]0, 1[, que l’on notera αn .
Montrer que (En ) admet également une unique solution dans ]1, +∞[ que l’on notera βn .
b. Montrer que les suites (αn )n>3 et (βn )n>3 sont monotones.
c. Est-il possible que l’une des deux suites converge vers une limite l > 0 ? En déduire leurs limites.
Partie II – Etude d’une équation différentielle
On considère une application y solution de l’équation différentielle (E) : x2 y 0 + y = x2 sur R+ de classe C ∞ sur
R+ . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite de terme général un = y(n) (0)
à partir de l’équation (E).
1. Que vaut u0 ?
2. Calculer u1 et u2 .
3. y peut-elle être une application polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 ?
4. Soit n ∈ N.
a. On suppose n > 3. Prouver que pour tout x ∈ R+ :
x2 y(n+1) (x) + (1 + 2nx)y(n) (x) + n(n − 1)y(n−1) (x) = 0
En déduire une relation de récurrence entre un et un−1 .
b. Donner une expression de un utilisant une factorielle valable pour tout n > 2. En déduire un développement limité (dont on justifiera l’existence) de y à tout ordre au voisinage de 0.
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