docnull
download 
Report Transcription
null
עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול מתרגל :אבי זנקו מיילavizanz@gmail.com : מטלות: יש חובת הגשה של כל ( )7תרגילי בית. את 4התרגילים הראשונים יש להגיש לאבי זנקו במרוכז בתאריך שיפורסם. את 3התרגילים הבאים יש להגיש לקובי. בנימה אישית: תוכן הקורס יעסוק באופן בניית המסננים למיניהם. תירגול :1 התמרות :Z n n x n z , ROC הגדרה z x n z : k k Z קונבולוציה. x n * y n X z Y z : . X z 1 התמרה יסודית: 1 az 1 Z התמרת דלתא z n0 : ( n n0 מסנן של השהייה מוכפל בתדר פי Z . a nu n .) z n0 דוגמאות: n n 1 1 1 1 1 Z . u n u n תחום ההתכנסות. ROC z : נתון האות: 1 1 2 2 3 1 z 1 1 z 1 2 3 n n 1 1 1 1 Z נתון האות: u n u n 1 1 1 1 1 3 2 1 z 1 z 2 3 |1 1 1 ותחום ההתכנסותROC z : 2 3 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן התמרה הפוכה: א .לפי טבלאות +תחום ההתכנסות. ב .פירוק לשברים חלקיים +א'. ג .פיתוח לטורי חזקות (טורי טיילור/לורן וכו'). ד .חילוק ארוך. ה .אינטגרל לפי משפט השארית. דוגמא לשימוש ב-ג': 1 1 נתון . X z e z :לפי טיילורz z 2 ... : !1 !2 . X z 1 מצד שני לפי ההגדרה: n x n z . X z k או בפתיחה ....x 2 z 2 x 1 z1 x 0 x 1 z 1 x 2 z 2 .... : n x n z . X z k 1 יש שוויון בין השניים (עבור החזקות החיוביות ואפסים במקדמים של החזקות האחרות) ולכןu n : . x n ! n דוגמא לשימוש ב-ד': z z 2z 1 2 נוח מאוד לשימוש במחשב ,מגדירים את רמת הדיוק תחילה ומבצעים את מספר האיטרציות הדרוש. z . X z 2נבצע את התהליך המתואר ליד: נתון: z 2z 1 1 z 2 z -2 z 1 2 4 z 1 2 z 2 קיבלנו . z 1 2 z 2 3z 3 .. :נוכל לכתוב בפשטות. x n n u n : 2 1 3z 2 z 3 z 1 6 z 2 3 z 3 4 z 2 3 z 3 ... דגימה ושיחזור: 1 כלל גדול הוא בקורסX j *Y j : 2 FT . cos 0t התמרה ידועה 0 0 : FT . x t y t 1 הזזה . x t * t t0 x t t0 :סדרה הנדסית: 1 q . qk k 0 דגימת אות . x t X j :התמרה בדידה x n x t nT : FT FT c 2 k j מקבלים : Ts Ts c c X k s 1 Ts c . X e j j X e X c L FT t נסכם את שלבי הציור של התמרת פורייה של אות דגום: 1 . .1נרמול עוצמה פי Ts .2נרמול ציר התדר פי . Ts .3שכפולים כל 2וסכימה. |2 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן כאשר דוגמים לאט מדי ,מרווח הדגימה Tsגדול מקבלים ( aliasingדריכות) כמתואר: במצב זה יש אזור של חוסר וודאות בנוגע למידע .כדי להתגבר על מצב זה נעזרים במסנן AntiAliasingאנלוגי. X c t nTs sin y , xr t xc nTs sinc כאשר x n xc nTs :ו- שחזור אידיאלי : Ts y k sinc y לפי המתרגל. משפט הדגימה של שאנון: אם m , X j 0 , s 2m :אז. t : xc t xr t : שאלה (מתוך בוחן 2005והופיעה גם במבחן – )2008השאלה מופיעה בתירגול 10בקורס אותות ומערכות: נתון אות חסום סרט . m : X c j 0מגדירים. 1 , y t x t k cos k 0t : k 0 א. מה הקשר בין הספקטרום של y t ושל . x t ב. מה התנאי על 0כדי שיהיה ניתן לשחזר את x t מתוך . y t ג. 30 דוגמים את y t ע"י תדר הדגימה 2 .iמהו ? y t f s כאשר 0הינו התדר המזערי המקיים את התנאי של סעיף ב' .iiמהו ? Y e j .iiiהאם ניתן לשחזר את x t מתוך ? y n פתרון: 1 נסמן . z t k cos k 0t :ואזX j * Z j : 2 FT . y t x t z t cos k 0t נחשב: dt jt cos k t e 0 k jt k cos k 0t e dt k 0 z t e jt dt k 0 Z j k k 0 k 0 k 0 1 1 X j Z j X j k k 0 k0 2 2 k 0 1 1 k k X c j k 0 X c j k 0 X j X c j k 0 2 k k 0 2 Yc j כעת: k 0 בשאלות מסוג זה נוח לצייר את הספקטרום X c j ע"י בחירה שרירותית של צורה כלשהי למשל משולש בגובה 1כמתואר בסמוך: )X c ( j m |3 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן m . נקבל את הציור הבא: ) Yc ( j 1 1 1 2 1 2 2 k 2 1 1 2 k 0 k 1 0 +m 0 0 -m 1 2 2 k 2 m m k 1 0 נקבל שהתנאי לשחזור הוא שלא יהיו דריכות ,כלומר: 0 m m 0 2m נשים לב שזהו לא תנאי נייקוויסט .תנאי נייקוויסט מדבר על אות שדגמנו אותו .כאן זה סתם תנאי לשחזור. ע"פ הדרישה . 0 2m :נחשב את . Ts 1 2 : yn f s 30 3m k 0 k 0 yd n yc t nTs xc nTs k cos k 0 nTs xc n 3 m k cos k 23 n נסמן - Y e j :האות היוצא לפני השיכפולים והסכימה ונקבל: ) Y (e j 1 Ts 1 Ts 1 2 2 k 2 1 T1s 1 1 2 1 Ts k 0 k 1 2 3 3 1 1 2 1 Ts k 1 3 2 3 1 2 2 k 2 ההגבר הוא נרמול העוצמה ב . Ts -בקטע , יש 3משולשים ,מעבר לתחום , יהיו קיפולים. כעת נחשב את ההגברים של המשולשים בתוך התחום לאחר השכפולים: קדימ 4 אחור 4 הקדימ 2 האחור 2 ה ה 1 0 1 1 3 1 1 6 1 3 k 1 1 ההגבר של המשולש המרכזי: 2 2 ... A Ts 2 Ts 2 Ts Ts k 0 Ts 1 3 נחשב הגבר של המשולש מצד ימין לאחר השכפולים .מטעמי סימטריה התוצאה נכונה גם למשולש מצד שמאל: 1 1 1 1 1 4 1 1 7 מכיוון ימין נקבל את השכפולים: ... 2 Ts 2 Ts 2 Ts 1 1 2 1 1 5 1 1 8 מכיוון שמאל נקבל את השכפולים: ... 2 Ts 2 Ts 2 Ts סה"כ: |4 1 1 3k 1 3k 2 1 1 B 3 2 Ts k 0 k 0 1 2Ts עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן נקבל (לאחר שכפולים): ) Y (e j A A B A B B 3 2 3 3 2 3 B תירגול :2 שינוי קצב דגימה: הורדת קצב -דצימציה: . xc t בהורדת קצב xd n xc t nMTs x nM : דגימת אות x n xc t nTs : . xc t MTs Ts נסמן בצורה מקוצרת . xc n M x nM :המטרה היא לעבוד עם שעון איטי יותר לצורך מימוש .DSP 1 M 1 j M2 k M X e במישור התדר ההתמרה היא : k 0 נזכור כי בכיווץ והזזה של אות מבצעים תחילה את הכיווץ/הרחבה ואח"כ את ההזזה. כך עבור האות , x at b :נבצע תחילה את הכיווץ/הרחבה aולאחר מכן נזיז את כל האות ב b -מהראשית. . X d e j ניתן לראות את שלבי הדגימה והורדת הקצב: תיאור האות במישור הזמן והתדר בעת שלבי הדגימה והורדת הקצב עבור: . FT 2 m m 2 2 n FT n 2 m 2 m M 2 כדי שלא תהיינה דריכות יש לדרוש m : M |5 n n' M m M . m עם תנאי זה ניתן לשחזר את המצב הקודם. עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן שאלה: נתונה המערכת הבאה: האם? y1 n y2 n : y1 n 1 e j 2 y2 n 2 2 e j A n x n A n פתרון: לא y1 n .מכיל רק דגימות אי"ז של x n ו y2 n -מכיל רק דגימות זוגיות. A2 n x 2n A1 n x n 1 y2 n x 2n 2 , ניתן לראות זאת כי y1 n x 2n 1 : y2 n A2 n 1 y n A 2 n 1 1 . העלאת קצב -אינטרפולציה: x n / L n / L . x n L xL n כעת: else 0 בין דגימה לדגימה "מושתלים" L 1אפסים (כעת כל דגימה מרוחקת ב L -דגימות אחת מחברתה). במישור התדר מקבלים. X L e j X e j L : ניתן לראות כי כדי לשחזר את האות חזרה ,די לנו ב LPF-אידיאלי. FT 2 m m x n n 2 x3 n FT n 2 L m m L L 2 L שאלה: 0 A נתונה המערכת הבאה H e j xi n : . xc t C / D פעולת AהיאA x0 n : xn x n T x k h n kL , x n 0 k . x0 n המסנן h0הוא מדולל. נתון כי. L 1 : א .מהו ? X i e j :הבע באמצעות . x, h, h0 nT . xi n x0 t מהו התנאי על? H e j : ב .מה צריך להיות הקשר בין Hו H 0 -על מנת שנקבל : L |6 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן :פתרון : נבצע את הטריק הבא. X i e j H e j X 0 e j : נכתוב.א jn jkL jkL e e x k h0 n kL e n n k x k e jkL h0 n kL e j n kL x k e jkL h0 n 'e jn ' X e j L H 0 e j n k n n ' X 0 e j x0 n e jn : נציב חזרה ונקבל. k -קיבלנו כי הסכום השני אינו תלוי ב . X i e j H e j X 0 e j X e j L H 0 e j H e j L .) 2 (מחזורי : בתחוםH e 0 : לכן.) 2 (מחזוריH 0 e H e L 0 j j j L : נדרש.ב else :סוגי מסננים . xi n k x k h n kL x k sinc L n kL :נוסחת האינטרפולציה כפי שראינו בהרצאה היא k . אידיאליLPF - h n sinc n :כאשר L . חד,) באורך סופי (זה הוא תנאי אפילו יותר חזק מסיבתיות, סיבתי, נרצה שהמסנן יהיה פשוט.נדון במסננים לא אידיאלים :דוגמא למסנן באורך n ZOH n :ZOH מסנן 1 0,...., L 1 . h n :המסנן הוא 0 else x 0 n 0,...., L 1 x 1 n L,...., 2 L 1 .ZOH יצא ממסנןxi n :האות הבא x 2 n 2 L ,....,3 L 1 L 1 sin L / 2 j 2 e . H e j :במישור התדר המסנן הוא sin / 2 :FOH מסנן h n 1 L L1 2 L1 2 n 0,...., L 1 1: ניתן לכתוב את המסנן ע"י קונבולוציה הבאה. h n L :המסנן הוא 0 else 2 * 1 sin L / 2 j H e . :לכן במישור התדר נקבל L1 L1 L sin / 2 2 2 סיכום ועריכה מאת שי ידרמן- תירגול- 1 עיבוד אותות ספרתי |7 המסנן אינו סיבתי ולכן התגובה להלם שלו מורכבת ממשולשים-משולשים .הסכימה של המשולשים היא מוצא המסנן. באיור ניתן לראות את התגובה להלם בירוק לאות עצמו שבכחול. הסכימה שלהם (אדום) היא מוצא המסנן. להלן תיאור של כל המסננים במישור התדר עבור : L 3 בשחור מופיע המסנן האידיאלי (חלון). H e j בכחול מופיעה תגובת ההלם של המסנן .ZOH באדום מופיעה התגובה להלם של המסנן .FOH 2 L L L 2 L תירגול :3 עבור אות בעל תמך זמני סופי x n ; n 0,....., N 1מגדירים: התמרת פורייה – DFTהגדרה: 2 kn N j N 1 x n e n 0 N 1 , X k x nWכאשר: kn N n 0 2 j kn 1 N 1 1 N 1 kn X k W X k e N התמרה הפוכה – IDFTהגדרה N : N n 0 N n 0 2 j N . WN e . x n הסבר משמעות ההתמרה הבדידה: פרשנות ראשונה: -אנו יוצרים פונקציה רציפה כמו בטורי פורייה. פרשנות שנייה: - ראינו כי התמרה רציפה מוגדרת : j . n : x n X e DTFT לא ניתן לאחסן מידע על פונקציה רציפה ולכן מגדירים את X k אשר הוא דגימה של פונקצית התדר. מתקיים: 2 k N . X k X e j פרשנות שלישית: ניתן להסתכל על DFTבתור הכפלה במטריצה אורתוגונלית:המטריצה Fהיא אורתוגונלית ומבטאת את ההתמרה. במטלב המימוש הוא.DFTMTX(size) : |8 x n F k ,n WNkn עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן X k שאלת חימום: נתון אות . x n 2,1,1,0,3, 2,0,3, 4,6 :יש לחשב את הגורמים הבאים ללא שימוש ב:DFT- א. X 0 . N 1 ב. X k . k 0 ג. 4 k 5 j X k e N 19 . k 0 9 ד. X k . 2 k 0 פתרון: N 1 א. X 0 x n 2 1 1 0 3 2 0 3 4 6 22 . 1 N 1 ב X k W10k0 10 x 0 20 . 10 k 0 n 0 N 1 . X k 10 2 j 6 k 1 9 ג 10 X k e 10 10 x 6 0 . 10 k 0 2 k 10 10 j e k 0 2 k 4 10 j 9 X k e 4 k 5 k 0 1 9 j N 19 X k e . k 0 9 ד .לפי פרסבל. X k N x n 10 4 1 1 ..... 36 800 : 2 2 k 0 k 0 שאלה – 3תרגיל כיתה – 3שינוי רזולוציה: 2 2 (הקטנת רזולוציה) וברזולוציה נתונה סדרה באורך 20מעוניינים לקבל דגימות DTFTוברזולוציה של 40 5 (הגדלה). הקדמה כללית לפתרון השאלה: נתבונן באות כלשהו בעל תמך סופי זמני כלשהו , Lכלומר. x n 0 ; n 0,1,...., L 1 : לפי הגדרה: j n x n e n j . x n X e DTFT 2 נדגום את X e j ב N -דגימות (במרחקים שווים) בנקודותk : N N נציין כי אורך הסדרה בזמן , L ,הוא בלתי תלוי במספר הדגימות הנדרש. , . לדגימות אלו נקרא ( X k להבדיל מדגימות ה DFT-שסימנו פשוט ) X k :ומתקיים: 2 kl N j x l e l 2 k N x l e jl l 2 k N X k X e j למעשה מה שיש לנו הוא חלוקה של ציר ה l -לאינסוף מקטעים באורך . N מה שנבצע זה חלוקה של הסכימה הכללית לשתי סכימות ,האחת סוכמת את כל האיברים במקטע ה n -והשנייה סוכמת את כל הסכימות. |9 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן נקבל: 2 j ' kl N x Nn l ' e N 1 2 j k Nn l ' N l ' 0 n N 1 x Nn l ' e ' 2 l Nn l j kl N n l ' 0 2 x l e l X k 2 N 1 j ' kl j kl ' N 1 x Nn l ' e N X N l ' e N DFTN X N l ' ; l ' 0,...., N 1 l ' 0 n l ' 0 קיבלנו DFTשל הסדרה X N l ' אשר הוגדרה x Nn l ' : הוכר בקורס אותות ומערכות בתור האות n : n . X N l ' האות X N l ' עבור אות המקיים L N :נקבל כי בחלוקה למקטעים הנ"ל הוא מתקפל על עצמו מספר פעמים. מתקיימת התכונה :קיפול בזמן = דגימה בתדר. per - Xאות במחזור מסוים אשר קופל בזמן. פתרון: נחלק את האות לפי הסדר הבא ונבצע את החישוב: x5 0 x 0 x 5 x 10 x 15 x5 1 x 1 x 6 x 11 x 16 x5 2 x 2 x 7 x 12 x 17 ... x 4 ... x 9 ... x 14 ... x 19 x 0 x 1 x 5 x 6 x 10 x 11 x 15 x 16 קיבלנו . DFT5 X 5 n : n 0,...., 4 :כדי לקבל רזולוציה גבוהה יותר נרפד באפסים עד לאורך הרצוי (מספר נקודות התדר הרצויות) ולסדרה המרופדת נחשב .DFTנציין כי באופן כללי לא ניתן לשחזר את האות מדגימות אלו למעט מקרים מיוחדים כגון אות שמקבל ערכים השונים מאפס כל דגימה חמישית וכו'. 2 כדי למצוא את ההתמרה ברזולוציה של 40 נרפד באפסים מסביב לאות ונבצע את אותו התהליך. שאלה :2 2 k נתונה סדרה באורך . Nמעוניינים בדגימות DTFTבנקודות N . k 0,..., N 1 : פתרון: נציין כי X e j X z z e j :מדבר על דגימות סביב מעגל היחידה במישור : Z נבצע הזזה בתדר של האות המקורי ב -ואז נעשה את ה DTFT-לאות החדש ונקבל את הדגימות הרצויות ואמנם . X e j n x n :נקבל: 2 k N X e j 2 kn N j N 1 x n e j n e n 0 2 kn N j 1 N 1 X n e 1 2 N 2 N n 0 1 | 11 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן 1 :4 שאלה . q, p : X q p : עבור המקרהDFT בהרצאה ראינו מימוש יעיל לחישוב. x n נתונה סדרה N 1 k . X CT k x n cos 2n 1 : Descrit Cosine Transform נגדיר התמרה 2N n 0 . מכפלותN 2 -ע"י חישוב ישיר תוך שימוש בהגדרה נזדקק ל . N 2V באופן יעיל עבור סדרות ממשיות באורךDCT-נראה כיצד ניתן לחשב את ה N 1 : נגדיר.א 2 N 1 k . cos 2 k cos : רמז. X CT k y n cos 4n 1 :יש להראות 2N n 0 j k DFT Y k : כאשרX CT k Re e 2 N Y k : הוכח כי.ב . y n ?DFT- כמה מכפלות מרוכבות נדרשות למימוש יעיל של ה.ג . y N 1 n x 2n 1 , y n x 2n : n 0,..., :פתרון : נבצע את הפיתוח הבא.א devide to 0.5 N 1 even&odd 0.5 N 1 k k k X CT k x n cos 2n 1 x 2n cos 4n 1 x 2n 1 cos 4n 3 2N 2N n 0 2N n 0 n 0 N 1 : ולכן נקבלy N 1 n x 2n 1 , y n x 2n :נבחין כי ניתן להחליף devide to 0.5 N 1 even&odd 0.5 N 1 k k k X CT k x n cos 2n 1 y n cos 4n 1 y N 1 n cos 4n 3 2N 2N n 0 2N n 0 n 0 N 1 :) ונפתח אותו (הביטוי הראשון זהה למה שצריך להגיעB k y N 1 n cos 2 N 4n 3 :נסמן 0.5 N 1 n 0 B 0.5 N 1 n 0 B n ' N 1 n N 1 k k y N 1 n cos 4n 3 n 0 n ' N 1 y n cos 4 N 1 n 3 2N 2N n 0.5 N n 0.5 N 1 0.5 N k y n cos 2 N 4n 1 N 1 n 0.5 N :נחבר את שני הביטויים ונקבל X CT k 0.5 N 1 n 0 N 1 N 1 k k k y n cos 4n 1 y n cos 4n 1 y n cos 4n 1 2N n0.5 N 2N n 0 2N 2 N 1 j kn j k j k N 1 j k j 2 kn Re e 2 N Y k Re e 2 N y n e N y n Re e 2 N e N n 0 n 0 N 1 N 1 4 k y n cos n k y n cos 4n 1 X CT k 2N n 0 2 N 2 N n 0 : נכתוב מסודר את הטענה.ב סיכום ועריכה מאת שי ידרמן- תירגול- 1 עיבוד אותות ספרתי | 11 ג .חישוב y n מתוך x n לא דורש מכפלות (שינוי סדר איברים). חישוב Y k דורש. O N log N : j חישוב e 2 N Y k דורש Nמכפלות. חישוב Reלא דורש מכפלות (זריקת המערך המדומה). בסה"כ יש לנו O N log N מכפלות. תירגול :4 אלגוריתם – :Goertzel המוטיבציה היא לפתח כלי המאפשר חישוב של איבר בודד של ה .DFT-נראה כי זה שקול לדגימה בזמן n Nשל מסננת מתואמת מהצורה הבאה: h n WN knu n : נתונה סדרה באורך n 0,1,...N 1 , Nממשית .מגדיריםu n r : x r W k0 n r N r N 1 יש לחשב את X k0 :כפעולת סינון .נכתובu n r x r WN k0 n r u n r : r 0 N 1 כעתu N r x r WNk0r X k0 : r 0 N 1 x r WN k0 N r r 0 n N 1 במישור zנקבל: 1 WN k0 z 1 x r W k0 n r N r . yk0 n . yk0 n X k0 קיבלנו למעשה. yk0 n x n * h n ; h n WN knu n : H z ולכןy n 1 x n : . yk0 n yk0 n n N Z 1 X z y n W k0 N 1 u n z . Y z 1W k0 N קיבלנו . y n x n WN k0 y n 1 :המימוש הוא באמצעות משוב: X k0 y n N x n z 1 WNk0 נזכור כי כל מכפלה של שני מספרים מרוכבים יוצרים 4מכפלות ממשיות ו 2-חיבורים: a bj c dj ac bd bc ad j כשנתבונן במערכת שלנו נשים לב כי עבור nמספיק גדול מתקבלת בכל פעם מכפלה בין שני מספרים מרוכבים: y n x n WN k0 y n 1 4 Mux 2 Adds יש לנו בכל חישוב 4מכפלות ו 3-חיבורים בסה"כ עבור כל איטרציה. אנו מעוניינים בחישוב הנ"ל Nפעמים וסה"כ יש לנו 4Nמכפלות ו 3N -חיבורים. המצב כעת הוא יותר גרוע מחישוב בצורה ישירה של DFTעבור כל מקדם. | 12 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן x n W kn N N 1 ה DFT-לפי ההגדרה הוא. X k0 x n WN kn : n 0 נזכור להתייחס ל WNkn -באופן הבא a bj : , Wואז יש לנו בסה"כ 2N :מכפלות ו 2 N 1 -חיבורים. kn N נראה כיצד ההסתכלות בצורה מרוכבת על הדברים עוזרת .נפתח את פונקצית התמסורת: 1 WNk0 z 1 1 1 1 WNk0 z 1 Bk0 z Ak0 z k0 1 k0 1 1 WN z 1 WN z 1 2cos 2 k0 / N z 1 z 2 H z לאחר הפיצול והסימון נכתוב. Yk0 z H k0 z X z Bk0 z Ak0 z X z Bk0 z Sk0 z : קיבלנו במישור הזמן. yk0 n sk0 n WNk0 sk0 n 1 : נעביר חזרה למישור zונקבל. Sk0 z 1 2cos 2 k0 / N z 1 z 2 X k0 z : וחזרה למישור הזמן. sk0 n x n 2cos 2 k0 / N sk0 n 1 sk0 n 2 : נשים לב כי בכל חיבורים נקבל תמיד מכפלות בין מספרים ממשיים! יש לנו בכל שלב מכפלה אחת ו 2-חיבורים. לחישוב n 0,1,....., N 1 ; sk0 nנדרשים Nמכפלות (עקב הקוסינוס) ו 2N -חיבורים (פשוט מהמשוואה עצמה). נחזור אחורה ל yk0 n sk0 n WNk0 sk0 n 1 -ונשים לב כי כעת בכל שלב יש לנו 2מכפלות וחיבור אחד. היתרון הוא שאין צורך לחשב את y n בצורה זו לכל kאלא רק ל k0 -ולכן יש לבצע את חישוב זה רק פעם אחת. אנו נדרשים לחשב את yk0 N בלבד ולא לכל הסדרה. n 0,1,....., N 1 ; yk0 n : חישוב המקדם הבודד דורש 2מכפלות +חיבור אחד ולכן סה"כ נקבל N 2מכפלות ו 2 N 1-חיבורים. אלגוריתם – :Zoomed FFT נתונה סדרה . n 0,1,...N 1 , x n :מגדירים: מעוניינים ב K -נקודות ה DTFT-הבאות: 2 k0 k N 1 N K X e jכאשר. k0 0,1,...., N 1 : k0 L כאשר. K 2v : k0 K m 1 1 למעשה אנו מבצעים Zoomעל מקטע של מעגל היחידה ורוצים לחשב את . k 0,1,....., K א .נראה כי ניתן לרשום: k k0 l 1 L 1 K 1 . X k k0 x l mL WKk0mWKkmWN l 0 m 0 תחילה נבחין כי אנו עדיין סוכמים Nאיברים כי שני הסכומים נותנים . KL N :נחשב: n l mL K 1 L 1 K 1 L 1 k k0 l mL l 0,1,.., L 1 x l mL WN x l mL WNk0l klWN k k0 mL m 0 l 0 m 0 l 0 m 0,..., K 1 כעת WK1 : | 13 2 K j e 2 L N j . WNL eנחליף סדר סכימה ונקבל: k k0 l N 1 . X k k0 x nWN k k0 n n 0 K 1 L 1 . x l mL WKk0mWKkmWN m 0 l 0 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן K 1 L 1 k k l ב .כעת יש לממש את זה בצורה יעילה .נתייחס. x l mL WKk0m WKkm WN 0 : m 0 l 0 יש לנו סדרה xl mבאורך Kוהיא x l mLWKk0m :אשר עושים לה DFTבסוגריים המרובעות. K יש לנו log 2 K 2 בתוך הסוגריים המרובעות יש לנו ווקטור באורך Lשל סדרות באורך Kכל אחת (סה"כ מטריצה ) L K :ולכן כל K המכפלות הן L log 2 K :לבסוף יש להכפיל בביטוי האחרון ולכן יש לנו עוד KL Nמכפלות. 2 N מכפלות. קיבלנוlog 2 K N N 0.5log 2 K 1 : 2 מכפלות מרוכבות למימוש ה.DFT- נרשום בטבלה כדי להבין מהיכן הגיע החיסכון: K 1 x K 1 L 1 x L 0 x 0 l\m 0 x K 1 L 1 x L 1 x 1 1 x 2 L 1 x L 1 L 1 x K 1 L L 1 x N 1 N K לכל שורה במטריצה נבצע DFTבאורך , Kסה"כ . log 2 K :ויש לנו Lשורות – לכןlog 2 K : 2 2 את המכפלות ב k0 -לא מבצעים כי הן בסה"כ הזזה ציקלית בתדר. 0,1, 2,..., N 1 k0 , k0 1 , N 1 , 0 , ... , k0 1 : פעולות. נכפיל כל אחד מאיברי המטריצה באקספוננט המתאים לו | 14 k k0 l . WNסכום כל טור ה- k -י יהיה המקדם ה- k -י הרצוי. x k0 k : עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן תירגול :5 אנליזה של אותות בעזרת – DFTתופעת החלון: אנו מעוניינים ב DTFT-אבל מה שמחשבים בפועל הוא DFTלאותות סופיים. עבור אותות סופיים וקצרים ,ה DFT-מהווה פתרון "טוב" אבל עבור אותות ארוכים מאוד או אינסופיים לא רוצים/יכולים לחכות לסוף האות ולפעמים זה לא נכון להסתכל על כל האות (למשל אות הדיבור) .לכן נוצר מושג ה( Windowing-חלון). פירוט תופעת החלון על אות: x n ניתן לראות כיצד ההכפלה של אות בחלון מסננת את האות למעט החלק רצוי .התיאור הוא במישור הזמן. 1 n N 1 xW n 1 השאלות שנשאל: n N 1 .1מה הנזק שנגרם לתמונת התדר של האות ,כלומר ,מה אי אפשר לראות כתוצאה מהחלון? .2מה ניתן לעשות כדי לקבל תמונה משופרת? תשובות: נענה על שתי השאלות יחדיו .יש לנו מגוון חלונות "קבועים" כמתואר להלן: | 15 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן לכל חלון יש אונה מרכזית , d ואונה צדדית . b אונות אלו אינן תלויות באורך החלון. בטבלה לעיל ניתן לראות את המידות של החלונות הנ"ל .החלונות מתאפיינים לפי היחס a / d :ורוחב האונה ראשית . b כאשר נקבע מסננים קודם נקבע את החלון ואח"כ את אורכו .בחלון קייזר ניתן לשחק עם יחסי האונות. שאלה :1 נתון האות. A1 A2 ; xi n A1 cos 1n A2 cos 2n ; n 0,.., N 1 : מהם התנאים על A1 , A2 , 1 , 2 :כדי שנוכל לדעת את ההרכב התדרי של ? xi n פתרון: A2 2 A1 1 הדרישות הן: .1חצי רוחב האונה הראשית . 2 1 A .2היחס בין אונת הצד הראשונה והראשית . 20 log 2 A1 שאלה :2 מבין החלונות הקבועים (כלומר שאינם )Kaiserקבע איזה חלונות מתאימים עבור האותות הבאים: n n n x1[n] cos 0.8cos 0.9n ; x2 [n] cos 0.8cos n ; x3[n] cos 0.015cos 1.1n 4 4 4 n 0,...,64 כך שנוכל לדעת ההרכב התדרי של האותות . פתרון: נרכז את הנתונים בטבלה עבור האותות x1 n ו( x3 n -את x2 nלעשות בבית): A 20 log 2 dB A1 -1.94 0.115 x1 n -36.48 0.315 x3 n rad sec חצי רוחב האונה הראשית 0.0982 0.1963 11 0.2945 מלבני Hamming Hann Blackman בטבלה השנייה חישבנו את מחצית רוחב האונה הראשית של החלונות הקבועים בכדי להתאים את החלון הטוב יותר לאותות. | 16 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן עבור האות : x3 n rad 0.315 ולכן לפי תנאי זה כל החלונות מתאימים. מבחינת התנאי של רזולוצית התדרים קיבלנו: sec ההנחתה הנדרשת היא -36.48dB :ולכן רק שני חלונות מתאימים.Blackman , Hamming : להלן דוגמא לשימוש בחלון מלבני: |X3(exp(jw)| win=rec 35 הבעיה היא שלא ניתן לראות את הרכיב 0.015cos 1.1n מכיוון שאונת הצד אינה מחיתה מספיק ולכן בולעת אותו. 30 25 20 15 בדפי התירגול מופיעה גם דוגמא של סינון עם .Blackman שם ניתן לראות כי אונת הצד מנחיתה מספיק ולכן יש אות קטן שהוא הרכיב הנ"ל .ההנחתה היא מספיק טובה. 10 5 7 6 5 4 3 2 1 עבור האות : x1 n rad 0.115 ולכן רק חלון מלבני יתאים לפי מחצית רוחב כל החלונות מתאימים להנחתה .הרזולוציה יצאה: sec האונה הראשית. תכנון מסנני :FIR תזכורות (או מה ראינו בהרצאה): .1ייצוג פאזה רציפה )H e jw Awe j (w - Awממשית (לא בהכרח חיובית) ) - (wרציפה (לא בהכרח ב.) , .2במערכת שהיא GLPידוע – α( ( w) w ßהשהית בחבורה) . .3השהיית פאזה ( w) - השהיית חבורה - w ( )( w w ( = קבוע => פאזה ליניארית) = קבוע => פאזה ליניארית מוכללת ())GLP .4בהרצאה הוכחתם >= RCSR+GLP : FIR .1 0, .2 2 2 N .3 .5קטבים ואפסים של :GLP + RCSR נשים לב >=FIR :אין קטבים. 1 1 האפסים באים ברביעיות * z 0 , z 0* , ,למעט יוצאי הדופן (ראיתם בהרצאה ) z0 z0 | 17 עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן 0 0 שאלה :3 תכנן HPFסימטרי (בזמן) עם C 0.75 :בעל התכונות הבאות . s 0.7 ; p 0.8 ; s 0.0002 ; p 0.001 : פתרון: נפתור לפי השלבים המפורטים בדפי העזר של תירגול :5 1 0.75 . Ad .1המסנן האידיאלי: else 0 .2נבחר( . 0 0 :בוחרים סדר Iכי סדרים IIו III-נפסלים מכיוון שבשורה האחרונה רואים כי הם לא [ HPFבתדר המסנן מתאפס] ו IV-נפסל מכיוון שדורשים סימטריה). j M2 . H d e 1 e 0 .3מקבלים0.75 : else j M sin 0.75 n 0.5M . hd n n .4נבצע התמרה הפוכה: 2 n 0.5M .5ניתן לבצע עם קייזר המתאים לכל גליות רצויה .יחד עם זאת נחפש כאן חלון מהחלונות הקבועים. מהנתון s 0.0002 :נקבל As 60dB :וכן. Ap 0.00174dB : נבחר את החלון מהטבלה עם התנאים המחמירים יותר כדי שהוא יוכל לספק את דרישה .במקרה שלנו זה .Blackman .6צריך שרוחב האונה הראשית יהיה קטן מ -כדי שלא תהיה מריחה. 12 0.1 לפי הטבלה עבור Blackmanולכן . M 120 :נבחר( M 120 :חשוב מספר זוגי נדרוש: M לפי הטבלה של ה – GLP-בחרנו מסנן עם סדר זוגי ז"א מספר זוגי של מקדמים). .7בסוף יש להכפיל את המסנן שלנו במקדמים של המסנן :Blackman M sin 0.75 n 0.5M 2 n 4 n hd n 0.42 0.5cos 0.08cos n 2 n 0.5M M M תירגול :6 להלן פירוט שלבי תיכנון מסנן :IIR הגדרת הדרישות הדיגיטליות H s | 18 , המרה לדרישות , אנלוגיות (עיוות מקדים) חזרה למסנן האנלוגי המקורי s המרה לדרישות LPFשקול המרה למסנן דיגיטלי Hביליניארית , תכנון LPF (צ'בישב ,בסל)... העיוות המקדים נועד לכך שההמרה הביליניארית תיתן את המסנן הדיגיטלי הרצוי עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן שאלה – מתוך הספר של בועז פורת עמ' :353 שלב ראשון: מעוניינים ב B.P.F-ספרתי בעל האופיינים הבאים: rad rad rad rad . s1 0.2 , p s1 s 2 0.1 ; s 2 2.498 ; p1 2.484 ; p 2 1.57 sec sec sec sec שלב שני: 2 בשלב השני נמיר את הדרישות שלנו לדרישות אנלוגיות (עיוות מקדים) לפיtan 1 0.5 : T 180 . p1 2 tan 0.484 בד"כ קובעים את Tלהיות 1או . T Tsנבחר T 1 :ואז 0.5 : 2 באופן דומה נקבל. s1 0.2 , s 2 0.6 , p 2 2 , p s1 = s 2 0.1 : נציין כי מותר לעגל תדרים רק לכיוון המחמיר. . , שלב שלישי: l h נמיר לדרישות LPFשקול: h l 2 . לבחירת l , hיש 2אפשרויות: א p1, p 2 .יועתקו לאותה הנקודה (.)1 ב s1, s 2 .יועתקו לאותה הנקודה (.)1 לפי אפשרות א' נקבל l p1 ; h p 2 :ואז 1 : כעת ,עם הערכים שבחרנו נקבל גם 3.2 : 2p1 p1 p 2 2s1 p1 p 2 p1 p1 p 2 s1 p1 p 2 . p1 s1 ו 3.98 - 2s 2 p1 p 2 s 2 p1 p 2 . s 2 נבחר את התדר המחמיר יותר שהוא . s min s1 , s 2 :3.2 (לפי אפשרות ב' נבחר s 2 1 : s1 ואז התנאי המחמיר יהיה : .) p max p1 , p 2 בחירת ה -בשני המקרים תתבצע לפי. p p ; s min s1 , s 2 : שלב רביעי: נתכנן LPFאנלוגי .אם נבחר את מסנן Butterworthעלינו לבחור את הפרמטרים 0 , N :כדי לממש את פונקצית 2 1 . H j למסנן יש יתרונות וחסרונות כפי שראינו בהרצאה. התמסורת שלו: 2N 1 / 0 יתרון :המסנן מתחיל מ .1-חיסרון :זמן הירידה שלו .כדי להשתמש במסנן זה עלינו לקבוע את מיקומי הקטבים. ראינו בהרצאה את הנוסחה: | 19 2 k 1 j 2 2N sk 0eכאשר 0 :הוא תדר הברך ( )3dBו N -הוא סדר המסנן. עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן sk פונקצית התמסורת כתלות בקטבים היא: k 0 s sk המסנן שלנו הוא מונוטוני יורד ולכן יש לדרוש לפי האיור הבא: N 1 H s . H s 1 p , H s s j s2 1 2 2 s 2N מגדירים את הפרמטרים 0.04862 : 1 1 p s2 1 log 1/ d , N וכן: מקבלים בסוף 3 : log 1/ k . H s s j 2 1 p / 0 2 1 1/2 N s p p 0.3125 , d 0 s s2 1 p - k מקדם החדות (סלקטיביות) של המסנן. s 1/2 N 2 . p 1 p 1 rad בחרנו שרירותית את צד שמאל (לא היו דרישות על 1.27 0 whatever :) 0ולכן: sec . 0 1.27 2.065 כעת נוכל למצוא את הקטבים לפי הנוסחה ולהציב בביטוי לפונקצית התמסורת ונקבל: s 2.56s 3.24s 2.065 (הערה :ניתן לחסוך זמן במבחן ולחשב רק חצי מהקטבים מכיוון שלכל מספר מרוכב המהווה קוטב קיים הצמוד שלו). 3 2 . H s קיבלנו LPFאנלוגי שעומד בדרישות שקיבלנו. שלב חמישי: s 2 l h יש להמיר חזרה את המסנן LPFלמסנן .BPFנזכר ב h , l -משלב 3ונכתוב ישירות f s : s h l נהפוך כל קוטב ל , f s -נקבל: 2.065 2.56 f s 3.24 f s 2.065 2 f s 3 .s . H BPF s שלב שישי: 2 z 1 נציב: T z 1 s ונקבל את המסנן שלנו. נחזור לשלב 4ונשתמש במסנן צ'בישב: המסנן יודע לבצע קירוב עד גבול מסוים לפונקציה כלשהי .פונקצית התמסורת היא: 1 / 0 H j 2 1 T 2 N 2 cos N cos 1 x ; x 1 TN x פולינומי צ'בישב .המסנן מתנדנד (גליות) בתחום ההעברה ודועך כאשר: 1 cosh N cosh x ; x 1 odd N 2 1 . H 0 (מונוטוני יורד) בתחומים האחרים .הנוסחאות ל , sk -ו N -מופיעות בהרצאה .ראינו: 2 1/ 1 even N sk הנוסחה למסנן מסוג Iהיא: s sk N 1 . H s H 0 מקבלים 0.4843 :ואז. 0 1 , N 2.0297 3 : k 0 0.5 הקטבים הם s0,2 0.25 0.95 j , s1 0.51 :והמסנן: s 0.72845s 0.5052 מכאן נבצע את ההמרות שראינו לעיל ונקבל את המסנן הדרוש. 3 | 21 . H s ... עיבוד אותות ספרתי - 1תירגול -סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
