המרת אנרגיה - האתר של שי ידרמן

‫המרת אנרגיה‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר ראובן ינקוסנקו‪.‬‬
‫מייל‪riancon@gmail.com :‬‬
‫נייד‪.052-8241928 :‬‬
‫סילבוס‪:‬‬
‫בקורס נלמד על התקנים להעברת אנרגיה המבוססים על אנרגיה מגנטית אגּורה‪.‬‬
‫השיטה נקראת מגנטו‪-‬קווזיסטטיקה‪( .‬השם מעיד על המשמעות‪.)..‬‬
‫הנושאים שנלמד הם‪:‬‬
‫‪ .1‬תלת פאזי (היכרות עם הנושא)‪.‬‬
‫‪ .2‬מעגלים מגנטיים‪.‬‬
‫‪ .3‬שנאים (חד פאזי ותלת פאזי)‪ .‬השנאים ממירים אנרגיה חשמלית לאנרגיה חשמלית‪.‬‬
‫‪ .4‬מכונות חשמל‪ .‬המכונה ממירה אנרגיה חשמלית למכאנית‪ .‬במקרה זה היא נקראת מנוע ובמקרה ההפוך היא נקראת גנרטור‪.‬‬
‫יש לנו שני סוגי מכונות‪ ,‬האחת היא סינכרונית והשנייה היא אסינכרונית‪ .‬ההבדל בין השניים הוא כזה שבסינכרונית המכונה‬
‫תתעקש לשמור על הקצב שלה ומכונה אסינכרונית תתאים את עצמה לקצבים שונים‪ .‬קרוב לוודאי שלא נגיע ללמוד על מכונה‬
‫אסינכרונית בקורס עקב מגבלות תקציב‪.‬‬
‫‪|1‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ .1‬רשתות תלת‪-‬פאזיות‬
‫חיבור משולש‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫להלן מתוארים שלושה מקורות מתח המהווים רשת תלת‪-‬פאזית המחוברים באופן הבא‪:‬‬
‫לענייננו‪ ,‬בין שלושת הספקים יש הפרש של ‪ 1 2 0 ‬אחד מהשני‪.‬‬
‫המתח הנמדד בין כל זוג יציאות נקרא מתח הקו ויסומן‪. V line  V l :‬‬
‫חיבור זה נקרא חיבור משולש ומסומן בהמשך ב‪.  -‬‬
‫(הסימנים מעידים על כיווני הפאזה שכן שני מקורות מתח חילופין‬
‫עם סימנים הפוכים נבדלים זה מזה ב‪.) 1 8 0  -‬‬
‫‪V ph 120 ‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Vl‬‬
‫נתבונן בגרף הבא ונסיק באופן מיידי‪:‬‬
‫‪. V a  V b  V c  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ V ph 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪C‬‬
‫הקשר שבין מתח הקו ‪ V l‬למתח הפאזה ‪ V p h‬בחיבור משולש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ph 240 ‬‬
‫‪‬‬
‫איור ‪ – 1‬תיאור כללי של מודל רשת תלת‬
‫פאזית בחיבור משולש‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫איור ‪ – 2‬תיאור ווקטורי של המתחים‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫הקשר בין ‪ I ph‬ל‪: I l -‬‬
‫אם הרשת מאוזנת כל מקור מועמס באותו עומס בדיוק (גודל וזווית) ולכן גם זרמי הפאזה יהיו שווים בגודלם ובהפרש של‬
‫אחת לעומת השני‪.‬‬
‫‪I phb‬‬
‫נצייר את זרמי הפאזה‪:‬‬
‫לפי המודל שלנו ניתן לראות כי כל זרם קו‬
‫הינו הפרש פאזורי בין שני זרמי פאזה (הירוק)‪.‬‬
‫‪I pha‬‬
‫‪I phc‬‬
‫נבצע את ההפרש הפאזורי ונקבל‪:‬‬
‫‪3  I ph 120 ‬‬
‫‪120‬‬
‫איור ‪ – 3‬תיאור ווקטורי של הזרמים‪.‬‬
‫הווקטור המסומן בירוק הוא הפרש הזרמים הנדרש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪I l  I pha  I phb  I ph  j  I ph  30   I ph  j  I ph  cos   30   j  sin   30    I ph  ‬‬
‫‪ j ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫היות ואנו מעוניינים רק בגודל נוכל לרשום בפשטות עבור חיבור מסוג זה‪:‬‬
‫‪3  I ph‬‬
‫‪Il ‬‬
‫‪. :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫חיבור כוכב‪:‬‬
‫באיור הבא מתואר מודל חיבור כוכב‪:‬‬
‫הקשר בין הזרמים הוא פשוט‪. I p h  I l :‬‬
‫‪3  V‬‬
‫‪ V‬‬
‫‪ V‬‬
‫הקשר בין המתחים ‪ V ph‬ו‪ V l -‬הוא‪:‬‬
‫(החישוב זהה למה שביצענו קודם עם הפרש הזרמים בחיבור משולש)‪.‬‬
‫‪ 30 ‬‬
‫‪ph‬‬
‫חיבור כוכב מקובל לסמן ב‪ .Y-‬המסקנה היא‪:‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪3  V ph‬‬
‫‪phb‬‬
‫‪Vl ‬‬
‫‪.Y :‬‬
‫‪pha‬‬
‫‪. V A B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V ph 0 ‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ V ph 120 ‬‬
‫‪V ph 240 ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪c b ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Vl C‬‬
‫איור ‪ – 4‬תיאור כללי של מודל רשת תלת פאזית בחיבור כוכב‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫בתרגילים תהייה נתונה רשת (מאוזנת) ואין לנו שום מושג האם היא נוצרה ע"י חיבור כוכב‬
‫או משולש וע"י כמה גנראטורים היא נוצרה‪ .‬כמוכן לא ידוע לנו באיזה צד של הרשת נמצאים‬
‫הצרכנים ובאיזה צד הגנראטורים‪ .‬מה שמעניין אותנו הוא הפאזה שבקצה‪.‬‬
‫‪|2‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫נתונה רשת תלת פאזית שאליה מחובר הצרכן הבא‪Z ph   4  3  j    5  36.9  :‬‬
‫מתח הקו הוא‪ . V l  208 v :‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬גודל זרם הקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬גורם ההספק‪.‬‬
‫ג‪( . S , Q , P .‬תזכורת‪-S :‬הספק מדומה‪-P ,‬הספק אפקטיבי‪ -Q ,‬הספק ריאקטיבי)‪.‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪Vl  208 v‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ברגע שאנו יודעים את מתח הקו נוכל למצוא את מתח הפאזה ואז את זרם הקו‪:‬‬
‫‪ 120 v‬‬
‫‪208‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 24 A‬‬
‫‪120‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪V ph‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪V ph ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪I l  I ph ‬‬
‫ב‪ .‬נזכיר את ההגדרה של גורם ההספק‪:‬‬
‫המשמעות של הזווית ‪ ‬היא‪ :‬בכמה מעלות מקדים המתח את הזרם‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫בעומס אומי המתח הוא באותו מּופע עם הזרם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫והזרם‬
‫המתח‬
‫בין‬
‫בעומס השארתי ‪ Z‬כלשהו קיים הפרש מּופע‬
‫‪P‬‬
‫גורם ההספק הוא‪. cos  :‬‬
‫חובה לציין גם את סימן הזווית‪ ,‬זווית שלילית מעידה כי המתח מקדים את הזרם וזווית חיובית מעידה כי המתח מפגר אחרי‬
‫הזרם‪ .‬במקרה שלנו נקבל בפשטות‪ cos  36.9    0.8 :‬וקל לראות כי המתח מפגר אחרי הזרם‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫ג‪ .‬הספק מדומה (‪ )S‬משמעותו היא לכפול את המתח בזרם ללא התייחסות לזווית‪. S ph  V ph  I ph  120  24 :‬‬
‫ההספק המדומה על כל המערכת הוא ‪ 3‬פעמים ‪ S ph‬ולכן‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  120  24  8640V A :‬‬
‫ההספק האקטיבי הוא‪. P  S cos   8640  0.8  6912W :‬‬
‫ההספק הריאקטיבי הוא‪. Q  S sin   8640  0.6  5184VAR :‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתונה אותה הרשת מהדוגמא הקודמת‪ .‬כעת מחברים עומס הגדול פי ‪ 3‬מהקודם‪ . Z ph  15  36.9  :‬הסעיפים זהים‪:‬‬
‫א‪ .‬המתח מתקבל ישירות מצורת החיבור‪. V ph  V l  208 v :‬‬
‫הזרם הוא‪ 13.86 A :‬‬
‫‪208‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ph‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪ I ph ‬ולכן‪3  13.86  24 A :‬‬
‫‪3  I ph ‬‬
‫‪Il ‬‬
‫‪A‬‬
‫והזווית‪( .  V ph   I ph  36.9  :‬נשים לב כי התקבלו זרמים זהים)‪.‬‬
‫ב‪ .‬אותו דבר כמו מקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההספק המדומה‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  208  13.86  8640V A :‬‬
‫ההספקים האחרים שווים כמו מקודם‪.‬‬
‫‪|3‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪V ph  208 v‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z ph‬‬
‫‪C‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬המרת עומס מכוכב למשולש‪. Z   3 Z Y :‬‬
‫‪ .2‬ראינו כי תמיד נכון לומר‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph :‬‬
‫במשולש כשנפתח נקבל‪3  V l  I l :‬‬
‫בכוכב כשנפתח נקבל‪3  V l  I l :‬‬
‫‪Il‬‬
‫‪‬‬
‫‪S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  V l ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ Il ‬‬
‫‪Vl‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S  3  S ph  3  V ph  I ph  3 ‬‬
‫לכן תמיד‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  Vl  I l :‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .1‬תאריך‪1.11.11 :‬‬
‫‪ .2‬מעגלים מגנטיים‪:‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫מעגל מגנטי מורכב מסליל מעשי‪ ,‬בחישובים של מעגלים מגנטיים נתבסס על סולונואיד כמתואר באיור ‪:5‬‬
‫נתייחס אליו כאל אינסופי‪ ,‬בהמשך נכניס לתוך הסולונואיד חומר (ולא יהיה שם רק רִיק)‪.‬‬
‫נלפף חוט סביב הסליל כמתואר ונקבל כי השדה המגנטי ‪ B‬שבתוך הסליל הוא בכיוון ˆ‪z‬‬
‫ואינו תלוי במרחק מציר ה‪ . zˆ -‬כמו כן ניתן להוכיח גם כי השדה המגנטי בחוץ מתאפס‪.‬‬
‫(ראינו את זה עד כה לפחות ב‪ 3-‬קורסים שונים‪)..‬‬
‫עבור סליל עם ‪ N‬ליפופים באורך ‪ l‬שזורם בו זרם ‪ I‬נקבל מחוק אמפר‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪N‬‬
‫‪l‬‬
‫‪.H ‬‬
‫ראינו בעבר כי‪( B   H :‬או במקרה של רִיק ‪ ) B   0 H‬אך הקשר הנ"ל אינו ליניארי לכל‬
‫ערך של ‪ . H‬באיור ‪ 6‬ניתן לראות תיאור גרפי של התלות‪: B  f ( H ) :‬‬
‫מהגרף ניתן לראות כי קיים איזור קטן – לא ליניארי – ובו ‪. B   0  r H :‬‬
‫כאשר הספינים של האלקטרונים שבאטום מגיעים לרוויה‬
‫מתקיים‪  0 :‬‬
‫‪N‬‬
‫איור ‪ -5‬תיאור סולונואיד כללי‪.‬‬
‫‪dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dH‬‬
‫אז מקבלים את הקשר הכללי הידוע‪. B   0 H :‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫נזכור כי הקשר הכללי של ‪ B‬ו‪ H -‬תלוי גם בווקטור המגנטיזציה ‪: M‬‬
‫‪. B  0  H  M‬‬
‫איור ‪ -6‬גרף‪.‬‬
‫באיזור הליניארי (הרוויה) ‪ M‬יחסי ל‪ H -‬ומקובל לרשום‪. M   m H :‬‬
‫לכן‪ B   0  H  M    0 1   m  H :‬ומסמנים‪. 1   m   r :‬‬
‫נחזור לעניינינו ההתחלתי והוא חישוב עוצמת השדה המגנטי בתוך סליל‪:‬‬
‫השטף המגנטי (כאשר חתך השטח הוא ‪ )A‬מוגדר‪:‬‬
‫מגדירים את ההשראות המגנטית‪:‬‬
‫‪0r A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪0r NI‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ N ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪N‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0r NI‬‬
‫‪l‬‬
‫‪. B  0r H ‬‬
‫‪.  B  A ‬‬
‫‪.L ‬‬
‫כדי למצוא את האנרגיה האגורה בסליל יש להיעזר במשפט הפוינטינג והוא שווקטור הפוינטינג נותן של ההספק ליח' שטח‬
‫ולכן סכימה (אינטגרל) של ווקטור הפוינטינג לאורך כל שטח המעטפת תניב את האנרגיה האגורה‪.‬‬
‫ראינו כי וקטור הפוינטינג הוא‪. S  E  H :‬‬
‫‪. Pin   ‬‬
‫ההספק הכלוא בתוך גוף כלשהו הוא‪ S  d a   E  J dv   E   t Ddv   H   t Bdv :‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪B‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ -‬ההספק שהולך לחימום התנגדותי‪.‬‬
‫‪ E  J dv‬‬
‫‪ -  E   Ddv‬שינוי האנרגיה החשמלית ליח' זמן‪.‬‬
‫‪-  H   Bdv‬שינוי האנרגיה המגנטית ליח' זמן‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫נניח בסולונואיד ש‪ B-‬ו‪ H-‬לא תלויים במיקום והם לכיוון ציר‬
‫‪‬‬
‫‪ NI‬‬
‫‪t‬‬
‫מגדירים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫וננתח את הביטוי האחרון בסכימה‪:‬‬
‫‪H t B  l  A  H ‬‬
‫‪ V ‬המתח המושרה על הלולאה (חוק פראדיי)‪ .‬ולכן מקבלים‪. H   t B  I  V :‬‬
‫הביטוי ‪ H   t B‬הוא הספק מגנטי ליח' נפח‪ .‬כאשר נכפיל ב‪ d t -‬נקבל את תוספת האנרגיה ליח' נפח‪.‬‬
‫מהגרף הקודם ניתן לראות כי השטח המצוין בסמוך הוא למעשה תוספת האנרגיה ליח' נפח‪.‬‬
‫לכן באיזור הרוויה (התחום הליניארי שבגרף) אם עולים מ‪ 0-‬לנקודה מסוימת אז מקבלים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪20r‬‬
‫קיבלנו אלמנט נפח של האנרגיה האגורה‪ ,‬ז"א‪:‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0r H‬‬
‫‪ u‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪dB‬‬
‫‪H‬‬
‫‪H‬‬
‫‪uH ‬‬
‫‪. EH ‬‬
‫במקרה שבו לא כל הסולונואיד מלופף נקבל בריחה של שטף מגנטי אל מחוץ לסולונואיד‪.‬‬
‫לכן‪ H outside  0 :‬ואז גם‪ . B outside   0 H outside  0 :‬יחד עם זאת הוא קטן מאוד ביחס ל‪. B inside   0  r H inside -‬‬
‫יש להתייחס למקרה זה מכיוון שאין לנו באמת סולונואיד אינסופי ולכן תמיד תהיה בריחה כלשהי‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪r2‬‬
‫נתון סולונואיד מעוגל ועליו שני ליפופים שונים ‪ N A‬ו‪ N B -‬עם זרמים‪ I A :‬ו‪. I B -‬‬
‫שטחי החתך של הסולונואיד נחלקים לשניים‪ A1 :‬ו‪. A2 -‬‬
‫מסמנים ב‪ l1 , l 2 -‬את האורכים הממוצעים של כל חלק מהמעגל‪.‬‬
‫נניח כי ‪ B‬ו‪ H-‬בכיוון המעגל ואחידים ולכל חלק יש ‪  r 1‬ו‪.  r 2 -‬‬
‫אנו רוצים להראות את האנלוג המגנטי למעגל חשמלי ‪DC‬‬
‫(ז"א הדמיון שבין שני סוגי המעגלים)‪.‬‬
‫‪ r1‬‬
‫‪l1‬‬
‫רדיוס ממוצע‬
‫‪l2‬‬
‫‪IA‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪IB‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מחוק אמפר מקבלים בפשטות‪.  H  dl  H 1l1  H 2 l 2  N A I A  N B I B :‬‬
‫נבטא את ‪ H‬במונחי ‪:B‬‬
‫‪B 2 l2‬‬
‫‪0r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪B1l1‬‬
‫‪ 0  r1‬‬
‫‪. H 1l1  H 2 l 2 ‬‬
‫נסמן‪ - N i I i  Fi :‬מקור מגנו‪-‬מניע ‪ -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ F1  F2‬‬
‫‪B 2l2‬‬
‫‪0r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪B1l1‬‬
‫‪ 0  r1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫השטף בשני החלקים שווה‪   A1 B1  A2 B 2 :‬ולכן ניתן לכתוב‪  F1  F2 :‬‬
‫‪ A1  1 A2  2 ‬‬
‫‪l‬‬
‫נסמן‪ - R i  i :‬התנגדות מגנטית של קטע באורך ‪ l i‬עם שטח חתך ‪ Ai‬ופרמביליות ‪.  i‬‬
‫‪Ai  i‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬כאשר‪.  0  r 1   1 :‬‬
‫נשים לב כי באנלוגיה ‪ F1  F2‬הם מקורות ולכן ‪ H 1l1  H 2 l 2‬הם מפלי מתח באזורים ‪ 1‬ו‪ 2-‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪|5‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫טבלה‪ :‬אנלוג חשמלי למעגל מגנטי‪:‬‬
‫מגנטי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪A‬‬
‫חשמלי‬
‫‪‬‬
‫‪ At    A ‬‬
‫‪ W b ‬‬
‫‪H / m‬‬
‫‪A / m‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ R ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪‬‬
‫‪W b / m 2  T ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪l‬‬
‫‪I‬‬
‫‪V‬‬
‫‪A / m2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪H‬‬
‫‪J ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1 /  ‬‬
‫‪v / m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתון סליל עגול בעל רדיוס ממוצע‪ . a  6 cm :‬רדיוס החתך הוא‪. r  1cm :‬‬
‫נתונים גם‪ . N  1000 ,  r  2000 :‬יש למצוא את הזרם הדרוש לשטף‪W b :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.   2  10‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת המעגל פשוט‪ ,‬יש לנו רק חלק אחד‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4.77  10 H‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫ואז‪ F     2  10  4  4.77  10 5  95.5 A  N I :‬ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2   6  10‬‬
‫‪ 2000     10‬‬
‫‪ 9 5 .5 m A‬‬
‫‪9 5 .5‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4   10‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0  r  r‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.I ‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .2‬תאריך‪8.11.11 :‬‬
‫חזרה מהרצאה קודמת‪:‬‬
‫לקחנו סולונואיד המחולק לשני חלקים‪( .‬הזרמים הם לאותו הכיוון)‪.‬‬
‫ראינו כי השדה החשמלי אחיד בכל קטע אך אין הדבר אומר כי השדה שווה בשני החלקים‪.‬‬
‫לכן פיצלנו את חוק אמפר לשני חלקים‪.  H  dl  H 1l1  H 2 l 2  N A I A  N B I B :‬‬
‫לכל אחד מהביטויים‪ N i I i :‬קראנו כח‪-‬אלקטרו‪-‬מניע ולביטויים‪ Fi  H i li :‬קראנו מפל מתח על קטע ‪.i‬‬
‫נצייר אנלוג חשמלי למעגל המגנטי הנ"ל‪:‬‬
‫ניתן לראות כי ה"זרם" במקרה זה הוא השטף ‪. ‬‬
‫מתקיים‪. F A  FB  F1  F2 :‬‬
‫אם יש קשר ליניארי בין ‪ H‬ל‪( B -‬והוא‪ )  :‬אז אנו מסוגלים חשב את‬
‫ז"א בכל קטע ‪ i‬מתקיים‪.  i   o  ri :‬‬
‫‪|6‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪FB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪FA‬‬
‫‪‬‬
‫‪B1l1 B 2 l 2‬‬
‫‪‬‬
‫לפי זה נקבל‪ F1  F2 :‬‬
‫‪ .‬בשל השטף המשותף נקבל‪  F1  F2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A2  2 ‬‬
‫‪l‬‬
‫וראינו בסוף ההרצאה את הסימון להתנגדות המגנטית‪ . R i  i :‬עד כאן חזרה!‬
‫‪Ai  i‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ A1  1‬‬
‫‪B‬‬
‫כעת נראה דוגמא לא‪-‬ליניארית‪ .‬במקרה זה הקשר יורד לאחר חלק ליניארי כלשהו‪.‬‬
‫מן הראוי לציין כי כאשר משנים באופן מהיר את הזרם נקבל כי ירידה של ‪ H‬לאפס עדיין תשאיר ‪ B‬מסוים‪.‬‬
‫התופעה הזאת נקראת היסטרזיס – עליה נדון בהמשך‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתונות הנקודות הבאות מהגרף‪  50, 0.35  , 150, 0.9  ,  500,1.25  :‬כאשר‪.  B   T ,  H   A / m :‬‬
‫נתונה ליבה מגנטית כמתואר באיור הבא‪:‬‬
‫נתון שטח חתך ממוצע אחיד‪. A  2 cm  2 cm :‬‬
‫נתון כי‪ l  l 2  18 cm :‬וכן‪( l1  6 cm :‬אורכים ממוצעים)‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫נצייר מעגל אנלוג חשמלי (למרות שאיננו יודעים את ההתנגדויות כי התלות לא ליניארית)‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫נתון ‪  1‬ושטח החתך לכן ניתן למצוא את ‪: B1‬‬
‫‪ 0.9 T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪l2‬‬
‫צריך לחשב את הזרם ‪ I‬לקיום התנאי‪. 1  3 .6  1 0  4 W b :‬‬
‫‪3.6  10‬‬
‫‪ 0.02 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. B1 ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪F  NI‬‬
‫‪b‬‬
‫מהגרף ניתן לראות כי‪. B1  0.9T  H 1  150 A / m :‬‬
‫נמצא את מפל המתח (הכח האלקטרו מניע) בחלק של ‪ . Fab  H 1l1  150  0.06  9 A : l1‬אבל מתקיים גם‪Fab  H 2 l 2  9 A :‬‬
‫(לפי חוק אמפר – מפל המתח על שני הקטעים שווה‪:‬‬
‫לכן מקבלים‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 50‬‬
‫‪m‬‬
‫‪Fab‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪ H 2 l 2  0  H 1l1   H 2 l 2‬‬
‫‪ H  dl  H l‬‬
‫‪1 1‬‬
‫כי אין שם זרם)‪.‬‬
‫‪ . H 2 ‬מכאן גם נמצא‪ B 2  0.35T :‬לפי הנתונים מהגרף‪.‬‬
‫השטף בחלק השני הוא‪.  2  B 2  A  1.4  10  4 W b :‬‬
‫כדי למצוא את השטף הכללי נתייחס כמו ב‪ KCL-‬רק שהפעם מבצעים אינטגרל על הנפח שממנו יוצאים שלושת‬
‫השטפים (נצייר חיצים היוצאים מחוץ למסגרת העוטפת את החלק המהווה את הצומת)‪.  B  da  0 :‬‬
‫נקבל‪ B A  B1 A  B 2 A  0     1   2  0 :‬ולכן‪.   5  10  4 W b :‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ 1 .2 5 T‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ B ‬ואז מהגרף ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ H  5 0 0‬והזרם‪. FR  H l  500  0.18  90 A :‬‬
‫נקבל בסוף‪ F  FR  Fab  99 A :‬והזרם הוא‪:‬‬
‫‪ 0 .3 3 A‬‬
‫‪99‬‬
‫‪300‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ . F  IN  I ‬מש"ל‪.‬‬
‫הערה‪ :‬במצב זה (‪ )DC‬יש אנרגיה קבועה אגורה בליבה‪ ,‬לכן הפסדי ברזל‪.  PFE  0 :‬‬
‫האנרגיה לא מתבזבזת היות והיא לא יוצאת אלא ע"י שינוי הזרם וב‪ DC-‬אין לנו דבר כזה‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ראינו כי השטח הכלוא בגרף של עקומת ה‪ B-H-‬בין העקומה‪ ,‬ציר ה‪ B-‬וישר אופקי‬
‫המשמש כחסם עליון מתאר את האנרגיה ליח' נפח‪ .‬ניתן להוכיח כי השטח שבין כל שתי נקודות‬
‫מהנקודות הנתונות זהה‪.‬‬
‫‪|7‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מעגלים מגנטיים ב‪:AC-‬‬
‫במצב זה נוצר מתח מושרה‪.‬‬
‫נזרים זרם סינוסואידאלי (כמובן‪ )..‬וכתוצאה מכך נקבל שטף המשתנה בזמן ולפי חוק פראדיי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪.  E  d l    t  B  d a  ‬‬
‫ניצור לולאה סגורה ע"י כך שנלך על החוט לאורך הקפה אחת ובסיום ההקפה "נסגור" את הלולאה באוויר מהחוט הנוכחי כלפי זה‬
‫שמתחתיו‪ .‬מכיוון הזרם ניתן לראות את כיוון השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫למטה‬
‫מלמעלה‬
‫כאשר נתייחס לכל החוט נקבל כי השדה החשמלי הוא‬
‫‪dt‬‬
‫לכן השטף יתקדם בכיוון החץ המתואר‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪ :‬קוטביות המתח היא כזו כפי שסומן אם מעלים אנרגיה והפוך אם מורידים אנרגיה‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫המתח המושרה על הלולאות הוא‪:‬‬
‫הקשר בין השטף לזרם הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.V  N‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪. F    N I‬‬
‫עבור מצב ליניארי‬
‫‪‬‬
‫אינו תלוי בשטף‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪d  N I  N dI‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt   ‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ V  N‬כאשר‪ - L :‬ההשראות‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫נצייר את מעגל התמורה (זה הוא לא אנלוג אלא מעגל תמורה אמיתי!)‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר‪ - r :‬התנגדות ליפופים‪ L ,‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪ -‬השראות‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .3‬תאריך‪15.11.11 :‬‬
‫מעגל תמורה של מעגל מגנטי המוזן ע"י הזנה בודדת‪:‬‬
‫נתבונן במעגל התמורה המגנטי הבא המתקבל מליפוף של חוט בליבה‪:‬‬
‫(זה הוא מעגל תמורה חלקי כי הוא לא מביא בחשבון דברים אחרים)‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪X    L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫נזכור כי‪ L :‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו כי‪ F  NI    :‬כאשר‪ -  :‬התנגדות מגנטית שקולה‪ -  ,‬שטף מגנטי דרך ענף מגנטי מוזן‪.‬‬
‫מתח ההדקים הוא‪:‬‬
‫הוא השראות הליבה ו‪ r -‬הוא התנגדות הליפופים‪.‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪.V  N‬‬
‫‪dt‬‬
‫נדבר רק על עירור הרמוני‪ ,‬לכן‪ ,  t  j :‬מבחינת גודל‪ ,  t   :‬אז נרשום‪ V  N   :‬הנכון עבור הערך המוחלט‪.‬‬
‫נציב שנית ונקבל‪ . V  L   I  X  I :‬נזכור להוסיף ‪ 9 0 ‬בין המתח והזרם ומשוואה זו נכונה תמיד‪.‬‬
‫(בעבודה בתדר הרגיל – ‪ 5 0 H z‬מתקיים‪ r   X  :‬ולכן ניתן להזניח אותו בפיתוח)‪.‬‬
‫הפסדי ברזל‪:‬‬
‫ישנם ‪ 2‬סוגי הפסדי ברזל‪ :‬הפסדי היסטרזיס והפסדי מערבולת‪.‬‬
‫‪|8‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪E‬‬
‫הפסדי היסטרזיס‪:‬‬
‫נזכור כי‪ H  I :‬ו‪ , B  V -‬לכן מקבלים את הפיתוח הבא‪:‬‬
‫כאשר‪ H  0 :‬יש לנו שיפוע שהוא‪(  1 :‬ראינו בעבר) וככל שנעלה נגיע לרוויה בגרף‬
‫(כפי שראינו בעמ' ‪ )4‬בנקודה ‪ A‬ושם יש שיפוע ‪  2‬לפי הנדרש בייצור‪.‬‬
‫לאחר שנגיע לרוויה‪ ,‬כאשר נוריד את הזרם נקבל כי קיימת עוצמה מגנטית כלשהי (הנקודה ‪.)B‬‬
‫אם נוריד את הזרם אף יותר (לתחום השלילי) נגיע למצב של איפוס ‪ B‬וכן חלילה‪.‬‬
‫נבדוק מה קורה מבחינת האנרגיה‪:‬‬
‫תוספת האנרגיה לליבה בכל תזוזה היא‪ . H d B :‬כאשר‪ H d B  0 :‬הליבה מקבלת אנרגיה וכאשר‪ H d B  0 :‬היא מחזירה אנרגיה‪.‬‬
‫השטח שכלוא בין ישר אופקי הנמתח מהרוויה (הנקודה ‪ )A‬לציר האנכי‪ ,‬והעקומה הכתומה (תחילת התהליך) הוא חיובי כי ‪ H‬חיובי‬
‫וגם ‪( d B‬כי עולים איתו ככל שמגדילים את ‪ .) H‬לכן האנרגיה בשלב זה היא‪ H d B  0 :‬והליבה מקבלת אנרגיה‪.‬‬
‫כאשר נעים מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬מקבלים שטח שלילי כי ‪ dB  0‬אבל השטח הכולל קטן מהשטח ההתחלתי ולכן עדיין יש יותר‬
‫אנרגיה בליבה מאשר מה שהיא נתנה‪ .‬כשחוזרים על התהליך מקבלים כי השטח הכלוא בין הנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬והצירים שוב חיובי ולכן‬
‫הליבה מקבלת עוד אנרגיה‪ .‬כאשר מחשבים את השטח בין ‪ C‬ו‪ D-‬וישר אופקי המחבר את ‪ D‬עם הציר האנכי נקבל עוד שטח חיובי‬
‫המתווסף לאנרגיה שהליבה מקבלת‪ .‬בסוף‪ ,‬כשנחשב את השטח הכלוא בין ‪ D‬ו‪ E-‬ואותו הישר נקבל שטח שלילי ולכן הליבה מחזירה‬
‫אנרגיה‪ .‬כאשר נסיים את התהליך עד למחזור שלם (ז"א בין הנקודות ‪ E‬ל‪ F-‬ובין ‪ F‬ל‪ )A-‬נקבל כי הסכום לא התאפס והסכום שהליבה‬
‫קיבלה גדול יותר מהסכום שהיא החזירה‪ .‬לכן לא יכול להתקיים היסטרזיס הפוך למשל כי אז המשמעות תהיה שאנו מקבלים יותר‬
‫‪1‬‬
‫אנרגיה מאשר אנו משקיעים וזה לא ייתכן‪ .‬סך השטח שקיבלנו מייצג את האנרגיה ליח' נפח במשך מחזור‪:‬‬
‫‪.T ‬‬
‫‪f‬‬
‫לכן מסיקים כי ההספק פרופורציוני לתדר‪.  Ph ys  f :‬‬
‫באופן טיפוסי השטח הכלוא בהיסטרזיס קטן בהרבה משטח העבודה הדינאמית (המלבן בגבולות‪.)  B m in , B m ax    H m in , H m ax  :‬‬
‫לפי זה נוכל להגדיר את האחוז המנוצל‪:‬‬
‫‪ H dB‬‬
‫‪2 B m ax  2 H m ax‬‬
‫‪  hys ‬כאשר‪ -  H dB :‬השטח הכלוא‪.‬‬
‫‪ hys 2 B m ax  2 H m ax  Vvolum e‬‬
‫כעת נוכל לקבל הספק‪ f   hys  4 B m ax H m ax  A  l :‬‬
‫‪T‬‬
‫מכיוון ש‪ B m ax  A   m ax , H m ax  l  I m N :‬נקבל‪ f   hys  4 m ax  I m ax N :‬‬
‫היות ו‪-‬‬
‫‪N d  m ax‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ I m ax N  L ‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.  Phys ‬‬
‫‪.  Phys‬‬
‫‪.  Phys  f   hys  4 N 2 m2 ax‬‬
‫המלבן הירוק הוא שטח העבודה הדינאמי‪.‬‬
‫שטח זה קטן יותר מהשטח הכלוא בהיסטרזיס‪.‬‬
‫‪2V  hys‬‬
‫‪2‬‬
‫הקשר בין מתח ההדקים לשטף הוא‪ , V m ax  N   m ax :‬נציב ונקבל (לאחר צמצום)‪:‬‬
‫(עברנו ממתח מקסימלי לאפקטיבי)‪ .‬נשתמש גם ב‪ X   L    2  fL  -‬ונקבל‪:‬‬
‫זו היא ההתנגדות של הפסדי הברזל!‬
‫ההתנהגות‪ N   m ax  L   I m ax :‬‬
‫‪ fL ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪4  hys‬‬
‫‪  Phys ‬כאשר‪. V m ax  V 2 :‬‬
‫‪ fL ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 hys‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Phys‬‬
‫‪ V m ax‬היא מדויקת אם אין הפסדי ברזל‪ ,‬הנחנו שזה עדיין נכון אם הפסדי ההיסטרזיס קטנים‪.‬‬
‫כעת נוכל לצייר את מעגל התמורה‪ ,‬עם התחשבות בהפסדי ההיסטרזיס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫נשים לב כי ההספק תלוי ליניארית בתדר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪D ependency‬‬
‫‪V‬‬
‫‪r hys‬‬
‫‪.  Phys ‬‬
‫זה נכון אם אמפליטודת השטף היא קבועה‪ ,‬ז"א הגבול ‪  H m in , H m ax ‬לא משתנה‪.‬‬
‫‪|9‬‬
‫‪V‬‬
‫‪. r hys ‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪r‬‬
‫‪X    L‬‬
‫‪r h ys‬‬
‫הפסדי מערבולת‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫נסתכל על קטע מהליבה‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬יש לנו שטף שמשתנה בזמן העובר דרכו‪.‬‬
‫לכן‪ -  E  dl  0 :‬יש לנו שדה לא משמר עבור מסלול שמחוץ לליבה‪ ,‬אבל זה נכון‬
‫‪dt‬‬
‫‪r‬‬
‫גם אם נבחר מסלול בתוך הליבה (המסלול הכחול באיור הסמוך)‪.‬‬
‫לברזל יש ‪ ‬ולכן‪ J    E :‬וראינו כי הפסדי האנרגיה ליח' נפח הם‪ J  E :‬או‪.   E :‬‬
‫‪Edl‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫גם כאן במקום לסבך נניח הנחה קווזי סטטית (ז"א נניח הנחות סטטיות למרות שמצב אינו בדיוק כך וזאת מכיוון שהשינויים קטנים)‪.‬‬
‫בהתאם לכך נוכל עדיין להניח כי‪ . V  N   :‬מחוק גאוס נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא את הספק המערבולת ליח' נפח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪reddy‬‬
‫‪8N ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ lV‬‬
‫‪8N ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ r dr ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4N‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ .   E 2 ‬ננטגרל על כל הנפח ונקבל את ההספק הכללי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ E  2 r   ‬ולכן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ E rdr ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4N‬‬
‫‪   E dv  2 l ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  Peddy ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫בסוף‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ . reddy ‬נקבל כי בפרמטרים "רגילים" מתקבל מבחינת סדרי גודל מקבלים‪. red d y   X  :‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .4‬תאריך‪22.11.11 :‬‬
‫‪| 10‬‬
‫‪.E ‬‬
‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬