RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike
6.1 a) Pyörimisliikkeessä kappale pyörii jonkin akselin ympäri. Kappaleen asento muuttuu.
b) Ympyräliikkeessä kappale liikkuu pitkin ympyrärataa.
c) Hetkellinen kulmanopeus ω on kiertokulman φ muutosnopeus ω =
dϕ
.
dt
d) Hetkellinen kulmakiihtyvyys α on kulmanopeuden ω muutosnopeus α =
dω
.
dt
e) Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleen ratanopeuden suuruus pysyy vakiona, mutta
nopeuden suunta muuttuu.
f) Normaalikiihtyvyyden lauseke on an =
v2
= ω 2 r , jossa v on kappaleen nopeus, r
r
liikeradan säde ja ω kappaleen kulmanopeus. Normaalikiihtyvyyden suunta on kohti
ympyräradan keskipistettä. Normaalikiihtyvyys kuvaa kappaleen nopeuden suunnan
muutosta.
g) Tangenttikiihtyvyys at = rα, jossa r on kappaleen liikeradan säde ja α kappaleen
kulmakiihtyvyys. Tangenttikiihtyvyys kuvaa kappaleen nopeuden suuruuden muutosta.
h) Kokonaiskiihtyvyys on normaalikiihtyvyyden ja tangenttikiihtyvyyden vektorisumma.
Koska tangenttikiihtyvyys ja normaalikiihtyvyys ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan,
kokonaiskiihtyvyys saadaan Pythagoraan lauseella.
6.2 Karusellin säde on r = 5,2 m ja kierrosaika T = 1,8 min.
Maijaan vaikuttaa maan vetovoima G , karusellin istuimen
tukivoima N1 ylöspäin sekä tukivoima N 2 karusellin
keskelle.
Voimakuvio
Dynamiikan peruslain ∑ F = ma mukaan Maijan liikeyhtälö on
G + N1 + N 2 = ma .
Tarkastellaan x- ja y-suuntaisia komponentteja.
x: N 2 = max
y: −G + N1 = ma y = 0
Koska Maija liikkuu vaakatasossa x-suunnassa, on a y = 0 .
Maija kiertää tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sillä on normaalikiihtyvyys
a n=
v2
, joka on x-suunnassa.
r
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
Siten N 2 = m
1. painos
2(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
v2
.
r
Koska karuselli liikkuu tasaisesti, Maijan kulkema matka s = vt . Siten Maijan
s
t
ratanopeus on v = =
2π r
.
T
Tukivoima N2 on
v2
= m
N2 = m
r
(
2π r 2
)
4π 2 mr
T
.
=
r
T2
Sijoitetaan lukuarvot
N2 =
4π 2 ⋅ 35 kg ⋅ 5,2 m 4π 2 ⋅ 35 kg ⋅ 5,2 m
=
= 0,6160 N ≈ 0,62 N.
(1,8 min) 2
(1,8 ⋅ 60 s) 2
Vastaus: Voima on 0,62 N.
6.3 – Heilahduksen ääripisteissä kappaleen nopeus on nolla, joten normaalikiihtyvyys on
nolla. Kappaleella on ainoastaan tangenttikiihtyvyyttä.
– Ääripisteen ja alakohdan välillä kappaleen suunta ja nopeus
muuttuvat. Siksi kappaleella on sekä normaalikiihtyvyyttä että
tangenttikiihtyvyyttä. Tangenttikiihtyvyys on pienempi kuin
ääriasennossa, sillä nopeus ei muutu niin paljon.
– Alhaalla kappaleella on vain normaalikiihtyvyyttä, sillä
kappaleeseen vaikuttaa vain pystysuunnassa voimia. Kiihtyvyys suuntautuu ylöspäin,
koska kappaleen liikesuunta kääntyy sinne päin. Normaalikiihtyvyyden suurus on
suurin, sillä kappaleen nopeus on suurin ala-asemassa.
6.4 a) Havaintopisteet
Havaintopisteiden kautta sovitettu käyrä:
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
b) Kierrosten lukumäärä saadaan graafisella integroinnilla.
Kuviosta saadaan ensin graafisella integroinnilla kappaleen
kiertymä (pyörimiskulma), josta saadaan kierrosten
lukumäärä.
Kokonaisia ruutuja on 49 kpl ja vajaita 16, ruutuja yhteensä
49 + 8 = 57.
Yhden ruudun pinta-ala on 0,5 s ⋅ 0,5
rad
= 0,25 rad.
s
Pyörimiskulma on φ = 57 · 0,25 rad = 14,25 rad.
Yksi kierros on radiaaneina 1 r = 2π rad, joten 14,25 rad on
N=
ϕ
14,25 rad
=
= 2,2680 kierrosta ≈ 2,3 kierrosta.
2π
2π rad
c) Keskikulmakiihtyvyys on α k =
Δω
.
Δt
Kuvion mukaan
ω (0 s) = 1, 7
rad
rad
ja ω (5 s) = 0,9
.
s
s
Siten keskikulmakiihtyvyys on
αk =
0,9
rad
rad
− 1,7
s
s = –0,16 rad .
s
5,0 s − 0 s
d) Kulmakiihtyvyys hetkellä 4,0 s saadaan tangentin
kulmakertoimesta.
Vastaus:
b) Kierroksia on 2,3.
c) Keskikulmakiihtyvyys on – 0,16
rad
.
s
d) Kulmakiihtyvyys hetkellä 4,0 s on −1,1
rad
.
s2
6.5 Vauhtipyörän pyörimisnopeus on n = 320 RPM,
kiihdytysaika t = 10,3 s, jarrutusaika 7,5 min ja se
pyörii yhteensä 3500 kierrosta.
Tapa 1:
Koska pyörään vaikuttaa vakiomomentti, pyörä on
tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä. Kun
kulmanopeus on aluksi nolla, on
ω = ω0 + α t = α t .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
3(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Siten kulmakiihtyvyys on
α=
ω
t
ja kiertymä
1
2
1
2
ϕ = ω0 t + α t 2 = α t 2 =
1ω 2 1
⋅ t = ωt .
2 t
2
Kulmanopeuden ja pyörimisnopeuden välillä on yhteys ω = 2πn .
Kiertymä kiihdytyksessä
1
2
1
2
1
2
ϕ = ωt = ⋅ 2π ⋅ n ⋅ t = ⋅ 2π ⋅ 320
1
⋅10,3 s = 172,5782 rad
60 s
Kiertymä jarrutuksessa
1
2
ϕ = ⋅ 2π ⋅ 320
1
⋅ 7,5 ⋅ 60 s = 7539,8224 rad
60 s
Kierroslaskuri näytti 3500 kierrosta, joka on kulmana
3500 ⋅ 2π rad = 21991,1486 rad.
Tasaiseen vaiheeseen jää
21991,1486 rad – 7539,8224 rad – 172,5782 rad = 14278,748 rad.
Koska yksi kierros on 2π radiaania, kierroksia on
14278,748 rad
= 2272,5333.
2π rad
Jos kierrosnopeus on 320 RPM, kuluu 2272,53333 kierrokseen aikaa
2272,533
min = 7,1017 min.
320
Yhteensä: 7,1017 min + 7,5 min + 10,3 s = 14,7734 min ≈ 14,8 min
Tapa 2:
Koska pyörään vaikuttaa vakiomomentti, pyörä on tasaisesti kiihtyvässä
pyörimisliikkeessä. Tällöin voidaan kiertymät laskea myös keskikulmanopeuden
avulla.
ϕ = ωk t =
ω1 + ω2
2
⋅t
Kiertymä kiihdytyksessä
ϕ =
0 + 2π ⋅ 320
2
1
60 s ⋅10,3 s = 172,5782 rad
Kiertymä jarrutuksessa
ϕ=
1
+0
60 s
⋅ 7,5 ⋅ 60 s = 7539,8224 rad
2
2π ⋅ 320
Vastaus: Vauhtipyörä on pyörinyt 14,8 min.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
6.6 a) Oikein, sillä kappaleen nopeusvektori on ratakäyrän tangentin suuntainen ja siten
kohtisuorassa ympyräradan sädettä vastaan.
b) Väärin, sillä ympyräradalla kappaleella on normaalikiihtyvyyttä.
c) Väärin, sillä tasaisesti kiihtyvässä ympyräliikkeessä kappaleen tangenttikiihtyvyys on
vakio, mutta ratanopeus muuttuu koko ajan, jolloin myös normaalikiihtyvyys muuttuu.
d) Oikein, sillä kappaleen tangenttikiihtyvyys ja ratakiihtyvyys eivät riipu toisistaan.
e) Väärin, sillä jos kappaleella on tangenttikiihtyvyyttä, sen kiihtyvyys ei
suuntaudu kohti keskipistettä. Tällöin myöskään kokonaisvoima ei
suuntaudu kohti radan keskipistettä.
f) Oikein, sillä jos tangenttikiihtyvyys on
kovin suuri, kokonaiskiihtyvyys on
likimain vastakkaissuuntainen
nopeusvektorille.
6.7 Kaarevuussäde on r = 280 m, auton alkunopeus v0 = 72 km/h ja
loppunopeus v = 63 km/h sekä aikaväli t = 6,7 s.
a) Kiihtyvyys on a = at + an .
Tangenttikiihtyvyys
Kun auto kulkee rataympyrällä tasaisesti hidastaen, sen
ratanopeus on
v = v0 + at .
Ratkaistaan nopeuden lausekkeesta ratakiihtyvyys a
a=
v − v0
.
t
Ratakiihtyvyys a = at, joten
v − v0
at =
=
t
(
63 m 2
72 m 2
) −(
)
m
m
3,6 s
3,6 s
= –13,9925 2 ≈ –14,0 2 .
6,7 s
s
s
Normaalikiihtyvyys
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
6(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
alussa
72 m 2
)
m
3, 6 s
an =
= 1,4286 2
s
280 m
(
lopussa
63 m 2
)
m
3, 6 s
an =
= 1,0938 2
s
280 m
(
Kiihtyvyys alussa
Kiihtyvyyden suuruus
a = at2 + an2 =
13,99252 + 1,42862
m
m
m
= 14,0652 2 ≈ 14,1 2 .
2
s
s
s
Kiihtyvyyden suunta
tan β =
at −13,9925
=
1, 4286
an
β = –84,1704° ≈ –84,2°.
Kiihtyvyys lopussa
Kiihtyvyyden suuruus
a = at2 + an2 =
13,99252 + 1,09382
m
m
m
= 14,0352 2 ≈ 14,0 2 .
2
s
s
s
Kiihtyvyyden suunta
tan β =
at −13,9925
=
1, 0938
an
β = –85,5303° ≈ –85,5°.
b)
6.8 a) Lentäjän nopeus alimmassa on kohdassa v1 = 1500 km/h.
Lentäjään vaikuttaa painovoima G ja sen lisäksi istuimen
tukivoima N . Kun oletetaan, että koneella ei ole tangenttikiihtyvyyttä tarkasteltavissa
pisteissä, suuntautuvat tukivoimat N1 ja N 2 kuvion mukaisesti.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
7(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
b) Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma .
Yhtälöstä saadaan skalaarimuotoinen, kun otetaan huomioon kuviossa esitetty
positiivinen suunta
N1 − G = ma .
Koska alaosassa lentäjään ei vaikuta liikkeen suuntaisia voimia, kiihtyvyys on
normaalikiihtyvyys an =
N1 − mg = m
v2
ja paino G = mg, saadaan
r
v12
.
r
Ratkaistaan säde r
r=
=
mv12
mv12
v2
=
= 1
N1 − mg 9mg − mg 8 g
1500 m 2
km 2
(
)
)
3,6 s
h
=
= 2212,17 m ≈ 2200 m.
m
m
8 ⋅ 9,81 2
8 ⋅ 9,81 2
s
s
(1500
Vastaus: b) Säde on vähintään 2 200 m.
6.9 Alkunopeus on v0 = 11,7 m/s, loppunopeus v = 3,7 m/s, nopeus v1 = 6,2
m/s, kulma φ = π rad ja radan säde r = 52 m.
Kiihtyvyys on a = at + an
Normaalikiihtyvyys
v2
an = 1 =
r
m 2
)
m
s
= 0,7392 2
52 m
s
(6, 2
Tangenttikiihtyvyys
Kun auto kulkee rataympyrällä tasaisesti hidastaen sen nopeus ja kuljettu matka ovat
v = v0 + at
1
s = v0 t + at 2 .
2
Ratkaistaan nopeuden lausekkeesta aika t ja sijoitetaan se matkan lausekkeeseen
t=
v − v0
a
s = v0
v − v0 1 v − v0 2
+ a(
) .
2
a
a
s = v0
v − v0 1 v 2 − 2vv0 + v0 2
+
a
2
a
Kerrotaan puolittain 2a:lla.
2as = 2v0 v − 2v0 2 + v 2 − 2vv0 + v0 2
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
8(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
eli
2as = v 2 − v0 2 ,
josta
a=
v 2 − v0 2
.
2s
Tapa 2 ratkaista kiihtyvyys:
Koska tasaisesti hidastuva liike, kuljettu matka voidaan laskea keskinopeuden avulla.
s = vk t =
v0 + v
t
2
Toisaalta s = ϕ r , joten
ϕr =
v0 + v
t.
2
Ratkaistaan aika t
t=
2ϕ r
.
v0 + v
Kiihtyvyys
a=
Δv v − v0 v 2 − v0 2
=
=
.)
2ϕ r
Δt
2ϕ r
v0 + v
Nyt ratakiihtyvyys a = at ja kuljettu matka s on s = ϕ r ,
siten
v 2 − v0 2
at =
=
2ϕ r
(3, 7
m 2
m
) − (11, 7 ) 2
m
s
s
= –0,3771 2 .
s
2 ⋅ π ⋅ 52 m
Kiihtyvyyden suuruus on
a = at2 + an2 =
0,37712 + 0, 73922
m
m
m
= 0,8298 2 ≈ 0,83 2 .
s2
s
s
ja kiihtyvyyden suunta
tan β =
at −0,3771
=
an
0, 7392
β = –27,0282° ≈ –27,0°.
Vastaus: Ratakiihtyvyys on 0,83
m
ja suunta 27,0°.
s2
6.10 Ympyräradan säde on r = 30 m, kierrosaika T = 33,5 s, auton massa m1 = 1080 kg ja
moottorikelkan massa m2 = 380 kg.
Renkaan ja jään välinen liukukitkakerroin on μ1 = 0,090, ja
moottorikelkan ja jään välinen liukukitkakerroin on μ2 = 0,20.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
9(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Autoon vaikuttaa paino G , pinnan tukivoima N ja kitkavoima
Fμ .
Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä
( an =
v2
). Kiihtyvyyden aiheuttaa lepokitkavoima Fμ s .
r
Newtonin II lain mukaan
ΣF = ma .
Valitaan positiiviset suunnat.
Tarkastellaan voimia x- ja y-suunnassa.
y: 0 = N – G
N = G = m1g
x: Fμ s = m1an
Rajatapauksessa kitka on
Fμ s = Fμ s ,max = μ s N = μ s m1 g .
Normaalikiihtyvyys on
an = rω 2 = r (
2π 2
) .
T
Siten x-suunnan yhtälöstä saadaan
μ s m1 g = m1r (
2π 2
)
T
Ratkaistaan kitkakerroin
μs =
30 m
2π 2
r 2π 2
(
) = 0,108 = 0,11.
( ) =
m
g T
9,81 2 33,5 s
s
b) Törmäyksen jälkeen autoon vaikuttaa paino G1 , alustan tukivoima N1 ja kitkavoima
Fμ1 . Kelkkaan vaikuttaa voimat paino G2 , alustan tukivoima N 2 ja kitkavoima Fμ 2 .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
10(10)
6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Auton ja kelkan törmäyksessä liikemäärä säilyy
m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u .
Kelkan alkunopeus v2 on nolla ja sovitun positiivisen suunnan mukaisesti saadaan
skalaariyhtälö
m1v1 = (m1 + m2 )u .
Ratkaistaan loppunopeus
u=
m1v1
.
m1 + m2
Liukumatkan aikana kitkavoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin systeemin liikeenergian muutos. Energiaperiaatteesta seuraa
−( Fμ1 + Fμ 2 ) s = ΔEk
1
−( Fμ1 + Fμ 2 ) s = − (m1 + m2 )u 2
2
Sijoitetaan loppunopeuden lauseke
( Fμ1 + Fμ 2 ) s =
(m1v1 ) 2
1
(m1 + m2 )
2
(m1 + m2 ) 2
( Fμ1 + Fμ 2 ) s =
1 (m1v1 ) 2
2 m1 + m2
Ratkaistaan matka s
−( Fμ1 + Fμ 2 ) s =
s=
1 (m1v1 ) 2
2 m1 + m2
1 (m1v1 ) 2
1
⋅
⋅
2 m1 + m2 ( μ1m1 + μ2 m2 ) g
m
(1080 kg ⋅ 4,72 ) 2
1
1
s ⋅
s= ⋅
= 5,2376 m ≈ 5,2 m.
2 1080 kg + 380 kg (0,090 ⋅1080 kg + 0,20 ⋅ 380 kg) ⋅ 9,81 m
s2
Vastaus:
a) Kitkakerroin on 0,11.
b) Matka on 5,2 m.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät