Provet i lång matematik

1
23.9.2015
STUDENTEXAMENSNÄMNDEN
MATEMATIKPROV
LÅNG LÄROKURS
0 4 ,
1
Suoran kulmakerroin
k 4
3 0 3
Högst tio uppgifter får lösas. Uppgifter som markerats med en stjärna (*) ger maxiLÅNG 2, 29.4.2014 4
1
malt
uppgifter maximalt 6 poäng.
joten sen yhtälö on y  x tai 49xpoäng,
 3 y  0övriga
.
3
Ympyrän säde r = pisteen (3,4) etäisyys origosta, eli
1
r  32  42  5 .
2 Bestäm konstanten a, så att talet 2015 är roten till ekvationen 1

ax 2015  a .. Yhtälö on x 21. ya)  r 2 eli x 2  y 2  25 .
Origohuippuisen,b) Bestäm omkretsen av en kvadrat, då längden av dess diagonal är 6. ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa
2
2
1
m
y  ax . Koska piste (3,4) on käyrällä, niin on voimassa:
c) Vi undersöker tal i formen då m4 a1 ,30 ,1, 2 och n  2 , 3, 4. Bestäm det största
n
1
4 joten paraabelin yhtälö on y  4 x 2 .
 a ,
9
9
och det minsta talet av dessa tal. Jos polun pituus luonnossa on x, niin yhdenmuotoisuuden nojalla
17,5
1
3
2. En kurva i planet går genom punkten ,350000
4) . Bestäm kurvans ekvation när det är fråga om saadaan verranto

, josta x  20000  17,5(3

x
20000
a) en linje som går genom origo x = 20000 · 17,5 = 350 000 (cm). Vastaus: 3 500 m.
b) en origocentrerad cirkel 1
Jos kuution särmä
s, niin tilavuus on s3  7 dm3.
c) on
en parabel som öppnas uppåt och vars topp är i origo. 1
Tällöin s  3 7 dm,
1
3 7 2  3 49   3,6593...  3,66 (dm2).
josta sivutahkon 
ala s 2 


3.366
a) Längden av en motionsstig på en karta är 17,5 cm. Hur lång är motionsstigen i Vastaus: noin
cm2.
terrängen, då kartan har skalan 1 : 20 000? Ange svaret med 100 meters noggrannhet. med en vektoreita
kvadratcentimeters noggrannhet arean av en sidoyta för en kub, då Vektoria 3i  4 jb) Beräkna vastaan kohtisuoria
ovat esimerkiksi
1
kubens volym är 7, 0 liter. (4i  3 j ) , joiden pituus  42  (3)2 5 .
vektorit n 
1
Näiden suuntaiset vektorit, joiden pituus on 3, ovat 3 n .
5
  

1
Täten AB 

i  9 j ) . Vektori
OB
 OA  AB . har längden 3 och den står vinkelrätt mot vektorn Vektorn 4.(12
Anta att A

(1
,
2).
3i  4 j .. 5
5

Saadaan OB 
i Bestäm koordinaterna för punkten B. 2 j  12 i  9
j 17 i  1 j tai
5
5
5
5
1+1

9
7
19
12
OB 
i 2j i j 
 i j.
5 5
5
5
1 Bestäm kordans längd. Pisteen B koordinaatit
ovat siten 17 , 1 tai  7 , 19 . x 2  y 2  16 är (2,1).
5. Mittpunkten för en korda till cirkeln  
 5 5 
5 5

6. Anne spelar ett dataspel där sannolikheten för att lyckas är 90 %. a) Med vilken sannolikhet kommer exakt ett misslyckande i en serie med fyra spel? b) Vilket är väntevärdet för antalet lyckade spel i en serie med fyra spel? c) Hur många gånger ska Anne spela spelet för att väntevärdet för antalet lyckade spel ska vara minst 10? Matematiikan koe, pitkä oppimäärä syksy 2015 Hyvän vastauksen piirteitä
2
7. I en likbent rätvinklig triangel är katetens längd a. I triangeln placeras enligt figuren en mindre likbent triangel, vars ena hörn är beläget på hypotenusan till den ursprungliga triangeln. Sträckan AB är dessutom parallell med hypotenusan. Bestäm den mindre triangelns största möjliga area. A
B
8. I början av år 2015 beräknade man att mängden stenkol i en gruva skulle räcka i 50 år om brytningstakten (i enheten ton/år) hålls konstant. Vilket år tar stenkolet slut om man varje år ökar brytningen med 2,5 % jämfört med föregående år? 9. Ett fullständigt klotformat genmanipulerat äpple har radien 5,0 cm. Ett hål med radien 1,0 cm borras genom äpplets mitt. Hur många procent av äpplets volym försvinner då? Ange svaret med en noggrannhet på en tiondels procentenhet. 3
10.
10. a) Längderna av kateterna och hypotenusan a  b  c i en rätvinklig triangel bildar en
geometrisk talföljd. Bestäm talföljdens kvot q. b) Längderna av kateterna och hypotenusan a  b  c i en rätvinklig triangel bildar en
aritmetisk talföljd. Bestäm förhållandet a : b : c. 11.
11. För vilka värden på siffran n är 10‐systemets tal 12 n 34 n 567 n89 n delbart med talet a) 3 b) 6 c) 9? 12.
12. Polynomet P ( x )  2 x 3  ax 2  4 x  b är delbart med binomen x  1 och x  3. Lös ekva‐
tionen P ( x )  0. 13.
13. a) Ge ett exempel på en begränsad talföljd som inte konvergerar. Motivera ditt påstående. b) Ge ett exempel på en avtagande talföljd som inte är begränsad. Motivera ditt påstående. c) Bestäm ett sådant tal p  0, så att den oegentliga integralen 
 f ( x ) dx 1
för funktionen f ( x)  x  p är konvergent, men den oegentliga integralen 

1
är divergent. f ( x ) dx 4
14. Anta att a  0, b  0 och c  0. Vi undersöker en linje S i rymden, som går genom origo *14.
och punkten ( a , b, c ) . Riktningen för linjen S kan anges med hjälp av tre riktningscosiner. Riktningscosinerna cos  , cos  och cos  är cosiner för vinklarna  ,  och  mellan vektorn a i  b j  c k och enhetsvektorerna i , j och k . a) Beräkna riktningscosinerna för linjen x
y
z

 (3 p.) 2
3
7
b) Beräkna summan av riktningscosinernas kvadrater i deluppgift a. (2 p.) c) Bestäm motsvarande riktningsvinklar  ,  och  med en noggrannhet av en tiondels grad. (2 p.) d) Visa att resultatet i deluppgift b är detsamma för alla linjer som uppfyller villkoren i uppgiftens inledningsdel. (2 p.) *15.
15. Längderna av två sidor i en triangel är CA  a och CB  b. Den del av bisektrisen till vinkeln mellan dessa sidor som blir inne i triangeln har längden k. Bisektrisen delar triangelns tredje sida i två delar som har längderna AD  x och DB  y. Visa att 
k
ab  xy , a) då a  b. (3 p.) b) då a  b. (6 p.)