null

Transcription

null
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול‬
‫מתרגל‪ :‬אבי זנקו‬
‫מייל‪avizanz@gmail.com :‬‬
‫מטלות‪:‬‬
‫יש חובת הגשה של כל (‪ )7‬תרגילי בית‪.‬‬
‫את ‪ 4‬התרגילים הראשונים יש להגיש לאבי זנקו במרוכז בתאריך שיפורסם‪.‬‬
‫את ‪ 3‬התרגילים הבאים יש להגיש לקובי‪.‬‬
‫בנימה אישית‪:‬‬
‫תוכן הקורס יעסוק באופן בניית המסננים למיניהם‪.‬‬
‫תירגול ‪:1‬‬
‫התמרות ‪:Z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ROC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪ z  x  n  z    :‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫קונבולוציה‪. x  n * y  n  X  z  Y  z  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪. X  z ‬‬
‫‪1‬‬
‫התמרה יסודית‪:‬‬
‫‪1  az 1‬‬
‫‪Z‬‬
‫התמרת דלתא‪ z  n0 :‬‬
‫‪(   n  n0  ‬מסנן של השהייה מוכפל בתדר פי‬
‫‪Z‬‬
‫‪. a nu  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.) z  n0‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .   u  n     u  n  ‬תחום ההתכנסות‪. ROC   z   :‬‬
‫נתון האות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  z 1 1  z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪‬‬
‫נתון האות‪:‬‬
‫‪   u  n    u  n  1  1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 z‬‬
‫‪1 z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪|1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ותחום ההתכנסות‪ROC    z   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫התמרה הפוכה‪:‬‬
‫א‪ .‬לפי טבלאות ‪ +‬תחום ההתכנסות‪.‬‬
‫ב‪ .‬פירוק לשברים חלקיים ‪ +‬א'‪.‬‬
‫ג‪ .‬פיתוח לטורי חזקות (טורי טיילור‪/‬לורן וכו')‪.‬‬
‫ד‪ .‬חילוק ארוך‪.‬‬
‫ה‪ .‬אינטגרל לפי משפט השארית‪.‬‬
‫דוגמא לשימוש ב‪-‬ג'‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪ . X  z   e z :‬לפי טיילור‪z  z 2  ... :‬‬
‫!‪1‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪ . X  z   1 ‬מצד שני לפי ההגדרה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  n z‬‬
‫‪. X  z ‬‬
‫‪k ‬‬
‫או בפתיחה‪ ....x  2 z 2  x  1 z1  x 0  x 1 z 1  x  2 z 2  .... :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  n z‬‬
‫‪. X  z ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪1‬‬
‫יש שוויון בין השניים (עבור החזקות החיוביות ואפסים במקדמים של החזקות האחרות) ולכן‪u  n  :‬‬
‫‪. x  n ‬‬
‫!‪ n‬‬
‫דוגמא לשימוש ב‪-‬ד'‪:‬‬
‫‪z z  2z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫נוח מאוד לשימוש במחשב‪ ,‬מגדירים את רמת הדיוק תחילה ומבצעים את מספר האיטרציות הדרוש‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ . X  z   2‬נבצע את התהליך המתואר ליד‪:‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪z  2z 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z 2 z‬‬
‫‪-2  z 1‬‬
‫‪2  4 z 1  2 z 2‬‬
‫קיבלנו‪ . z 1  2 z 2  3z 3  .. :‬נוכל לכתוב בפשטות‪. x  n  n  u  n :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3z  2 z‬‬
‫‪3 z 1  6 z 2  3 z 3‬‬
‫‪4 z 2  3 z 3 ...‬‬
‫דגימה ושיחזור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫כלל גדול הוא בקורס‪X  j  *Y  j  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪. cos  0t  ‬‬
‫התמרה ידועה‪     0       0  :‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪. x  t  y  t  ‬‬
‫‪1‬‬
‫הזזה‪ . x  t  *  t  t0   x  t  t0  :‬סדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  qk ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫דגימת אות‪ . x t   X  j :‬התמרה בדידה‪  x n  x t  nT  :‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪c‬‬
‫‪  2 k  ‬‬
‫‪j ‬‬
‫מקבלים‪  :‬‬
‫‪Ts  ‬‬
‫‪ Ts‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪c‬‬
‫‪. X  e j  ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪X e‬‬
‫‪‬‬
‫‪X c  ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫נסכם את שלבי הציור של התמרת פורייה של אות דגום‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬נרמול עוצמה פי‬
‫‪Ts‬‬
‫‪ .2‬נרמול ציר התדר פי ‪. Ts‬‬
‫‪ .3‬שכפולים כל ‪ 2‬וסכימה‪.‬‬
‫‪|2‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫כאשר דוגמים לאט מדי‪ ,‬מרווח הדגימה ‪ Ts‬גדול מקבלים ‪( aliasing‬דריכות) כמתואר‪:‬‬
‫במצב זה יש אזור של חוסר וודאות בנוגע למידע‪ .‬כדי להתגבר על מצב זה נעזרים במסנן ‪ AntiAliasing‬אנלוגי‪.‬‬
‫‪X c  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t  nTs ‬‬
‫‪sin y‬‬
‫‪ , xr  t    xc  nTs  sinc  ‬כאשר‪ x  n  xc  nTs  :‬ו‪-‬‬
‫שחזור אידיאלי‪ :‬‬
‫‪Ts ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ sinc  y  ‬לפי המתרגל‪.‬‬
‫משפט הדגימה של שאנון‪:‬‬
‫אם‪    m , X  j   0 , s  2m :‬אז‪. t : xc  t   xr  t  :‬‬
‫שאלה (מתוך בוחן ‪ 2005‬והופיעה גם במבחן ‪ – )2008‬השאלה מופיעה בתירגול ‪ 10‬בקורס אותות ומערכות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נתון אות חסום סרט ‪ .   m : X c  j   0‬מגדירים‪.   1 , y  t   x  t    k cos  k 0t  :‬‬
‫‪k 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫מה הקשר בין הספקטרום של ‪ y  t ‬ושל ‪. x  t ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה התנאי על ‪  0‬כדי שיהיה ניתן לשחזר את ‪ x  t ‬מתוך ‪. y  t ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫דוגמים את ‪ y  t ‬ע"י תדר הדגימה‬
‫‪2‬‬
‫‪ .i‬מהו ‪? y  t ‬‬
‫‪ f s ‬כאשר ‪  0‬הינו התדר המזערי המקיים את התנאי של סעיף ב'‬
‫‪ .ii‬מהו ‪? Y  e j ‬‬
‫‪ .iii‬האם ניתן לשחזר את ‪ x  t ‬מתוך ‪? y  n ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫נסמן‪ . z  t    k cos  k 0t  :‬ואז‪X  j  * Z  j  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪. y  t   x  t  z  t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos k 0t ‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪ jt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos  k  t  e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ jt‬‬
‫‪k‬‬
‫‪   cos  k 0t e dt   ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪z  t  e  jt dt ‬‬
‫‪ k  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z  j  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   k     k 0       k 0  ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X  j   Z  j  ‬‬
‫‪X  j     k     k  0       k0   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  k‬‬
‫‪   k X c  j    k 0    X c  j    k 0    X  j     X c  j    k 0 ‬‬
‫‪2 k ‬‬
‫‪k 0 2‬‬
‫‪Yc  j  ‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 0‬‬
‫בשאלות מסוג זה נוח לצייר את הספקטרום ‪X c  j ‬‬
‫ע"י בחירה שרירותית של צורה כלשהי למשל משולש בגובה ‪ 1‬כמתואר בסמוך‪:‬‬
‫)‪X c ( j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪|3‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪m‬‬
‫‪.‬‬
‫נקבל את הציור הבא‪:‬‬
‫) ‪Yc ( j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪0 +m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 -m‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪0‬‬
‫נקבל שהתנאי לשחזור הוא שלא יהיו דריכות‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪0  m  m  0  2m‬‬
‫נשים לב שזהו לא תנאי נייקוויסט‪ .‬תנאי נייקוויסט מדבר על אות שדגמנו אותו‪ .‬כאן זה סתם תנאי לשחזור‪.‬‬
‫ע"פ הדרישה‪ . 0  2m :‬נחשב את ‪. Ts  1  2   : yn‬‬
‫‪f s 30 3m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪yd  n  yc t  nTs   xc  nTs    k cos  k 0 nTs   xc n 3 m    k cos  k 23 n ‬‬
‫נסמן‪ - Y  e j  :‬האות היוצא לפני השיכפולים והסכימה ונקבל‪:‬‬
‫) ‪Y (e j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪1 T1s‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪‬‬
‫ההגבר הוא נרמול העוצמה ב‪ . Ts -‬בקטע ‪   ,  ‬יש ‪ 3‬משולשים‪ ,‬מעבר לתחום ‪   ,  ‬יהיו קיפולים‪.‬‬
‫כעת נחשב את ההגברים של המשולשים בתוך התחום לאחר השכפולים‪:‬‬
‫קדימ‬
‫‪4‬‬
‫אחור‬
‫‪4‬‬
‫הקדימ‬
‫‪2‬‬
‫האחור‬
‫‪2‬‬
‫ה‬
‫ה‬
‫‪1 0 1 1 3‬‬
‫‪1 1 6‬‬
‫‪1  3 k 1 1‬‬
‫ההגבר של המשולש המרכזי‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  2  ...      ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪Ts k 0‬‬
‫‪Ts 1   3‬‬
‫נחשב הגבר של המשולש מצד ימין לאחר השכפולים‪ .‬מטעמי סימטריה התוצאה נכונה גם למשולש מצד שמאל‪:‬‬
‫‪1 1 1 1 1 4 1 1 7‬‬
‫מכיוון ימין נקבל את השכפולים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ...‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪1 1 2 1 1 5 1 1 8‬‬
‫מכיוון שמאל נקבל את השכפולים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ...‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫‪2 Ts‬‬
‫סה"כ‪:‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪1 1   3k 1  3k 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1     B‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 Ts  k 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ 1   2Ts‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נקבל (לאחר שכפולים)‪:‬‬
‫) ‪Y (e j‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫תירגול ‪:2‬‬
‫שינוי קצב דגימה‪:‬‬
‫הורדת קצב ‪ -‬דצימציה‪:‬‬
‫‪ . xc  t  ‬בהורדת קצב‪ xd  n  xc  t  nMTs   x  nM  :‬‬
‫דגימת אות‪ x  n  xc  t  nTs  :‬‬
‫‪. xc  t  ‬‬
‫‪MTs‬‬
‫‪Ts‬‬
‫נסמן בצורה מקוצרת‪ . xc  n   M  x  nM  :‬המטרה היא לעבוד עם שעון איטי יותר לצורך מימוש ‪.DSP‬‬
‫‪1 M 1  j  M2 k ‬‬
‫‪  M  X e‬‬
‫במישור התדר ההתמרה היא‪ :‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נזכור כי בכיווץ והזזה של אות מבצעים תחילה את הכיווץ‪/‬הרחבה ואח"כ את ההזזה‪.‬‬
‫כך עבור האות‪ , x  at  b  :‬נבצע תחילה את הכיווץ‪/‬הרחבה ‪ a‬ולאחר מכן נזיז את כל האות ב‪ b -‬מהראשית‪.‬‬
‫‪. X d e j ‬‬
‫ניתן לראות את שלבי הדגימה והורדת הקצב‪:‬‬
‫תיאור האות במישור הזמן והתדר בעת שלבי הדגימה והורדת הקצב עבור‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪   m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי שלא תהיינה דריכות יש לדרוש‪ m :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n' ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ . m ‬עם תנאי זה ניתן לשחזר את המצב הקודם‪.‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫האם‪? y1  n  y2  n :‬‬
‫‪y1  n ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪e  j ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪y2  n ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ e j‬‬
‫‪A n‬‬
‫‪x  n ‬‬
‫‪A n‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לא‪ y1  n .‬מכיל רק דגימות אי"ז של ‪ x  n ‬ו‪ y2  n -‬מכיל רק דגימות זוגיות‪.‬‬
‫‪A2  n  x  2n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A1  n   x  n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  y2  n  x  2n  2 ,‬‬
‫ניתן לראות זאת כי‪  y1  n   x  2n  1 :‬‬
‫‪y2  n  A2  n  1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫העלאת קצב ‪ -‬אינטרפולציה‪:‬‬
‫‪ x  n / L n / L ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x  n    L  xL  n   ‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫בין דגימה לדגימה "מושתלים" ‪ L  1‬אפסים (כעת כל דגימה מרוחקת ב‪ L -‬דגימות אחת מחברתה)‪.‬‬
‫במישור התדר מקבלים‪. X L  e j   X  e j L  :‬‬
‫ניתן לראות כי כדי לשחזר את האות חזרה‪ ,‬די לנו ב‪ LPF-‬אידיאלי‪.‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3  n ‬‬
‫‪FT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪m  m‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪A ‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ H e j  xi  n  :‬‬
‫‪. xc  t   C / D ‬‬
‫פעולת ‪ A‬היא‪A  x0  n :‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪x n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  k  h n  kL , x n ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ . x0  n ‬המסנן ‪ h0‬הוא מדולל‪.‬‬
‫נתון כי‪. L  1 :‬‬
‫א‪ .‬מהו‪ ? X i  e j  :‬הבע באמצעות ‪. x, h, h0‬‬
‫‪nT ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . xi  n  x0  t ‬מהו התנאי על‪? H  e j  :‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות הקשר בין ‪ H‬ו‪ H 0 -‬על מנת שנקבל‪ :‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪‬‬
‫‪|6‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
:‫פתרון‬
:‫ נבצע את הטריק הבא‬. X i  e j   H  e j  X 0  e j  :‫ נכתוב‬.‫א‬
 
  jn  jkL jkL
e
e



  x  k  h0  n  kL  e
n 
n   k 

 
  
  
  

   x  k   e jkL     h0  n  kL e  j  n kL      x  k   e  jkL     h0  n 'e  jn '   X  e j L   H 0  e j 
 n 
  k 
  n 
  n '

X 0  e j  


x0  n  e  jn 
:‫ נציב חזרה ונקבל‬. k -‫קיבלנו כי הסכום השני אינו תלוי ב‬
. X i  e j   H  e j  X 0  e j   X  e j L  H 0  e j  H  e j 

L
.) 2 ‫ (מחזורי‬  :‫ בתחום‬H  e   0 :‫ לכן‬.) 2 ‫ (מחזורי‬H 0  e  H  e   
L
0

j
j
j


L :‫ נדרש‬.‫ב‬
else
:‫סוגי מסננים‬
. xi  n 


k 
x  k  h  n  kL  



 x k  sinc  L  n  kL 
:‫נוסחת האינטרפולציה כפי שראינו בהרצאה היא‬
k 
 
.‫ אידיאלי‬LPF - h  n   sinc  n  :‫כאשר‬
L 
.‫ חד‬,)‫ באורך סופי (זה הוא תנאי אפילו יותר חזק מסיבתיות‬,‫ סיבתי‬,‫ נרצה שהמסנן יהיה פשוט‬.‫נדון במסננים לא אידיאלים‬
:‫דוגמא למסנן באורך‬
n
 ZOH
n
:ZOH ‫מסנן‬
1 0,...., L  1
. h  n  
:‫המסנן הוא‬
0 else
 x  0 n  0,...., L  1

 x 1 n  L,...., 2 L  1
.ZOH ‫ יצא ממסנן‬xi  n   
:‫האות הבא‬
x
2
n

2
L
,....,3
L

1





L 1
sin  L / 2   j  2 
e
. H  e j  
:‫במישור התדר המסנן הוא‬
sin  / 2 
:FOH ‫מסנן‬
h  n 
1

L

L1
2
L1
2
 n
0,...., L  1
1:‫ ניתן לכתוב את המסנן ע"י קונבולוציה הבאה‬. h  n    L
:‫המסנן הוא‬
0
else

2
*
1  sin  L / 2  
j
H
e

.



 :‫לכן במישור התדר נקבל‬
L1
L1
L  sin  / 2  

2
2
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫ תירגול‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬
|7
‫המסנן אינו סיבתי ולכן התגובה להלם שלו מורכבת ממשולשים‪-‬משולשים‪ .‬הסכימה של המשולשים היא מוצא המסנן‪.‬‬
‫באיור ניתן לראות את התגובה להלם בירוק לאות עצמו שבכחול‪.‬‬
‫הסכימה שלהם (אדום) היא מוצא המסנן‪.‬‬
‫להלן תיאור של כל המסננים במישור התדר עבור ‪: L  3‬‬
‫בשחור מופיע המסנן האידיאלי (חלון)‪.‬‬
‫‪H  e j ‬‬
‫בכחול מופיעה תגובת ההלם של המסנן ‪.ZOH‬‬
‫באדום מופיעה התגובה להלם של המסנן ‪.FOH‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תירגול ‪:3‬‬
‫עבור אות בעל תמך זמני סופי ‪ x  n ; n  0,....., N  1‬מגדירים‪:‬‬
‫התמרת פורייה ‪ – DFT‬הגדרה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪  x  n e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ , X  k    x  nW‬כאשר‪:‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫‪ kn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪W‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪e‬‬
‫‪  N‬‬
‫התמרה הפוכה ‪ – IDFT‬הגדרה‪  N :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N n 0‬‬
‫‪N n 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪N‬‬
‫‪. WN  e‬‬
‫‪. x  n ‬‬
‫הסבר משמעות ההתמרה הבדידה‪:‬‬
‫פרשנות ראשונה‪:‬‬
‫‪ -‬אנו יוצרים פונקציה רציפה כמו בטורי פורייה‪.‬‬
‫פרשנות שנייה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫ראינו כי התמרה רציפה מוגדרת‪ :‬‬
‫‪j‬‬
‫‪. n  : x  n  X  e‬‬
‫‪DTFT‬‬
‫לא ניתן לאחסן מידע על פונקציה רציפה ולכן מגדירים את ‪ X  k ‬אשר הוא דגימה של פונקצית התדר‪.‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪. X  k   X  e j ‬‬
‫פרשנות שלישית‪:‬‬
‫ ניתן להסתכל על ‪ DFT‬בתור הכפלה במטריצה אורתוגונלית‪:‬‬‫המטריצה ‪ F‬היא אורתוגונלית ומבטאת את ההתמרה‪.‬‬
‫במטלב המימוש הוא‪.DFTMTX(size) :‬‬
‫‪|8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ F k ,n  WNkn‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ X k   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫שאלת חימום‪:‬‬
‫נתון אות‪ . x  n   2,1,1,0,3, 2,0,3, 4,6 :‬יש לחשב את הגורמים הבאים ללא שימוש ב‪:DFT-‬‬
‫א‪. X  0 .‬‬
‫‪N 1‬‬
‫ב‪.  X  k  .‬‬
‫‪k 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪4 k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪j‬‬
‫‪X k  e‬‬
‫‪N 19‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‪.  X  k  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪N 1‬‬
‫א‪. X  0   x  n  2  1  1  0  3  2  0  3  4  6  22 .‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫ב‪ X  k  W10k0  10  x 0  20 .‬‬
‫‪10 k 0‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪.  X  k   10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j 6 k‬‬
‫‪1 9‬‬
‫ג‪ 10   X  k  e 10  10  x  6  0 .‬‬
‫‪10 k 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪j‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k  4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪j‬‬
‫‪9‬‬
‫‪  X k  e‬‬
‫‪4 k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪j‬‬
‫‪N 19‬‬
‫‪ X k  e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‪ .‬לפי פרסבל‪.  X  k   N  x  n  10   4  1  1  .....  36   800 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫שאלה ‪ – 3‬תרגיל כיתה ‪ – 3‬שינוי רזולוציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(הקטנת רזולוציה) וברזולוציה‬
‫נתונה סדרה באורך ‪ 20‬מעוניינים לקבל דגימות ‪ DTFT‬וברזולוציה של‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫(הגדלה)‪.‬‬
‫הקדמה כללית לפתרון השאלה‪:‬‬
‫נתבונן באות כלשהו בעל תמך סופי זמני כלשהו ‪ , L‬כלומר‪. x  n  0 ; n  0,1,...., L  1 :‬‬
‫לפי הגדרה‪:‬‬
‫‪ j n‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  n e‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪. x  n  X  e‬‬
‫‪DTFT‬‬
‫‪2‬‬
‫נדגום את ‪ X  e j ‬ב‪ N -‬דגימות (במרחקים שווים) בנקודות‪k :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫נציין כי אורך הסדרה בזמן‪ , L ,‬הוא בלתי תלוי במספר הדגימות הנדרש‪. ,‬‬
‫‪. ‬‬
‫לדגימות אלו נקרא ‪( X  k ‬להבדיל מדגימות ה‪ DFT-‬שסימנו פשוט‪ ) X  k  :‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x l  e‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x l  e jl‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪X  k   X  e j ‬‬
‫למעשה מה שיש לנו הוא חלוקה של ציר ה‪ l -‬לאינסוף מקטעים באורך ‪. N‬‬
‫מה שנבצע זה חלוקה של הסכימה הכללית לשתי סכימות‪ ,‬האחת סוכמת את כל האיברים במקטע ה‪ n -‬והשנייה סוכמת‬
‫את כל הסכימות‪.‬‬
‫‪|9‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫' ‪kl‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  Nn  l ' e‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪k  Nn  l '‬‬
‫‪N‬‬
‫‪l ' 0 n ‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  Nn  l ' e‬‬
‫' ‪2 l  Nn  l‬‬
‫‪j‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  l ' 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x l  e‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪X k  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪j‬‬
‫' ‪kl‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  j kl ' N 1‬‬
‫‪    x  Nn  l '  e N   X N l ' e N  DFTN  X N l ' ; l '  0,...., N  1‬‬
‫‪l ' 0  n ‬‬
‫‪l ' 0‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו ‪ DFT‬של הסדרה ‪X N l '‬‬
‫‪‬‬
‫אשר הוגדרה‪ x  Nn  l ' :‬‬
‫הוכר בקורס אותות ומערכות בתור האות‪ n :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪. X N l ' ‬‬
‫האות ‪X N l '‬‬
‫עבור אות המקיים‪ L  N :‬נקבל כי בחלוקה למקטעים הנ"ל הוא מתקפל על עצמו מספר פעמים‪.‬‬
‫מתקיימת התכונה‪ :‬קיפול בזמן = דגימה בתדר‪.‬‬
‫‪per‬‬
‫‪ - X‬אות במחזור מסוים אשר קופל בזמן‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את האות לפי הסדר הבא ונבצע את החישוב‪:‬‬
‫‪x5  0  x  0  x 5  x 10  x 15 ‬‬
‫‪x5 1  x 1  x  6  x 11  x 16 ‬‬
‫‪x5  2  x  2  x  7   x 12  x 17  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... x  4‬‬
‫‪... x 9‬‬
‫‪... x 14‬‬
‫‪... x 19‬‬
‫‪x  0 x 1‬‬
‫‪x  5 x  6 ‬‬
‫‪x 10 x 11‬‬
‫‪x 15 x 16‬‬
‫קיבלנו‪ . DFT5  X 5  n : n  0,...., 4 :‬כדי לקבל רזולוציה גבוהה יותר נרפד באפסים עד לאורך הרצוי (מספר נקודות‬
‫התדר הרצויות) ולסדרה המרופדת נחשב ‪ .DFT‬נציין כי באופן כללי לא ניתן לשחזר את האות מדגימות אלו למעט מקרים‬
‫מיוחדים כגון אות שמקבל ערכים השונים מאפס כל דגימה חמישית וכו'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי למצוא את ההתמרה ברזולוציה של‬
‫‪40‬‬
‫נרפד באפסים מסביב לאות ונבצע את אותו התהליך‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪2 k‬‬
‫נתונה סדרה באורך ‪ . N‬מעוניינים בדגימות ‪ DTFT‬בנקודות‬
‫‪N‬‬
‫‪. k  0,..., N  1 :  ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נציין כי‪ X  e j   X  z  z e j :‬מדבר על דגימות סביב מעגל היחידה במישור ‪: Z‬‬
‫נבצע הזזה בתדר של האות המקורי ב‪  -‬ואז נעשה את ה‪ DTFT-‬לאות החדש ונקבל את‬
‫הדגימות הרצויות ואמנם‪ . X  e j n x  n :‬נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X  e j ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪  x  n  e j n e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ X   n e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪| 11‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
:4 ‫שאלה‬
. q, p  : X  q p :‫ עבור המקרה‬DFT ‫ בהרצאה ראינו מימוש יעיל לחישוב‬. x  n  ‫נתונה סדרה‬
N 1
 k
. X CT  k    x  n cos 
 2n  1  : Descrit Cosine Transform ‫נגדיר התמרה‬
 2N

n 0
.‫ מכפלות‬N 2 -‫ע"י חישוב ישיר תוך שימוש בהגדרה נזדקק ל‬
. N  2V ‫ באופן יעיל עבור סדרות ממשיות באורך‬DCT-‫נראה כיצד ניתן לחשב את ה‬
N
 1 :‫ נגדיר‬.‫א‬
2
N 1
 k
. cos  2 k     cos   :‫ רמז‬. X CT  k    y  n cos 
 4n  1  :‫יש להראות‬
 2N

n 0

 j k

DFT
Y  k  :‫ כאשר‬X CT  k   Re e 2 N Y  k  :‫ הוכח כי‬.‫ב‬
. y  n 


?DFT-‫ כמה מכפלות מרוכבות נדרשות למימוש יעיל של ה‬.‫ג‬
. y  N  1  n  x  2n  1 , y  n  x  2n : n  0,...,
:‫פתרון‬
:‫ נבצע את הפיתוח הבא‬.‫א‬
devide to
0.5 N 1
even&odd 0.5 N 1
k
k
 k
X CT  k    x  n cos 
 2n  1    x  2n cos   4n  1    x  2n  1 cos   4n  3 
 2N

 2N
 n 0
 2N

n 0
n 0
N 1
:‫ ולכן נקבל‬y  N  1  n  x  2n  1 , y  n  x  2n :‫נבחין כי ניתן להחליף‬
devide to
0.5 N 1
even&odd 0.5 N 1
k
k
 k
X CT  k    x  n cos 
 2n  1    y  n cos   4n  1    y  N  1  n cos   4n  3 
 2N

 2N
 n 0
 2N

n 0
n 0
N 1
:)‫ ונפתח אותו (הביטוי הראשון זהה למה שצריך להגיע‬B 
 k

 y  N  1  n cos  2 N  4n  3  :‫נסמן‬
0.5 N 1
n 0
B
0.5 N 1

n 0
B
n '  N 1 n
N 1
k
 k

y  N  1  n  cos 
 4n  3   n  0 n '  N  1   y  n  cos   4  N  1  n   3 
 2N

 2N

n  0.5 N
n  0.5 N  1 0.5 N
 k

 y  n cos  2 N  4n  1 
N 1
n  0.5 N
:‫נחבר את שני הביטויים ונקבל‬
X CT  k  
0.5 N 1

n 0
N 1
N 1
k
k
 k
y  n cos 
 4n  1    y n cos   4n  1   y n cos   4n  1 
 2N
 n0.5 N
 2N
 n 0
 2N

2
N 1
 j kn 
 j  k

  j  k N 1
  j  k  j 2 kn 
Re e 2 N Y  k   Re e 2 N  y  n  e N    y  n  Re e 2 N e N  
n 0



 n 0


N 1
N 1
 
4  
 k
  y  n  cos  

n  k    y  n  cos 
 4n  1   X CT  k 
 2N

n 0
  2 N 2 N   n 0
:‫ נכתוב מסודר את הטענה‬.‫ב‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫ תירגול‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬
| 11
‫ג‪ .‬חישוב ‪ y  n ‬מתוך ‪ x  n ‬לא דורש מכפלות (שינוי סדר איברים)‪.‬‬
‫חישוב ‪ Y  k ‬דורש‪. O  N log N  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫חישוב ‪ e 2 N Y  k ‬דורש ‪ N‬מכפלות‪.‬‬
‫חישוב ‪ Re‬לא דורש מכפלות (זריקת המערך המדומה)‪.‬‬
‫בסה"כ יש לנו ‪ O  N log N ‬מכפלות‪.‬‬
‫תירגול ‪:4‬‬
‫אלגוריתם – ‪:Goertzel‬‬
‫המוטיבציה היא לפתח כלי המאפשר חישוב של איבר בודד של ה‪ .DFT-‬נראה כי זה שקול לדגימה בזמן ‪ n  N‬של‬
‫מסננת מתואמת מהצורה הבאה‪: h  n  WN knu  n :‬‬
‫נתונה סדרה באורך ‪ n  0,1,...N 1 , N‬ממשית‪ .‬מגדירים‪u  n  r  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  r W‬‬
‫‪ k0  n  r ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪N 1‬‬
‫יש לחשב את‪ X  k0  :‬כפעולת סינון‪ .‬נכתוב‪u  n  r    x  r WN k0  n r u  n  r  :‬‬
‫‪r 0‬‬
‫‪N 1‬‬
‫כעת‪u  N  r    x  r WNk0r  X  k0  :‬‬
‫‪r 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪  x  r WN‬‬
‫‪ k0 N  r‬‬
‫‪r 0‬‬
‫‪n N‬‬
‫‪1‬‬
‫במישור ‪ z‬נקבל‪:‬‬
‫‪1  WN k0 z 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x r W‬‬
‫‪ k0  n  r ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪. yk0  n ‬‬
‫‪. yk0  n‬‬
‫‪ X  k0 ‬‬
‫קיבלנו למעשה‪. yk0  n  x  n * h  n ; h  n  WN knu  n :‬‬
‫‪ H  z  ‬ולכן‪y  n  1  x  n  :‬‬
‫‪. yk0  n ‬‬
‫‪yk0  n‬‬
‫‪n N‬‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪  X  z   y n  W‬‬
‫‪ k0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Y  z  1W‬‬
‫‪ k0‬‬
‫‪N‬‬
‫קיבלנו‪ . y  n  x  n  WN k0 y  n  1 :‬המימוש הוא באמצעות משוב‪:‬‬
‫‪X  k0 ‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪WNk0‬‬
‫נזכור כי כל מכפלה של שני מספרים מרוכבים יוצרים ‪ 4‬מכפלות ממשיות ו‪ 2-‬חיבורים‪:‬‬
‫‪ a  bj  c  dj   ac  bd  bc  ad  j‬‬
‫כשנתבונן במערכת שלנו נשים לב כי עבור ‪ n‬מספיק גדול מתקבלת בכל פעם מכפלה בין שני מספרים מרוכבים‪:‬‬
‫‪y  n  x  n   WN k0 y  n  1‬‬
‫‪4 Mux‬‬
‫‪2 Adds‬‬
‫יש לנו בכל חישוב ‪ 4‬מכפלות ו‪ 3-‬חיבורים בסה"כ עבור כל איטרציה‪.‬‬
‫אנו מעוניינים בחישוב הנ"ל ‪ N‬פעמים וסה"כ יש לנו ‪ 4N‬מכפלות ו‪ 3N -‬חיבורים‪.‬‬
‫המצב כעת הוא יותר גרוע מחישוב בצורה ישירה של ‪ DFT‬עבור כל מקדם‪.‬‬
‫‪| 12‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪x  n  W‬‬
‫‪ kn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N 1‬‬
‫ה‪ DFT-‬לפי ההגדרה הוא‪. X  k0    x  n WN kn :‬‬
‫‪n 0‬‬
‫נזכור להתייחס ל‪ WNkn -‬באופן הבא‪ a  bj :‬‬
‫‪ , W‬ואז יש לנו בסה"כ‪ 2N :‬מכפלות ו‪ 2  N  1 -‬חיבורים‪.‬‬
‫‪ kn‬‬
‫‪N‬‬
‫נראה כיצד ההסתכלות בצורה מרוכבת על הדברים עוזרת‪ .‬נפתח את פונקצית התמסורת‪:‬‬
‫‪1  WNk0 z 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  WNk0 z 1 ‬‬
‫‪ Bk0  z   Ak0  z ‬‬
‫‪ k0 1‬‬
‫‪k0 1‬‬
‫‪1  WN z 1  WN z‬‬
‫‪1  2cos  2 k0 / N  z 1  z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  z ‬‬
‫לאחר הפיצול והסימון נכתוב‪. Yk0  z   H k0  z  X  z   Bk0  z   Ak0  z  X  z   Bk0  z  Sk0  z  :‬‬
‫קיבלנו במישור הזמן‪. yk0  n  sk0  n  WNk0 sk0  n  1 :‬‬
‫נעביר חזרה למישור ‪ z‬ונקבל‪. Sk0  z  1  2cos  2 k0 / N  z 1  z 2   X k0  z  :‬‬
‫וחזרה למישור הזמן‪. sk0  n  x  n  2cos  2 k0 / N   sk0  n  1  sk0  n  2 :‬‬
‫נשים לב כי בכל חיבורים נקבל תמיד מכפלות בין מספרים ממשיים! יש לנו בכל שלב מכפלה אחת ו‪ 2-‬חיבורים‪.‬‬
‫לחישוב ‪ n  0,1,....., N  1 ; sk0  n‬נדרשים ‪ N‬מכפלות (עקב הקוסינוס) ו‪ 2N -‬חיבורים (פשוט מהמשוואה עצמה)‪.‬‬
‫נחזור אחורה ל‪ yk0  n  sk0  n  WNk0 sk0  n  1 -‬ונשים לב כי כעת בכל שלב יש לנו ‪ 2‬מכפלות וחיבור אחד‪.‬‬
‫היתרון הוא שאין צורך לחשב את ‪ y  n ‬בצורה זו לכל ‪ k‬אלא רק ל‪ k0 -‬ולכן יש לבצע את חישוב זה רק פעם אחת‪.‬‬
‫אנו נדרשים לחשב את ‪ yk0  N ‬בלבד ולא לכל הסדרה‪. n  0,1,....., N  1 ; yk0  n :‬‬
‫חישוב המקדם הבודד דורש ‪ 2‬מכפלות ‪ +‬חיבור אחד ולכן סה"כ נקבל ‪ N  2‬מכפלות ו‪ 2 N  1-‬חיבורים‪.‬‬
‫אלגוריתם – ‪:Zoomed FFT‬‬
‫נתונה סדרה‪ . n  0,1,...N  1 , x  n :‬מגדירים‪:‬‬
‫מעוניינים ב‪ K -‬נקודות ה‪ DTFT-‬הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k0  k ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ X e j‬כאשר‪. k0  0,1,...., N  1 :‬‬
‫‪k0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L ‬כאשר‪. K  2v :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k0  K m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫למעשה אנו מבצעים ‪ Zoom‬על מקטע של מעגל היחידה ורוצים לחשב את ‪. k  0,1,....., K‬‬
‫א‪ .‬נראה כי ניתן לרשום‪:‬‬
‫‪k  k0 l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L 1 K 1‬‬
‫‪. X  k  k0    x l  mL WKk0mWKkmWN‬‬
‫‪l 0 m 0‬‬
‫תחילה נבחין כי אנו עדיין סוכמים ‪ N‬איברים כי שני הסכומים נותנים‪ . KL  N :‬נחשב‪:‬‬
‫‪n  l  mL‬‬
‫‪K 1 L 1‬‬
‫‪K 1 L 1‬‬
‫‪ k  k0 l  mL ‬‬
‫‪ l  0,1,.., L  1   x l  mL WN‬‬
‫‪  x l  mL WNk0l  klWN k  k0 mL‬‬
‫‪m 0 l 0‬‬
‫‪m 0 l 0‬‬
‫‪m  0,..., K  1‬‬
‫כעת‪ WK1 :‬‬
‫‪| 13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪j‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ . WNL  e‬נחליף סדר סכימה ונקבל‪:‬‬
‫‪k  k0  l‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪. X  k  k0    x  nWN‬‬
‫‪ k  k0  n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪K 1 L 1‬‬
‫‪.  x l  mL WKk0mWKkmWN‬‬
‫‪m 0 l 0‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪K 1 L 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k k l‬‬
‫ב‪ .‬כעת יש לממש את זה בצורה יעילה‪ .‬נתייחס‪.   x l  mL WKk0m WKkm  WN 0  :‬‬
‫‪m 0  l 0‬‬
‫‪‬‬
‫יש לנו סדרה ‪ xl  m‬באורך ‪ K‬והיא‪ x l  mLWKk0m :‬אשר עושים לה ‪ DFT‬בסוגריים המרובעות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫יש לנו ‪log 2 K‬‬
‫‪2‬‬
‫בתוך הסוגריים המרובעות יש לנו ווקטור באורך ‪ L‬של סדרות באורך ‪ K‬כל אחת (סה"כ מטריצה‪ ) L  K :‬ולכן כל‬
‫‪K‬‬
‫המכפלות הן‪ L  log 2 K :‬לבסוף יש להכפיל בביטוי האחרון ולכן יש לנו עוד ‪ KL  N‬מכפלות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫מכפלות‪.‬‬
‫קיבלנו‪log 2 K  N  N  0.5log 2 K  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫מכפלות מרוכבות למימוש ה‪.DFT-‬‬
‫נרשום בטבלה כדי להבין מהיכן הגיע החיסכון‪:‬‬
‫‪K 1‬‬
‫‪x  K  1 L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪l\m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x  K  1 L  1‬‬
‫‪x  L  1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  2 L  1‬‬
‫‪x  L  1‬‬
‫‪L 1‬‬
‫‪x  K  1 L  L  1‬‬
‫‪ x  N  1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫לכל שורה במטריצה נבצע ‪ DFT‬באורך ‪ , K‬סה"כ‪ . log 2 K :‬ויש לנו ‪ L‬שורות – לכן‪log 2 K :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫את המכפלות ב‪ k0 -‬לא מבצעים כי הן בסה"כ הזזה ציקלית בתדר‪. 0,1, 2,..., N  1  k0 , k0  1 , N  1 , 0 , ... , k0  1 :‬‬
‫פעולות‪.‬‬
‫נכפיל כל אחד מאיברי המטריצה באקספוננט המתאים לו‬
‫‪| 14‬‬
‫‪k  k0  l‬‬
‫‪ . WN‬סכום כל טור ה‪- k -‬י יהיה המקדם ה‪- k -‬י הרצוי‪. x  k0  k  :‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪:5‬‬
‫אנליזה של אותות בעזרת ‪ – DFT‬תופעת החלון‪:‬‬
‫אנו מעוניינים ב‪ DTFT-‬אבל מה שמחשבים בפועל הוא ‪ DFT‬לאותות סופיים‪.‬‬
‫עבור אותות סופיים וקצרים‪ ,‬ה‪ DFT-‬מהווה פתרון "טוב" אבל עבור אותות ארוכים מאוד או אינסופיים לא רוצים‪/‬יכולים לחכות‬
‫לסוף האות ולפעמים זה לא נכון להסתכל על כל האות (למשל אות הדיבור)‪ .‬לכן נוצר מושג ה‪( Windowing-‬חלון)‪.‬‬
‫פירוט תופעת החלון על אות‪:‬‬
‫‪x  n ‬‬
‫ניתן לראות כיצד ההכפלה של אות בחלון מסננת את האות למעט‬
‫החלק רצוי‪ .‬התיאור הוא במישור הזמן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪xW  n ‬‬
‫‪1‬‬
‫השאלות שנשאל‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ .1‬מה הנזק שנגרם לתמונת התדר של האות‪ ,‬כלומר‪ ,‬מה אי אפשר לראות כתוצאה מהחלון?‬
‫‪ .2‬מה ניתן לעשות כדי לקבל תמונה משופרת?‬
‫תשובות‪:‬‬
‫נענה על שתי השאלות יחדיו‪ .‬יש לנו מגוון חלונות "קבועים" כמתואר להלן‪:‬‬
‫‪| 15‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫לכל חלון יש אונה מרכזית ‪ ,  d ‬ואונה צדדית ‪ .  b ‬אונות אלו אינן תלויות באורך החלון‪.‬‬
‫בטבלה לעיל ניתן לראות את המידות של החלונות הנ"ל‪ .‬החלונות מתאפיינים לפי היחס‪ a / d :‬ורוחב האונה ראשית ‪. b‬‬
‫כאשר נקבע מסננים קודם נקבע את החלון ואח"כ את אורכו‪ .‬בחלון קייזר ניתן לשחק עם יחסי האונות‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נתון האות‪. A1  A2 ; xi  n  A1 cos 1n   A2 cos 2n  ; n  0,.., N  1 :‬‬
‫מהם התנאים על‪ A1 , A2 , 1 , 2 :‬כדי שנוכל לדעת את ההרכב התדרי של ‪? xi  n ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪1‬‬
‫הדרישות הן‪:‬‬
‫‪ .1‬חצי רוחב האונה הראשית ‪.   2  1 ‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪ .2‬היחס בין אונת הצד הראשונה והראשית ‪. 20 log  2  ‬‬
‫‪ A1 ‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫מבין החלונות הקבועים (כלומר שאינם ‪ )Kaiser‬קבע איזה חלונות מתאימים עבור האותות הבאים‪:‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪x1[n]  cos    0.8cos  0.9n  ; x2 [n]  cos    0.8cos  n  ; x3[n]  cos    0.015cos 1.1n ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪n  0,...,64‬‬
‫כך שנוכל לדעת ההרכב התדרי של האותות ‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה עבור האותות ‪ x1  n ‬ו‪( x3  n -‬את ‪ x2  n‬לעשות בבית)‪:‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪20 log  2   dB ‬‬
‫‪ A1 ‬‬
‫‪-1.94‬‬
‫‪0.115‬‬
‫‪x1  n‬‬
‫‪-36.48‬‬
‫‪0.315‬‬
‫‪x3  n‬‬
‫‪ rad ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫חצי רוחב האונה הראשית‬
‫‪0.0982‬‬
‫‪0.1963‬‬
‫‪11‬‬
‫‪0.2945‬‬
‫מלבני‬
‫‪Hamming‬‬
‫‪Hann‬‬
‫‪Blackman‬‬
‫בטבלה השנייה חישבנו את מחצית רוחב האונה הראשית של החלונות הקבועים בכדי להתאים את החלון הטוב יותר לאותות‪.‬‬
‫‪| 16‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫עבור האות ‪: x3  n‬‬
‫‪ rad ‬‬
‫‪   0.315 ‬ולכן לפי תנאי זה כל החלונות מתאימים‪.‬‬
‫מבחינת התנאי של רזולוצית התדרים קיבלנו‪:‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫ההנחתה הנדרשת היא‪ -36.48dB :‬ולכן רק שני חלונות מתאימים‪.Blackman , Hamming :‬‬
‫להלן דוגמא לשימוש בחלון מלבני‪:‬‬
‫‪|X3(exp(jw)| win=rec‬‬
‫‪35‬‬
‫הבעיה היא שלא ניתן לראות את הרכיב ‪0.015cos 1.1n ‬‬
‫מכיוון שאונת הצד אינה מחיתה מספיק ולכן בולעת אותו‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫בדפי התירגול מופיעה גם דוגמא של סינון עם ‪.Blackman‬‬
‫שם ניתן לראות כי אונת הצד מנחיתה מספיק ולכן יש אות‬
‫קטן שהוא הרכיב הנ"ל‪ .‬ההנחתה היא מספיק טובה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור האות ‪: x1  n‬‬
‫‪ rad ‬‬
‫‪   0.115 ‬ולכן רק חלון מלבני יתאים לפי מחצית רוחב‬
‫כל החלונות מתאימים להנחתה‪ .‬הרזולוציה יצאה‪:‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫האונה הראשית‪.‬‬
‫תכנון מסנני ‪:FIR‬‬
‫תזכורות (או מה ראינו בהרצאה)‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .1‬ייצוג פאזה רציפה )‪H e jw  Awe j (w‬‬
‫‪ - Aw‬ממשית (לא בהכרח חיובית)‬
‫)‪ -  (w‬רציפה (לא בהכרח ב‪.)   ,  ‬‬
‫‪ .2‬במערכת שהיא ‪ GLP‬ידוע ‪ – α(  ( w)  w  ß‬השהית בחבורה) ‪.‬‬
‫‪ .3‬השהיית פאזה ‪ ( w) -‬‬
‫השהיית חבורה ‪-‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫)‪( w‬‬
‫‪w‬‬
‫( = קבוע => פאזה ליניארית)‬
‫= קבוע => פאזה ליניארית מוכללת (‪))GLP‬‬
‫‪ .4‬בהרצאה הוכחתם ‪>= RCSR+GLP :‬‬
‫‪FIR .1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  0,  .2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2  N .3‬‬
‫‪ .5‬קטבים ואפסים של ‪:GLP + RCSR‬‬
‫נשים לב‪ >=FIR :‬אין קטבים‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫האפסים באים ברביעיות * ‪ z 0 , z 0* , ,‬למעט יוצאי הדופן (ראיתם בהרצאה )‬
‫‪z0 z0‬‬
‫‪| 17‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫תכנן ‪ HPF‬סימטרי (בזמן) עם‪ C  0.75 :‬בעל התכונות הבאות ‪. s  0.7 ;  p  0.8 ;  s  0.0002 ;  p  0.001 :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נפתור לפי השלבים המפורטים בדפי העזר של תירגול ‪:5‬‬
‫‪1 0.75    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Ad    ‬‬
‫‪ .1‬המסנן האידיאלי‪:‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .2‬נבחר‪( . 0  0 :‬בוחרים סדר ‪ I‬כי סדרים ‪ II‬ו‪ III-‬נפסלים מכיוון שבשורה האחרונה רואים כי הם לא ‪[ HPF‬בתדר ‪   ‬המסנן‬
‫מתאפס] ו‪ IV-‬נפסל מכיוון שדורשים סימטריה)‪.‬‬
‫‪  j M2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. H d  e   1 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ .3‬מקבלים‪0.75     :‬‬
‫‪else‬‬
‫‪j‬‬
‫‪M  sin  0.75  n  0.5M  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. hd  n    n   ‬‬
‫‪ .4‬נבצע התמרה הפוכה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n  0.5M ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬ניתן לבצע עם קייזר המתאים לכל גליות רצויה‪ .‬יחד עם זאת נחפש כאן חלון מהחלונות הקבועים‪.‬‬
‫מהנתון‪  s  0.0002 :‬נקבל‪ As  60dB :‬וכן‪. Ap  0.00174dB :‬‬
‫נבחר את החלון מהטבלה עם התנאים המחמירים יותר כדי שהוא יוכל לספק את דרישה‪ .‬במקרה שלנו זה ‪.Blackman‬‬
‫‪ .6‬צריך שרוחב האונה הראשית יהיה קטן מ‪  -‬כדי שלא תהיה מריחה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪   0.1 ‬לפי הטבלה עבור ‪ Blackman‬ולכן‪ . M  120 :‬נבחר‪( M  120 :‬חשוב מספר זוגי‬
‫נדרוש‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫לפי הטבלה של ה‪ – GLP-‬בחרנו מסנן עם סדר זוגי ז"א מספר זוגי של מקדמים)‪.‬‬
‫‪ .7‬בסוף יש להכפיל את המסנן שלנו במקדמים של המסנן ‪:Blackman‬‬
‫‪‬‬
‫‪M  sin  0.75  n  0.5M   ‬‬
‫‪ 2 n ‬‬
‫‪ 4 n    ‬‬
‫‪hd  n   0.42  0.5cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0.08cos ‬‬
‫‪     n   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n  0.5M ‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪ M  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תירגול ‪:6‬‬
‫להלן פירוט שלבי תיכנון מסנן ‪:IIR‬‬
‫הגדרת הדרישות‬
‫הדיגיטליות‬
‫‪H s‬‬
‫‪| 18‬‬
‫‪  , ‬המרה לדרישות ‪, ‬‬
‫אנלוגיות‬
‫(עיוות מקדים)‬
‫חזרה למסנן‬
‫האנלוגי המקורי‬
‫‪s‬‬
‫המרה‬
‫לדרישות‬
‫‪ LPF‬שקול‬
‫המרה למסנן דיגיטלי‬
‫‪ H‬ביליניארית‬
‫‪, ‬‬
‫תכנון ‪LPF‬‬
‫(צ'בישב‪ ,‬בסל‪)...‬‬
‫העיוות המקדים נועד לכך‬
‫שההמרה הביליניארית תיתן‬
‫את המסנן הדיגיטלי הרצוי‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫שאלה – מתוך הספר של בועז פורת עמ' ‪:353‬‬
‫שלב ראשון‪:‬‬
‫מעוניינים ב‪ B.P.F-‬ספרתי בעל האופיינים הבאים‪:‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪. s1  0.2‬‬
‫‪,  p   s1   s 2  0.1‬‬
‫‪; s 2  2.498‬‬
‫‪;  p1  2.484‬‬
‫‪;  p 2  1.57‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪sec‬‬
‫שלב שני‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫בשלב השני נמיר את הדרישות שלנו לדרישות אנלוגיות (עיוות מקדים) לפי‪tan 1  0.5  :‬‬
‫‪T‬‬
‫‪180 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  p1  2 tan  0.484 ‬‬
‫בד"כ קובעים את ‪ T‬להיות ‪ 1‬או ‪ . T  Ts‬נבחר‪ T  1 :‬ואז‪  0.5 :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫באופן דומה נקבל‪. s1  0.2 , s 2  0.6 ,  p 2  2 ,  p   s1 = s 2  0.1 :‬‬
‫נציין כי מותר לעגל תדרים רק לכיוון המחמיר‪.‬‬
‫‪.   ,  ‬‬
‫שלב שלישי‪:‬‬
‫‪  l  h‬‬
‫נמיר לדרישות ‪ LPF‬שקול‪:‬‬
‫‪   h  l ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. ‬‬
‫לבחירת ‪ l , h‬יש ‪ 2‬אפשרויות‪:‬‬
‫א‪  p1, p 2 .‬יועתקו לאותה הנקודה (‪.)1‬‬
‫ב‪  s1, s 2 .‬יועתקו לאותה הנקודה (‪.)1‬‬
‫לפי אפשרות א' נקבל‪ l   p1 ; h   p 2 :‬ואז‪ 1 :‬‬
‫כעת‪ ,‬עם הערכים שבחרנו נקבל גם‪ 3.2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2p1   p1 p 2‬‬
‫‪2s1   p1 p 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p1  p1   p 2‬‬
‫‪ s1  p1   p 2‬‬
‫‪.  p1 ‬‬
‫‪  s1 ‬ו‪ 3.98 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪2s 2   p1 p 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ s 2  p1   p 2‬‬
‫‪. s 2 ‬‬
‫נבחר את התדר המחמיר יותר שהוא ‪. s  min  s1 , s 2  :3.2‬‬
‫(לפי אפשרות ב' נבחר‪ s 2  1 :‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪ ‬ואז התנאי המחמיר יהיה‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.)  p  max  p1 ,  p 2‬‬
‫‪‬‬
‫בחירת ה‪  -‬בשני המקרים תתבצע לפי‪.  p   p ;  s  min  s1 ,  s 2 :‬‬
‫שלב רביעי‪:‬‬
‫נתכנן ‪ LPF‬אנלוגי‪ .‬אם נבחר את מסנן ‪ Butterworth‬עלינו לבחור את הפרמטרים‪ 0 , N :‬כדי לממש את פונקצית‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . H  j  ‬למסנן יש יתרונות וחסרונות כפי שראינו בהרצאה‪.‬‬
‫התמסורת שלו‪:‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪1    / 0 ‬‬
‫יתרון‪ :‬המסנן מתחיל מ‪ .1-‬חיסרון‪ :‬זמן הירידה שלו‪ .‬כדי להשתמש במסנן זה עלינו לקבוע את מיקומי הקטבים‪.‬‬
‫ראינו בהרצאה את הנוסחה‪:‬‬
‫‪| 19‬‬
‫‪  2 k 1 ‬‬
‫‪j ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 2N ‬‬
‫‪ sk  0e‬כאשר‪  0 :‬הוא תדר הברך (‪ )3dB‬ו‪ N -‬הוא סדר המסנן‪.‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ sk‬‬
‫פונקצית התמסורת כתלות בקטבים היא‪:‬‬
‫‪k  0 s  sk‬‬
‫המסנן שלנו הוא מונוטוני יורד ולכן יש לדרוש לפי האיור הבא‪:‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪H s‬‬
‫‪. H s  ‬‬
‫‪ 1   p  , H  s  s  j   s2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2N‬‬
‫מגדירים את הפרמטרים‪ 0.04862 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ s2  1‬‬
‫‪ log 1/ d  ‬‬
‫‪ , N  ‬וכן‪:‬‬
‫מקבלים בסוף‪  3 :‬‬
‫‪log‬‬
‫‪1/‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. H  s  s  j ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1    p / 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/2 N‬‬
‫‪s‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ 0.3125 , d ‬‬
‫‪ 0  s  s2  1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ - k ‬מקדם החדות (סלקטיביות) של המסנן‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1/2 N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  p 1   p   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪rad‬‬
‫בחרנו שרירותית את צד שמאל (לא היו דרישות על ‪ 1.27  0  whatever :)  0‬ולכן‪:‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪. 0  1.27‬‬
‫‪2.065‬‬
‫כעת נוכל למצוא את הקטבים לפי הנוסחה ולהציב בביטוי לפונקצית התמסורת ונקבל‪:‬‬
‫‪s  2.56s  3.24s  2.065‬‬
‫(הערה‪ :‬ניתן לחסוך זמן במבחן ולחשב רק חצי מהקטבים מכיוון שלכל מספר מרוכב המהווה קוטב קיים הצמוד שלו)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. H s ‬‬
‫קיבלנו ‪ LPF‬אנלוגי שעומד בדרישות שקיבלנו‪.‬‬
‫שלב חמישי‪:‬‬
‫‪s 2  l  h‬‬
‫יש להמיר חזרה את המסנן ‪ LPF‬למסנן ‪ .BPF‬נזכר ב‪ h , l -‬משלב ‪ 3‬ונכתוב ישירות‪ f  s  :‬‬
‫‪s   h  l ‬‬
‫נהפוך כל קוטב ל‪ , f  s  -‬נקבל‪:‬‬
‫‪2.065‬‬
‫‪ 2.56  f  s    3.24  f  s    2.065‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  s ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.s ‬‬
‫‪. H BPF  s  ‬‬
‫שלב שישי‪:‬‬
‫‪2 z 1‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫‪T z 1‬‬
‫‪ s ‬ונקבל את המסנן שלנו‪.‬‬
‫נחזור לשלב ‪ 4‬ונשתמש במסנן צ'בישב‪:‬‬
‫המסנן יודע לבצע קירוב עד גבול מסוים לפונקציה כלשהי‪ .‬פונקצית התמסורת היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  / 0 ‬‬
‫‪H  j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos  N cos 1  x  ‬‬
‫‪; x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ TN  x   ‬פולינומי צ'בישב‪ .‬המסנן מתנדנד (גליות) בתחום ההעברה ודועך‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cosh‬‬
‫‪N‬‬
‫‪cosh‬‬
‫‪x‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪odd N‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. H  0  ‬‬
‫(מונוטוני יורד) בתחומים האחרים‪ .‬הנוסחאות ל‪  , sk -‬ו‪ N -‬מופיעות בהרצאה‪ .‬ראינו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/ 1    even N‬‬
‫‪ sk‬‬
‫הנוסחה למסנן מסוג ‪ I‬היא‪:‬‬
‫‪s  sk‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ . H  s   H  0  ‬מקבלים‪   0.4843 :‬ואז‪. 0  1 , N  2.0297   3 :‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫הקטבים הם‪ s0,2  0.25  0.95 j , s1  0.51 :‬והמסנן‪:‬‬
‫‪s  0.72845s  0.5052‬‬
‫מכאן נבצע את ההמרות שראינו לעיל ונקבל את המסנן הדרוש‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪| 21‬‬
‫‪. H  s   ... ‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬

Similar documents