מבחן סיום ט תשעג מועד א - Emath

‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫מבחן סיום ‪ -‬כיתה ט' תשע"ג – מועד א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה‬
‫ניתן לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 16‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫פרק א' – אלגברה‪ ,‬סדרות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪ .1‬א‪ .‬תלמיד החובב לימודי סדרות מתמטיות שאל את "מפלצת הסדרות"‪,‬‬
‫מפלצת שאוהבת לחשב סדרות‪ ,‬האם ניתן להביע כל איבר במקום ה‪ n -‬של סדרה כלשהי‬
‫על ידי הפרש בין סכומי הסדרה‪ .‬המפלצת ענתה‪ :‬כן‪ ,‬הרי מתקיים‪. an = S n − S n −1 :‬‬
‫האם המפלצת צודקת? נמק!‬
‫ב‪ .‬נתון טור הנדסי אינסופי יורד‪ ,‬שכל איבריו חיוביים‪.‬‬
‫מסמנים ב‪ Sn -‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בטור‪ .‬מסמנים ב‪ S -‬את סכום הטור‪.‬‬
‫בונים טור חדש שהאיבר במקום ה‪ n -‬שלו הוא ההפרש‪. S − S n :‬‬
‫)‪ (1‬הראה שהטור החדש שנוצר גם הוא טור הנדסי אינסופי יורד‪.‬‬
‫)‪ (2‬אם ידוע שבטור הנתון‪ , S 2 = 216, S = 243 :‬חשב את סכום הטור האינסופי החדש‪.‬‬
‫אין קשר בין הסעיפים‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪yuni@yuni.co.il :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫‪x + 15b‬‬
‫‪1 − a2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .2‬נתונה המשוואה =‬
‫‪2ax − 5bx 2a − 5b x‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪: a‬‬
‫) ‪ a, b‬פרמטרים(‪.‬‬
‫א‪ .‬לא יהיו פתרונות למשוואה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬יהיה למשוואה פתרון יחיד‪.‬‬
‫בתשובותיך הבע את ‪ a‬באמצעות ‪ b‬במידת הצורך‪.‬‬
‫אין קשר בין הסעיפים הקודמים לסעיף הבא‪:‬‬
‫ג‪ .‬בהנחה שהחוקיות נמשכת‪ ,‬מצא נוסחה לאיבר במקום ה‪ n -‬בסדרה‪:‬‬
‫‪2iln 3 4iln 4 6iln 5 8iln 6 10iln 7‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,−‬‬
‫‪,...‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪27‬‬
‫‪81‬‬
‫‪243‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .3‬על המעגל ‪ x 2 + y 2 = R 2‬נסמן נקודה כלשהי ‪ . A‬מהנקודה ‪ A‬נעביר מקביל לציר ‪. x‬‬
‫על המקביל נקצה מנקודה ‪ A‬קטע באורך ‪ 2R‬יחידות בכיוון החיובי של ציר ‪ x‬ונקבל את‬
‫הנקודה )‪ P(x, y‬בקצה הקטע‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות )‪ P(x, y‬המתקבלות בדרך זו הוא מעגל‪.‬‬
‫רשום את שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו‪.‬‬
‫ב‪ .‬המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א' ולישר‬
‫‪ x = -t‬הוא פרבולה קנונית‪ .‬הבע את ‪ t‬ואת משוואת הפרבולה באמצעות ‪ t ) . R‬קבוע(‪.‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪yuni@yuni.co.il :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫אוקלידית או בכל דרך אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה ‪ 16‬נקודות(‬
‫‪A‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫נתון כי‪ 7 :‬ס"מ = ‪ 10 , AB‬ס"מ = ‪ 8 , BC‬ס"מ = ‪ 5 , CD‬ס"מ = ‪. DA‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪. ABCD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זויות המשולש ‪. △ ADB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .5‬אלכסוני טרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬מאונכים זה לזה‪ ,‬ואורך כל אחד מהם הוא ‪. m‬‬
‫כל אחת מהזויות שעל‪-‬יד הבסיס הגדול היא ‪. α‬‬
‫) ‪m sin(α − 450‬‬
‫) ‪m sin(α + 450‬‬
‫ואורך הבסיס הקטן הוא‬
‫א‪ .‬הוכח כי אורך הבסיס הגדול הוא‬
‫‪sin α‬‬
‫‪sin α‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל זוית ‪ , α‬אם היחס בין אורך הבסיס הגדול לבין אורך הבסיס הקטן הוא ‪. 3‬‬
‫‪ .6‬נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪. R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ PA‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל‪.‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא אמצע המיתר ‪. AB‬‬
‫‪) PB ⊥ AB‬ראה שרטוט(‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪OM‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪. 2iOM + BP = 2 R i‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬מאריכים את הישר ‪ OM‬כך שיחתוך את ‪PA‬‬
‫בנקודה שנסמנה ב‪ . F -‬נסמן‪. OM = b , FM = a :‬‬
‫הבע בעזרת ‪ a‬ו‪ b -‬את היחס בין שטח המרובע ‪PBMF‬‬
‫לשטח המשולש ‪. MOA‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪yuni@yuni.co.il :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫‪P‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫פרק ג' – חשבון דיפרנציאלי של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫שורש ריבועי‪ ,‬מעריכיות לוגריתמיות‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה ‪ 16‬נקודות(‬
‫‪ .7‬לפונקציה‬
‫‪2 ax −3‬‬
‫‪ a ) f ( x) = x e‬פרמטר( יש נקודת קיצון בנקודה שבה ‪. y = 3 e 2‬‬
‫‪ .i‬חשב את ערכו של ‪. a > 0 , a‬‬
‫‪ .ii‬הצב‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ a‬וחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א( תחום הגדרה ב( חיתוך עם הצירים ג( נקודות קיצון ד( תחומי עליה וירידה‬
‫ה( נקודות פיתול ו( תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה ז( אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .iii‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‬
‫‪cos x + 1‬‬
‫= )‪ f ( x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬
‫חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה ב‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים ג‪ .‬שיעור ה‪ x -‬של נקודות אי הרציפות בפונקציית‬
‫)‪ f ( x‬בתחום הנתון ד‪ .‬נקודות קיצון )אם ישנן( ה‪ .‬תחומי עלייה‪/‬ירידה )אם ישנן(‬
‫ו‪ .‬תחומי‬
‫חיוביות‪/‬שליליות‬
‫‪ .9‬במעגל שרדיוסו ‪ 12‬ס"מ עובר מיתר במרחק ‪ 2‬ס"מ מהמרכז‪.‬‬
‫במקטע שנוצר חסום מלבן‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬שטח המלבן ‪ , S‬מקיים‪. S ≤ 42 7 :‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצלחה !!!‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪yuni@yuni.co.il :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫פתרונות סופיים‬
‫‪ .1‬א‪ .‬לא; ‪ n > 1‬ב‪ (1) .‬הוכחה )‪121.5 (2‬‬
‫)‪2 n i ln( n + 2‬‬
‫‪ .2‬א‪ a = 2.5b, 5b, 0 .‬ב‪ a ≠ 2.5b, 5b, 0 .‬ג‪.‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪a n = ( − 1) n i‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬מרכז ) ‪ ; ( 2R,0‬רדיוס ‪ R‬ב‪t = R , y 2 = 8RX .‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬ס"מ ‪ R = 5.47‬ב‪∢A = 113.0350 ,∢B = 27.1910 ,∢D = 39.7740 .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬הוכחה ב‪α = 750 .‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬הוכחה ב‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. i .7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪ .ii‬א( ‪ x ≠ 0‬ב( אין‬
‫ג( ‪(1, e ) min‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ד( עולה‪ , 1 < x :‬יורדת‪( x < 0 ) ∪ ( 0 < x < 1) :‬‬
‫ה( אין‬
‫ו( קעורה כלפי מעלה בכל תחומה‪.‬‬
‫ז( אנכית‪) x = 0 :‬מצד ימין‪ .‬משמאל זהו "חור"(‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫‪y‬‬
‫גרף‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ 0 ≤ x < π ∪ π < x ≤ 2π .‬ב‪ (0, 0), (2π , 0) .‬ג‪. x = π .‬‬
‫ד‪. min ep (0, 0) , max ep (2π ,0) .‬‬
‫ה‪ .‬עולה בכל תחום הגדרתה‪0 ≤ x < π ∪ π < x ≤ 2π ,‬‬
‫ו‪ .‬תחום חיובי‪ , 0 < x < π :‬תחום שלילי‪. π < x < 2π :‬‬
‫‪ .9‬הוכחה‪.‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪yuni@yuni.co.il :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬