Kære selvstuderende i hf matematik C Herunder ser du et

Kære selvstuderende i hf matematik C
Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.
Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses til sidst.
Link til fagets læreplan:
www.uvm.dk. Det er undervisningsministeriets hjemmeside og her skal du gå ind
under Uddannelser og dagtilbud og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannelser (http://uvm.dk/Uddannelser/Dagtilbudsomraadet/Love-og-regler-fordagtilbud). Vælg så Studieretninger og fag, hfe , Læreplaner
(http://uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale-uddannelser/Fag-ogl a e r e p l a n e r ) og til sidst Matematik C
under de nye læreplaner. (Klik evt. her: http://uvm.dk/Uddannelser/Gymnasialeuddannelser/Fag-og-laereplaner/Fag-paa-hf/Matematik-hf)
Vær opmærksom på at den mundtlige eksamen "skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver". I den forbindelse er vedhæftet tre oplæg til rapporter, der
kan inddrages i den mundtlige eksamination i visse spørgsmål.
Til den mundtlige eksamen bedømmes din udarbejdede rapport ikke.
Bemærk at vi har en hold-side på Fronter. Kig endelig på den (vores rum hedder
s1mac005V14/15)!
Her kan du f.eks. finde lektionsnoter, løsninger til opgaver, mm.
Husk du kan få en times vejledning med mig. Men lav en aftale i god tid.
Jeg kan kontaktes på mailadressen: sish@kvuc.dk
Med venlig hilsen
Siavash Sharifi
1
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende
Hvis du ønsker ændringer, skal det godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen) /
1. november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder.
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser:
Termin
Kursusår sommer 2015, Maj – Juni 2015
Institution
414 Københavns VUC
Uddannelse
2HF
Fag og niveau
Matematik C
Lærer(e)
Navn: Siavash Sharifi
e-mail: sish@kvuc.dk
Hold
Selvstuderende (s1mac005V14/15)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1
Introduktionsforløb - Ligninger og tal
Titel 2
Geometri
Titel 3
Procent og rente
Titel 4
variabelsammenhænge: Funktioner - lineære funktioner
Titel 5
Eksponentielle funktioner
Titel 6
Potensfunktioner
Titel 7
Statistik
Titel 8
Ubekendte og beviser
Titel 1
Indhold
Introduktionsforløb - Ligninger og tal
Kernestof:
Emner:
 Regningsarter, hierarki, parenteser, simple ligninger, talmængder.
 Brug af symboler til matematisk omformning af simple
problemstillinger
Undervisningsmateriale:
2
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 1:
Ligninger og tal (side 19-47)
samt
Lektionsnoter om talmængder (6 sider)
Supplerende note: Ligninger og tal
(2 sider om at opstille ligninger og brug af formler hentet fra lærernes
online
materiale)
Bemærk: Dette forløb indgår ikke i eksamensgrundlaget da det vil være dækket
af de andre forløb. Forløbet dækker fundamentale regnetekniske færdigheder.
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Anvendt uddannelsestid: 13 lektioner + 6 timer til skriftlige opgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 Talforståelse
 Kunne håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte
fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt.
 Brug af lommeregner
Progression:
For at give kursisterne lyst til at lære matematik og beskæftige sig med den har
introduktionsforløbet strakt sig over lang tid med langsom progression i
sværhedsgrad og abstraktionsniveau, og en decideret gennemgang af emnet
brøkregning er derfor ikke medtaget her. Men de væsentlige aspekter heraf er
blevet fremhævet og redegjort for under opgaveregninger i det omfang læreren
skønnede det nødvendigt.
Væsentligste
arbejdsformer
Titel 2
Indhold


Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper
Skriftlige hjemmeopgaver
Geometri
Kernestof:
Emner:
 Trekanter, herunder ensvinklede trekanter
 Retvinklede trekanter, herunder cosinus, sinus og tangens
 Vilkårlige trekanter, herunder sinus- og cosinusrelationerne
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 3:
Geometri (side 83-125)
samt
Lektionsnoter om geometri (9 sider), bevis for ensliggende vinkler (5 sider),
bevis for Pythagoras' sætning (5 sider) samt et resumé over trigonometriske
metoder (2 sider).
Tillæg om vilkårlige trekanter (Side 296-307) fra bogen Vejen til Matematik C
hentet som fri pdf-fil fra forlaget HAX’ hjemmeside (www.hax.dk).
Rapportopgave /Skriftlig fremstilling:.
 At træne i skriftlig fremstilling og redegørelser
3


At tilegne sig færdigheder i at bevise geometriske sætninger og overskue
geometriske konstruktioner
At beherske og forstå principperne for vilkårlige trekanter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede individuelle rapporter.
Omfang
Anvendt uddannelsestid: 30 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver
Særlige
fokuspunkter
Kompetencer og Faglige mål:
 Kunne anvende simple geometriske modeller og løse simple
geometriske opgaver
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
Progression:
 Træning i geometriske bevisførelser vha. simple sætninger (topvinkler,
vinkelsum i en trekant) afsluttet med bevis for sinus- og
cosinusrelationerne.
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper.
Skriftlige hjemmeopgaver samt en afsluttende
skriftlig rapport om et emne (bestemmelse af højder og afstande) inden for
geometri og trigonometri
Titel 3
Indhold
Procent og rente
Kernestof:
Emner:
 Regning med procenter
 Den absolutte og relative tilvækst, fremskrivningsfaktor og renteformel
 Omregning af procent over én periode til procent over flere perioder og
omvendt samt gennemsnitlig procent/rente
 Indekstal
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 2:
Procent og rente (side 51-81)
samt
Lektionsnoter om procent og rente (5 sider) og indekstal (4 sider).
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om procent og
rente i situationer fra dagligdagen
 At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i et
almindeligt sprog og omvendt i at afdække det matematiske indhold fra
daglige udsagn fra trykte og elektroniske medier
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede grupperapporter.
Omfang
Anvendt uddannelsestid: 20 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver
4
Særlige
fokuspunkter
Væsentligste
arbejdsformer
Kompetencer og Faglige mål:
 At have en forståelse for ovennævnte emner og kunne anvende de
tilegnede koncepter og færdigheder i matematiske opgaver
Progression:
Kravene til kursisternes matematiske tankegang og forståelse er gradvist blevet
større (eksempelvis ved renteformel, sammenligning af indekstal og
gennemsnitstyper), og matematiske ræsonnementer og beviser er blevet
introduceret.
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper.
Skriftlige hjemmeopgaver samt gruppearbejde i forbindelse med
rapportopgaven.
Titel 4
variabelsammenhænge: Funktioner - lineære funktioner
Indhold
Kernestof:
Emner:
 Variabelbegrebet
 Ligefrem og omvendt proportionalitet
 Funktionsbegrebet, regneforskrift, tabel og graf
 Lineære funktioner og lineære modeller
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4:
Funktioner (side 127-149) og lineære funktioner (side 151-171)
samt
Lektionsnoter om funktioner – sammenhænge mellem variable (20 sider).
Supplerende stof:
Emner:
 Bevis for hældningskoefficient
 Det generelle funktionsbegreb f(x)
 Definitionsmængden og værdimængden for en funktion
 Geometrisk og analytisk fortolkning af hældningskoefficienten
 Analytisk fortolkning af parallelle linjer v.h.a hælningskoefficienter.
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om lineære
funktioner til at modellere data (lineær vækstmodel)
 At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i et
almindeligt sprog og omvendt
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
og i at kunne opstille en simpel prognose ud fra en foreliggende model
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 At forstå formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt
5


proportionalitet og lineære sammenhænge.
xy –plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved lineære
sam-menhænge
Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
Progression:
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
 Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online
materiale og appletter fra bogens hjemmeside)
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver
Titel 5
Indhold
Eksponentielle funktioner
Kernestof:
Emner:
 Eksponentielle funktioner og modeller
 Enkeltlogaritmisk papir
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4:
Eksponentielle funktioner (side 173-209)
samt
Lektionsnoter om eksponentielle funktioner (16 sider)
Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider).
Supplerende stof:
Emner:
 Eksponentielle ligninger
 Bevis for formlen for a, T2 og T½.
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om
eksponentielle funktioner til at modellere data (eksponentiel
vækstmodel)
 At træne genkendelse af og regning med de eksponentielle
vækstmodeller
 At træne i brugen af pc'er til at udarbejde en projektrapport
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
og i at kunne opstille en simpel prognose ud fra en foreliggende model
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Anvendt uddannelsestid: 24 lektioner + 16 timer til skriftlige opgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 Forstå sammenhængen mellem kapitalfremskrivning og eksponentiel
vækst
 xy–plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved
eksponentielle sammenhænge.
 Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
6
Progression:
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
 Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online
materiale og appletter fra bogens hjemmeside)
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper
Titel 6
Indhold
Potensfunktioner
Kernestof:
Emner:
 Potensfunktioner og modeller
 Dobbeltlogaritmisk papir
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, 2. udgave, Frydenlund 2013): Del 4:
Potensfunktioner (side 211-231)
samt
Lektionsnoter om potensfunktionerfunktioner (13 sider)
Supplerende stof:
Emner:
 Bevis for formlen for a og Fy = Fxa
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Rapportopgave og emneforløb:.
 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om
potensfunktioner
 At træne genkendelse af og regning med vækstmodeller af typen
potensvækst
 At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter
Evaluering: Skriftlig evaluering af de afleverede rapporter.
Anvendt uddannelsestid: 20 lektioner + 12 timer til skriftlige opgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 Forstå sammenhængen mellem to variable, der hver især har sin egen
procentvækst eller procentfald
 xy–plot af datamateriale og karakteristiske egenskaber ved
potensfunktioner
 Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse.
Progression:
 Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser
 Matematisk brug af IT til forståelse af lineære sammenhænge (online
materiale og appletter fra bogens hjemmeside)
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver, og delvis udarbejdelse af rapporter i grupper
7
Titel 7
Indhold
Statistik
Kernestof:
Emner:
 Ugrupperede og grupperede observationer
 Prikdiagram, stolpediagram, histogram og sumkurve
 Statistiske deskriptorer
 Kvartilsæt og boksplot
 Kvartilsæt og sumkurve
Undervisningsmateriale:
Matema10k (T.Jensen & M.O.Nielsen, Frydenlund 2005): Del 5: Statistik
og stikprøver (side 233-260)
samt
Lektionsnoter om statistik (29 sider)
Supplerende stof:
Emner:
 Indsamling af data, stikprøver og statistiske tests
 Fremvisning af relevante videoer på frividen.dk
(http://www.frividen.dk/default.aspx) under ugentlige opsummeringer
Omfang
Særlige
fokuspunkter
Anvendt uddannelsestid: 18 lektioner + 8 timer til skriftlige opgaver
Kompetencer og Faglige mål:
 Hvad statistik er og den kan bruges til
 Formidle statistiske resultater i almindeligt sprog
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning + opgavetræning individuelt og i grupper samt skriftlige
hjemmeopgaver
Titel 8
Indhold
Ubekendte og beviser
Supplerende stof:
Emner:
 Historisk indføring i begrebet logaritme og dets vigtighed
 Bevis for logaritmeregnereglerne:
log(a * b) = log(a) + log (b)
log(a/b) = log(a) - log (b)
log(an) = n.log(a)

Omfang
Særlige
fokuspunkter
Induktionsbevis for renteformlen (formlen for kapitalfremskrivning)
Undervisningsmateriale:
Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider)
Anvendt uddannelsestid: 4 lektioner
Formål:
At træne kursisternes opmærksomhed på forskellig brug af bogstaver og
symboler i matematik samt introducere bevisets betydning i matematik med
henblik på at kunne orientere om eventuel overgang til matematik B.
8
Væsentligste
arbejdsformer
Bemærk:
Dette forløb indgår ikke i eksamensgrundlaget.
Lærergennemgang
Rapport om et emne inden for
geometri og trigonometri
Opgaveformulering
Gør rede for, hvordan geometri og trigonometri kan
anvendes til at bestemme vinkler, højder og afstande.
A. Retvinklede trekanter
Gør rede for, hvorledes man benytter Pythagoras’ sætning samt
sinus-, cosinus-, og tangensdefinitionerne til beregning af
afstande og højder i retvinklede trekanter.
Som eksempel herpå og som inspiration kig på eksempel 1 og 2 (ss.
78-79) i lærebogen, og Opg. 2.005 i eksamenshæftet s.20.
Til at belyse dine teorier løs nedenstående opgave (med en
fornuftig og kort forklaring) i din rapport.
Opgave A.1
Trekanterne ABC og DBC er retvinklede. Nogle af målene fremgår af figuren.
a)
b)
c)
d)
Beregn
Beregn
Beregn
Beregn
sidelængderne i trekanten DBC.
arealet af trekanten DBC.
sidelængderne AB og AC.
arealet af trekanten ABC.
Bevis nu i din rapport Pythagoras’ læresætning.
B. Definition af sinus, cosinus og tangens
Forklar, hvordan man ud fra enhedscirklen definerer sinus, cosinus
og tangens. Tegn en enhedscirkel med de tilhørende akser (sinus-,
cosinus- og tangensaksen).
Giv også to konkrete eksempler med spidse og stumpe vinkler.
Eksempelvis med v = 60º og v = 150º.
Afmærk retningspunkterne for de to vinkler i enhedscirklen.
Tegn (på en separat figur) også de to standardtrekanter og de to
udvidede standardtrekanter, der svarer til disse vinkler. Og skriv
sidelængderne på.
9
C. Vilkårlige trekanter
Gør nu rede for, hvorledes man benytter arealsætningen,
sinusrelationerne, og cosinusrelationerne til beregning af
afstande, højder og vinkler i vilkårlige trekanter.
Som eksempel herpå og som inspiration kig på eksemplerne i
dokumentet Vilkårlige_trekanter.pdf (afleveret til klassen som
fotokopi), og de løste opgaver i klassen, eller en af
hjemmeopgaverne, f.eks. Opg. 1.045 side 17 i eksamneshæftet.
Gør i detaljer og med figurer rede for, hvordan man beviser
sætningerne:
(1) Arealsætningen (Sætning 3.1, s. 296 i den omtalte fotokopi)
(2) Sinusrelationerne (Sætning 3.3, s. 297 i den omtalte
fotokopi)
(3) Cosinusrelationerne (Sætning 3.5, s. 299 i den omtalte
fotokopi)
D. Opgaver om vilkårlige trekanter
I denne del af rapporten skal der indgås besvarelsen af
nedenstående tre opgaver (med en fornuftig og kort forklaring).
Opgave D.1
B
6,7
5,0
A
C
8,4
Figuren viser en vilkårlig trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af
figuren.
a) Beregn vinkel A.
b) Bestem arealet af trekanten ABC.
Højden fra B skærer siden AC i punktet D.
c) Bestem længden af CD.
d) Bestem længden af BD.
Opgave D.2
En klasse på KVUC løber orienteringsløb i en skov. Alle mødes ved post A, og
pigerne løber ruten ABCA, mens drengene løber ruten ADEA. På figuren er angivet
nogle vinkler og afstande (målt i km) for de to løberuter.
a) Beregn sidelængden AD.
10
b)
c)
d)
e)
Hvor langt løber drengene?
Beregn sidelængden AB.
Beregn sidelængden AC.
Hvor meget længere løber pigerne end drengene?
Opgave D.3 (hf matematik C august 2012)
På figuren ses en firkant ABCD, hvor diagonalen BD er tegnet.
Vinkel C er 90°, og nogle af de øvrige mål fremgår af figuren.
160
C
D
90º
200
47,9º
B
87,7º
A
a) Bestem længden af siden BC.
b) Bestem længden af siden AD.
c) Bestem arealet af firkant ABCD.
Vejledning og fremgangsmåde
Start med at vælge og løse en opgave ad gangen. Fortsæt på denne
måde, indtil de nødvendige opgaver er besvaret. Benyt undervejs de
relevante eksempler i lærebogen og fotokopien. Læs derefer
opgaveformuleringen grundigt. Undersøg, hvilke dele af rapporten,
der kan besvares med udgangspunkt i de løste opgaver. Søg
yderligere hjælp i lærebogen og fotokopien. Vælg den sætning eller
de sætninger, som skal bevises i rapporten. Udarbejd omhyggeligt et
bevis for den valgte sætning eller de valgte sætninger.
Undgå direkte afskrift. Forsøg udelukkkende at overføre din egen
opfattelse til læseren. Man lærer bedst ved selv at undervise i
det, der skal forstås eller formidles. Din målgruppe er dine egne
klassekammerater og ikke manden eller kvinden på gaden.
11
Rapport om emner inden for
procent og rente
Opgaveformulering
Du skal gøre rede for følgende begreber og koncepter, som
du har tilegnet dig i kapitlet om procent og rente. Der
ud over skal du bevise to formler.
* Procentdel ud af (en størrelse)
* Procent af (en størrelse)
* Fremskrivningsfaktor
* Bevis formlen F = 1 + r
* Addition og subtraktion af procenter (det at lægge
procenter til og at trække procenter fra ved hjælp af
fremskrivningsfaktoren)
* Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt
* Indekstal
* Renters rente
* Kapitalfremskrivning
* Bevis kapitalfremskrivningsformlen
A. Redegørelse
Med udgangspunkt i opgaveformuleringen ovenfor udarbejd et
teoretisk afsnit med de nævnte matematiske begreber, som du vil
behandle i din rapport.
Teorien, der ligger til grund for rapporten, er indholdet af
kapitlet om procent og rente i lærebogen samt de hertil knyttede
lektionsnoter i Fronter.
Til at belyse dine teorier løs nedenstående opgaver (med en
fornuftig og kort forklaring) i din rapport. Du kan eksempelvis
redegøre for et af begreberne ad gangen og efterfølgende vælge og
løse en opgave, der passer til afsnittet. På den måde kan du løbe
listen af begreberne igennem.
Alternativt kan du vælge - til at begynde med- at gøre rede for
begreberne rent teoretisk og supplere dem med små selvvalgte
eksempler. Til allersidst kan du løse alle opgaverne samlet med
12
korte forklaringer med henvisninger til de teoretiske afsnit.
B. Opgaver
Opgave 1
En møbelforretning sælger en stol på udsalg for 398 kr.
Normalprisen er 585 kr.
Hvor mange procent er rabatten på?
Opgave 2
En tom sodavandsdåse vejer 25 g. Den fyldes med 330 g sodavand.
Hvor mange procent af den samlede vægt udgør dåsen?
Opgave 3
I forbindelse med varekøb og tjenesteydelser betaler man moms.
Momsen er 25%. En håndværkerregning lyder på 6250 kr. uden moms.
Spm. 1 Hvor meget kommer regningen til at lyde på i alt?
En anden håndværkerregning lyder på 9456,90 kr. med moms.
Spm. 2 Hvad lyder regningen på eksklusiv moms?
Opgave 4
(a)
Et bilfirma reklamerer med, at man ved afbetalingskøb hos firmaet
kan slippe med en rente på 2,5% pr. måned.
Omregn denne rentefod til årlig rente.
(b)
En bank reklamerer med en opsparingskonto, hvor renten er 3,6% pr.
år.
Hvor meget svarer det til i månedlig rente?
Opgave 5
Prisen på en vare stiger i to på hinanden følgende år med
henholdsvis 3,45 % og 8,82 %.
Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise prisstigning.
Opgave 6
De første tre år voksede værdien af en aktie med henholdsvis 13%,
23% og 34%. Det næste år faldt aktiens værdi med 17%.
Hvor mange procent er aktien vokset med i gennemsnit pr. år?
Opgave 7
Den gennemsnitlige forbrugerpris på benzin 98 oktan pr. 10.1. det
pågældende år ses i skemaet:
År
2000
Pris kr. 7,77
2001
8,18
2002
8,01
2003
8,47
2004
8,37
2005
8,65
2006
10,13
Spm. 1 Udregn indekstal for forbrugerprisen på benzin 98 oktan fra
2000 til 2006 med 2000 som basisår.
Spm. 2 Bestem den procentvise ændring fra 2001 til 2004 samt fra
2005 til 2006 for benzinprisen.
13
Opgave 8
Et beløb er i en bank vokset fra 4913 kr. til 5218 kr. Hvad er den
absolutte tilvækst? Hvad er den relative tilvækst?
Opgave 9
Kommuneskatten er i en kommune steget fra 19,7% til 21,6%. Hvor
mange procentpoint er den steget?
Hvor stor er den procentvise stigning?
Opgave 10
For tre år siden udtalte direktøren i et firma, at firmaet som
målsætning havde at øge sin værdi med i gennemsnit 10% pr. år i en
femårig periode.
De første 3 år har firmaet kun øget sin værdi med 4,5% pr. år.
Hvor meget skal firmaet i gennemsnit øge sin værdi med de sidste to
år, for at nå sit mål?
Opgave 11
På en bankkonto indsættes 6680 kr. Banken giver 3,75 % i rente om
året.
Spm. 1 Hvor meget står der på kontoen efter 8 år?
Spm. 2 Hvor mange år vil der gå, inden beløbet på kontoen
overstiger 10000 kr.?
Spm. 3 Hvis de 6680 kr. var vokset til 10000 kr. på 8 år, hvor
mange procent havde den årlige rente så været?
Rapport om vækstmodeller
A. Redegørelse
1. Lineær vækst
1.a Teori
Skriv en kort teoretisk redegørelse, der giver svar på
nedenstående spørgsmål:
 Hvad er en lineær funktion?
 Hvad fortæller tallene a og b om funktionen
y = ax + b?
 For hvilke a er funktionen henholdsvis
voksende/aftagende/konstant?
 Hvordan bestemmes a og b ud fra to punkter på
grafen?
14
1.b Modelopstilling ud fra talmateriale:
Indiens befolkning*
Følgende punkter skal indgå i behandlingen:
 Graftegning
 Begrundelse for at udviklingen kan karakteriseres som
(tilnærmelsesvis) lineær
 Bestemmelse af a og b
 En prognose (forudsigelse) ved hjælp af modellen
 I 2003 var Indiens befolkningstal 1049,7 mio.
Sammenlign med modellen: er den lineære vækst
fortsat?
*
År
Befolkningstal
(mio.)
Indiens befolkning
1965
1970
1975
495,7 555,0
620,5
1980
687,0
x = antal år efter 1965
y = befolkningstal (mio. mennesker)
2. Eksponentiel vækst
2.a Teori
Skriv en kort teoretisk redegørelse, der giver svar på
nedenstående spørgsmål:
 Hvad er en eksponentiel udvikling?
 Hvad fortæller tallene a og b om funktionen f(x) =
b.ax?
 For hvilke a er funktionen henholdsvis
voksende/aftagende/konstant?
 Hvordan bestemmes a og b ud fra to punkter på grafen?
 Hvad er det smarte ved et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem?
15
 Hvad er fordoblingskonstanten / halveringskonstanten,
og hvordan bestemmes den?
2.b Modelopstilling ud fra talmateriale:
Kinas
*
BNP pr. indbygger
Følgende punkter skal indgå i behandlingen:
 Graftegning i et almindeligt koordinatsystem
 Begrundelse for at udviklingen kan karakteriseres som
(tilnærmelsesvis) eksponentiel
 Bestemmelse af et funktionsudtryk for modellen
 Bestemmelse af den årlige vækstrate
 Bestemmelse af fordoblingstiden
 En prognose vha. modellen (fx: Hvor stort er BNP pr.
indbygger i Kina i 2020, hvis denne udvikling
fortsætter?)
*
Kinas bruttonationalprodukt (BNP) pr. indbygger
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2003
BNP pr.
135
173
269
364 603 856 1067
År
indbygger
(US $)
x = antal år efter 1975
y = BNP pr. indbygger (US $)
3. Potensvækst
 Fortæl kort, hvad potensvækst er, og hvad en
potensfunktion er.
 Bevis formlerne for, hvordan man ud fra 2 kendte
punkter kan finde forskriften for en potensfunktion.
 Bevis formlen for sammenhængen mellem en procentvis
stigning i x-værdien og den tilsvarende procentvise
ændring i y-værdien.
16
B. Opgaver
Opgave 1
Opgave 2
Opg. 1.019
/ side 8 i eksamenshæftet
Opgave 3
En månedlig elregning er sammensat således:
Fast afgift på 60 kr. og 1,50 kr. pr. kWh (kilowatt-time).
1) Opstil en regneforskrift (en model), hvor x angiver elforbruget
målt i kWh, og y angiver prisen i kr.
Begrund dit valg af modellen.
2) Beregn prisen ved et elforbrug på 350 kWh.
3) Beregn elforbruget ved en pris på 550 kr.
Opgave 4
Om en bestemt slags bakterier vides, at de formerer sig med en
hastighed på 5,5% i timen. En vandprøve indeholder på et tidspunkt
600 bakterier af den nævnte slags.
17
Spm. 1 Hvor mange bakterier indeholder vandprøven 1 time senere? —
og 2 timer senere?
Spm. 2 Hvor mange procent vokser bakterierne pr. døgn?
Opgave 5
FN har skønnet, at jordens befolkning pr. 1. jan. 2005 var 6,43
mia., og at jordens befolkning vokser med 1,4% om året.
I det følgende antages, at jordens befolkning fortsat vil vokse med
1,4% om året i det 21. århundrede.
Spm. 1 Opstil en eksponentiel model y = b.ax , hvor y angiver
jordens befolkningstal i mia., og x angiver antal år efter 1. jan.
2005.
Begrund dit valg af model.
Spm. 2 Bestem fordoblingstiden for jordens befolkning.
Spm. 3 Hvornår vil jordens befolkningstal overstige 8 mia.?
Spm. 4 Med hvor mange procent vokser jordens befolkningstal på 7
år?
Spm. 5 Hvor lang tid tager det for jordens befolkningstal at
forøges med 25%?
Opgave 6
Spm. 1 Lad y = 34,1 . 1,023x. Hvor meget fremskrives y med, hvis x
forøges med 4?
Spm. 2 Lad y = 0,640 . 0,92x. Hvor meget fremskrives y med, hvis x
forøges med 0,7?
Spm. 3 Bestem forskriften for den eksponentielle funktion
y = b . ax, hvis graf går igennem punktet (5; 0,065) og
funktionsværdien forøges med 50% hver gang x forøges med 2.
Opgave 7
Om en potensfunktion y = b.xa vides det, at hvis x forøges
med 15%, da forøges y med 20%. Bestem a.
Opgave 8
Et trafikselskab har erfaret, at hvis x betegner billetprisen i
kr., da kan det daglige passagertal bestemmes ved funktionen y =
35400 . x−0,85.
Spm. 1 Hvis billetprisen er 10 kr., hvor stort er det daglige
passagertal da? Hvor stor er den daglige omsætning?
18
Spm. 2 Bestem den billetpris, der ifølge funktionen giver 4001
passagerer.
Spm. 3 Hvor mange procent falder passagertallet med, hvis
billetprisen vokser med 10%?
Spm. 4 Opstil udtryk for den daglige billetindtægt før og efter
prisstigningen.
Spm. 5 Med hvor mange procent øges den daglige billetindtægt ved
prisstigningen.
Opgave 9
Opg. 1.021 / s. 9 i eksamenshæftet
Eksamensspørgsmål
Maj - Juni 2015
Matematik C (for selvstuderende)
Bemærk: Eksamensspørgsmålene skal til enhver tid godkendes af en kommende
censor. Dette betyder, at der rent principielt kan forekomme små ændringer i
ordlyden af spørgsmålene. I givet fald vil disse ændringer være minimale og vil
ikke gå ud over jeres forberedelsesarbejde.
Spm. 1 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i en
retvinklet trekant. Inddrag din rapport om geometri og
trigonometri.
Spm. 2 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i
vilkårlige trekanter.
Inddrag din rapport om geometri og trigonometri.
Spm. 3 (Geometri og trigonometri)
Du skal redegøre for Pythagoras’ sætning herunder bevise sætningen.
Inddrag din rapport om geometri og trigonometri.
Spm. 4 (Geometri og trigonometri)
Gør rede for vinkelsummen i en trekant.
Gør rede for ensvinklede trekanter, herunder skalafaktoren.
Spm. 5 (Procent og rente)
Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar hvordan man
lægger procenter til og trækker procenter fra ved hjælp af
fremskrivningsfaktor.
Gør tillige rede for renteformlen.
Inddrag din rapport om procent og rente.
19
Spm. 6 (Procent og rente)
Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor.
Gør rede for renteformlen og for gennemsnitlig årlig rente ud fra
månedlig og kvartalsvis rente, gerne med udgangspunkt i et konkret
eksempel.
Inddrag din rapport om procent og rente.
Spm. 7 (Procent og rente)
Fremlæg hvad indekstal er, og hvordan man regner med indekstal.
Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og dets nytte ved
beregninger med indekstal.
Spm. 8 (Funktioner)
Gør rede for hvad en funktion er, og giv eksempler på funktioner.
Herunder skal du fremlægge, hvad ligefrem og omvendt
proportionalitet er.
Spm. 9 (Lineære funktioner)
Du skal redegøre for den lineære funktion og betydningen af
konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to
støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet.
Inddrag din rapport om vækstmodeller.
Spm. 10 (Eksponentielle funktioner)
Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber,
herunder halverings- og fordoblingskonstanter.
Inddrag din rapport om vækstmodeller.
Spm. 11 (Eksponentielle funktioner)
Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber og
betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b
bestemmes, når to støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet.
Inddrag din rapport om vækstmodeller.
Spm. 12 (Potensfunktioner)
Du skal gøre rede for potensfunktioner og potensvækst og om den
procentvise ændring af y-værdien, når x-værdien ændres med en
bestemt procent.
Inddrag din rapport om vækstmodeller.
Spm. 13 (Potensfunktioner)
Du skal gøre rede for potensfunktioners egenskaber og betydningen
af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når
to støttepunkter A(x1 , y1) og B(x2 , y2) er givet.
Inddrag din rapport om vækstmodeller.
Spm. 14 (Statistik)
Du skal redegøre for, hvordan ugrupperede data behandles
statistisk. Du skal definere de forskellige statistiske
deskriptorer. Du kan tage udgangspunkt i et eksempel.
20
Spm. 15 (Statistik)
Du skal redegøre for, hvordan grupperede data behandles statistisk.
Du skal definere de forskellige statistiske deskriptorer. Du kan
tage udgangspunkt i et eksempel.
21