761111P PERUSMEKANIIKKA, Syksy 2015, Laskuharjoitus 6

761111P PERUSMEKANIIKKA, Syksy 2015, Laskuharjoitus 6
Laskujen viimeinen näyttöpäivä on to 22.10. Joidenkin laskujen numeron perässä oleva numero
viittaa oppikirjan 13. laitoksen tehtävänumeroon.
1. (9.21) Halkaisijaltaan
dellä
2
3.00 rad/s
40.0 cm
pyörä alkaa pyörimään levosta tasaisella kulmakiihtyvyy-
. Laske radiaalikiihtyvyys hetkellä jolloin pyörä on pyörähtänyt kaksi koko-
naista kierrosta
arad = ω 2 r
kaavaa arad = v 2 /r .
a) käyttäen kaavaa
b) käyttäen
2. (9.18) Vanhassa 1800-luvun hotellissa oleva hissi on yhdistetty vastapainoon kaapelilla, joka
kulkee
2.5 m
halkaisijaisen pyörivän kiekon ympäri. Hissiä nostetaan ja lasketaan pyörittä-
mällä kiekkoa, ja kaapeli ei veny tai lipsu pyörän pyöriessä.
a) Mikä on kiekon nopeus yksiköissä
rpm
jotta hissi nousisi nopeudella
b) Jotta hissi lähtisi liikkeelle, sen kiihtyvyyden täytyy olla vähintään
löin olla kiekon kulmakiihtyvyys yksiköissä
25.0 cm/s?
g/8. Mikä täytyy
täl-
rad/s2 ?
c) Kuinka paljon pyörän pitää pyörähtää kulmayksiköissä jotta hissi nousisi yhden kerrosvälin,
3.25 m?
3. (9.40) Ohutseinäisen onton pallon massa on
8.20 kg ja säde on 0.220 m. Pallo on alunperin
levossa ja alkaa pyörimään keskipisteen kautta kulkevan kiinteän akselin ympäri vakiokulmakiihtyvyydellä
0.890 rad/s2 .
Mikä on pallon kineettinen energia kun se on pyörinyt
kierrosta?
1
6.00
4. (9.87) Kaksi pyöreää metallilevyä on hitsattu yhteen ja kiinnitetty kitkattomasti pyörivään akseliin, joka kulkee levyjen keskipisteiden kautta (kts. kuva). Pienemmän levyn säde on
R1 = 2.50 cm
m2 = 1.60 kg.
ja massa
m1 = 0.80 kg.
Suuremman levyn säde
R2 = 5.00 cm
ja massa
a) Laske kiekkojen yhteinen hitausmomentti.
b) Kevyt naru on kierretty pienemmän kiekon ympärille ja siihen on ripustettu
nus. Kun punnus vapautetaan levosta
2.00 m
1.50 kg
pun-
lattian yläpuolella, mikä on punnuksen vauhti
juuri ennen sen osumista lattiaan?
c) Toista edellinen lasku niin, että naru on kierretty isomman kiekon ympärille. Miksi loppuvauhti on nyt suurempi?
5. (10.31) Karusellin säde on
2.40 m
ja hitausmomentti
2100 kgm2
keskipisteen kautta
kulkevan kitkattoman vertikaalisen akselin ympäri.
a) Nassikka kohdistaa karuselliin tangentiaalisessa suunnassa
18.0 N voiman 15.0 s ajan. Jos
karuselli oli aluksi levossa, niin mikä on nyt sen pyörimisnopeus?
b) Kuinka paljon nassikka teki työtä karuselliin?
c) Mikä oli keskimääräinen teho?
6. (10.52) Vuonna 2003 löydettiin aurinkokunnan ulko-osista kappale, joka sai nimekseen Sedna. Sednan halkaisija on n.
1700 km, kierros Auringon ympäri kestää noin 10 500 vuot4.64 km/s. Havaintojen ja laskelmien mukaan Sednan rata on
hyvin elliptinen, minimietäisyys Auringosta on 76 AU ja maksimietäisyys 942 AU, missä
1 AU = 1.496 × 108 km, Maan keskietäisyys Auringosta.
ta ja suurin ratanopeus on
a) Mikä on Sednan miniminopeus?
b) Missä ratansa pisteessä minimi- ja maksiminopeudet tapahtuvat?
c) Mikä on Sednan kineettisen energian maksimi- ja minimiarvojen suhde?
2
2
7. (10.80) Yhtenäinen marmorikuula (hitausmomentti 5 M R2 ) vierii ilman liukumista oheisen
kuvan mukaista reittiä lähtien levosta.
a) Määritä mäen minimikorkeus
h
jotta kuula ei joutuisi kuoppaan (pit)
b) Kuulan hitausmomentti riippuu sen säteestä. Selitä miksi kohdan a) vastaus ei riipu kuulan
säteestä.
c) Ratkaise a)-kohdan ongelma laatikolle, joka liukuu mäkeä pitkin ilman kitkaa. Miten mäen
minimikorkeus
h
suhtautuu a)-kohdassa saatuun tulokseen ja mikä on syynä (mahdolliseen)
eroon?
Vinkkejä ja vastauksia:
1. molemmilla tavoilla
2. a)
3.
1.91 rpm,
b)
15.1 m/s2 .
0.980 rad/s2 ,
c)
2.60 rad = 149◦
8.88 J.
4. a)
2.25 × 10−3 kgm2 ,
5. a)
0.309 rad/s,
b)
6. a)
0.374 km/s,
b) vinkki: jokin suure säilyy, c)
7. a)
22.7 m,
b)
100 J,
3.40 m/s,
c)
c)
4.95 m/s.
6.67 W.
b) selitetään laskareissa, c)
16.2 m.
3
154.