Jakso 4: Pyörivän kappaleen dynamiikkaa

Jakso 4: Pyörivän kappaleen dynamiikkaa
Tämän jakson tehtävät on näytettävä tai palautettava viimeistään keskiviikkona 19.8.2015.
T 4.1 (pakollinen): a) Umpinainen pallo (massa m, säde R) pyörii akselinsa ympäri
kulmanopeudella ω. Mikä on pallon kineettinen energia? Mikä on pallon liikemäärämomentti
pyörimisakselin suhteen?
b) Tämä sama pallo vierii vaakasuoralla tasolla. Kulmanopeus on edelleen ω. Mikä on nyt pallon
kineettinen energia?
c) Asetetaan tämä sama pallo kaltevalle tasolle, jonka kaltevuuskulma on θ. Pallo lähtee levosta ja
vierii kitkattomasti matkan s. Kirjoita energian säilymisyhtälö eli potentiaalienergia alussa +
kineettinen energia alussa = potentiaalienergia lopussa + kineettinen energia lopussa. Ratkaise tästä
yhtälöstä pallon kulmanopeus lopussa.
T 4.2 (pakollinen): Ympyrälevy, jonka massa on M ja säde R, pääse pyörimään kitkattomasti
vaakasuoran akselin ympäri. Levyn reunaan vaikuttaa voima F, joka on kohtisuorassa sädettä
vastaan.
a) Määritä ympyrälevyn kulmakiihtyvyys.
b) Toinen voima, joka on myös kohtisuorassa sädettä vastaan mutta voimalle F
vastakkaissuuntainen, alkaa vaikuttaa ympyrälevyyn puolen säteen päässä levyn keskipisteestä.
Kuinka suuri tämän voiman tulee olla, että levyn kulmakiihtyvyys olisi nolla?
F
R
T 4.3: Tasapaksu ympyrälevy, jonka massa on m ja säde R, on kiinnitetty keskipisteen kautta levyn
läpi kulkevaan vaakasuoraan akseliin. Pieni esine, jonka massa on myös m, kiinnitetään levyn
reunaan. Jos levy vapautetaan levosta siten, että pieni esine on samalla korkeudella kuin akseli,
mikä kulmanopeus levyllä on, kun pieni esine on suoraan akselin alapuolella. (Käytä energian
säilymisperiaatetta.)
T 4.4: Auto liikkuu nopeudella 90 km/h, kun siitä irtoaa pölykapseli, joka alkaa vieriä ylös mäkeä
(kaltevuuskulma on 10o). Kuinka kauas pölykapseli pääsee ennen kuin pysähtyy? Oleta pölykapseli
tasapaksuksi ympyrälevyksi ja jätä vierimiskitka huomiotta.
T 4.5: Alla olevan kuvan mukaisessa systeemissä kappale (massa 2,0 kg) liukuu pitkin kitkatonta
tasoa, jonka kaltevuuskulma on 53o. Kappale on kiinnitetty köyteen, joka pyörittää väkipyörää,
jonka säde on 0,50 m ja massa 4,0 kg. Oleta väkipyörä tasapaksuksi levyksi. Määritä liukuvan
kappaleen kulmakiihtyvyys.
53o
T 4.6: Liikemäärämomentin säilymistä voi tutkia alla olevan kuvan mukaisella systeemillä. Siinä on
langan toiseen päähän kiinnitetty pieni esine, jonka tässä voidaan ajatella olevan pistemäinen.
Lanka pujotellaan ohuen putken läpi. Esine laitetaan pyörimään vaakasuoraa ympyrärataa pitkin.
Langan alapäästä pidetään kiinni, jotta esine pysyisi ympyräradalla.
Aluksi, kun pyörimissäde on 15 cm, esine pyörii 22 kierrosta 10 sekunnissa.
a) Mikä on esineen kulmanopeus, kun pyörimissäde lyhennetään 10 senttimetriin?
b) Miksi liikemäärämomentti säilyy, vaikka langan alapäästä vedetään, jolloin esine kokee voiman
radan keskipistettä kohden?
T 4.7: Moottori pyörittää vauhtipyörää (säde R1), joka taas pyörittää hihnan avulla pumppua
käyttävää vauhtipyörää (säde R1). Moottorin vauhtipyörän kulmanopeus on ω1, jolloin hihnan
yläpuolella on jännitys T ja alapuolella jännitys T’. Oleta, että hihna on massaton.
a) Mikä on pumpun vauhtipyörän kulmanopeus?
b) Määritä on hihnan aiheuttama voiman momentti molemmille vauhtipyörille.
c) Määritä moottorin hihnalle syöttämä teho ja hihnan pumpulle syöttämä teho käyttäen voiman
momentteja. Ovatko nämä tehot yhtä suuria?
Jakso 4: Vastaukset
T 4.3:
4g
3R
T 4.4: 275 m
T 4.5: 7,8 rad/s2
T 4.6: 31 rad/s
T 4.7: a)
, b)
,
c)
,