Kære selvstuderende i hf matematik B Herunder ser du et

Kære selvstuderende i hf matematik B
Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.
Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses til sidst.
Link til fagets læreplan:
www.uvm.dk. Det er undervisningsministeriets hjemmeside og her skal du gå ind
under Uddannelser og dagtilbud og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannelser. Vælg så Studieretninger og fag, hfe , Læreplaner og til sidst Matematik B
under de nye læreplaner. (Klik evt. her:
http://uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale-uddannelser/Fag-oglaereplaner/Fag-paa-hf/Matematik-hf)
Vær opmærksom på at den mundtlige eksamen "skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver". I den forbindelse er vedhæftet tre oplæg til rapporter, der
kan inddrages i den mundtlige eksamination i visse spørgsmål.
Til den mundtlige eksamen bedømmes din udarbejdede rapport ikke.
Det er nødvendigt, at du har et cas-værktøj. Det kan være grafregneren TI-nSpire eller et tilsvarende værktøj, der kan udføre såkaldt ”symbolsk manipulation”.
Bemærk at vi har en hold-side på Fronter. Kig endelig på den (vores rum hedder
s1mab005V14/15)!
Her kan du f.eks. finde lektionsnoter, løsninger til opgaver, TI-nSpire vejledninger
mm.
Der vil også komme forskellige praktiske oplysninger som eksamensdatoer mv.
Husk du kan få en times vejledning med mig. Men lav en aftale i god tid.
Jeg kan kontaktes på mailadressen: sish@kvuc.dk
Med venlig hilsen
Siavash Sharifi
1
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende
Hvis du ønsker ændringer, skal det godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen) /
1. november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder.
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser:
Termin
Kursusår sommer 2015, Maj – Juni 2015
Institution
414 Københavns VUC
Uddannelse
HF-e
Fag og niveau
Matematik B
Selvstuderende
Eksaminator
Siavash Sharifi
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1
Geometri
Titel 2
Vækstmodeller og regression
Titel 3
Polynomier
Titel 4
Differentialregning
Titel 5
Integralregning
Titel 6
Statistik
Titel 1
Indhold
Geometri
Kernestof:
Emner:
 Trekanter, herunder ensvinklede trekanter
 Retvinklede trekanter, herunder cosinus, sinus og tangens
 Vilkårlige trekanter, herunder sinus- og cosinusrelationerne
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 6: Geometri (side 212228, og side 252-255)
samt
Lektionsnoter om geometri (9 sider), bevis for ensliggende vinkler (5 sider),
bevis for Pythagoras' sætning (5 sider) samt et resumé over trigonometriske
metoder (2 sider).
Tillæg om vilkårlige trekanter (Side 296-307) fra bogen Vejen til Matematik C
hentet som fri pdf-fil fra forlaget HAX’ hjemmeside (www.hax.dk).
Rapportopgave /Skriftlig fremstilling:.



At træne i skriftlig fremstilling og redegørelser
At tilegne sig færdigheder i at bevise geometriske sætninger og overskue
geometriske konstruktioner
At beherske og forstå principperne for vilkårlige trekanter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede individuelle og
grupperapporter.
Omfang
Anvendt uddannelsestid: 18 lektioner
Særlige
fokuspunkter
Kompetencer og Faglige mål:
 Kunne anvende simple geometriske modeller og løse simple
geometriske opgaver
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
Progression:
 Træning i geometriske bevisførelser vha. simple sætninger (topvinkler,
vinkelsum i en trekant) afsluttet med bevis for sinus- og
cosinusrelationerne.
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper.
Skriftlige hjemmeopgaver samt en afsluttende
skriftlig rapport og temaopgaver om et emne (bestemmelse af højder, afstande
og vinkler) inden for geometri og trigonometri
Titel 2
Indhold
Vækstmodeller og regression
Kernestof:
Emner:
 Overgang fra C- til B-niveau
 Den absolutte og relative tilvækst, fremskrivningsfaktor og renteformel
 Funktionsbegrebet
 Matematiske modeller (Modeller formet efter lineære, eksponentielle og
potensfunktioner)
 Beviser for formler tilhørende de tre vækstmodeller
 Bevis for logaritmeregneregler
 Eksempler på matematiske modeller
 Anvendelse af CAS-værktøj (Geogebra og nSpire)
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 1: Funktioner (side 1160, og side 237-246)
samt
Lektionsnoter om funktioner – sammenhænge mellem variable (20 sider).
Lektionsnoter om eksponentielle funktioner (16 sider)
Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider).
Lektionsnoter om potensfunktionerfunktioner (13 sider)
Emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet i en større
sammenhæng, eksempelvis i en simpel naturvidenskabelig kontekst.
 At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i

modellerings øjemed
At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede afleveringsopgaver.
Omfang
Anvendt uddannelsestid: 30 lektioner
Særlige
fokuspunkter
Kompetencer og Faglige mål:
 At have en forståelse for ovennævnte emner og kunne anvende de
tilegnede koncepter og færdigheder i matematiske opgaver
Væsentligste
arbejdsformer
Titel 3
Indhold
Progression:
Kravene til kursisternes matematiske tankegang og forståelse er gradvist blevet
større, og matematiske ræsonnementer og beviser er blevet introduceret.
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper.
Skriftlige hjemmeopgaver samt gruppearbejde.
Andengradspolynomier
Kernestof:
Emner:
 Polynomiumbegrebet
 Andengradspolynomier
 Bevis for toppunktsformel
 Bevis for rødder i andengradspolynomier
 Bevis for røddernes sum og produkt
 Andengradspolynomiers faktorisering
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 1:
Andengradspolynomier (side 62-74, og side 246-252).
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om
andengradspolynomier
 At træne i at løse andengradsligninger, der ofte forekommer i
naturvidensskaber og økonomiske beregninger
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Anvendt uddannelsestid: 15 lektioner
Kompetencer og Faglige mål:
 Andengradspolynomiet
 Andengradsligninger
 Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
 Anvendelse af CAS-værktøj (Nspire og Geogebra)
Progression:
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
 Matematisk brug af CAS-værktøj
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver
Titel 4
Indhold
Differentialregning
Kernestof:
Emner:
 Differentialregning – teori og anvendelser
 Naturlig eksponential- og logaritmefunktion
 Anvendelse af CAS-værktøj
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 2: Differentialregning
(side 84-129).
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om
differentialregning
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter,
som det vrimler i naturvidenskaberne.
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner
Kompetencer og Faglige mål:
 At forstå sammenhængen mellem naturvidenskaberne og matematikken.
 Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
Progression:
 Større forståelse for matematikkens anvendelse på nye områder
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper
Titel 5
Indhold
Integralregning
Kernestof:
Emner:
 Stamfunktioner og bestemte integraler
 Arealberegning ved hjælp af integraler
 Anvendelse af CAS-værktøj
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 3: Integralregning (side
132-142).
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om
integralregning
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter,
som ofte forekommer i naturvidenskaberne eller i beregninger i
ingeniørvidenskaber og mange andre steder herunder i økonomien.
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Anvendt uddannelsestid: 15 lektioner
Kompetencer og Faglige mål:
 Forstå sammenhængen mellem naturvidenskaberne og matematikken.
 Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
Progression:
 Større forståelse for matematikkens anvendelse på nye områder
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper
Titel 6
Indhold
Statistik
Kernestof:
Emner (Overgang fra C- til B-niveau):
 Ugrupperede og grupperede observationer
 Prikdiagram, stolpediagram, histogram og sumkurve
 Statistiske deskriptorer
 Kvartilsæt og boksplot
 Kvartilsæt og sumkurve





Grundbegreber i sandsynlighedsregning
Binomialfordeling og -test
Stikprøver
Chi2 -fordeling/-test
Anvendelse af CAS-værktøj
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik
for
hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 5: Statistik (side 178178).
K. E. Nielsen og E. Fogh: Vejen til Matematik B2, 2. udgave, hax, 2011:
Sandsynlighed og statistik ss. 129-177 om -fordeling og -test
samt
Lektionsnoter om statistik (29 sider)
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner
Kompetencer og Faglige mål:
 Hvad statistik er og den kan bruges til
 Formidle statistiske resultater i almindeligt sprog
 At lære hvad det vil sige at forkaste eller at acceptere en hypotese ved
hjælp af statistiske metoder og beregninger.
Væsentligste
arbejdsformer
Særlige
fokuspunkter
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 Hvad statistik er og den kan bruges til
 Formidle statistiske resultater i almindeligt sprog
Rapport om et emne inden for
geometri og trigonometri
Indledning
Formålet med dette ”miniprojekt” og det efterfølgende sæt af
temaopgaver er en analytisk dvælen ved, hvordan geometri og
trigonometri kan anvendes til at bestemme vinkler, højder og
afstande.
Redegørelser
A. Vinkeltyper
(1) Gør rede for, hvad der forstås ved topvinkler. Bevis deres
hovedegenskab.
(2) Forklar derefter, hvad der forstås ved ensliggende vinkler ved
to parallelle linjer. Hvilke egenskaber har de?
(3) Med udgangspunkt i dine redegørelser bevis nu, at vinkelsummen
i en trekant er lig med 180º.
(4) Gør rede for, at to ensvinklede trekanter er ligedannede.
Opstil en skalarelation mellem to ensvinklede trekanter.
B. Retvinklede trekanter
Gør kortfattet rede for, hvorledes man benytter Pythagoras’ sætning
samt sinus-, cosinus-, og tangensdefinitionerne til beregning af
afstande og højder i retvinklede trekanter.
C. Definition af sinus, cosinus og tangens
Forklar, af hvilken grund man indfører enhedscirklen. Forklar
tillige, hvordan man ud fra enhedscirklen definerer sinus, cosinus
og tangens til vinkler.
Tegn en enhedscirkel med de tilhørende akser (sinus-, cosinus- og
tangensaksen).
Giv også to konkrete eksempler med spidse og stumpe vinkler.
Eksempelvis med v = 35º og v = 255º.
Afmærk retningspunkterne for de to vinkler i enhedscirklen.
Tegn (på en separat figur) også de to standardtrekanter og de to
udvidede standardtrekanter, der svarer til disse vinkler. Og skriv
sidelængderne på.
D. Vilkårlige trekanter
Gør nu rede for, havd der forstås ved en vilkårlig trekant og
hvilke beregningsmetoder man benytter sig af til beregning af
afstande, højder og vinkler i vilkårlige trekanter.
8
Gør i detaljer og med figurer rede for, hvordan man beviser
sætningerne:
(1) Arealsætningen
(2) Cosinusrelationerne
Temaopgaver
I denne del af rapporten skal der indgås besvarelsen af
nedenstående opgaver (med en fornuftig og kort forklaring).
B (B = 90º og D = 90º)
Opgave 1
A
D
C
Gør rede for, at trekanterne ABC, ABD og BCD alle er ensvinklede og hermed
ligedannede.
Opstil skalarelationen mellem
(1)
ABC og
ABD
(2)
ABC og
BCD
(3)
ABD og
BCD.
Opgave 2
Det oplyses, at linjerne EB og DC på nedenstående figur er parallelle.
A
|AD|=11
E
|AB| = 4
7
B
9
D
C
a) Bestem længderne af siderne AC og DE.
b) Beregn vinkel D, når det oplyses, at højden fra A på siden DC har længden 5,09
c) Beregn arealet af trekanten ABE.
Opgave 3
Trekanterne ABC og DBC er retvinklede. Nogle af målene fremgår af figuren.
a)
b)
c)
d)
Beregn
Beregn
Beregn
Beregn
sidelængderne i trekanten DBC.
arealet af trekanten DBC.
sidelængderne AB og AC.
arealet af trekanten ABC.
9
Opgave 4
B
6,7
5,0
A
C
8,4
Figuren viser en vilkårlig trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af
figuren.
a) Beregn vinkel A.
b) Bestem arealet af trekanten ABC.
Højden fra B skærer siden AC i punktet D.
c) Bestem længden af CD.
d) Bestem længden af BD.
Rapport om polynomier
Indledning
Dette lille projekt består af to dele. I den første del skal du
skrive en kort teoretisk redegørelse om polynomier.
Anden del består af temaopgaver, som giver dig mulighed for at
udfolde dine regnetekniske færdigheder.
I må selv bestemme, om I vil udarbejde en grupperapport eller en
ren individuel fremstilling. Begge dele har sine egne fordele og
ulemper.
Men vær venligst opmærksom på, at antallet af gruppemedlemmer IKKE
må overstige 4. Jeg vil ikke tage imod rapporter fra grupper med
mere end 4 medlemmmer, og I vil få skriftligt fravær.
Redegørelser
(1) Gør rede for, hvad der skal forstås ved et polynomium. I din
redegørelse fremsæt 3 algebraiske udtryk, som er polynomier, og 3
som ikke er polynomier.
10
Forklar i få sætninger, at polynomier af ulige grad har mindst én
rod, men polynomier af lige grad kan have ”ingen rødder”.
(2) Fremsæt den generelle form (det generelle algebraiske udtryk)
for et andengradspolynomium. Gør rede for betydningen af
koefficienterne i udtrykket. Dernæst bestem toppunktets
koordinater.
(3) Hvad vil det sige at bestemme rødderne i et polynomium.
Efterfølgende find rødderne i et andengradspolynomium. Du skal
udlede formlen.
(4) Find produktet samt summen af de to rødder i et
andengradspolynomium.
Verificér ved hjælp af de fundne formler, at nedenstående regel for
faktoriseringen af et andengradspolynomium holder (x1 og x2 er
rødderne).
a.x2 + b.x + c = a(x – x1)(x – x2)
Temaopgaver
Opgave 1
Lad f(x) = a.x2 –1,5x + 5.
Spm. a) Bestem a således, at f har netop et nulpunkt.
Spm. b) Bestem a således, at toppunktets andenkoordinat er lig med 2.
----------------------------------------------------------Opgave 2
Betragt ligningen x2 +3x + 2 = a.x2 -5x + 1.
Spm. a) Bestem a, så ligningen har netop en løsning.
Spm. b) Bestem a, så ligningen ingen løsninger har.
----------------------------------------------------------Opgave 3
Funktionerne f og g er bestemt ved f(x) = −2x2−3x + 1 og g(x) = x −
5.
Spm. a) Bestem ved beregning eventuelle skæringspunkter mellem f og g.
Spm. b) Tegn graferne for f og g.
Spm. c) Aflæs skæringspunkterne mellem f og g.
----------------------------------------------------------11
Opgave 4
Parablen med ligningen y = 2x2 + bx + c har topunktet
(3, b/4).
Spm. a) Bestem b og c.
----------------------------------------------------------Opgave 5
En parabel går gennem punkterne (3, 0), (5, 12) og (-2, 5).
Spm. a) Bestem parablens ligning.
----------------------------------------------------------Opgave 6
Angiv fortegnet for a, b, c og d i hver af disse parablers
ligninger.
----------------------------------------------------------Opgave 7
Løs nedenstående ligninger.
12
----------------------------------------------------------Opgave 8
Spm. a) Konstruér en andengradsligning med rødderne –2 og 12.
Spm. b) Konstruér en andengradsligning med dobbeltroden –10.
Spm. c) Konstruér en andengradsligning uden rødder.
----------------------------------------------------------Opgave 9
En funktion f er givet ved f(x) = -x2 + 2x + 4.
Spm. a) Bestem værdimængden for f.
----------------------------------------------------------Opgave 10
Løs nedenstående ligninger.
a)log(3x2 – 3x - 35) = 0
b) (x2 – 7x + 12)(2x2 – x - 1) = 0
c) (4x + 3)2 - (x + 7)2 = (8x - 7)2 - (7x - 3)2
---------------------------------------------------
13
Rapport om differential- og
integralregning
Indledning
Dette lille afsluttende projekt består af to delprojekter. I den
første del skal du beskæftige dig med differentialregning.
Anden del omhandler integralregningen. Differential- og
integralregning er to af de smukkeste og mest anvendte kapitler i
matematikkens historie. Naturvidenskaberne er faktisk grundlagt på
disse to søjler.
Du får nu mulighed for at studere de to emner indgående og arbejde
projektorienteret med dem.
I må selv bestemme, om I vil udarbejde en grupperapport eller en ren
individuel fremstilling.
Men vær venligst opmærksom på, at antallet af gruppemedlemmer IKKE må
overstige 4. Jeg vil ikke tage imod rapporter fra grupper med mere
end 4 medlemmmer, og I vil få skriftligt fravær.
Differentialregning
(1) Definition af differentialkvotient
Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel
i et punkt x0 med differentialkvotienten f’(x0).
Forklaringen skal indeholde en grafskitse med sekanter og
tangent.
Giv også et (grafisk) eksempel på en funktion der ikke er
differentiabel i et punkt. Og forklar hvorfor den ikke er
differentiabel.
(2) Tretrinsreglen
Gør rede for tretrinsreglen og vis et eksempel på brugen af
tretrinsreglen.
Du kan f.eks. vælge at finde differentialkvotienten for
f( x)  x 2, eller f( x)  1/x eller f(x) = √x.
(3) Monotoniforhold
Forklar hvordan man kan finde monotoniforholdene for en
funktion ved hjælp af dens afledede funktion f’(x).
Find desuden monotoniforholdene og de lokale ekstrema for
funktionerne (CAS er kun tilladt til at løse 3.gradsligningerne. Lommeregner er
tilladt).
14
f (x)  x 3  6x 2  9x  2 og g (x)  x 3  6x 2  12x  5 og
h (x)  x 3  3x 2 8x 4
Tegn grafen for de tre funktioner.
Hvor mange vandrette tangenter kan et tredjegradspolynomium have?
Begrund dit svar.
---------------------------------------------------
Integralregning
(1) Stamfunktioner
Forklar hvad det vil sige at finde en stamfunktion til en
funktion f.
Hvad kan du sige om denne proces og processen at finde en
funktions afledede (differentiation)?
Forsyn din redegørelse med 3 eksempler. Et eksempel kan
være bestemmelsen af stamfunktionen til f(x) = 6.x-2 + e-2x.
(2) Sammenhængen mellem areal og stamfunktion
Gør rede for, hvad en arealfunktion er.
Efterføgende bevis, at det at bestemme stamfunktionen til
en funktion f(x) er det samme som at beregne arealet under
grafen for funktionen f(x).
Supplér dit bevis med løsningen af nedenstående opgaver.
(A) (CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt).
Givet funktionen f(x) = −x2 + x + 2. Bestem arealet af det
område, som er begrænset af grafen for f og x-aksen.
(B) (CAS er tilladt).
Givet funktionerne f(x) = −x2 + 8 og g(x) = 3 . 1,5x.
Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.
Bestem x-værdierne til skæringspunkterne mellem de to
grafer, og benyt det til at bestemme arealet af det område,
der er afgrænset af graferne.
---------------------------------------------------
15
Temaopgaver
Opgave 1. Bakteriekoloni
(CAS er tilladt).
I et laboratorieforsøg undersøges udviklingen i en
bakteriekoloni. Udviklingen kan beskrives ved modellen
f (t ) 
9560
1  4,6  e 0,09t
hvor f (t ) er antallet af bakterier, og t er antal timer efter
forsøgets start.
a) Bestem f (t ) .
b) Bestem f (10) , og gør rede for, hvad dette tal fortæller om
bakteriekoloniens udvikling.
c) Hvornår voksede bakteriekolonien hurtigst, og hvor mange bakterier
var der på dette tidspunkt?
-----------------------------------------------------------
Opgave 2. Biltrafik over smal bro (CAS er tilladt).
I en trafikanalyse indgår følgende model for antallet f (v) af biler,
der pr. minut kan passere en smal bro:
f (v ) 
hvor
v
17  v
0,008  v 2  0,2  v  4
(km/time) er den fart, bilerne kører med.
a) Bestem f (v) .
b) Hvor hurtigt skal bilerne køre, for at flest biler kan passere
broen pr. minut?
-------------------------------------------------------
16
Opgave 3.
Arealberegning
(CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt).
Opgave 4.
Beregning og fortolkning af integral (Oliefelt)
(CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt).
Udvindingen af olie fra et bestemt oliefelt kan for perioden 1965 –
1990 med god tilnærmelse beskrives ved modellen
f (t )  0,006  t 2  0,12  t  1,8
hvor t er antal år efter 1965, og f (t ) er den årlige udvundne
oliemængde (mio. ton pr. år).
a) Bestem
25
0
f (t ) dt .
b) Hvad fortæller dette tal om olieudvindingen?
---------------------------------------------------
17
Eksamensspørgsmål
Maj - Juni 2015
Matematik B (for selvstuderende)
Bemærk: Eksamensspørgsmålene skal til enhver tid godkendes af en kommende
censor. Dette betyder, at der rent principielt kan forekomme små ændringer i
ordlyden af spørgsmålene. I givet fald vil disse ændringer være minimale og vil
ikke gå ud over jeres forberedelsesarbejde.
Geometri og trigonometri
Spm. 1 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i en
retvinklet trekant.
Bevis mindst en af metoderne.
Inddrag din rapport om geometri og trigonometri.
Spm. 2 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i
vilkårlige trekanter.
Bevis arealsætningen samt sinusrelationerne for en vilkårlig
trekant.
Inddrag din rapport om geometri og trigonometri.
Spm. 3 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i
vilkårlige trekanter.
Bevis cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant.
Inddrag din rapport om geometri og trigonometri.
Vækstmodeller
Spm. 4 (Vækstmodeller: lineære funktioner)
Du skal redegøre for den lineære funktion og betydningen af
konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to
støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet. Sammenlign den
lineære og eksponentielle vækst.
Spm. 5 (Vækstmodeller: eksponentielle funktioner)
Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber,
herunder halverings- og fordoblingskonstanter.
Udled formlen til bestemmelse af enten fordoblingskonstanten eller
halveringskonstanten.
Spm. 6 (Vækstmodeller: eksponentielle funktioner)
Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber og
betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b
bestemmes, når to støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet.
Spm. 7 (Vækstmodeller: potensfunktioner)
18
Du skal gøre rede for potensfunktioner og potensvækst og om den
procentvise ændring af y-værdien, når x-værdien ændres med en
bestemt procent.
Spm. 8 (Vækstmodeller: potensfunktioner)
Du skal gøre rede for potensfunktioners egenskaber og betydningen
af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når
to støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet.
Andengradspolynomier
Spm. 9 (Andengradspolynomier)
Forklar, hvad vi skal forstå ved et polynomium.
Fremsæt den generelle form for et andengradspolynomium.
Gør rede for betydningen af koefficienterne a, b, c, og
diskriminanten d for grafens udseende.
Dernæst bestem toppunktets koordinater.
Inddrag din rapport om polynomier.
Spm. 10 (Andengradspolynomier)
Forklar, hvad det vil sige at bestemme rødderne i et polynomium.
Efterfølgende Udled formlen til bestemmelse af rødderne i et
andengradspolynomium.
Inddrag din rapport om polynomier.
Spm. 11 (Andengradspolynomier)
Forklar, hvordan man faktoriserer et andengradspolynomium.
Find produktet samt summen af de to rødder i et
andengradspolynomium. Verificér nu, at din påstand er korrekt.
Inddrag din rapport om polynomier.
Differentialregning
Spm. 12 (Differentialregning)
Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et
punkt x0 med differentialkvotienten f’(x0).
Find Ved hjælp af tretrinsreglen differentialkvotienten for
funktionen f(x) = ax2.
Inddrag din rapport om differential- og integralregning.
Spm. 13 (Differentialregning)
Forklar, hvad det vil sige, at en funktion er voksende eller
aftagende.
Gør rede for sammenhængen mellem fortegnet for den afledede
funktion (til en funktion) og monotoniforholdene for selve
funktionen.
Inddrag din rapport om differential- og integralregning.
Spm. 14 (Differentialregning)
Gør rede for sammenhængen mellem differentialkvotient og
tangentlinjens hældningskoefficient.
19
Bevis efterfølgende formlen for tangenten til grafen for en
funktion i et punkt x0.
Inddrag din rapport om differential- og integralregning.
Integralregning
Spm. 15 (Integralregning)
Forklar hvad det vil sige at finde en stamfunktion til en funktion
f. Hvad vil det sige at bestemme samtlige stamfunktioner til en
given funktion.
Nævn nogle formler for at finde stamfunktioner til standard
funktionstyper. Bevis dem ved hjælp af integrationsprøven.
Inddrag din rapport om differential- og integralregning.
Spm. 16 (Integralregning)
Definer
Forklar
Forklar
Inddrag
og forklar arealfunktionen og gør rede for dens egenskaber.
sammenhængen mellem areal og stamfunktion.
hvordan man bestemmer arealet mellem to grafer.
din rapport om differential- og integralregning.
Statistik
Spm. 17 (Statistik)
Forklar kortfattet, hvad en χ2-fordeling er.
Forklar hvad man kan bruge en chi-i-anden test til og giv et par
eksempler på en anvendelse.
Inddrag begreberne nulhypotese, antal frihedsgrader,
signifikansniveau, teststørrelse og p-værdi.
20