docExamensarbete, finalversion
download 
Report Transcription
Examensarbete, finalversion
Natur, miljö, samhälle Examensarbete i Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå En studie kring lärares uppfattningar om matematikboken och bedömning A Study of Teachers’ Perceptions About Mathematics Textbook and Assessment Carl Nielsen Jesper Olofsson Grundlärarexamen med inriktning mot årskurs 4-6 Examinator: Adam Droppe 240 högskolepoäng Handledare: Eva Davidsson 2015-03-23 Förord Följande arbete har skrivits som examensarbete i grundlärarutbildningen med inriktning mot årskurserna 4-6. Målet med arbetet är att presentera en vetenskapligt relevant fråga för lärarprofessionen samt att undersöka denna. Inspirationen till detta arbete kommer delvis utifrån den erfarenhet vi skaffat oss genom vår verksamhetsförlagda tid av utbildningen och delvis genom den SAG-uppsats1 som utfördes tidigare under utbildningen. Under det arbetets gång ämnade vi undersöka huruvida användandet av matematikboken hade någon påverkan på de bedömningsprocesser som genomfördes i skolan. Då detta område var föga efterforskat valde vi att fortsätta vår undersökning av detta genom att göra en egen studie, vilken detta arbete kommer att behandla. Arbetet är skrivet i par och inkluderar utformning av ett problemområde, metod för intervjuer och analys, en översikt av tidigare forskning, en presentation av empirin samt en avslutande diskussion kring problemområdet. Arbetet har utförts i samarbetande anda och varje del är genomarbetad och skriven gemensamt, således är bidragandet till detta arbete likvärdigt från båda parter. Vi vill rikta ett tack till vår handledare för stöttning och vägledning genom detta arbete. Vi vill även rikta ett tack till de skolor och lärare som tagit emot oss med kort varsel för genomförandet av intervjuer. 1 SAG-uppsats = Självständigt arbete på grundnivå. Abstract Ambitionen med detta arbete är att undersöka huruvida det finns något mönster mellan användandet av matematikboken och de bedömningsprocesser som sker i skolan. Flera forskare och rapporter (Johansson, 2006; Löwing; 2004; McDuffie & Mather, 2006, Skolverket 2003) pekar på att matematikboken har en väldigt central roll i undervisningen i skolan och att de bedömningar som oftast gjordes var summativa bedömningar i samband med prov eller diagnoser. Denna notering samt att formativ bedömning, som ämnar att leda eleverna vidare i deras kunskapsutveckling (Black & William 1998), fick begränsat utrymme gjorde även vi under den verksamhetsförlagda delen av vår utbildning. I vår SAG-uppsats bestämde vi oss för att undersöka huruvida detta stämde överens med forskningen. Vad vi kunde konstatera var att kombinationen av bedömning och användandet av matematikboken var knapphändigt efterforskat. Emellertid var respektive område efterforskat utan vidare relation till varandra. Utgångspunkten för detta examensarbete har därmed varit att försöka undersöka huruvida det finns något mönster mellan användandet av matematikboken och de bedömningsprocesser som sker i skolan. En annan utgångspunkt för detta arbete har varit det socialkonstruktivistiska perspektivet på lärande, som kortfattat innebär att elever konstruerar sina egna kunskaper i samspel med andra, snarare än att de färdiga kunskaperna existerar och väntar på att bli inhämtade (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). För att kunna göra en undersökning av detta problemområde har sju matematiklärare i grundskolan intervjuats, för att ta reda på hur deras undervisning ser ut samt deras syn på de bedömningsprocesser som äger rum i skolan. För att kunna undersöka huruvida det fanns något mönster mellan dessa områden analyserades svaren utifrån från en kategorisering av olika lärartyper, baserat på Ahlbergs (2000) forskning. På så sätt kunde vi urskilja vilka olika bedömningsmetoder som var vanligt förekommande inom varje kategori. Resultatet av vår undersökning ledde fram till att det finns vissa gemensamma företeelser inom respektive lärartypskategori. Till exempel var summativa prov och diagnoser vanligare i de klassrummen där matematikboken har en mer central roll. Resultatet innebär dock inte per automatik att slutsatserna av denna undersökning är allmängiltiga, däremot ger de en utökad insyn på detta undersökningsområde. Nyckelord: Bedömning, formativ, klassrum, kvalitativa intervjuer, läromedel, matematikbok, socialkonstruktivism, summativ och undervisning Innehållsförteckning Förord ........................................................................................................................................ 2 Abstract ..................................................................................................................................... 3 1. Inledning ............................................................................................................................... 7 2. Syfte och frågeställning ........................................................................................................ 9 3. Tidigare forskning .............................................................................................................. 10 3.1 Socialkonstruktivistiskt perspektiv på lärande ......................................................... 10 3.1.1 Tolkning av teorin .................................................................................................... 10 3.2 Matematikbokens användande ................................................................................... 12 3.2.1 Matematikbokens roll i klassrummet ....................................................................... 12 3.2.2 Matematisk förståelse i det matematikbokspräglade klassrummet .......................... 13 3.3 Bedömning ..................................................................................................................... 15 3.3.1 Bedömningens olika syfte: Summativ och formativ bedömning ............................. 15 3.3.2 Lärarens införskaffande av kunskap om elevernas kunskap .................................... 16 3.3.3 Feedbackens roll i bedömningsprocessen ................................................................ 17 4. Metod ................................................................................................................................... 19 4.1 Urval .............................................................................................................................. 19 4.2 Datainsamlingsmetod ................................................................................................... 19 4.2.1 Genomförande av intervjuerna................................................................................. 19 4.2.1 Metodologisk diskussion ......................................................................................... 20 4.3 Vetenskapligt förhållningssätt ..................................................................................... 21 4.4 Forskningsetik ............................................................................................................... 21 4.5 Tillförlitlighet ................................................................................................................ 22 4.6 Analysmetod .................................................................................................................. 23 4.6.1 Val av metod ............................................................................................................ 23 4.6.2 Analysförfarande ...................................................................................................... 24 5. Resultat och analys ............................................................................................................. 25 5.1 Matematikbokens förekommande i klassrummet ..................................................... 25 5.1.1 Lärarnas användande av matematikboken ............................................................... 25 5.1.2 Lärarnas syn på elevernas arbete i matematikboken ................................................ 27 5.2 Kategorisering av de svarande lärarnas matematikundervisning ........................... 29 5.2.1 Kategori A – läroboken som den enda utgångspunkten .......................................... 29 5.2.2 Kategori B – läroboken som vital del av undervisningen ........................................ 30 5.2.3 Kategori C – läroboken som ett komplement i undervisningen............................... 32 5.3 Hur ser bedömningsprocessen inom de olika kategorierna? .................................... 32 5.3.1 Kategori A ................................................................................................................ 33 5.3.2 Kategori B ................................................................................................................ 34 5.3.3 Kategori C ................................................................................................................ 36 6. Diskussion och slutsatser ................................................................................................... 38 6.1 Hur används matematikboken i undervisningen? .................................................... 38 6.2 De olika bedömningsformernas implikationer .......................................................... 40 6.3 De olika bedömningsformernas förekommande hos de tillfrågade lärarna ........... 40 6.4 Vidare forskning ........................................................................................................... 43 7. Referenslista ........................................................................................................................ 44 Bilaga 1 .................................................................................................................................... 47 1. Inledning Inspirationen till detta examensarbete kommer från den verksamhetsförlagda delen av vår lärarutbildning, vilken har genomförts på två vitt skilda skolor. Under våra perioder på dessa skolor visade det sig att vi båda gjort en ganska snarlik observation, trots att vi befunnit oss på olika skolor. Vad vi tyckte oss kunna urskilja var att en stor del av matematikundervisningen präglas av det valda läromedlet och dess innehåll. När vi började undersöka om vi hade fog för vår iakttagelse föreföll det faktiskt att så var fallet. Flera forskare hade gjort samma konstaterande som vi, givetvis på mer forskningsbaserad basis (Johansson, 2006; Löwing, 2004; McDuffie & Mather, 2006). Denna trend som innebär att matematikboken har en central roll i dagens matematikundervisning framhävs även i Skolverket (2003). Av denna nationella kvalitetsgranskning som gjorts i ett 40-tal kommuner runtom i Sverige, görs ett liknande konstaterande: Granskningen visar att det är frapperande vilken dominerande roll läroboken har i undervisningen, både i positiva och negativa termer, och dess roll för elevernas lust eller olust inför matematiklärandet. Det gäller delvis också för de tidigare skolåren, men framför allt från år 4-5 och uppåt och mest påtagligt i de senare åren i grundskolan, på gymnasieskolan och i vuxenutbildningen. Såväl innehåll, uppläggning som undervisningens organisering styrs av boken i påfallande hög grad. Matematik är för både elever och lärare kort och gott det som står i läroboken. (s. 39) Man kan fråga sig vad en sådan trend innebär för bedömningssituationen inom skolämnet matematik. Som utgångspunkt för vårt undersökningsområde har vi tagit fasta på ett citat från Pettersson (2010): ”Bedöms det som är väsentligt eller är det det enkelt mätbara som bedöms?” (s.14). Det vill säga, är det elevernas kunskaper i relation till kunskapskraven som bedöms eller är det deras framsteg i matematikboken som bedöms? Bedömning är en företeelse som äger rum nästan dagligen i skolans värld. Utifrån den undervisning som läraren bedriver ska sedermera en bedömning göras för att kartlägga elevernas kunskaper och jämföra dessa gentemot de mål och kriterier som finns formulerade i kursplanen för respektive ämne. I kursplanen står det också skrivet vad respektive ämne ska innehålla samt vilka områden som ska innefattas. Ansvaret att planera och genomföra undervisningen och bedömningen ligger alltså på den enskilde läraren (Skolverket, 2011). Men om det nu stämmer att matematikboken präglar 7 undervisningen kan man ställa sig frågan om och på vilka sätt detta fokus påverkar bedömningsprocessen. I vårt samtal kring vår observation kunde vi dra ytterligare en parallell mellan de två skolornas arbetsmönster. Som en följd av att undervisningen präglades av matematikboken noterade vi att elever och lärare lade väldigt stor vikt på hur långt fram man hade kommit i sin bok. En effekt av detta var att bedömningstillfällen såsom prov eller diagnoser hamnade i väldigt stort fokus. Det var dessa som var betydande när väl elevernas kunskaper skulle kartläggas. Sådana bedömningstillfällen, som ovan nämnt, brukar kallas för summativa, då de summerar elevernas kunskap (Black & Wiliam, 1998). Ute på skolorna noterades också en viss avsaknad av det som brukar kallas för bedömning i formativ mening, vilket eventuellt kan ha berott på att matematikboken präglade undervisningen. Till skillnad från bedömning i summativ mening så hjälper en mera formativ bedömning eleverna att åskådliggöra deras läroprocess och föra den framåt. (Black & Wiliam, 1998). Dessa uppmärksammande väckte ett intresse för att undersöka huruvida det finns något mönster mellan hur matematikbokens används i skolan och de bedömningsprocesser som sker och ska ske i klassrummet. I följande arbete kommer därför forskning om användandet av matematikboken samt bedömning inom skolämnet matematik att presenteras separat för att sedan förankras med resultaten i den genomförda studien. På så sätt kan eventuella undervisningsmönster urskiljas. 8 2. Syfte och frågeställning Huvudsyftet med detta arbete är att undersöka huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess. I vår SAGuppsats kunde vi dessutom konstatera att vårt problemområde var föga beforskat. Studien kommer att fokusera på lärares uppfattningar om användandet av matematikboken samt de bedömningar som lärarna gör. Denna fråga är dessutom relevant för lärarprofessionen då man som lärare både kommer att behöva förhålla sig till användandet av matematikboken samt vara väl insatt i konsten att bedöma elevernas kunskaper och leda dem framåt i sitt lärande. För att kunna undersöka huvudfrågan vidare har vi valt att dela upp den i underfrågor. I vilken utsträckning och på vilka sätt används matematikboken i matematikundervisningen? Vilka olika bedömningsunderlag och tillvägagångssätt för bedömning använder lärare sig av? I vilken utsträckning och på vilka sätt implementeras formativ bedömning av matematiklärare? Syftet med denna undersökning är alltjämt inte att göra anspråk på en vetenskaplig sanning. Detta arbete kan dock ses som en förstudie till ett större projekt som skulle behövas göras för att ge ett heltäckande svar på våra frågor. 9 3. Tidigare forskning I den inledande delen redogjordes för en trend som pekar på att matematikboken tenderar till att styra vad matematikundervisningen ska innehålla och hur den ska gå till (Johansson, 2006; Löwing, 2004; McDuffie & Mather, 2006; Skolverket, 2003). Givetvis ska man vara försiktig med att göra en alltför grov generalisering. Med all säkerhet finns det också klassrum där matematikboken används som ett komplement till undervisningen snarare än som grundpelare för den. Följande text begränsades emellertid till att undersöka följderna av denna trend, såsom vilka bedömningsformer som är vanligt förekommande vid olika användningssätt av matematikboken, istället för att gå in på de bakomliggande orsakerna till trenden. All forskning som presenteras i detta arbete har genomgått en granskning där dess vetenskapliga substans kontrollerats. En metod som vi använt oss av brukar kallas för ad fontes, vilket betyder tillbaka till källorna (Alvehus, 2013), det vill säga att all den forskning som presenterats är originalkällor. En följd av detta är exempelvis att inga läroböcker har använts som källor. 3.1 Socialkonstruktivistiskt perspektiv på lärande En utgångspunkt för detta arbete är det socialkonstruktivistiska perspektivet på lärande. Utifrån denna lärandeteori kommer problemområdet att belysas från ytterligare ett perspektiv. I den slutliga diskussionen kommer det att diskuteras vilka konsekvenser ett socialkonstruktivistiskt perspektiv på lärande får vid en undervisning som präglas till mångt och mycket av matematikboken och dess innehåll. 3.1.1 Tolkning av teorin Enligt Paul Ernest (1991) kan man beskriva matematiskt lärande som en social konstruktion. Han beskriver tre grunder för denna teori på lärande: “(i) The basis of mathematical knowledge is linguistic knowledge, conventions and rules, and language is a social construction (ii) Interpersonal social processes are required to turn an individual’s subjective mathematical knowledge, after publication, into accepted objective mathematical knowledge. (iii) Objectivity itself will be understood to be social.” (p. 42) Några år senare utvecklar Ernest (1994) sin begreppsförklaring något. Han förklarar då att han omvärderat hans tolkning av begreppet socialkonstruktivism en aning. Från att ha haft sina rötter i Piagets teorier kring konstruktivism, som fokuserar på det individuella 10 tänkandet vid konstruktion av kunskap, har han istället försiktigt börja närma sig Vygotskys teorier. Dessa innebär istället att det individuella tänkandet och de sociala interaktionerna är oskiljaktiga samt att kunskapen formas genom social interaktion. För att utvidga begreppet socialkonstruktivistiskt perspektiv på lärande ytterligare kan en förklaring skriven av Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz (2000) beaktas. De skriver att det ligger i traditionella konstruktivistiska tankar att individen konstruerar sina kunskaper baserat utifrån sina egna erfarenheter. Det vill säga att kunskapen inte är en färdig produkt som bara väntar på att bli inhämtad, istället är konstruktionen av kunskap påverkat av den sociala miljön som omger individen. Vidare beskriver de kunskap, inom socialkonstruktivismen, som något personligt och relativt. Det vill säga att kunskapen påverkas av unika förhållanden runt omkring oss såsom exempelvis förkunskaper, miljö och individuella egenskaper och därför kan skilja sig från individ till individ. För att göra en anknytning till vårt problemområde kan Ahlbergs (1995) tolkning av vad socialkonstruktivistiska perspektivet har för betydelse för undervisningen i matematik vara till hjälp. Hon skriver bland annat att läraren bör ta hjälp av elevers missuppfattningar för att få förståelse för hur varje elev konstruerar sin kunskap och för vilka föreställningar som de besitter. Även Jaworski (1994) tar upp vikten av att arbeta med elevers missuppfattningar. Hon menar att dessa missuppfattningar, från elevers sida, kan uppstå när elever försöker förklara verkligheten med hjälp av sina egna erfarenheter. Vidare skriver hon att det är viktigt att läraren visar intresse för sådana missuppfattningar för att minska avvikelsen från den förväntade inlärningsprocessen. På så sätt blir det viktigt för läraren att ha en viss förståelse om på vilket sätt elever lär, istället för att bara försöka påverka elevernas sätt att svara på frågor. Genom att veta på vilket sätt elever konstruerar kunskaper har läraren större möjlighet att påverka inlärningen. Ahlberg (1995) betonar dessutom att samtalet med eleverna inte enbart är till för att göra en kartläggning eller diagnostisering av dem, utan snarare för att utveckla deras förståelse. Dessutom poängterar hon vikten av att arbeta på fler sätt än enbart i sina matematikböcker om eleverna ska kunna upptäcka att matematiken är till för att användas både i och utanför skolan. 11 3.2 Matematikbokens användande 3.2.1 Matematikbokens roll i klassrummet I Sverige har läroboken haft en väldigt central roll för matematikundervisning under en längre tid. I sin doktorsavhandling gör Johansson (2006) en summerande redogörelse för matematikbokens användande. Hon sammanställer resultaten från fyra av hennes egna, något mindre artiklar och studier. För att nå fram till sitt resultat har hon bland annat intervjuat och observerat tre lärare samt teoretiskt granskat matematikbokens förhållande till den svenska läroplanen, över en längre tid. Johansson (2006) skriver att svenska myndigheter granskat läromedel ända sedan 30-talet, fram till 1992. En av dessa granskningar beskriver de läromedel som ofta användes som monotonous, characterless and uninteresting. Trots denna aning kritiska beskrivning av de ofta förekommande läromedel, redogör Johansson (2006) med hjälp av sina forskningsresultat att matematikboken idag alltjämt kan ses som[…] ”a predominant source in many mathematics classrooms” (s. 24). Vidare skriver Johansson (2006) också att ”textbooks have a crucial impact on the teaching of mathematics” (s. 30). Hon skriver att detta tycks bero på en viss avsaknad av nationella riktlinjer för hur undervisningen ska bedrivas, då de två senaste läroplanerna är så kallat målinriktade. Detta innebär att de endast beskriver målen, medan man som lärare själv får tillämpa metoder för att nå dem. Dessutom redogör Johansson (2006) för hur läromedel inom matematik ofta är konstruerade. Det är till exempel vanligt förekommande att böckerna idag är indelade i olika svårighetsnivåer, vilket kan ses som ett försök till att individanpassa läroböckerna till eleverna. Många lärare väljer idag att arbeta med en sådan individanpassad lärobok för att på så sätt ge eleverna möjlighet att arbeta i sin egen takt. Utifrån observationerna och intervjuerna som genomförts kan Johansson (2006) också redogöra för hur sådant enskilt arbete i matematikboken tycks utgöra genomsnittligt mer än hälften av lektionstiden. Hennes resultat ligger ganska nära till hands med det forskningsresultat Bentley (2003) presenterar baserat på sin undersökningsstudie. I den fick 724 svenska gymnasielärare i matematik bland annat svara på frågor kring hur deras undervisning såg ut. Av resultatet framgår att så kallad tyst, egen räkning bland eleverna idag är väldigt vanligt förekommande i de svenska skolorna. Denna typ av individualisering är enligt hans forskningsresultat den vanligast förekommande och benämns ofta som hastighetsindividualisering. Detta innebär att 12 läraren försöker utforma undervisningen så att eleverna ska kunna hinna med så många uppgifter som möjligt, genom att stora delar av lektionen ägnas åt tyst egen räkning. För att belysa hur användandet av matematikboken har sett ut tidigare kan man dock finna ett resultat som skiljer sig från den mer nutida forskning som redogjorts för ovan. Freeman & Porters (1989) forskningsresultat baseras på observationer som gjorts i fyra olika amerikanska fjärdeklasser under ett helt skolår. De rapporterar med hjälp av sitt observationsresultat att lärare använder matematikboken på en mängd olika sätt. För att undersöka huruvida läroboken styr lektionens innehåll eller inte utgår de ifrån tesen att läraren i ett läromedelsstyrt klassrum i princip använder läroboken från pärm till pärm. Resultatet, som visserligen framtogs för många år sedan, pekar på att denna typ av läromedelshanterande är ytterst sällsynt. Vad deras resultat också pekar på är emellertid att det finns stor variation på hur läroboken används i undervisningen. En slutsats som också dras av Ahlberg (2000), fast då elva år senare, då hon pekar på en stor grad av variation i sättet att använda sig av matematikboken. Emellertid delar hon in läromedelsanvändandet i tre inriktningar istället för en. Dessa tre kommer att beskrivas i ett senare avsnitt i detta arbete. 3.2.2 Matematisk förståelse i det matematikbokspräglade klassrummet Det är rimligt att anta att matematikundervisningen ser annorlunda ut från klassrum till klassrum. För att ta reda på hur denna variation påverkar elevers matematiska förståelse har Runesson (1999) i sin avhandling analyserat information som inhämtats från intervjuer med och observationer av fem olika matematiklärares undervisning. Med hjälp av denna information sammanfattar hon hur en vanligt förekommande undervisningsmodell ser ut. Enligt denna modell inleds ofta lektionen med en form av lärarledd gemensam genomgång, följt av egen tyst räkning i matematikboken. Vid sådana lektioner går ofta läraren igenom en viss typ av uppgifter, som eleverna i sin tur senare kommer att stöta på i läroboken. Vanligtvis föreslår också läraren en teknik för hur eleverna ska ta sig an och lösa uppgifterna. Vidare beskriver Runesson (1999) hur sådana lösningsinriktade tekniker ofta ges till eleverna innan de på egen hand ska använda dem i sitt självständiga arbete i matematikboken. En liknande slutsats görs av Freeman & Porter (1989), baserat på deras tidigare nämnda fallstudier från fyra amerikanska klassrum som pågick under ett skolår. Deras forskning visar att de metoder som läraren ofta väljer att framhäva som fördelaktiga tycks ligga nära till hands med de metoder som 13 boken väljer att presentera som lämpliga. Förutom detta beskriver Skolverket (2003) hur elever ofta tenderar att få överge sina mer informella och personliga lösningsstrategier för att istället hänvisas till bokens mer generella strategier för skolmatematik. I Skolverkets (2003) granskning beskrivs också hur matematikbokspräglad undervisning ofta kommer att handla om så kallad färdighetsträning, snarare än utveckling av matematisk förståelse. Löwing (2004) beskriver på ett liknande sätt hur eleverna tycks vara nöjda med att, på ett aningen mekaniskt vis, avverka så många uppgifter på så kort tid som möjligt, hellre än att förstå den faktiska matematiken i de uppgifter man räknar. Denna slutsats skulle i och för sig kunna bero på att detta är ett klassrumsklimat som eleverna är vana vid. Hade man undersökt ett klassrum där läraren lagt större vikt vid diskussioner och samtal kring matematik kanske resultatet sett annorlunda ut. Boalers (1999) klassrumsobserverande forskning, som gjordes på två olika skolor i Storbritannien, visar på hur matematikbokens struktur ibland kan förvirra elever. Exempelvis visar hon på hur elever tycks kunna knäcka läromedlets strukturella kod. Hon beskriver det som vanligt förekommande att boken ofta inleds med uppgifter av tämligen enklare karaktär, för att sedan öka i svårighetsgrad successivt. Denna förväntade progression kan leda till att eleven listar ut vid vilka tillfällen en enklare lösningsmetod eller en mer avancerad ska tillämpas, utan att egentligen reflektera över sitt val. Samtidigt kan avvikelse från denna struktur skapa förvirring hos elever som enbart knäckt matematikbokens strukturella kod: Lina calls me over and says that she is ‘stuck’. She needs to start a new exercise in the textbook and says that she does not know what to do. I explain the first question to her and she says ‘but this is the same’. I look at the previous exercise and find that there is indeed no difference between the demands of that exercise and the new one Lina is about to move onto. (Boaler, 1999, s. 265) Boaler (1999) benämner detta beteende som cue based. Helt plötsligt förstår elever inte uppgifter som de tidigare ”klarat av”, då med hjälp av matematikbokens struktur. Slutligen skriver hon även att det på så sätt kan uppstå en problematisk situation när elever som knäckt matematikbokens strukturella kod ska bedömas. Några av källorna som presenterats är visserligen flera år gamla. Det tydligaste exemplet på detta är den forskning som gjorts av Freeman & Porter (1989). Alltjämt kan denna forskning bidra med en inblick i hur undervisningen såg ut då, för att sedan möjliggöra för en jämförelse med hur det ser ut idag. Ett annat exempel på forskning som kan te sig gammal är Boaler (1999) och Runesson (1999), som båda beskriver vanliga företeelser 14 inom undervisningen. Man kan diskutera huruvida deras resultat faktiskt är relevanta än idag, men samtidigt kan det vara intressant att se ifall sådana vanliga företeelser fortfarande är desamma eller om det skett en noterbar förändring. 3.3 Bedömning Bedömning är en komplex företeelse som består av flera aspekter. Exempelvis slås det fast i läroplanen att skolan ska sträva mot likvärdighet oavsett var utbildningen äger rum i landet. Det är enbart elevernas kunskaper som ska ligga till grund för de bedömningar som görs och det är läraren som ska avgöra huruvida elevernas kunskaper är tillräckliga för att uppnå kunskapskraven. (Skolverket, 2011). Dessutom brukar man prata om begreppen validitet och reliabilitet inom bedömningsforskningen. Förenklat innebär validitet att en bedömning faktiskt bedömer det den avser att bedöma medan reliabilitet idealt innebär att en bedömning ska ge samma utfall oavsett vem som bedömer och när bedömningen utförs (Jönsson & Svingby, 2007). För att belysa de olika aspekter som lärare bör ha i åtanke vid bedömningar så kommer detta avsnitt att presentera forskning kring bedömningens olika syften, lärarens införskaffande av kunskap om elevernas kunskaper samt feedbackens roll i bedömningsprocessen. 3.3.1 Bedömningens olika syfte: Summativ och formativ bedömning Forskare inom området bedömning (Björklund Boistrup, 2010; Black & Wiliam, 1998; Jönsson 2008; Pettersson, 2010) brukar urskilja två huvudtyper av bedömning. De bedömningar som görs efter prov och diagnoser med syftet att sammanfatta vad för kunskaper eleverna har brukar kallas bedömning i summativ mening. Jönsson (2008) skriver att sådana summativa bedömningar ofta görs vid betygsättning eller certifieringar såsom vid körkortsprov, där syftet är att kontrollera hur långt eleverna har nått i sitt lärande. Den andra typen av bedömning som ofta omnämns är bedömning i formativ mening. Till skillnad från den summativa bedömningen så går bedömning i formativ mening ut på att hjälpa eleverna att åskådliggöra deras läroprocess (Björklund Boistrup 2010, Jönsson 2008). Black & Wiliam (2009) beskriver tre huvudsakliga processer för bedömning i formativt syfte: vetskap om målet med undervisningen, vetskap om var eleven befinner sig i förhållande till målet och slutligen vetskap om vilket stöd eleven behöver få för att kunna nå undervisningsmålet. 15 Flera forskare framhåller bedömning i formativ mening som en effektiv och viktig bedömningsmetod (Björklund Boistrup 2010; Black & Wiliam 1998; Hattie 2009; Pettersson, 2010). Exempelvis så visar Hatties (2009) meta-metastudie, där han har granskat och sammanställt resultat från 800 metastudier, att formativ bedömning i sig har en stor betydelse för elevernas fortsatta lärande. Dock påpekar han att det finns flera olika underkategorier av formativ bedömning och att dessa har en varierad effekt för lärandet. Exempelvis har metoden att låta eleverna självuppskatta sina betyg väldigt hög effekt för deras fortsatta lärande. Två andra metoder som enligt Hattie (2009) ligger inom ramen för formativ bedömning och som också uppmäter en hög önskad effekt för elevernas lärande är kamrathandledning och återkoppling till eleverna från läraren. 3.3.2 Lärarens införskaffande av kunskap om elevernas kunskap Pettersson (2010) skriver om vikten av att läraren införskaffar ett gediget underlag som i sin tur kan validera den bedömning som ska göras eller det betyg som ska sättas. Det är emellertid förekommande att elever inte alltid ges optimala förutsättningar till att visa sina kunskaper, då exempelvis ställda frågor kan missuppfattas. Pettersson (2010) beskriver en problematisk situation som kan uppstå: Jag minns själv när jag ett antal gånger frågade en liten pojke hur gammal han var och inte fick något svar förrän jag formulerade om frågan och frågade honom hur många år han var. Då kunde han svara på frågan, han svarade att han var tre år och inte gammal och ställde sedan omedelbart frågan till mig, hur gammal är du? Jag hade genom att ställa en för honom obegriplig fråga hindrat honom från att visa sin kunskap. Men hans svar visade att han troligtvis bara hade en betydelse av ordet gammal. (s. 15) Även Emanuelsson (2001) tar upp denna införskaffandeprocess i sin forskning. Baserat på de lärarintervjuer han gjort framhäver han den dagliga samvaron med eleverna i klassrummet som en viktig källa till kunskap om elevernas kunskaper. Han menar att det är i denna samvaro som läraren noterar vart eleven befinner sig i förhållande till de mål de ska uppnå. I detta möte tillskansar sig läraren värdefull information om elevernas kunskaper som annars kan riskera att hamna i skymundan. Han menar att risken för att detta sker är större om bedömningen i stor utsträckning utgörs av ett summativt provresultat. Även Löwing (2004) beskriver det som problematiskt att göra en rättvis bedömning utifrån ett summativt provresultat, inte minst i det läromedelsstyrda klassrummet. Enligt henne är de prov och tester, som ofta tillhandahålls och utformas utifrån ett läromedel, inte tillräckligt kvalitativa för att kunna kartlägga de kunskaper 16 elever faktiskt besitter. Dessa menar hon ger en allt för entydig förklaring av elevernas kunskaper. Vidare beskriver Löwing (2004) ytterligare en problematik då läraren ska införskaffa sig kunskaper om elevernas kunskaper i det läromedelsstyrda klassrummet. Hon beskriver hur det i detta klassrum bildats en vanlig attityd hos eleverna, inte sällan hos de mer duktiga. Attityden är en önskan om att få arbeta vidare i sin matematikbok utan avbrott. De gånger läraren vill diskutera ytterligare, mer avancerade, lösningsstrategier och tillvägagångssätt avfärdas ofta försöket. Samtidigt tycks de gånger eleverna söker kontakt med läraren vara då de behöver hjälp med att ta sig vidare i boken. Något vidare intresse för att diskutera matematiken bakom uppgifterna tycks enligt Löwing (2004) inte förekomma. Även här skulle slutsatserna visserligen kunna bero på att Löwing undersökt klassrum där en viss sorts klassrumsklimat råder. Om läraren skapar ett klimat där man alltid räknar i böckerna är det troligt att anta att eleverna värderar detta högt. Om man istället har en undersökt klassrum där det är viktigt att diskutera matematik kommer detta förmodligen att värderas högre. 3.3.3 Feedbackens roll i bedömningsprocessen Ett annat sätt för läraren att införskaffa sig kunskaper om elevernas kunskaper är genom att använda sig av så kallad feedback. I sin syntes beskriver Hattie (2009) feedback som en slags återkoppling. Till exempel återkoppling till eleven om hur väl en uppgift genomförts. Han skriver också hur feedback inte bara är en envägskommunikation, eftersom den även fungerar som en värdefull informationskälla om elevernas kunskaper åt läraren. Han skriver: ”it is the feedback to the teacher about what students can and cannot do that is more powerful than feedback to the student, and it necessitates a different way of interacting and respecting students” (s. 4). Han får medhåll av flera forskare och deras forskning som även de framhåller feedback i allmänhet som en viktig del av bedömningsprocessen (Black & Wiliam, 1998; Hattie & Timperley, 2007). Man kan diskutera huruvida Hatties (2009) slutsatser från hans metaanalys är allt för generaliserade och långtgående. Att ha som mål med sin undersökning att hitta ett mätvärde, utifrån olika utbildningsprestationer, för vilka undervisningsmetoder som är effektiva och vilka som inte är det är långt ifrån oproblematiskt. Man kan till exempel ifrågasätta vilken hänsyn som tas till yttre faktorer såsom lust att lära och det demokratiska uppdraget, när ett sådant värde fastställs. Ett rimligt antagande är dessutom 17 att det finns metoder som är bättre lämpade i en viss elevgrupp, som kanske inte heller fungerar i en annan. Exempelvis varierar klasser i storlek, i nivåer och i intressen. Därmed kan det vara svårt att hitta en allmängiltig sanning för vilken metod som är effektiv och vilken som inte är det. Hattie & Timperley (2007) ger alltjämt ett annat exempel på hur feedback kan vara ett väldigt värdefullt instrument då läraren ska göra sin bedömning samtidigt som denne ska hjälpa eleven framåt i sitt lärande. De skriver hur ”korrekt” utförd feedback kan främja elevernas vilja att hantera mer komplicerade uppgifter. De beskriver att sådan ”korrekt” feedback svarar på tre frågor kring elevernas lärande: Vart ska jag?, Hur tar jag mig dit?, Vilket är nästa steg? [egen översättning]. Sådan feedback ämnar i huvudsak att minska diskrepansen mellan elevernas befintliga kunskaper och den önskade. De skriver också hur feedback tydliggör för eleven vilka mål som nåtts samt vad det är som behövs förbättras för att kunna nå upp till nästa mål. Det är också av vikt att målet som sätts ut är för eleven på en lämplig nivå, så att denne upplever det motiverande och genomförbart att nå det. Å andra sidan beskriver Hattie & Timperley (2007) och Hattie (2009) också att feedback inte är en metod som per automatik ger omedelbara resultat. Feedback ges fördelaktigt kontinuerligt under en längre period. Däremot ger ”felaktigt” utförd feedback ingen större effekt på elevernas kunskapsutveckling. De beskriver att sådan ”felaktig” feedback kan vara för höga målsättningar, som kan leda till att eleven istället ignorerar de uppsatta målen då de känns ouppnåbara. Det kan också vara för låga målsättningar, som kan till exempel leda till att elever nöjer sig med att prestera på en nivå under deras egentliga kapacitet. 18 4. Metod I följande del av arbetet presenteras i huvudsak de metoder som använts under arbetets gång. Dessa metoder har valts ut för att på bästa sätt göra det möjligt att undersöka vår huvudfråga, nämligen att undersöka huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess. Även de överväganden som gjorts diskuteras, såsom exempelvis val av metod. Dessutom presenteras genomförandet av den undersökning som utgör grunden till detta arbete. Till sist diskuteras undersökningens tillförlitlighet samt hur vi förhållit oss till vissa forskningsetiska principer. 4.1 Urval Inför vår studie kontaktade vi ett antal matematiklärare och informerade dessa om syftet för vår studie samt bad om deras deltagande. Lärarna som intervjuats undervisar i matematik inom årskurserna 4-6. Vid valet av intervjupersoner så har vad Bryman (2011) benämner som ett målinriktat urval gjorts. I detta fall innebär det att vi riktat in oss på personer som dels är matematiklärare och som dels använder sig av en matematikbok, i någon utsträckning, i sin undervisning. Tilläggas kan att vi inte kom i kontakt med någon lärare som inte använde någon matematikbok alls, vilket innebär att vi inte aktivt valde bort någon lärare. Vilka skolor lärarna har varit verksamma i hade ingen betydelse vid vårt urval, då vi endast fokuserade på att komma i kontakt med matematiklärare. Det kan dock tilläggas att lärarna varit verksamma på flertalet olika skolor och dessutom i olika städer. Då ett strategiskt urval gjorts får man ha i åtanke att detta kan medföra vissa risker. Alvehus (2013) belyser en sådan risk, då han skriver att man riskerar att bli alltför strategisk i sitt urval. Vi är väl medvetna om att vårt urval är begränsat, vi går till exempel miste om de klassrum där matematikboken inte används överhuvudtaget. Detta finns i åtanke när slutsatserna för undersökningen dras. 4.2 Datainsamlingsmetod 4.2.1 Genomförande av intervjuerna Undersökningen som genomförts är en kvalitativ undersökning. Bryman (2011) benämner en kvalitativ undersökning som en som fokuserar mer på ord och dess innebörd. 19 Fördelen och anledningen till att en sådan undersökning valts är att det ger respondenten större möjlighet att förklara och resonera kring frågorna (Bryman, 2011). Av de matematiklärare vi kontaktade genomfördes intervjuer med sju stycken. Lärarna var verksamma på totalt fem olika skolor. Intervjuernas längd varierade mellan 30 minuter och 50 minuter. Vår intervjumetod ligger nära till hands med den intervjumetod som Bryman (2011) kallar för semistrukturerad intervju. Han förklarar att en semistrukturerad intervju innebär att intervjuaren har bestämt frågorna på förhand, även om frågorna som ställs är väldigt öppna. Fördelen med en sådan intervju är att den är anpassningsbar på ett sätt som ger respondenterna chans att svara fritt. En annan fördel är möjligheten att ställa följdfrågor som kan ge ett kompletterande och mer detaljerat svar. En nackdel kan vara att man kommer in på andra sidospår och därmed tappar fokus, vilket vi försökt undvika vid våra intervjuer. Vid intervjutillfället har vi använt oss av dokumentet Intervjufrågor (bilaga 1). Vid utformandet av frågorna till intervjun har vi tagit några av Brymans (2011) råd i beaktning, såsom att undvika ledande frågor. Han betonar vikten av att undvika sådana ledande frågor, som då leder respondentens svar i en viss riktning. Bryman (2011) ger ytterligare ett råd, nämligen att man inte kan anta att respondenten är bekant med en viss sorts begrepp sedan tidigare. Därför har vi försökt bidra med en begreppsförklaring, när begrepp såsom till exempel summativ och formativ bedömning förekommit. Svaren vi fått ifrån intervjuerna har spelats in och de mest relevanta delarna har transkriberats för att kunna användas i analysen. Vid intervjun övervägdes vilket förhållande som skapades mellan intervjuare kontra respondent, då vi var två intervjuare gentemot en respondent. Bryman (2011) skriver att en andra intervjuare troligtvis inte har någon effekt vid en strukturerad intervju, medan det kan vara fördelaktigt i en mera ostrukturerad intervju i kvalitativa undersökningar. Därför valde vi att genomföra intervjun tillsammans, trots det numeriska och det eventuella psykologiska övertaget. Dock var det ofta den ene av oss som var mer ledande i intervjuandet medan den andre antecknade och flikade in med enstaka följdfrågor. 4.2.1 Metodologisk diskussion I valet av metod är vi medvetna om att det finns andra kvalitativa metoder som säkerligen hade kunnat ge en djupare bild av undersökningsområdet, såsom till exempel observationer av matematiklektioner eller elevintervjuer. Den främsta anledningen till att 20 dessa valts bort är arbetets begränsade tidsutrymme. Det viktigt att ta tidsaspekten i beaktning i sin forskningsprocess (Friberg, 2006) och då vi har ett begränsat tidsintervall för detta arbete har därför en sådan metod valts bort till fördel för intervjuer av lärare, vilket kräver mindre omfattande förberedelser än vid intervjuer av minderåriga elever. En annan anledning till varför möjligheten att intervjua elever valdes bort var att syftet med undersökningen var att ta reda på lärarnas tankar kring matematikboken och de bedömningar de ska göra. För att ge arbetet en större vetenskaplig grund att stå på är vi medvetna om att det hade behövt göras en mer omfattande undersökning som exempelvis också inkluderat både observationer under en längre tid samt elev- och ytterligare lärarintervjuer. Som nämndes i syftet kommer därmed inte detta arbete göra anspråk på att presentera en vetenskaplig sanning, utan ska snarare betraktas som ett alternativ till en förförståelse till det större projekt som hade behövts göras. 4.3 Vetenskapligt förhållningssätt Patel och Davidsson (2003) beskriver att resultat kan tolkas utifrån två olika vetenskapliga förhållningssätt; positivistiskt och hermeneutiskt. Författarna skriver att det positivistiska förhållningssättet har sin bakgrund i naturvetenskapen och alla teorier och vetenskaper då grundas utifrån generella lagar och samband. Sådana lagar ska formuleras på ett logiskt och neutralt sätt. I detta arbete gör vi emellertid en tolkning av de intervjusvar som ges samt att vi tolkar de forskningsresultat för att sedan jämföra hur de står i relation till intervjusvaren. Därför lämpar sig ett hermeneutiskt förhållningssätt aningen bättre till detta arbete. Forskare brukar beskriva detta synsätt som en motpol till det positivistiska synsättet. Författarna beskriver hermeneutiken som en inriktning vilken innebär att man försöker tolka, förstå och studera omvärlden utifrån sina egna kunskaper och värderingar. För att utvidga förklaringen av hermeneutiken kan Gilje och Grimens (2007) förklaring vara till hjälp. Enligt författarna bottnar hermeneutiken i en tanke om att vi alltid skapar en förståelse av exempelvis en text eller ett visst fenomen utifrån vår egen förförståelse. På så sätt menar de att vi aldrig möter världen förutsättningslöst. Detta förhållningssätt överensstämmer i stora delar med det socialkonstruktivistiska perspektivet på lärande, som tidigare nämndes som en utgångspunkt för detta arbete. 4.4 Forskningsetik Inför intervjun meddelades respondenterna att samtliga person- och kontaktuppgifter kommer förvaras så att obehöriga inte kan få tag på dem. Respondenterna meddelades att 21 de svaren som uppgavs enbart användes för att bearbeta resultatet. De gånger då ett svar delgavs användes fiktiva namn för att skydda respondentens identitet. För att kunna bearbeta resultatet skedde ljudupptagning vid intervjun, dock endast i samtycke med respondenten. Inför en intervju skriver Bryman (2011) att det är fördelaktigt att respondenterna blir informerade om syftet med den, för på så vis kunna fatta ett beslut om sitt deltagande. Han skriver också om att man inte ska ta för givet att respondenten är villig att svara på alla frågor som har förberetts. Med detta i åtanke var vi noggranna med att inledningsvis informera respondenterna om syftet med vår intervju. Efter detta fick de möjlighet att själv bestämma över sin medverkan. Under intervjuns gång fick de också möjligheten att valfritt svara på de frågor som ställdes. Det vill säga att om någon fråga exempelvis skulle upplevas för personlig eller för utgivande så fanns möjlighet att avstå att svara på denna. De medverkande informerades om detta för att uppfylla de fyra kraven (informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet) för god forskningsetik som framställs i Vetenskapsrådet (2002). 4.5 Tillförlitlighet För att granska kvalitet i vetenskapliga sammanhang skriver Alvehus (2013) att man ofta brukar använda sig av de två tidigare nämnda begreppen, validitet och reliabilitet. Validitet står för huruvida man undersöker det som avses undersökas. Reliabilitet betyder förenklat pålitlighet. I detta sammanhang innebär det att ett snarlikt resultat, som vårt, ska kunna uppnås vid en hypotetisk liknande undersökning. Å andra sidan kan dessa begrepp vara aningen problematiska. Alvehus (2013) beskriver problematiken med reliabilitet på följande vis: ”Det är svårt att tänka sig att två intervjuare kommer att få exakt samma svar om de intervjuar samma person, eller ens att samma person levererar exakt samma utsagor i två intervjuer som ju kommer att ske vid olika tillfällen. Och i tolkningsarbetet, där teorier och empiriskt material ställs i relation till varandra, spelar naturligtvis uttolkaren själv en central roll.” (s. 123) Vidare skriver Alvehus (2013) om vikten att vara försiktig med att […]”fälla utsagor som är giltiga för samtliga förekommande instanser av samma kategori” (s. 127). Då vi har ett relativt begränsat antal deltagare är det givetvis svårt att dra för stora slutsatser då sådana kommer bli ganska generella, samtidigt som de intervjuer som gjorts ger en viss förklaring till vårt problemområde. 22 Man kan även argumentera för att undersökningens validitet styrks av det gjorda strategiska urvalet, som tidigare nämndes. För att undersöka vad som avses undersökas är det en fördel att matematikboken faktiskt används av de lärare som intervjuats, då vår forskningsfråga är att undersöka huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess2. Visserligen hade det varit intressant att ta reda på hur bedömningsprocessen ser ut i de klassrum där matematikboken inte används överhuvudtaget, emellertid ryms denna fråga inte inom ramen för vårt problemområde. Man kan också diskutera reliabiliteten i detta arbete då vi utgått från den observation som gjordes på vår verksamhetsförlagda tid. Möjligtvis kan detta ses som ett ställningstagande från vår sida. Då vi utgår från ett hermeneutiskt förhållningssätt bör detta alltjämt inte ses som ett problem, utan snarare en tillgång då våra erfarenheter och vår förförståelse, enligt detta förhållningssätt, hjälper oss att tolka materialet. 4.6 Analysmetod 4.6.1 Val av metod Alvehus (2013) urskiljer tre olika analysmetoder, vilka är vanligt förekommande vid granskning av empiri. De tre metoderna brukar benämnas som deduktion, induktion och abduktion. Förenklat beskriver han att en deduktiv ansats utgår från hypoteser som prövas mot empiriskt material medan en induktiv forskningsansats innebär att man tar utgångspunkt i det empiriska materialet och sedan bygger slutsatser enbart utifrån detta. Dessa ansatser är båda ideal som är väldigt svåra att leva upp till. Alvehus (2013) beskriver att en deduktiv ansats […]”blir problematisk i kvalitativ forskning på grund av själva tolkningsprocessen. Det är svårt att hävda att tolkningen görs oberoende av forskaren, och vad är det då man har testat: hypotesens eller uttolkarens kapacitet att förklara” (s. 109). Samtidigt förklarar han hur en induktiv ansats är komplicerad att förhålla sig till, då det kan förefalla problematiskt att göra en analys utan teoretisk förförståelse. Den analysmetod som oftast förekommer, enligt Alvehus (2013), är istället abduktion. Han beskriver att en sådan metod innebär en slags symbios mellan teorin och empirin. Reflektionerna som görs utgår både från teorin och empirin, och det sker en växling mellan de båda. Vidare skriver Alvehus (2013) att teorin och empirin kan ses som 2 Se tidigare metodologisk diskussion på s. 20-21 23 […]”två dimensioner som kommer i kontakt med varandra och kontinuerligt omformas. På detta sätt mejslas en förklaring succesivt fram” (s. 110) För att analysera vårt resultat har vi använt oss av en abduktiv metod då vi tar avstamp i tidigare forskning och litteratur som berör vårt ämne, för att sedan applicera detta på det resultat vi fått av våra intervjuer och på så vis succesivt arbeta fram en slutsats. 4.6.2 Analysförfarande För att kunna undersöka vår huvudfråga, nämligen att undersöka huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess, gjordes en analys av det datamaterial som införskaffades i samband med intervjuerna. För att analysera detta resultat har vi tagit utgångspunkt ur de lärartyper som presenteras i Ahlberg (2000) och som tidigare nämnts, i korthet, i detta arbete. I denna vetenskapliga artikel skriver hon att det finns stor variation i lärares sätt att använda sig av matematikboken. Alltjämt urskiljer hon tre övergripande modeller, som ter sig vanliga i matematikundervisningen: A. Lärare som använder läroboken som den enda utgångspunkten för sin undervisning. Innehållet i undervisningen knyts inte i någon vidare utsträckning till barnens erfarenheter. De frågor som ställs till barnen är knutna till boken och syftar att motivera dem till att arbeta vidare i den. B. Läroboken är den huvudsakliga utgångspunkten för undervisningen. Emellertid utgår läraren även från barnens tankar och idéer, men det är fortfarande arbetet i boken som är grundpelaren för undervisningen. C. Läroboken är enbart ett komplement och undervisningen planeras inte utifrån den. Istället utgår undervisningen från barnens erfarenheter och tidigare kunskaper. Flera läroböcker används, där främsta syftet är färdighetsträning. För att kunna kategorisera vårt resultat har vi valt att använda oss av dessa lärartyper, för att sedan kunna identifiera hur bedömningsprocessen förefaller inom ramen för de olika modellerna. På så sätt ämnar vi försöka upptäcka några mönster som i sin tur ger ett svar på vår forskningsfråga. 24 5. Resultat och analys I följande avsnitt kommer resultatet från vår studie att presenteras och analyseras. Resultatet ämnar svara på vår huvudfråga, det vill säga huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess. Resultatet är en sammanställning av de intervjusvar som angivits av de matematiklärare, inom årskurserna 4-6, som intervjuats. Resultatet kommer att presenteras i tre huvudsakliga delar. I den första delen redovisas en översikt för hur våra intervjuade lärare uppgav att de använde sig av matematikboken i undervisningen. I den andra delen redovisas en kategorisering av de intervjuade lärarnas användande av matematikboken. Denna kategorisering leder sedermera in till den tredje delen av detta avsnitt, där vilka bedömningsformer som förekommer inom respektive kategori granskas. 5.1 Matematikbokens förekommande i klassrummet 5.1.1 Lärarnas användande av matematikboken Av de sju lärare som intervjuats svarade fem lärare att matematikboken var en slags grundval för deras planering och genomförande av matematiklektioner. Till exempel uttrycker sig en av lärarna, som kommer att kallas Kjell, på följande vis på frågan om hur han använder sig av matematikboken i sin undervisning: Kjell: Den (matematikboken) är som en ryggrad. Den är ett redskap som finns där och som man tar hjälp av, så man slipper uppfinna hjulet hela tiden. Det är ändå kunniga människor som suttit och tänkt ut det här med hjälp av läroplanen. Ska man då sitta och göra detta jobb igen? Nej, så mycket tid finns det inte. En annan lärare, som vi kallar för Lena, svarar liknande på samma fråga: Lena: Jag använder mig mycket av den. Alltså, jag är ju för det här med att använda matematikbok. Om man arbetar med boken så vet man att man får med alla momenten. Sen är det klart att man ska ge eleverna chansen att göra andra uppgifter och liknande. Sen är där ju vissa uppgifter man får stryka, då de inte passar alla elever. Detta är två representativa beskrivningar som skulle kunna tyda på att forskningen som tidigare redovisats för överensstämmer med verkligheten. Alltjämt synliggjordes också en viss variation i vår undersökning då två lärares undervisning avvek från majoriteten. Gemensamt för dessa två är att de inte, till skillnad från de andra fem, arbetar som klasslärare. Istället ägnar de all sin undervisningstid åt matematik. Den ene av dessa två, 25 Cornelia, arbetar som resurslärare och därför såg hennes lektioner väldigt varierande ut från gång till gång. Ytterligare en orsak att hennes lektioner såg annorlunda ut jämfört med majoritetens kan vara att hon hade färre elever i sin undervisningsgrupp, endast ett fåtal varje gång. Den andre av dessa två, som vi kallar för Henrik, använde sig av matematikboken som ett i mängden av många material och snarare som ett komplement till hans egenskapade material. Han beskriver hur han använder sig av matematikboken på följande sätt: Jag använder den som ett komplement. Jag har olika böcker för olika grupper och för olika nivåer inom grupperna. Till exempel finns det böcker som är alldeles för komplicerade för elever som har exempelvis dyslexi. För att komplettera matematikboken gör jag jättemycket material själv. Under vissa perioder kastar jag boken helt åt sidan, för att enbart arbeta med eget material. Emellertid uppger samtliga av de sju lärarna att de inte enbart använder sig av ett enstaka material i sin matematikundervisning. Vanligt förekommande var istället att man använder sig av matematikboken regelbundet för att då och då lyfta in annat material. Ett exempel på detta ger Lena, då hon fortsätter sitt resonemang på den tidigare frågan: Men jag har också avsatt en dag i veckan till att arbeta med annat material. Då använder vi oss bland annat av uppgifter i anknytning till kortspel och tärning samt problemlösningsuppgifter. Då får eleverna arbeta först enskilt, sedan i par och till sist går vi igenom det gemensamt. En annan fråga som ställdes för att undersöka vilket sätt matematikboken användes på var huruvida lärarna kontrollerar hur långt eleverna kommit i sina böcker. Det mest återkommande svaret var att lärarna ofta gav eleverna ett så kallat beting, en slags gräns, för hur långt man ska ha hunnit räkna i sin bok till en viss tidpunkt. En av orsakerna till varför lärarna använde sig av ett sådant beting var att de upplevde en viss press med att hinna med alla moment som ska hinnas med, både i läroboken och i läroplanen. Endast en av de tillfrågade nämnde att de inte på något sätt kontrollerar hur långt eleverna kommit i sin bok. Gemensamt för alla svarande är att de dock inte lägger någon vikt vid att alla uppgifter i matematikboken ska göras. Dock skiljer sig tillvägagångssättet något när eleverna väl är klara med sitt beting. Några av lärarna uppgav att de fritt låter eleverna arbeta vidare framåt i sin bok på nya områden, medan andra tycks vilja ha kvar hela klassen på samma arbetsområde. För att illustrera skillnaden tar vi hjälp av två lärares beskrivningar av deras arbetssätt. Bodil berättar hur hon går till väga: Istället för att arbeta vidare med nya områden i fyrans bok så får de lite svårare uppgifter på det området vi arbetar med, från till exempel femmans mattebok. Det 26 kan också hända ifall jag märker att någon tycker det är alldeles för enkelt. På så sätt arbetar alla med samma arbetsområde och det är ändå lätt att individanpassa uppgifterna efter elevernas behov. Örjan, å andra sidan, berättar om hur han går tillväga då någon av hans elever hunnit längre i boken än övriga i klassen: (Pratar om en duktig elev) Hon får en kort genomgång av mig inför det aktuella kapitlet och dessutom inför nästa kapitel. Då klarar hon av att arbeta vidare under tiden. Hon har den kapaciteten, så jag låter henne arbeta på i sin egen takt. Hon får det i förväg liksom. Skulle hon bli färdig med femmans bok så får hon jobba vidare med sexans och därefter sjuans bok om det skulle bli aktuellt. Då många uppgifter var snarlika uppgav några lärare att de hoppar över vissa uppgifter för att istället hinna med fler moment. Samtliga kände också att läroplanens kunskapskrav var uppfyllda av deras matematikböcker. I sammanhanget är det värt att nämna att samtliga tillfrågade arbetade med böcker som var anpassade efter Lgr 11. Antingen hade man gjort det en längre tid, eller nyligen bytt för att arbeta med tydligare förankring till kunskapskraven. Två av lärarna nämnde också att de hoppar över uppgifter som de inte tycker är tillfredsställande. En återkommande problematik tycks dock vara tidspressen över att hinna med alla moment. Kjell återkommer till detta ännu en gång: Det är många kapitel som ska hinnas med innan det är dags för de nationella proven. Det är visserligen saker som vi jobbat med i 4:an och 5:an, men som ändå ska hinnas med nu igen innan proven i 6:an. Eleverna kan få det svårt att hänga med. Det blir lätt stressande för de elever som har det svårare för matte. Ibland kanske man känner att man hade velat stanna upp vid en uppgift lite längre, men i brist på tid gör man inte det. 5.1.2 Lärarnas syn på elevernas arbete i matematikboken Av de tillfrågade lärarna var det, som tidigare nämnt, fem lärare som använde sig av matematikboken som en stomme för sin undervisning. Lägg därtill den tidigare beskrivne resursläraren som oftast arbetade med problem eller uppgifter hämtade från matematikboken. Gemensamt för alla de beskrivna lektionstillfällena var att de oftast inledde med en form av genomgång eller repetition samt en slags avslutande diskussion vid nästintill varje lektionstillfälle. Sådana diskussioner kunde handla om ett nytt område, svåra uppgifter som många fastnat vid eller för att diskutera lösningar. För att ta reda på hur mycket tid eleverna ägnade åt egen räkning, i sina räknehäften, frågade vi dessa lärare om detta. Samtliga uppgav att cirka 50-60% av tiden gick åt till sådan räkning, vid en genomsnittlig lektion. Även Henrik, som inte använde sig av matematikboken i på liknande vis som de andra, uppgav alltjämt att han också lät eleverna arbeta med egen 27 räkning uppskattningsvis i lika stor utsträckning. Då rörde det sig istället om egenskapade uppgifter eller extrauppgifter utanför boken. För att skapa oss en bild om hur lärarna uppfattade elevernas inställning till att arbeta i matematikboken tillfrågades dem om detta. Resultatet visade att samtliga lärare hade en likställd syn på frågan. Det visade sig att de alla hade uppfattningen att eleverna tyckte om att arbeta i matematikboken. Vad som också framgick ur lärarnas svar var en viss negativ attityd hos eleverna då något annat material plockats fram. Kjell exemplifierar detta: Skulle jag ta fram något laborativt så kan eleverna säga: ”Nej, ta bort det här”, ”Vi vill jobba i matteboken ” eller ”Vi vill komma långt i matteboken”. Eleverna tror ju fortfarande det, att det handlar om att komma långt i matteboken. Det är rätt svårt att slå hål på den myten. Även om man tjatar om det varenda lektion. Det är dock lite vanligare i de yngre årskurserna. Även om de flesta lärarna hade en snarlik uppfattning som Kjell, berättades det samtidigt om hur eleverna tycktes behöva en period att vänja sig vid att sådant material tar plats i undervisningen. De flesta av lärarna ansåg att när eleverna väl har vant sig vid detta arbetssätt så tycker de faktiskt att det är ganska kul. Exempelvis berättar Henrik om hur han upplever elevernas attityd när han försökt vänja eleverna vid nya arbetssätt: Två gånger har jag tagit över klasser där de tidigare lärarna enbart arbetat med matematikboken. Då har jag börjat med att kasta boken åt sidan. Man kan säga att det till en början finns ett motstånd och lite gnäll men så småningom så har de vant sig vid det och ser nyttan med detta arbetssätt. Eleverna tycker det är kul med de uppgifter som läraren själv har skapat. Efteråt kommer ofta elever fram och berättar att de lärt sig mycket mer än under de tidigare lektionerna. Henriks svar tyder också på en liknande attityd hos eleverna, alltjämt pekar den likväl på att denna attityd går att vända på. För att vidare undersöka elevernas arbete i matematikboken frågade vi hur lärarna ser på de lösningsstrategier som boken ofta presenterar som lämpliga jämfört med elevernas egna, mer informella och personliga lösningsstrategier. Samtliga av respondenterna svarade att de uppmuntrar eleverna till att våga prova sina egna metoder, samtidigt som de försöker belysa vikten av att metoderna faktiskt ska fungera mer än en gång. För att sammanfatta lärarnas svar tar vi hjälp av Kjells målande metafor: För att ta sig till Rom kan man ju köra genom Paris. Men man kan även köra genom östra Europa. Det spelar ju ingen roll, så länge eleverna kommer fram till en metod som inte är för omständlig. Den kan ju inte heller bara fungera en gång, för då är det ingen hållbar metod. Sen kan man ju fråga sig vilken väg som är mest hållbar att köra i längden? 28 Några lärare håller sig dessutom skeptiska till bokens sätt att ibland konstra till det för eleverna. En lärare svarade till exempel att hon uppmuntrar eleverna att alltid använda sig av algoritmer som lösningsstrategi vid skriftlig huvudräkning. En annan svarade att bokens alla steg inte alltid är lämpliga, och att bokens försök att göra saker och ting förenklat istället gör det mer komplicerat för eleverna. 5.2 Kategorisering av de svarande lärarnas matematikundervisning I följande avsnitt kommer de lärare som intervjuats att kategoriseras utifrån de tre lärartyper ur Ahlberg (2000) som vi tidigare presenterade. Kriterierna för de olika kategorierna är vår egen tolkning baserat på Ahlbergs (2000) beskrivningar. Givetvis har många av de tillfrågade lärarnas undervisning karaktärsdrag som skulle kunna uppfylla kriterier i mer än en kategori. Vid sådana fall har de placerats i den kategori där de uppfyller flest kriterier. För att kunna placera en lärares undervisning i en viss kategori ställdes ett antal frågor till det empiriska materialet. Exempel på sådana frågor är: ”I vilken utsträckning använder den tillfrågade läraren sig av matematikboken?”, ”På vilket sätt används annat material än matematikboken?” och ”På vilket sätt inkluderas elevernas erfarenheter och tankar i det matematiska samtalet i klassrummet?”. Utifrån svaren har ett försök till kategorisering gjorts, där de lärare med liknande undervisningsdrag placerats inom samma kategori. 5.2.1 Kategori A – läroboken som den enda utgångspunkten Den första kategorin består av de lärare som använder läroboken som den enda utgångspunkten för undervisningen. Undervisningen i sig knyts inte i någon vidare utsträckning till elevernas erfarenheter och upplevelser. De frågor som ställs till eleverna ämnar i första hand att motivera dem till att arbeta vidare i boken. Av våra intervjuade lärare har två av sju uppfyllt kriterierna för denna kategori. Gemensamt för dessa är att det mesta arbetet i klassrummet utgår från läroboken. För att ge ett exempel på varför en lärare har placerats i denna kategori tar vi hjälp av Örjans beskrivning av en typisk matematiklektion: Eleverna arbetar i sina böcker stora delar av lektionen. Om de fastnat i sin räkning, tar jag ofta fram eleverna en och en till tavlan. Då tar eleverna med sig boken fram till tavlan för att arbeta med något problem som de kört fast med i boken. 29 Örjans beskrivning ger ett intryck av att matematikboken utgör det fundament som hans lektioner vilar på, vilket också styrker att han placerats i denna kategori. Hans svar på frågan om han ibland använder sig av annat material styrker denna placering ytterligare: Det händer, men om det är något annat material är det oftast en uppgift som ska vara klurig, någonting extra. Av hans svar att döma verkar de gånger annat material används vara få och syftet med att använda sig av annat material tycks vara att erbjuda eleverna extrauppgifter när de är färdiga med sina vanliga uppgifter. Den andre läraren, som vi kallar för Tove, beskriver också sin undervisning på liknande vis: Eleverna arbetar klart med sitt beting, som de får varje vecka. Jag delar ut nya beting varje måndag. När de är klara med detta får eleverna arbeta med något mattespel eller kanske göra sudoku. Av det framkomna resultatet tycks Tove inte utgå från elevernas erfarenheter i sin undervisning i någon vidare utsträckning, utan planerar veckans uppgifter utifrån ett visst beting, något som även Örjan gjorde. Givetvis innebär detta inte per automatik att elevernas erfarenheter aldrig kopplas till undervisningen, men utifrån de svar som gavs i intervjun framkom inte att sådana kopplingar gjordes. I dessa två klassrum kan vi dessutom notera att diskussioner inte förekommer i någon vidare utsträckning, istället ägnas nästintill all matematikundervisning i veckan åt eget arbete i boken, vilket motiverar att de placerats i kategori A istället för B. 5.2.2 Kategori B – läroboken som vital del av undervisningen Den andra kategorin består av de lärare som använder läroboken som en viktig del av undervisningen, om än något mindre än de i kategori A. Dessa lärare gör även plats för diskussioner och frågor som uppstår under arbetets gång. I dessa diskussioner tar läraren del av elevernas tankar och idéer och använder de på ett sätt som inte enbart ska leda till vidare arbete i boken. Av de intervjuade lärarna uppfyllde fyra av sju kriterierna för denna kategori. Gemensamt för dessa fyra är att de, likt Tove och Örjan, till största del utgår från matematikboken i sin undervisning. Däremot skiljer de sig från Tove och Örjans lektioner då det förekommer diskussioner och samtal i helklass och i mindre grupper, för att kunna inkludera elevernas erfarenheter i undervisningen. Dessutom används annat material än läroboken i större utsträckning än i den första kategorin. För att ge några representativa exempel på detta återkommer vi till Kjell och Lena och deras fortsatta lektionsbeskrivningar: 30 Kjell: Upplägget för lektionerna är inte hugget i sten. Det blir start och stopp hela tiden. Märker man att många fastnar på samma ställe så får man pausa och lyfta upp det. Vi har mycket diskussioner i klassrummet och jag försöker att koppla uppgifterna till elevernas vardag. Lena: När vi inte arbetar med boken försöker jag till exempel hitta på uppgifter med problemlösning som eleverna ska kunna känna igen sig i. Då får de ofta titta på problemet själv en liten stund och sen så får de resonera i par och till sist så diskuterar vi det tillsammans. Så här brukar vi arbeta en bestämd dag i veckan. Man kan utläsa från tidigare citat att just Kjell och Lena känner sig väldigt beroende av matematikboken, då de exempelvis uttryckt sig om den som en ryggrad. Alltjämt kan man utifrån dessa beskrivningar utläsa att diskussionens roll i klassrummet är mer betydelsefull än i den första kategorin, vilket är den största skiljelinjen mellan kategori A och B. Även om matematikboken tycks vara väsentlig del av undervisningen, så är det tydligt att den inte är den enda utgångspunkten. Dock är det inte helt lätt att göra en generalisering i denna kategori. Exempelvis placerades Cornelia, som är resurslärare i matematik, i denna kategori. Hennes undervisning varierade sig från gång till gång och hon planerade sällan själv vad eleverna skulle arbeta med eftersom eleverna ofta fick uppgifter med sig från sin ordinarie lärare. Dessa uppgifter var däremot alltid hämtade från matematikboken och de gånger hon gav dem extrauppgifter utgick även dessa från boken. Anledningen till att hon inte placerades i kategori A var att en stor del av hennes undervisning gick ut på att förankra lärobokens uppgifter med elevernas erfarenheter genom diskussioner och genom att göra uppgifterna konkreta. Vad som också medför en problematik vid kategoriseringen är att lärarnas undervisning är varierad och förutsättningar för undervisningen är väldigt olika. Exempelvis har Cornelia en mycket mindre elevgrupp, vilket kanske kan vara anledningen till att diskussioner förekommer i stor utsträckning i just hennes klassrum. Vissa företeelser i lärarnas undervisning hade likväl kunnat uppfylla en annan kategoris kriterier men som tidigare nämnt är det helhetsbilden vi ämnar påvisa. En sådan företeelse, som delar dessa lärare i två, är huruvida de kontrollerar elevernas arbete i sina böcker. Hälften av lärarna uppgav att de inte lägger någon vikt vid att eleverna ska ha gjort ett visst antal uppgifter utan istället belyste tillvägagångssättet. De andra två ville gärna kontrollera antalet uppgifter som eleverna gjort även om tillvägagångssättet också var viktigt. Emellertid försöker samtliga av dessa fyra koppla matematikundervisningen 31 till elevernas tankar och idéer och därför passar de bättre in i kategori B än i A. Ingen av lärarna använder matematikboken som ett material i mängden, som ett slags komplement, och därför kan de inte heller placeras inom ramen för kategori C. 5.2.3 Kategori C – läroboken som ett komplement i undervisningen Den tredje kategorin består av de lärare som använder sig av läroboken som ett av många material för undervisningen. Undervisningen planeras utifrån barnens erfarenheter och utan en särskild lärobok, dessutom kan flera olika läroböcker förekomma. Böckerna används i första hand för att träna färdigheter, som exempelvis huvudräkning, inom matematik. Endast en av de tillfrågade lärarna placerades i denna kategori. Som vi tidigare skrivit berättade Henrik att han använde sig av matematikboken som ett komplement i sin undervisning. Han utgick istället från elevernas kunskaper och erfarenheter när han skapade uppgifter till sina elevgrupper. Dessa anpassades efter både nivå och intresse hos varje elevgrupp. Utöver de beskrivningar vi tidigare delgivit beskrev han sitt varierade arbetssätt på följande vis: Det varierar ganska mycket. Under en vecka brukar det finnas en lektion med längre föreläsningar, diskussioner och där eleverna får anteckna i sina häften. Sedan finns det en dag där de räknar mer enskilt. Och en dag där vi har mycket diskussioner eller till exempel kamratbedömning. Varje lektion avslutas med utvärdering. Det är tydligt att Henrik enbart använder sig av matematikboken som ett slags komplement till hans egenskapade material, som tidigare nämnts. Till skillnad från de övriga lärarna använde han sig av flera olika läroböcker, vars främsta syfte var att erbjuda färdighetsträning. Hans tillvägagångssätt skiljer sig nämnvärt från de tidigare, då han inte planerar eller genomför sina lektioner utifrån lärobokens innehåll. Han nämner även diskussioner, kamratbedömning och självutvärdering vilket också är en markant avvikelse från de övriga respondenterna. Allt detta tyder på att Henrik faller inom ramen för kategori C. 5.3 Hur ser bedömningsprocessen inom de olika kategorierna? Utifrån den tidigare kategoriseringen som vi redogjort för kommer denna del att redogöra för hur bedömningen ser ut inom respektive kategori, för att se om det finns några samband mellan de olika lärarna inom samma kategori. Som ett första steg i vår undersökning försökte vi ta fasta på hur lärarna går tillväga när de kartlägger vilka 32 kunskaper eleverna besitter. Sedan undersöktes också hur lärarna resonerar kring de olika bedömningsformerna som vi tidigare redogjort för. 5.3.1 Kategori A Som nämnt använder sig båda de lärarna, som fallit inom ramen för denna kategori, sig av matematikboken som enda utgångspunkten för sin undervisning. Vad som också förefaller vara gemensamt för dessa två lärare är att de använder sig av diagnoser vid kartläggning av elevernas kunskaper. De båda uppger att de använder sig av de diagnoser som tillhandahålls av boken på regelbunden basis. En av de två använder sig dessutom av diamantdiagnoser3 för att göra en djupare diagnostisering av elevernas kunskaper. För att vidare undersöka vilka bedömningsunderlag som används ställdes frågan hur de går tillväga när de kartlägger elevernas kunskaper. Tove svarade: Jag använder mig av matematikbokens diagnoser i första hand och även övningsblad för att se vad eleverna kan. På följdfrågan om det förekommer matematikprov utvecklade Tove sitt svar: Ja, vi har ju ett matteprov också efter varje avslutat kapitel. Sedan brukar jag som sagt använda övningsbladen, som är oförberedda, för att kontrollera elevernas kunskaper under resans gång. Dessa prov och kontroller har jag mest för att se så alla hänger med och vem som behöver lite extra hjälp. Dessa kontroller görs cirka var tredje vecka också har vi dessutom ett större prov var sjätte vecka. Detta citat tyder på att även Tove, i viss mån, väver in elevernas kunskaper i sin planering. Emellertid framgår det endast att hon kontrollerar vad eleverna kan. Någon vidare koppling till elevernas intressen och vardagliga erfarenheter tycks inte ha någon framträdande roll. Även Örjan framhåller användandet av matematikprov som något som är vanligt förekommande och han beskriver betydelsen av matematikproven på följande vis: Resultaten från proven spelar stor roll. Det ger mig möjlighet att identifiera vilka styrkor och svagheter eleverna har. Till exempel om de har säkerhet för att använda algoritmer. Deras beskrivningar tyder på att en väldigt stor del av deras bedömningsunderlag utgår från prov och diagnoser. Detta skulle kunna tyda på att den främsta bedömningsmetod som används är den summativa. För att få en djupare inblick i hur lärarna resonerade kring summativ och formativ bedömning så ombads de därför resonera kring sitt 3 Diamantdiagnos är ett slags mätinstrument, som tillhandahålls av Skolverket. Diagnoserna mäter var eleverna befinner sig i sin matematiska utveckling (Skolverket, 2013b). 33 användande de olika metoderna. Båda lärarna förklarade även då att de använde sig av provresultaten på ett, i första hand, summativt vis. Å andra sidan nämner Örjan också att han använder sig av formativ bedömning då han hela tiden är i rörelse i klassrummet och samtalar med eleverna. Örjan berättade vad som hände vid ett tillfälle då han försökte att använda sig av kamratbedömning, som kan ses som en slags formativ bedömningsmetod: För att försöka få eleverna att lära av varandra hade jag planerat att vi skulle använda oss av kamratbedömning. Men jag mötte ett tydligt motstånd till detta bland eleverna i klassen. De hade en attityd mot varandra som var ”du ska inte tro att du kan komma här och lära mig någonting”. Även om en sådan metod är fördelaktig på många sätt då eleverna får träna på att förklara och många tankeprocesser sätts igång, så fungerade det inte riktigt i denna grupp. Formativ bedömning är även något som Tove säger sig använda, om än i något mindre utsträckning än Örjan. Hon uttryckte tydligt att hon försöker få sina elever att bli delaktiga i hela lärprocessen, men hade lite svårare att precisera när hon faktiskt använde sig av detta tillvägagångssätt. Hon berättar dock att feedback är något som hon försöker använda sig av de gånger grupparbeten förekommit. På frågan vilken slags individuell feedback eleverna får svarade Tove: Eleverna skriver i en bok till mig varje vecka. Där ska de meddela mig hur de tycker att lektionerna har fungerat. De får respons av mig varannan vecka i sina böcker. Toves svårighet för precisera sitt användande av formativ bedömning skulle kunna vara ett tecken på att det finns en viss osäkerhet kring begreppet. Även hennes resonemang kring feedback, som är en del av den formativa bedömningsprocessen, gör att man blir fundersam. Visserligen är det en feedback till läraren, från eleven, på vad som fungerat och vad som fungerat mindre bra. Alltjämt ter det sig svårt att utifrån Toves förklaringar urskilja i vilken utsträckning formativ bedömning faktiskt används, då det är oklart hur hennes typ av feedback används för att leda eleverna vidare i sin lärprocess. Sammanfattningsvis ter det sig som att lärarna som vi sorterat in i kategori A i stor utsträckning använder sig av bedömningsmetoder som förefaller summativa. Deras främsta underlag till deras bedömningar inhämtas genom matematikprov och diagnoser, även om vissa mindre försök till formativ bedömning görs. 5.3.2 Kategori B Även lärarna i denna kategori uppger att de använder sig av både diagnoser och matematikprov. Vad som tydliggjordes ur vårt resultat var att framförallt diagnosen var 34 ett underlag som användes ofta. Samtliga fyra lärare som fallit inom ramen för denna kategori använde sig på något sätt av diagnoser. Dock varierade tidsspannet för hur ofta man använde sig av diagnoser. En av de fyra använde olika diagnoser som i stort sett enda bedömningsunderlaget, det vill säga att diagnoserna förekom på regelbunden basis. Hos denna lärare förekom inga matematikprov överhuvudtaget. En av de fyra uppgav att de använde diagnoser inför varje arbetsområde. Medan de två återstående använde sig av diagnoser under arbetsområdets gång, för att kontrollera var eleverna befinner sig i relation till deras förväntade kunskaper. Matematikprov var något som de tre senare av dessa fyra använde sig av efter varje kapitel i matematikboken. Dessa diagnoser och prov används till stor del på ett summativt vis, eftersom lärarna uppgav att de använder sig av resultatet för att se hur mycket eleverna kan vid just den tidpunkten. Däremot uppgav lärarna att formativ bedömning är något som de regelbundet försöker flika in efterhand. Samtliga lärare uppgav att de till exempel ofta försöker gå runt och samtala med eleverna, individuellt under eller efter lektionstid, för att kunna ge direkt feedback kring var eleven befinner sig kunskapsmässigt och för att tydliggöra vilket nästa steg i lärprocessen är. En annan form av bedömningsmetod som tre av fyra lärare i denna kategori nämnde att de använde sig av var så kallade mini-whiteboardtavlor. Varje elev tilldelas varsin sådan tavla, för att direkt kunna svara på lärarens ställda frågor. På så sätt får läraren en direkt feedback på vilka elever som har förstått och vilka missuppfattningar som är vanliga hos eleverna. Denna metod kan ses som formativ då den ger läraren en möjlighet att förändra undervisningen, samtidigt som den också ger eleverna direkt återkoppling när någonting missuppfattats. Givetvis blir det svårt att dokumentera detta underlag, men den kan spela en viktig roll för lärarens införskaffande av kunskap om elevernas kunskaper. För att ge ytterligare en illustrerad bild för hur dessa fyra lärare, rätt likt varandra, resonerar tar vi hjälp av Kjells ingående beskrivning av sin bedömningsprocess: Det är ju mycket som ska vägas in, diskussioner och så vidare. Sen handlar det ju om hur eleverna ska nå kunskapskraven. Vissa kunskapskrav kanske inte kommer med på provet, men det kanske man har tittat på tidigare i det här arbetsområdet. Formativ bedömning handlar ju om att visa eleverna hur de ligger till och hur de ska göra för att ta nästa steg. Att man till exempel får in feedback mellan elev-elev och inte bara mellan lärare-elev. Det önskar jag ibland att man hade kunnat göra mer. Men så vägs det här samman med tidspressen för att det ska gå runt. Ibland är det lite farligt, man faller lätt tillbaka på det summativa som inte är lika tidskrävande. 35 Sen gäller det att man inte bara skriver långa kommentarer. Det är ju ofta när man sitter ned med eleverna en kort stund och tar den här diskussionen, som det har en bättre genomslagskraft än att jag ska sitta och skriva långa utlåtanden. Jag undra hur mycket det läser av det ändå. Jag tror det här korta samtalet ger minst lika mycket som den här långa uppsatsen, och tar inte lika mycket tid. På frågan om huruvida den dagliga samvaron spelar någon roll i hans bedömningsprocess förklarar Kjell hur han ibland upplever att elever kan känna sig pressade av att bli bedömda: Det gäller att få eleverna att våga ställa de dumma frågorna också. De måste ges tid att träna, sen får man säga till när det väl är skarpt läge, när det är dags för bedömning. Annars om det tror att de hela tiden blir bedömda så tror jag att det kan bli stressande och frustrerande som elev. Annars vågar man inte ställa de dumma frågorna. Då tror många elever att ”Om jag ställer den här frågan, då kommer han tro att jag är dum, att jag inte fattar matte”. Men de är just de här frågorna som kan lyfta ens matematiska förståelse ganska mycket. Vågar man inte ställa den frågan, om man inte förstår, så kommer man ju ingen vart. Gemensamt för de lärare som placerats inom denna kategori är att den dagliga samvaron framhålls som ett betydelsefullt stöd för de bedömningar som ska utföras. Sammanfattningsvis kan man, också inom denna lärartypskategori, konstatera att mycket av bedömningsprocessen lutar åt det summativa hållet. Prov, diagnoser och liknande utgör en stor del av bedömningsunderlaget och används i mångt och mycket summativt. Dock ges den formativa bedömningsprocessen större utrymme här, till skillnad från lärarna i kategori A. Dessa fyra lärare påpekar hur de ofta väger in olika bedömningsmetoder såsom korta samtal med eleverna, mini-whiteboardtavlor och feedback både mellan elev-elev och elev-lärare. 5.3.3 Kategori C Henrik som var den enda av de tillfrågade lärarna som placerades inom denna kategori använde sig, precis som de övriga lärarna, av diagnoser i sin kartläggning av elevernas kunskaper. Han arbetade i sexveckorsperioder där de första tre till fyra veckorna gick åt till att introducera och arbeta med det nya arbetsområdet. Därefter gör eleverna ett slags testprov, typ som en fördiagnos, som liknar det slutprov som görs under den sista veckan i sexveckorsperioden. Syftet med detta testprov är att eleverna ska bli medvetna om vilken del de behöver träna mer på inför det slutgiltiga provet. Till skillnad från de andra lärarna i studien skapar Henrik alla prov och diagnoser själv, för att de ska passa hans olika elevgrupper samt hans arbetsområde ändamålsenligt. Proven är dock inte det enda underlag som Henrik utgår ifrån i sin bedömning: 36 Ifall det är så att eleven skulle misslyckas med att visa en förmåga, exempelvis begreppsförmågan, under ett av proven så tittar jag tillbaks och väger in det som eleven gjort under lektionstid. Är det så att jag sett att eleven faktiskt visat upp begreppsförmågan vid lektionerna, så tas det in i bedömningen. Men det är omöjligt att hinna dokumentera allting! Den förmåga som Henrik upplevde mest problematisk att bedöma var den muntliga. Han berättade att han fick till stor del förlita sig på den dagliga samvaron i sina bedömningar av denna förmåga, då tiden helt enkelt inte räcker till för att exempelvis dokumentera varje elevs muntliga redogörelse. På frågan om hur han använde sig av summativ och formativ bedömning svarade han på följande vis: Första steget brukar vara att eleverna själva ska se sin lärprocess, följt utav att de sedan får göra självbedömningar. De skriver i sina IUP4 i slutet av varje lektion. Därefter kommer till exempel kamratbedömningen in. Tanken är att de ska få personlig feedback av mig två gånger under varje sexveckorsperiod, en gång i mitten efter testprovet och en gång efter det slutliga provet. Men det är väldigt svårt att hinna med det. Framförallt att få till någon vettig undervisning samtidigt. Jag sysslar framförallt med formativ bedömning men det är till stor del eleverna själva som står för den genom sina självbedömningar. Sedan ger jag dem givetvis återkoppling och så också. Henrik berättar också om hur eleverna gör en utvärdering efter varje lektion och att eleverna dessutom ska göra en självskattning av sina egna betyg. Precis som Kjell så nämner han också tidsaspekten som ett problem vid den formativa bedömningen, även om den ges betydligt större utrymme i Henriks bedömningsprocess. Alltjämt är det svårt att dra en alltför generaliserad slutsats då vi bara har en respondent som placerats i denna kategori. Dock kan man ändå se vissa tendenser som skiljer honom från de andra två lärartyperna. Till exempel har bokens diagnoser ersatts av egenskapade sådana. En annan tydlig skillnad är att den formativa bedömningen förekommer i många fler former och har implementerats som en återkommande del av undervisningen. 4 IUP = Individuell utvecklingsplan. Den skriftliga individuella utvecklingsplanen består av både omdömen och framåtsyftande planering (Skolverket 2013a). 37 6. Diskussion och slutsatser I detta avsnitt kommer resultatet att sättas i relation till de problemformuleringar som tidigare gjorts. Huvudsyftet med detta arbete är, som tidigare nämnt, att undersöka huruvida det finns något mönster i hur lärare använder matematikboken i relation till deras bedömningsprocess. Dessutom ämnar detta avsnitt sätta resultatet i förhållande till den lärandeteori vi tidigare redogjort för. För att besvara vår huvudfråga delades den upp i tre underfrågor vilka nu ämnas besvaras. Givetvis ska de slutsatser som dras utifrån resultatet av undersökningen betraktas med viss tillförsikt, med tanke på det ringa antalet respondenter och med tanke på arbetets ringa omfattning. 6.1 Hur används matematikboken i undervisningen? Den första underfrågan hade för avsikt att undersöka i vilken utsträckning och på vilka sätt matematikboken användes i matematikundervisningen. En slutsats som kan dras är att matematikboken tycks ha en väldigt central roll för undervisningen i matematik, då endast en av sju uppgav att de inte använder sig av matematikboken i någon vidare utsträckning. Detta bekräftas av vår empiriska undersökning, men även av den tidigare forskning (Johansson, 2006; Löwing, 2004; Skolverket, 2003) som varit en av utgångspunkterna för detta arbete. Vad som också kan fastställas, med hjälp av forskning (Ahlberg, 2000; Freeman & Porter, 1989) samt vår empiriska undersökning, är att det förekommer många variationer för hur lärare använder sig av matematikboken i sin undervisning. Exempelvis redogjordes det tidigare för hur sådana variationer kan se ut. Bodil använde ofta sig av svårare uppgifter i nästa årskurs bok, istället för att låta eleverna arbeta vidare, medan Örjan istället lät eleverna arbeta på fritt i boken när de blev klara med det beting de förväntats göra. Bodil beskrev att detta var ett sätt för henne att individanpassa undervisningen, vilket stämmer överens med den tidigare nämnda beskrivning som görs av Johansson (2006). Där beskrivs hur läromedel ofta är uppbyggt i olika svårighetsnivåer för att på så sätt tillfredsställa lärarnas önskan om ett individanpassat läromedel som samtidigt ska tillåta eleverna att arbeta i egen takt. Båda lärarna uttrycker just detta, om än på olika vis. Örjans arbetssätt liknar i mångt och mycket det som Bentley (2003) beskriver som hastighetsindividualisering, som tidigare redogjorts för. 38 Med den tydliga variationen i åtanke är det svårt att, utifrån vårt resultat, måla en alltför generaliserad bild av hur matematikböckerna används i olika klassrum. Visst tyder vårt resultat på att det även förekommer annat material än matematikboken. Men det är trots allt otvivelaktigt att matematikboken utgör en väldigt stor utgångspunkt för majoriteten av den undervisning som bedrivs av de tillfrågade lärarna. Givetvis kan man fråga sig varför matematikboken har fått en så tillsynes central roll i undervisningen, trots beskrivningar som gjorts, exempelvis av Johansson (2006), där matematikboken beskrivs som både enformig och ointressant. På frågan huruvida lärarna var tillfreds med bokens struktur och upplägg svarade alla att de var relativt nöjda med sitt läromedel. Den enda egentliga nackdelen som nämndes med bokens struktur var att det ibland var för många uppgifter av för liknande karaktär, en beskrivning som ligger i paritet med Johanssons (2006). Men som tidigare nämnt avser inte denna undersökning att gräva vidare i denna problematik, utan vi nöjer oss med att konstatera att den tidigare angivna forskningen tycks stämma överens med resultatet från studien. Vad vår empiri och den tidigare presenterade forskningen också är överens om är att tyst egen räkning förefaller vara en vanligt förekommande metod inom matematikundervisningen. Både vårt resultat och den presenterade forskningen (Bentley, 2003; Johansson 2006) tyder på att mer än hälften av lektionstiden ägnas åt att eleverna arbetar med tyst egen räkning. För att dra en parallell till den lärandeteori som tidigare presenterats kan man fundera på huruvida eleverna får möjlighet att konstruera sina kunskaper, genom kommunikation med andra, om mer än hälften av lektionstiden ägnas åt sådan tyst egen räkning. Ahlberg (1995) och Jaworski (1994) betonade trots allt vikten av att låta elevernas missuppfattningar och föreställningar ta plats i klassrummet. Detta nämner även en av våra tillfrågade lärare, Kjell. Han uttrycker att det är dessa missuppfattningar som utvecklar elevernas matematiska förståelse. Han uttrycker till och med en ängslan över att eleverna inte ska våga ställa frågor som kan uppfattas som dumma, för att de är rädda för att då bli bedömda som okunniga. Slutligen påpekar Ahlberg (1995) tydligt fördelarna med att låta diskussioner och samtal ta plats i klassrummet, vilket de gör framförallt i kategori C men även till viss del i B. Då vårt resultat visar att diskussioner och frågestunder får begränsat utrymme ju mer plats läroboken tar, vilket framförallt tydliggörs inom kategori A, kan man fråga sig huruvida detta påverkar elevernas konstruktion av kunskap och deras möjlighet att bearbeta sina missuppfattningar. 39 6.2 De olika bedömningsformernas implikationer Det kan diskuteras vilka implikationer de båda bedömningsformerna (summativ och formativ bedömning) medför för elevers lärande i en kontext där matematikboken har en central roll i undervisningen. Som tidigare nämnt kan det bli problematiskt för läraren att införskaffa sig ett gediget underlag. Exempelvis då forskning (Löwing, 2004) tyder på att diagnoser och prov som tillhandahålls genom ett läromedel ofta är för entydiga för att uppfylla kunskapskraven i läroplanen. Ett annat problem som kan tänkas förekomma då matematikboken har en central roll i klassrummet är att läraren plötsligt behöver värdera huruvida elevens visade kunskap är matematisk eller om den till exempel är bunden till läromedlet. För hur ska läraren kunna bedöma kunskapen hos de elever som enbart knäckt matematikbokens strukturella kod? Detta kan vara av vikt att ha i åtanke vid bedömningsprocessen. Alltjämt tyder också forskningen på att formativ bedömning är en viktig metod för att leda elevers lärande framåt. Vår empiri tyder på att formativ bedömning saknas i många klassrum, vilket givetvis då ter sig problematiskt. Eftersom att syftet med summativ bedömning är att summera elevernas kunskaper, snarare än att leda eleverna framåt i sin utveckling kan man fråga sig huruvida det, med enbart summativ bedömning som metod, går att leda eleverna framåt i sitt lärande. Givetvis kan summativa prov användas formativ, men detta visade sig vara föga förekommande enligt vår undersökning. Å andra sidan finns det rimligtvis också en risk med att enbart fokusera på den formativa bedömningen, då den summativa ger lärare en övergripande bild av var eleverna befinner sig. Det är sådana bedömningar som är nödvändiga då eleverna i årskurs sex ska ges betyg. Samtidigt består den formativa bedömningen till viss del av en summativ del då det första steget är att ta reda på var eleverna befinner sig kunskapsmässigt i förhållande till kunskapskraven. Kanske är det optimala att sträva efter en blandning mellan de båda bedömningsformerna då forskningen pekar på fördelar med båda metoderna. 6.3 De olika bedömningsformernas förekommande hos de tillfrågade lärarna Den andra underfrågan avsåg undersöka vilka olika bedömningsunderlag och tillvägagångssätt för bedömning som lärare använder sig av medan den tredje avsåg undersöka i vilken utsträckning formativ bedömning implementeras i undervisningen. 40 Dessa frågor är rätt svåra att särskilja då resultatet för respektive fråga visade sig vara rätt snarlika. Det resultat som presenterats tyder på att lärare inom både kategori A och B till stor del använder sig av diagnoser och prov vid kartläggning av elevers kunskaper, som ofta tillhandahålls av läroboken. Sådant bedömningsunderlag är i grunden summativa, även om proven och diagnosernas förekommande i sig inte per automatik behöver innebära att bedömningarna som görs är summativa, då även sådant underlag skulle kunna användas i formativt syfte (Black & Wiliam, 2009). Samtidigt beskriver både Emanuelsson (2001) och Löwing (2004) att stor vikt vid sådana summativa bedömningar kan bli problematisk för att andra bedömningsformer då får en mindre roll. Kanske kan en sådan form vara den dagliga samvaron, som Emanuelsson (2001) skriver om och som många av de tillfrågade lärarna betrodde sig till. Kanske riskerar man i fall där summativa bedömningar tar överhand, att som lärare, gå miste om vissa av elevernas kunskaper. Exempelvis skulle den muntliga förmågan kunna vara en sådan kunskap, som inte mäts vid skriftliga prov. Dessutom menar Löwing (2004) att de flesta prov och diagnoser som tillhandahålls via ett läromedel ger en alldeles för entydig förklaring av elevernas kunskaper. Med detta påstående i åtanke kan man ställa sig undrande till hur de summativa bedömningar är tillräckliga för att göra en rättvis bedömning av elevernas kunskaper. Visserligen kan skriftliga prov också användas på ett formativt sätt. Men att de används i främsta hand summativt åskådliggjordes inte minst i kategoriseringen av de olika lärartyperna, då de i kategori A och B med tydlighet uppgav att de använde sig av diagnoserna och proven på ett summativt vis. Vad som åtskiljer lärarna för respektive kategori är dock att de lärare som använder sig av matematikboken som enda utgångspunkt (kategori A) tycks använda sig av formativ bedömning i mindre utsträckning. Den formativa bedömningen tycks få större utrymme i de klassrum där matematikboken inte används som enda utgångspunkt (kategori B och C). Tydligast förekommande är formativ bedömning i kategori C där den är det huvudsakliga tillvägagångssättet för den bedömning som sker. Den kategori där bedömningsprocessen urskilde sig mest från de två övriga var i kategori C. Inom denna kategori återfanns flera olika formativa bedömningsformer såsom exempelvis självskattning av betyg, kamratbedömning och utvärdering. Dessa metoder var också de mest effektiva för det fortsatta lärandet enligt Hatties (2009) resultat av sin 41 meta-metastudie. Dessa metoder återfanns till viss del även i kategori B, om än inte lika väl implementerade och regelbundet använda. I kategori A förekom inte några sådana bedömningsformer överhuvudtaget. Möjligtvis kan denna skillnad bero på att Henrik var en av de två lärare, av de sju intervjuade, som inte arbetade som klasslärare. Det är en möjlighet att en sådan klasslärare erfar mer tidspress, som vi också redogjort som vanligt förekommande, än en lärare som enbart fokuserar sin undervisning på matematik. Dock såg undervisningen också annorlunda ut om man bara jämför de två lärarna som enbart undervisade i matematik. Den ene, Cornelia, använde sig mycket av läroboken medan Henrik inte gjorde det. Därför är det också väldigt enkelspårigt att säga att bedömningsmetoden bara skulle bero på huruvida man är klasslärare eller ämneslärare, även om det kan spela en viss roll. En annan slutsats man kan dra baserat på vårt resultat är att då matematikboken används som en stomme för undervisningen (kategori A och B) så tenderar diagnoser och prov som tillhandahålls av böckerna att vara det primära bedömningsunderlaget. Ytterligare en slutsats man kan dra utifrån detta mönster, om än med viss försiktighet, är att ju mindre matematikboken används i undervisningen desto större utrymme får den formativa bedömningen. Givetvis är det problematiskt att dra en enkel slutsats, då det är många olika faktorer som spelar in i hur undervisningen ser ut och det är därför som den slutsatsen ska tas med en viss försiktighet. Emellertid framträder vissa mönster utifrån vår empiriska undersökning. Vad man också får ha i åtanke när det gäller resultatet är att formativ bedömning är en process som är mer tidskrävande än den summativa, då den kräver kontinuerlig dialog med eleverna (Hattie & Timperley 2007). Detta stämmer överens med vår empiri då flera lärare uttryckt tidspressen som en aspekt varför summativa bedömningar görs framför formativa. Kanske kan det också vara så att läraren i all enkelhet väljer att göra sina bedömningar utifrån summativa prov och diagnoser, då undersökningen också visar att en formativ metod ibland ter sig mer problematisk och möter mer motstånd hos eleverna. Därför skulle det kunna vara så att de lärare som enbart undervisar i matematik har mer tid att ägna allt sitt fokus åt just detta, vilket också skulle kunna vara en förklaring till att resultatet ser ut som det gör. Avslutningsvis kan man dra slutsatsen att undersökningen visar att vilken bedömning som sker i klassrummet till viss del påverkas av i vilken utsträckning och på vilket sätt matematikboken används i undervisningen. Till exempel kan man utläsa att summativa bedömningar utgör den största delen av bedömningsunderlaget för de klassrum där 42 matematikboken har en mer framträdande roll (kategori A och till viss del B). Samtidigt kan man se att den formativa bedömningen får större utrymme i de klassrum där matematikboken tar mindre plats (till viss del kategori B men framförallt C). Som tidigare nämnt så ska slutsatserna i detta arbete inte med säkerhet tas som allmängiltiga. De slutsatser som dras ger dock en viss förklaring åt det problemområde som undersökts. Vad resultatet visar är att det finns en stor variation på hur matematikboken används och därför kanske resultatet sett annorlunda ut om lärare som inte använder sig av matematikboken i någon vidare utsträckning intervjuats. Likväl kan den kategorisering som gjorts också diskuteras. Möjligtvis är det en något snäv indelning som gjorts och det är även svårt att bedöma vilken form av undervisning som ska falla inom ramen för vilken kategori. Eventuellt hade slutsatserna sett annorlunda ut ifall kategoriseringen gjorts på ett annat sätt. Slutligen kan det också vara svårt att fastställa att det är användandet av matematikboken i sig som påverkar de bedömningsformer som används, eller om det också är andra faktorer såsom exempelvis lärarnas personliga vanor och rutiner som spelar en betydande roll. Undervisning är trots allt komplex och består av en mängd olika variationer och tillvägagångssätt. Mest troligt att även dessa faktorer spelar in på vilken bedömningsmetod som används, även om olika användningssätt av matematikboken också tycks vara en faktor för påverkan. Samtidigt kan vi som blivande lärare ha detta resultat i åtanke då vi ska planera och genomföra vår egen matematikundervisning samt bedöma elevers matematiska utveckling. 6.4 Vidare forskning Som tidigare nämnt så gör inte detta arbete anspråk på att ge en vetenskaplig sanning. Detta arbete ska istället ses som en undersökning av mindre karaktär och för att kunna ge större vetenskaplig tyngd krävs ett större omfattande forskningsprojekt. Därför kan ett förslag till fortsatt forskning tänkas vara att göra en vidare undersökning kring det presenterade undersökningsområdet. Ett sådant projekt skulle behöva innefatta fler deltagande lärare, möjligtvis en djupare studie av lärares användande av matematikboken och deras bedömningsprocesser, genom exempelvis observationer under en längre period. Det skulle också behöva innefattas av elevintervjuer och för att få en större inblick i hur de upplever arbetet med matematikboken och den återkoppling de ges i samband med bedömningar. 43 7. Referenslista Ahlberg, A. (1995). Barn och matematik. Problemlösning på lågstadiet. Lund: Studentlitteratur. Ahlberg, A. (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. I: Matematik från början. s. 9-98 Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Univ. Alvehus, J. (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. Stockholm: Liber Backman, J. (2008). Rapporter och uppsatser. Lund: Studentlitteratur. Bentley, P-O. (2003). Mathematics teachers and their teaching: a survey study. Diss. Göteborg: Göteborgs Universitet. Björklund Boistrup, L. (2010). Assessment discourses in mathematics classrooms: a multimodal social semiotic study. Diss. Stockholm: Stockholms universitet. Black, P. & Wiliam, D. (1998). Assessment and classroom learning. Assessment in Education: Principles, Policy & Practice, 5(1) pp. 7-74 Black, P. & Wiliam, D. (2009). Developing the theory of formative assessment. Educational Assessment, Evaluation and Accountability, 21 pp. 5-31 Boaler, J. (1999). Participation, knowledge and beliefs: A community perspective on mathematics learning'. Educational Studies In Mathematics, 40(3) pp. 259-81 Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber Emanuelsson, J. (2001). En fråga om frågor: hur lärares frågor i klassrummet gör det möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i matematik och naturvetenskap. Diss. Göteborg: Göteborgs Universitet. Ernest, P. (1994). Social constructivism and the psychology of mathematics education. I: Constructing mathematical knowledge: epistemology and mathematics education. pp. 62-72. London: Falmer Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. London: Falmer Freeman, D, & Porter, A. (1989). Do textbooks dictate the content of mathematics instruction in elementary schools? American Educational Research Journal, 26(3) pp. 403-21 44 Friberg, F. (2006). Dags för uppsats. Lund: Studentlitteratur. Gilje, N. & Grimen, H. (2007). Samhällsvetenskapernas förutsättningar. Göteborg: Daidalos Hattie, J, & Timperley, H (2007). The power of feedback. Review Of Educational Research, 77, (1), pp. 81-112 Hattie, J. (2009). Visible learning: a synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. London: Routledge. Jaworski, B. (1994). Investigating mathematics teaching: a constructivist enquiry. London: Falmer Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective. Diss. (sammanfattning). Luleå: Luleå tekniska universitetet. Jönsson, A. (2008). Educative assessment for/of teacher competency: a study of assessment and learning in the "interactive examination" for student teachers. Diss. Lund: Lunds universitet, 2008 Jönsson, A. & Svingby, G. (2007). The use of scoring rubrics: Reliability, validity and educationan consequences. Educational Research Review 2: 130–144 Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Diss. Göteborg: Göteborgs Universitet. McDuffie, A.M. & Mather, M. (2006). Reification of instructional materials as part of the process of developing problem-based practices in mathematics education, Teachers and Teaching: Theory and Practice, 12(4) pp. 435-459 Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder: att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur Pettersson, A. (2010). Bedömning av kunskap för lärande och undervisning. Forskning om undervisning och lärande, (3) ss. 6-18 Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik: skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll. Diss. Göteborg: Göteborgs Universitet. 45 Skolverket (2013a). Den skriftliga individuella utvecklingsplanen. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2013b). Diamant: Diagnoser i matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2003). Lusten att lära: med fokus på matematik: nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket. Vetenskapsrådet (2002) Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet Wyndhamn, J., Riesbeck, E. & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och praktik: studier av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och teknikundervisningen. Linköping: Institutionen för tillämpad lärarkunskap, Univ. 46 Bilaga 1 Frågor kring matematikbokens användande och bedömning 1. Beskriv din senaste matematiklektion. 2. Hur använder du dig av matematikboken i din undervisning? Ge exempel! 3. Vid en typisk lektion, hur stor del uppskattar du att eleverna ägnar åt tyst egen räkning? 4. Upplever du att eleverna lägger stor vikt vid hur långt man har kommit i matematikboken? På vilket sätt syns detta? 5. Kontrollerar du hur långt eleverna kommer i sin matematikbok? På vilket sätt? 6. Vilken attityd har eleverna till arbetet i matematikboken? 7. Hur förhåller du dig till bokens valda lösningsstrategier jämfört med elevernas egna lösningsstrategier? 8. Vad tycker du generellt om matematikbokens struktur/upplägg? 9. Hur tycker du att matematikboken uppfyller läroplanens kunskapskrav? 10. Hur gör du när du kartlägger elevernas kunskaper i matematik? Ge exempel. Summativ bedömning innebär kort att man summerar elevernas kunskaper vid något enstaka tillfälle, t.ex. vid prov. Till skillnad från den summativa bedömningen så går formativ bedömning ut på att hjälpa eleverna att åskådliggöra deras läroprocess, d.v.s. tydliggöra var eleven befinner sig just nu och vilket som är nästa steg att ta. 11. Använder du dig av någon av dessa metoder? På vilket sätt? Ge exempel. 12. Använder du dig av feedback i din undervisning? På vilket sätt? 13. Upplever du att ditt användande av matematikboken har någon påverkan på de bedömningar du gör av elevernas kunskaper? 47
