Jensen Marthe Lund - Fagarkivet HIOA

”Vi lærer om brøk med pizza” Bruk av brøk som del av en helhet i matematikkundervisning og i læreverk
av
Marthe Lund Jensen
556
Veileder: Bodil Kleve, Matematikk
Bacheloroppgave i Grunnskolelærerutdanning 1.-7.trinn
G1PEL3900
Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning
Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier
Høgskolen i Oslo og Akershus
21.april, 2015
Antall ord: 7178
SAMMENDRAG
I undersøkelser og analyser gjort i denne oppgaven kommer det frem at det forekommer en
skjev fordeling av bruken mellom de fem ulike brøkaspektene ”brøk som del av en helhet”,
”brøk som tallstørrelse”, ”brøk som operator”, ”brøk som kvotient” og ”brøk som forhold” i
læreverkene Multi for 4. og 7.trinn, der brøk som del av en helhet får størst plass. I læreverket
Matemagisk for 4.trinn er fordelingen mellom brøk som del av en helhet og operator mer
jevnere enn de to andre læreverkene. I observasjoner av to matematikktimer brukes det flere
aspekter av brøk, men det er usikkert om de observerte lærerne er bevisst på dette.
Forskning om undervisning av brøk viser at gjensidig bruk av brøk som del av en helhet ikke
styrker elevers forståelse av brøk. Det vil si at elevene kan oppleve problemer i arbeid med de
fire andre brøkaspektene. En grunn til dette kan være at læreverkene også ensidig støtter seg
til brøk som del av en helhet. Problemer kan oppstå dersom læreren baserer seg på
læreverkene i sin matematikkundervisning.
Det er mulig læreverk fokuserer på oppgaver der brøk opptrer som del av en helhet, fordi
dette aspektet kan være det enkleste å illustrere og konkretisere for elevene. Man står altså i et
dilemma mellom å bruke mange aspekter, eller støtte seg til det som er enklest å få elevene til
å forstå, ved hjelp av figurer.
Det trengs mer forskning på bruken av aspekter av brøk, og det er et tema i matematikken
som lærere må få enda mer kunnskap om, slik at de selv kan bruke flere aspekter i sin
undervisning, samtidig som de kan se på læreverkene med et kritisk blikk.
Nøkkelord: Aspekter av brøk, matematikklæreverk, brøk som del av en helhet, kritisk blikk
og klasseromsundervisning.
INNHOLDSFORTEGNELSE
INNLEDNING ....................................................................................................................................................... 1
PRESENTASJON.................................................................................................................................................... 1
BEGRUNNELSE FOR TEMA ................................................................................................................................... 1
PROBLEMSTILLING .............................................................................................................................................. 2
HVA SIER TEORI OG FORSKNING OM BRØK? ......................................................................................... 3
HVA ER BRØK? .................................................................................................................................................... 3
ASPEKTER AV BRØK ............................................................................................................................................ 3
PROBLEMATIKK I BRØKUNDERVISNING ............................................................................................................... 4
METODE FOR UNDERSØKELSEN ................................................................................................................. 6
FREMGANGSMÅTE OG METODE ........................................................................................................................... 6
UTFORDRINGER VED METODEN ........................................................................................................................... 6
OBSERVASJONER OG FUNN .......................................................................................................................... 7
OBSERVASJONER AV UNDERVISNING .................................................................................................................. 7
7.klasse - ”Ninni” .......................................................................................................................................... 7
4.klasse - ”Astrid” ......................................................................................................................................... 8
FUNN I LÆREVERK I MATEMATIKK PÅ GRUNNSKOLEN ....................................................................................... 10
Multi 4B ....................................................................................................................................................... 10
Multi 7B ....................................................................................................................................................... 11
Matemagisk 4B ............................................................................................................................................ 13
HVILKE ASPEKTER AV BRØK BLE BRUKT I UNDERVISNING OG I LÆREVERK? ...................... 14
ASPEKTER AV BRØK I UNDERVISNING ............................................................................................................... 14
7.klasse ........................................................................................................................................................ 14
4.klasse ........................................................................................................................................................ 15
ASPEKTER AV BRØK I MATEMATIKKLÆREVERK ................................................................................................ 15
LÆRERENS UNDERVISNING ............................................................................................................................... 17
MATEMATIKKLÆREVERK .................................................................................................................................. 18
STEMTE HYPOTESEN? ........................................................................................................................................ 19
AVSLUTNING .................................................................................................................................................... 20
OPPSUMMERING ................................................................................................................................................ 20
KONKLUSJON .................................................................................................................................................... 20
VIDERE ARBEID ................................................................................................................................................. 21
LITTERATURLISTE ........................................................................................................................................ 22
VEDLEGG 1: EGENERKLÆRING OM FUSK OG PLAGIERING ........................................................... 24
VEDLEGG 2: OBSERVASJONSSKJEMA ..................................................................................................... 25
INNLEDNING
PRESENTASJON
”Brøk som del av en helhet er det enkleste aspektet. Man har ikke tid til å tenke på alle
aspektene av brøk når man begynner å arbeide som lærer”. Dette sitatet er hentet fra en lærer
som arbeider i grunnskole. ”Vi lærer om brøk med pizza”, fortalte noen 4.klassinger
hverandre da de gikk forbi en pizzarestaurant på klassetur. Forskning viser at kun bruk av
brøk som del av helhet gir en manglende brøkforståelse. Etter å ha fått et slikt utsagn fra en
lærer i matematikk og elever, samt å ha gjort funn i forskning, ønsket jeg å undersøke dette
nærmere. Innenfor brøk finner vi fem aspekter. I denne oppgaven blir det tatt utgangspunkt i
de fem aspekteten brøk som del av en helhet, brøk som tallstørrelse, brøk som operator, brøk
som kvotient og brøk som forhold.
Denne oppgaven har som formål å undersøke nettopp hvilke aspekter av brøk som opptrer i
undervisning og i læreverk, samt hvilke implikasjoner bruken av brøkaspektene har å si for
elevers brøkforståelse. Oppgaven vil presentere ulik teori og forskning om brøk og hva denne
forskningen sier om bruken av de ulike brøkaspektene i matematikkundervisning. Videre vil
det bli presentert hvilken metode som ble lagt til grunn for å undersøke bruk av brøkaspekter,
hvilke observasjoner fra klasserom som ble gjort, samt funn fra matematikklæreverkene
”Multi” og ”Matemagisk”. Deretter blir observasjonene og funnene analysert; hvilke aspekter
av brøk fant jeg i undervisning og i læreverk? Oppgaven vil så drøfte om i hvilken grad
hypotesen stemte og hvilke implikasjoner bruken av de fem brøkaspektene i undervisning og
læreverk har å si for elevers brøkforståelse.
BEGRUNNELSE FOR TEMA
Jeg har valgt å skrive om brøk i matematikkopplæringen på grunnlag av en undersøkelser vi
studentene gjorde innenfor temaet. Min gruppe undersøkte elevbesvarelser og gruppearbeid
på 7.trinn. I tekstoppgavene brukte vi ulike aspekter av brøk. I de muntlige oppgaver vi ga til
elevene, brukte vi ulike representasjonsformer, også konkreter som Cuisinaire-staver. Vi så i
observasjonene at mange elever var bundet av standardalgoritmer for å løse brøkoppgaver. Vi
så også at elevene kanskje kunne ha hjelp i å bruke konkreter, da de viste problemer med
overganger mellom ulike representasjonsformer av brøk. Vi så også at de fleste elevene
brukte for det meste arealmodell da de skulle eksemplifisere brøker (Jensen, Eikre, Vestbø,
Flobak, & Sandvik, 2014 ) (upublisert). Jeg legger til grunn egen opplæring om brøk på
høgskolen, samt mappekravet om brøk som jeg skrev, som grunnlag for å velge å skrive
bachelor i matematikk.
1
PROBLEMSTILLING
For å undersøke bruken av aspekter av brøk i undervisning og i læreverk ble det kommet frem
til følgende problemstilling: Hvilke aspekter av brøk forekommer i læreverk og i undervisning
på 4. og 7. trinn og hvilke implikasjoner har det for elevenes forståelse av brøk? Til
problemstillingen ble det satt opp én hypotese som går ut på at læreren vil støtte seg til brøk
som del av en helhet i sin undervisning av brøk.
2
HVA SIER TEORI OG FORSKNING OM BRØK?
HVA ER BRØK?
𝑎
Brøk er et relativt begrep og omfatter alle tall som kan skrives med formen 𝑏, der a og b er
hele tall (Solem, Alseth, & Nordberg, 2010). Brøker kan ha form som ekte og uekte brøker.
Når telleren er mindre enn eller lik nevneren, er den ekte. Et eksempel på en ekte brøk an
3
7
være 5. Brøken 5 er en uekte brøk. Som vi ser, vil det si at telleren er større enn nevneren.
1
Brøk dukker opp i elevenes daglige liv, som for eksempel i tid med 2 time eller om vi skal
fordele noe likt mellom oss (Hinna, Rinvold, & Gustavsen, 2012).
Elever møter ofte brøkundervisning der spørsmål blir lagt til side, og standardalgoritme blir
trukket frem. Da blir det problematisk dersom elevene ikke forstår hva de arbeider med eller
problemer med å løse en oppgave dersom de har glemt regelen (Solem et al., 2010). Også
Anghileri (2006) trekker frem samme problematikk, der lærere må i hele sin
matematikkopplæring og undervisning tenke på at elevene skal bli oppmuntret til å tenke, se
mønstre, forutsi resultater og snakke om sammenhenger. I forhold til aspekter av brøk er det å
kunne se sammenhenger mellom aspektene svært nyttig for å opparbeide seg en dypere
forståelse for brøkregning (Kleve, 2014).
For å kunne opparbeide seg en slik kunnskap og å kunne regne med brøk på en slik
standardisert måte, ved hjelp av standardalgoritmer, er det helt nødvendig at elevene har en
god og dyp forståelse for hva brøk egentlig går ut på og hva brøker egentlig vil si (Solem et
al., 2010). Det finnes flere former av brøker og flere måter vi kan utrykke dem på.
ASPEKTER AV BRØK
Brøker kan ha ulike betydninger eller representeres ved ulike aspekter (Hinna et al., 2012).
Disse aspektene kan deles inn i fem. Brøk som del av en helhet vil si at brøken blir sett på i
forhold til en helhet. Når brøk opptrer som del av en helhet i en oppgaven kan vi for eksempel
1
finne ut av hvor mye 4 av en sjokoladeplate er (McIntosh, 2007).
Når brøk opptrer som et tall i seg selv, fungerer brøken som en tallstørrelse (Hinna et al.,
1
2012). For eksempel ligger brøken mellom 0 og 1 på tallinja. Det er en vanlig misoppfatning
6
blant elever at brøk er en absolutt tallstørrelse. Forskjellen mellom brøk som del av en helhet
og brøk som en tallstørrelse er at brøk som del av en helhet er en relativ størrelse. Det er
forskjell på
1
3
av en bollepose og
1
3
av en nonstopp-pose. Det er derfor viktig at læreren klarer
3
å vise dette skillet mellom brøk som tallstørrelse og brøk som del av en helhet (McIntosh,
2007).
Videre kan brøk fungere som operator. Da vil brøken virker inn på et annet tall eller en
1
1
størrelse, for eksempel 3 av en 2 meter lang taustump eller 2 liter melk. I dette eksempelet
1
fungerer 2 som operator og multipliseres med 1 liter, som er operanden.
Det fjerde aspektet er brøk som kvotient. Når brøker fungerer som kvotient vil den være svaret
i et brøkstykke (Hinna et al., 2012). For eksempel
1
3
1
: 2 = 6 (Jensen et al., 2014 ). I følge
Dickson, Brown, and Gibson (1984) får flere elever til å utføre delestykker der svaret skal stå
som en brøk, enn som et desimaltall. Dette kan være en fordel med å ta i bruk dette aspektet.
Brøk uttrykker forhold eller andel dersom man for eksempler sier ”1 av 3 elever i klassen eier
en Ipad”.
PROBLEMATIKK I BRØKUNDERVISNING
Det er ulik forskning i matematikken som peker på samme problem, der man fokuserer på for
få aspekter av brøk. Det er tilsynelatende at fokuset i brøk ligger på å se på brøker som en del
av et hele. I lærebøker finner vi oppgaver der man fordeler, eller finner deler, av brusflasker,
pizzaer, sjokolader eller kaker. Hvis man i brøkundervisningen dominerer bruken av brøk som
del av en helhet, vil det oppstå problemer dersom brøken er større enn 1 (Kleve, 2014). Man
kommer altså ”for kort” ved å ta i bruk ett aspekt og ikke støtte seg til de fire andre tidligere
omtalte aspektene. Hinna et al. (2012) påpeker det samme som Kleve; når du har en uekte
brøk er det ikke lenger meningsfullt å snakke om en del av en helhet.
Vi ser at det derfor er viktig at elevene blir både eksponert for og at de får arbeide med alle de
fem aspektene, brøk som del av en helhet, tallstørrelse, operator, kvotient og forhold. Brøk og
forståelsen for brøk er svært komplekst og må av den grunn bli forstått gjennom å drive
stegvis opplæring av brøk. Det er umulig å forså brøk med en gang (Dickson et al., 1984). I
følge Dickson et al. (1984) er det flere bevis på at barna selv synes at brøk som del av en
helhet er det enkleste aspektet å forstå. I en undersøkelse gjort på 550 engelske 12 og 13 år
gamle barn, klarte 93 prosent å korrekt skravere 2/3 av en figur. Videre hevdes det at aspektet
brøk som del av en helhet er kanskje det enkleste å lære, og lærebøker bruker det nesten
utelukkende. Dette kan være en av grunnene til at elevene synes det er problematisk å lære de
andre fire aspektene av brøk.
Allikevel kan bruken av brøk som del av en helhet fungere som en introduksjon til brøk som
kvotient. Dickson et al. (1984) hevder også på det daværende tidspunkt at brøk som kvotient
4
trenger å forskes mer på. Det er usikkert om det har blitt forsket mer på dette brøkaspektet
etter utgivelsen av denne boken. Forfatterne henviser til en studie gjort av Hart i 1980-1981,
som viste at kun 33 prosent av de spurte elevene klarte å utføre et regnestykke med brøk som
kvotient. Det vil si at få elever forsto at hvilket som helst hele tall kan deles på hvilket som
helst annet tall for å gi et eksakt svar som en brøk. Forståelsen for aspektet brøk som kvotient
utvikles mye senere enn aspektet brøk som del av en helhet (Dickson et al., 1984).
Det oppstår et problem ved bruken av brøk som del av en helhet, dersom man skal addere
brøker sammen. Ved å illustrere to brøker ved hjelp av 2 pizzaer kan det oppstå
3
3
misforståelser. De får for eksempel en oppgave der de skal legge sammen 8 + 8. Mange elever
6
6
vil da kunne få svar som 16 og ikke 8. Hvis man tar i bruk tallinje som en representasjonsform,
vil man kunne unngå dette problemet (Dickson et al., 1984).
Også Anghileri (2006) er enig i problemene rundt en utelukkende bruk av brøk som del av en
helhet. Hvis man skal lykkes med å forstå brøk, er det viktig at elevene har kunnskap og
forståelse for å også kunne se brøker i lys av andre aspekter. Det vil si at elevene er i stand til
å ikke bare se brøk som del av en helhet, men også som et punkt på en tallinje eller som svar i
et divisjonsstykke. Det er også svært interessant hva Kleve (2014) skriver videre om bruken
av brøk som del av en helhet. Hun skriver om Mike Askew som hevder at det er fullt mulig å
arbeide med brøk uten å legge fokus på brøk som del av en helhet, men heller de fire andre
brøkaspektene. Dette vil kunne føre til et mer solid brøkbegrep enn om man betrakter og
jobber med brøk som del av en helhet.
Askew (2001) påpeker også at det forekommer et gap mellom forskning og det som brukes av
matematikkmateriale i klasserommet. Slike materiale, som matematikkbøker, kan muligens
ikke være basert på undervisning av matematikk i grunnskolen. Det er ofte tidligere lærere
som selv er forfattere av matematikklærebøkene, og ikke forskere innenfor pedagogikk og
matematikkdidaktikk. Det er også en tankevekker om matematikkbøkene resirkulerer gamle
metoder og at de ikke baserer seg på hva som er praktisk i klasserommet og den stadige
utviklingen innen for forskning om forståelsen for hvordan barn tilegner seg ulike områder av
matematikk (Askew, 2001).
Henger så forskning og praksis sammen? Kommer denne kunnskapen frem i de norske
klasserommene? Hvordan foregår så undervisning av brøk i klasserommet? Og hvilke
aspekter av brøk finner vi i matematikklæreverk for grunnskolen? Den forelagte kunnskapen
om bruk av brøk som del av en helhet og disse spørsmålene krever grundigere undersøkelse
og er grunnlaget for min undersøkelse fra klasserom og i matematikklæreverk.
5
METODE FOR UNDERSØKELSEN
FREMGANGSMÅTE OG METODE
For å kunne undersøke problemstillingen og hypotesen nærmere ble kvalitativ metode lagt til
grunn. Kvalitativ metode går ut på å blant annet skaffe mye data om et begrenset antall
personer. Det ble det gjort to observasjoner av brøkundervisning på 60 minutter i hver klasse,
i en 4. klasse og i en 7.klasse på en skole i Oslo. Observasjon er en egnet metode dersom man
ønsker en direkte tilgang til det man skal undersøke. Kvalitative observasjoner foregår som
oftest ved at man velger noen faktorer som man vil undersøke, for så å observere dette i deres
naturlige setting (Christoffersen & Johannessen, 2012). Som observatør var jeg deltagende.
Det vil si at jeg, i tillegg til å observere, bevegde meg rundt i klasserommet og snakket med
elevene om de oppgavene de løste. For å dokumentere observasjonen ble det brukt et
observasjonsskjema (se vedlegg 2). På dette skjemaet ble alle observasjonene notert ned, med
hvilke aktiviteter elevene og læreren gjorde, samt hva som ble sagt under disse
observasjonene. Videre ble det sett etter hvilke aspekter av brøk som det ble arbeidet med i
løpet av timen. Observasjonene var strukturerte og ved en slik type observasjon bruker ofte
forskeren et skjema som inneholder forhåndsbestemte områder det skal observeres på
(Christoffersen & Johannessen, 2012).
I tillegg til observasjonene ble det gjort en dokumentanalyse av tre ulike læreverk i
matematikk; Multi for 7.trinn, Multi for 4.trinn, samt Matemagisk for 4. trinn.
Dokumentanalyse går ut på å ta for seg ulike dokumenter som gir oss informasjon om et tema,
for så å koble sammen teksten med relevant faglitteratur for et problemområde (Christoffersen
& Johannessen, 2012). I de tre læreverkene ble det sett etter hvilke aspekter av brøk som
forfatterne hadde brukt i brøkoppgavene. Funnene ble så systematisert i et skjema for å vise
hvilke av de nevnte fem aspektene som ble brukt, samt hvor hyppig aspekttypene forekom.
UTFORDRINGER VED METODEN
Når man anvender observasjon som metode er det viktig å ha gode observasjonsskjemaer for
å kunne få med seg mest mulig av det som foregår i settingen, i dette tilfellet klasserommet.
Jeg oppdaget at det var problematisk å få med seg absolutt at som foregikk, da det også skulle
skrives ned hva som foregikk. Det var også problematisk å intuitivt få med seg hvilket av de
fem brøkaspektene som det ble arbeidet med i timen.
I dokumentanalysen av lærebøker er det helt klart nødvendig å ta for seg et mye større
datamateriale enn de bøkene som er brukt i denne undersøkelsen. for å kvantifisere og
generalisere datamaterialet, og videre hevde om dette forekommer i flere læreverk.
6
OBSERVASJONER OG FUNN
OBSERVASJONER AV UNDERVISNING
7.KLASSE - ”NINNI”
Den første observasjonen ble gjort i en 7.klasse. I forkant av observasjonen kom det frem i
samtale med lærer, heretter kalt ”Ninni” om hennes tanker rundt bruk av aspekter av brøk i
matematikkundervisning. Hun fikk se alle de fem aspektene av brøk, og hun leste gjennom
beskrivelsene av aspektene. ”Dette arbeidet jo vi også med på utdanningen”, fortalte hun.
”Men man har jo ikke tid til å tenke på det når man begynner å arbeide”. Hun sa deretter ”man
bruker jo brøk som del av en helhet fordi det er det som er det enkleste aspektet”. Hun fortalte
også at hun var mest trygg på brøk som del av en helhet.
Under observasjonen skulle elevene sitte og arbeide selvstendig med to sider i Multi 7B. I
denne timen var det altså ingen felles undervisning eller formidling fra læreren Ninni. Hun
gikk rundt i klasserommet og hjalp elevene.
Timen startet med at Ninni fortalte hva
timens mål var og hva de skulle gjøre i løpet
av timen. Målet var å regne ferdig side 46 og
47 (Alseth et al., 2009). Elevene satt hver for
seg, eller småsnakket med sidemann, og løste oppgaver.
To elever var på side 44 og 45 (Alseth et al., 2009).
Illustrasjon 1 (Alseth et al., 2009)
Oppgavene de regnet var det blant annet oppgaven som
vist i illustrasjon 1. Der skulle de addere og subtrahere
brøker og multiplisere brøker.
Flere av elevene brukte lang tid på oppgave 6.43 (se
illustrasjon 3). En elev skjønte ikke hvordan hun kunne
tegne et rektangel, for så å dele det inn i åtte like deler,
Illustrasjon 2 (Alseth, Nordberg,
på tre forskjellige måter. Med støtte fra lærer, forsto hun
& Røsseland, 2009)
så hvordan hun skulle gjøre det. Videre er det en annen
elev som har problemer med å multiplisere ett helt tall
med en brøk (se illustrasjon 2). Eleven som satt ved siden av henne fortalte at han bare ganget
det hele tallet med telleren også fått svaret som en uekte brøk. Resten av timen satt elevene
med oppgavene sine. Ninni fortsatte å gå gjennom klasserommet og hjelpe elevene med
7
brøkoppgavene. Timen avsluttes med at Ninni
forteller elevene at timen er over og at de skal
finne frem matpakker.
Det meste som foregikk denne timen var videre
selvstendig arbeid med brøkoppgaver på sidene i
Multi 7B. Det som er interessant å trekke frem
fra denne observasjonen er hva slags aspekter av
brøk elevene arbeidet med. Dette vil bli nærmere
gjennomgått senere.
4.KLASSE - ”ASTRID”
Illustrasjon 3 (Alseth et al., 2009)
Den andre observasjonen ble gjort i en 4.klasse, på
samme skole som observasjonen i 7.klasse. Læreren,
heretter kalt Astrid, skulle ha en time om brøk med elevene. Hun startet opp timen med å dele
ut skrivebøker, mens elevene finner frem blyanter og viskelær. Astrid skriver så opp målet for
timen på en ”flippover”. Målet for timen var å kunne addere og subtrahere med brøk. Astrid
fant så fram nettressursene til Multi 4B
(Gyldendal, 2014 ). De starter med å skulle
finne ut hvor mange baller som er lilla i en
haug med 6 baller, lik den oppgaven vist i
illustrasjon 4 . Svaret for denne oppgaven
3
var 6. Det fikk elevene til. Astrid spurte så
om man kunne skrive denne brøken på en annen måte. En elev svarer
1
” 2 ”. De arbeider videre med to liknende oppgaver.
Illustrasjon 4
(Gyldendal, 2014 )
Deretter
begynner
de
på
noen
litt
vanskeligere oppgaver. Oppgaven var som
1
følger ” 8 er grønne kuler. Hvor mange
kuler er grønne?”. Svaret var 1 kule. Her
får de altså oppgitt brøken, for så å skulle
finne ut hvor mange kuler som har fargen
grønn. Oppgaven var lik illustrasjon 5.
Disse type oppgavene viste seg å være
Illustrasjon 5 (Gyldendal,
2014 )
8
problematisk for elevene. Noen fikk riktig svar, da de fikk svare høyt i klassen. De fikk en
4
oppgave der det sto ” 4 kuler er grønne. Hvor mange kuler er grønne?”. Da svarte mange av
elevene i kor ”alle er grønne”. Astrid forteller så til elevene at når teller og nevner er like tall,
er brøken det samme som én. Hun ga så et eksempel selv på tavlen. ”Jeg har en pizza. Så
deler jeg den i 4. Hvis jeg farger 4 pizzastykker, så er hele figuren farget. Hvis du skjønner at
4
4
er en hel, så ta handa på hodet”. Mange av elevene tok så hånden på hodet. Astrid forklarte
videre; ”Hva om jeg gjør sånn”. Hun deler den samme brøksirklen opp i 8 deler. ”Jeg har delt
den opp i flere deler. Hvor mye er fargelagt nå?”. Noen elever ble forvirret og sa ”null av
åtte”. De trodde at hun hadde skravert vekk alle pizzastykkene. Da misforståelsen var oppklart
4
svarte en annen elev ”åtte av åtte”. Astrid spurte så om dette var det samme som 4. Eleven
svarte da ”Ja det er samme som fire av fire fordi det er hele som er fargelagt uansett”.
Assistenten i klassen prøvde så å forklare elevene med å spørre dem hva fire delt på fire er.
To-tre elever svarte høyt ”én”.
Astrid gjorde så to liknende oppgaver på tavla, som de de nettopp hadde gjort fra
1
nettressursen til Multi. Hun tegnet opp seks kuler og fortalte at 3 av dem er blå. Hun setter så
ring rundt kulene inn i tre like store deler.
”Hvor mange kuler er det inni én sånn del?”. En elev svarte to kuler. Astrid fortalte videre at
de måtte tenke på denne måten for å løse slike
oppgaver.
Etter denne aktiviteten får elevene prøve seg på
et brøkspill, se illustrasjon 6 (Alseth et al.,
2011). Elevene fikk først lov til å kikke på
spillet. Så forklarte Astrid for elevene hvordan
de skulle spille spillet. Hun spurte først ”Hva
står det under terningkast 1?”. En av elevene
svarer ”En av seks”. Astrid fortalte videre ”Ja, så
hvis du kaster 1, hva skal jeg fargelegge? Jo en
av seks av denne figuren. Hva er brøken? Hva er
en av seks av denne figuren?”. En annen elev svarer at det
blir to. Astrid forklarer så på en egen figur som er delt inn i
tolv deler, akkurat som på spillet elevene har fått. Hun
forklarer ved å dele denne figuren inn i seks deler. De ser
9
Illustrasjon
Kirkegaard,
6
(Alseth,
Nordberg,
Røsseland, 2011)
&
1
2
sammen da at 6 er det samme som 12. Hun snakket så om at når de får terningkast seks, skulle
1
man skal farge 2. Astrid fortalte barna; ”Det er halvparten. Hvor mange skal vi farge? Jo,
seks. Det er halvparten av tolv”. Hun forteller til slutt av den som farger alle rutene vinner.
Elevene sitter så å spiller i ca. ti minutter.
1
Avslutningsvis tegnet Astrid opp to figurer på tavlen. Hun skrev 4 ved siden av
den ene figuren (illustrasjon 7). Astrid forklarte så til elevene ”hvis jeg skal
1
fargelegge 4 av denne figuren, hvordan gjør jeg det? Vi må gjøre noe med denne
figuren”.
Illustrasjon 7
En elev svarer at de måtte dele den opp i fire like
deler. Astrid svarte at det var riktig og at alle delene må være like
store. Hun ser så på den andre figuren (illustrasjon 8). ”Hvor mange
deler er figur nummer to?”. En annen elev svarer at den er delt opp i to
Illustrasjon 8
deler. Timen ble så avsluttet.
FUNN I LÆREVERK I MATEMATIKK PÅ GRUNNSKOLEN
Videre er det interessant å se på hva salgs aspekter av brøk som blir brukt i matematikkbøker.
Multi 4B ble brukt i 4. klassen som ble observert (Alseth et al., 2011). Det samme gjelder for
7.klassen. De arbeidet i den observerte timen med Multi 7B
(Alseth et al., 2009).
MULTI 4B
I matematikklæreboka ”Multi 4B grunnbok” for 4. årstrinn, har
forfatterne av boka satt av 20 sider til brøkregning.
Det finnes
mange
Illustrasjon 10 (Alseth et
al., 2011)
oppgaver i
denne boken som er liknende slik som
Illustrasjon 9 (Alseth et al.,
2011)
oppgaven vist i illustrasjon 9. Elevene skal finne hvor stor
brøkdel av den hele figuren som er fargelagt. Svaret skal vi
skrive som brøk.. Denne type oppgavene er en typisk
oppgaver der brøk fungerer som del av en helhet. Etter å ha
gått gjennom kapittelet finner man også andre typer brøkoppgaver. Det er et par oppgaver der
10
brøk opptrer som en ren tallstørrelse. Et eksempel på en slik oppgave hentet fra boken er en
oppgave der elevene får oppgitt fire ulike brøker, som de så skal skrive i stigende rekkefølge
(illustrasjon 10).
I Multi 4B finner vi også oppgaver der brøk fungerer som operator. Det vil si en oppgave der
brøken virker inn på en annen tallstørrelse. En slik oppgave
Illustrasjon 11 (Alseth et
er som vist i illustrasjon 11. Her skal elevene finne ut hvor
al., 2011)
mange kaker Tage og Aisha får
hver, dersom Tage får
1
3
av
1
kakene og Aisha får 3 av kakene.
Til slutt skal elevene finne ut av
hvor stor brøkdel av kakene som
er igjen.
Det er ingen oppgaver i dette læreverket der brøk opptrer som forhold, ei heller som kvotient.
MULTI 7B
I læreverket ”Multi 7B Grunnbok”, som er beregnet for 7. årstrinn, finner vi også flere
forskjellige brøkoppgaver, der brøkene i oppgavene opptrer i ulike aspekter. Det er satt av 11
sider til brøkregning, i et kapittel i boka der vi finner både brøk- og prosentregning, og
sammenhengen mellom dem (Alseth et al.,
2009).
Det er flere oppgaver der brøk fungerer som del
av en
helhet.
Et
eksempel
på
en
slik
oppgavetyper, er der elevene skal finne ut hvor stor del av
Illustrasjon 12 (Alseth et
det belgiske flagget er fargelagt rødt og hvor stor del av
al., 2009)
flagget som ikke er fargelagt rødt (illustrasjon 12).
Vi finner også noen oppgaver der brøk fungerer som operator. I en av disse oppgavene skal
3
Calle sette opp et gjerde. Han trenger 24 planker som er 4 meter lange. Elevene skal så finne
ut hvor mange meter det er.
11
Vi finner én oppgave (illustrasjon 13) der brøk opptrer som forhold. I denne oppgaven skal
elevene finne ut forholdet mellom pris på kakestykker, og antall kakestykker fra en hel kake. I
oppgaven skal man blant annet finne ut hvilken pris man må ta for kakestykker for å tjene det
samme, dersom man velger å dele opp
kakestykkene i mindre biter, enn man gjorde i
utgangspunktet.
Vi finner flere oppgaver der brøk fungerer som
en tallstørrelse. De fleste av disse oppgavene er
terping og repetisjon på hvordan, ved hjelp av
standardalgoritme, man adderer, subtraherer,
multipliserer og dividerer med brøk. Hvis vi ser
på oppgavene med en kontekst rundt seg, finner
vi fire oppgaver med dette brøkaspektet. En av
dem er en oppgave (illustrasjon 14) der elevene
2
skal regne ut fire multiplisert med ved hjelp av
Illustrasjon 13 (Alseth et
en tallinje. Tallinjen er med på å skape en kontekst, eller en
al., 2009)
5
hjelp, i større grad enn oppgaver som
kun inneholder tall som skal regnes
ut ved hjelp av en regneoperasjon. I
Multi 7B finner vi også tre oppgaver
der brøk fungerer som kvotient, det vil si at brøken er svaret i
Illustrasjon 14 (Alseth et
et divisjonstykke. En av disse brøkoppgavene er slik som i
al., 2009)
2
illustrasjon 15, der elevene skal regne ut 3 : 3. I Multi for 7.årstrinn finner
vil altså flere ulike typer av brøkaspekter.
Illustrasjon 15
(Alseth et al., 2009)
12
MATEMAGISK 4B
”Matemagisk” er et nytt matematikklæreverk som ble utgitt i 2014. I læreboken er det satt av
14 sider til brøkregning, dersom vi ser vekk fra prøvedelen i slutten av kapittelet. Kapittelet
har satt opp tre mål. Et av de forteller at man skal kunne bruke brøk for å beskrive del av hel
og del av mengde (Kroknes et al., 2014). Også i Matemagisk finner vi ulike aspekter av brøk.
Det er en del oppgaver der brøk opptrer som del av en helhet. To av disse oppgavene går ut på
at elevene skal finne ut av hvor mange sopper som har prikker og hvor stor del av prikkene
som er blå, som vist i illustrasjon 16. Flere
slike oppgaver finner vi gjennom hele
kapittelet. Disse typene av oppgaver er helt i
tråd med det målet som forfatterne har satt
for kapittelet, nemlig at elevene skal kunne
bruke brøk for å beskrive del av en hel.
Illustrasjon 16 (Kroknes,
Kavén, & Persson, 2014)
Videre finner vi også i Matemagisk en del oppgaver der brøken
fungerer som en operator. I denne oppgaven har man også valgt
på bruke en ”pizzamodell” for å illustrere brøkoppgaven. I
denne oppgaven, som vist i illustrasjon 20, skal elevene finne ut hvor mange pizzastykker
hvert familiemedlem i familien Bakken får, dersom de spiser ulike brøkdeler av pizzaen. Vi
finner også en del oppgaver der brøk opptrer som en ren tallstørrelse. I Matemagisk har man
satt av to hele sider, der elevene skal plassere ulike brøker på tallinjer. Det er ti slike oppgaver
fordelt på to sider. Vi finner også en del oppgaver der elevene skal sette såkalt
”krokodilletegn” for å vise hvilken av to brøker som er den største. Det er, med de ti
tallinjeoppgavene, til sammen tjue
oppgaver
der
brøk
opptrer
som
tallstørrelse.
Illustrasjon 17 (Kroknes et
al., 2014)
13
HVILKE ASPEKTER AV BRØK BLE BRUKT I UNDERVISNING OG
I LÆREVERK?
ASPEKTER AV BRØK I UNDERVISNING
7.KLASSE
I samtalen med Ninni før observasjonen kom det frem at Ninni dro kjensel på brøkaspektene,
men uttrykte at man ikke hadde tid til å tenke på dette når man underviste. Hun ytret seg også
på en måte der det kom frem at hun mente ”brøk som del av en helhet” er det enkleste
aspektet av brøk. Det som er interessant med denne samtalen er at Ninni selv har en
formening om at brøk som del av en helhet er et enkelt aspekt, et aspekt man bør begynne
med. Denne kan kanskje speiles i lærebøkers flittige bruk av pizzamodeller eller
kakemodeller, slik som også Solem et al. (2010) foreslår er et godt utgangspunkt i den første
brøkopplæringen. Ninni er også selv tryggest på dette aspektet. Kan dette skyldes en årelang
tradisjon med bruken av brøk som del av en helhet? Denne tradisjonen, og holdningen hos
Ninni, står i stor kontrast til hva forskning forteller om bruken av få brøkaspekter.
Hvilke aspekter jobbet så elevene med i løpet av den observerte mattetimen? Som vi så fra
Multi 7B hadde boken innslag av flere aspekter av brøk (Alseth et al., 2009). På de fire sidene
elevene arbeidet med i løpet av denne timen, finner vi brøkoppgaver der brøk fungerer som
både brøk som del av en helhet, brøk som tallstørrelse, brøk som forhold og brøk som
operator. I denne timen jobbet altså elevene med fire av fem brøkaspekter. Det er videre
interessant å trekke fram det Ninni fortalte før timen. Hun sa elevene ikke hadde jobbet med
brøk som operator, enda det finnes fire oppgaver der brøk fungerer som operator. En av disse
er vist i illustrasjon 18.
Illustrasjon 18 (Alseth et
al., 2009)
14
4.KLASSE
Astrid brukte mye av tiden i timen til å løse brøkoppgaver sammen med elevene. Oppgavene
var som tidligere nevnt hentet fra nettressursene til Multi 4B (Gyldendal, 2014 ). I de første
oppgavene fungerte brøk som del av en helhet (se illustrasjon fire). Videre kom det svært
mange oppgaver der brøk fungerte som operator (se illustrasjon fem). Etter timen fortalte
Astrid meg at hun selv ble forvirret da disse oppgavene kom opp på skjermen. Det kan bety at
hun ikke var helt sikker på hvilket aspekt brøken fungerte som i disse oppgavene. Hun fortalte
også at hun ble forvirret av brøkspillet. I dette spillet kan vi si at brøken fungerte som del av
en helhet, men oppgaven hadde ikke en klar kontekst for å fastslå hvilket aspekt det er snakk
om (se illustrasjon seks). Da Astrid etterpå skulle tegne to figurer på tavla, fungerte brøken
som del av en helhet (se illustrasjon sju og åtte). Det ble i denne observerte timen bruk brøk
som del av en helhet og brøk som operator. Elevene fikk altså jobbet med to ulike aspekter av
brøk.
Etter timen fortalte Astrid at hun hadde tenkt å jobbe med ett aspekt denne timen. Vi ser her at
elevene jobbet med to. Det kan tenke seg at Astrid hadde tenkt at de skulle jobbe med brøk
som del av en helhet, og misforsto da de gjorde flere oppgaver med brøk som operator. Det er
mulig hun trodde at brøken fungerte som del av en helhet i disse oppgavene.
ASPEKTER AV BRØK I MATEMATIKKLÆREVERK
Etter en nærmere gjennomgang av de tre læreverkene ”Multi 4B”, ”Multi 7B” og
”Matemagisk 4B” finner man oppgaver i disse tre bøkene der brøk opptrer i alle de fem
aspektene. Fordelingen av disse brøkoppgavetypene i de tre matematikklæreverkene, var
forskjellig. Antall oppgaver for hvert brøkaspekt, med antall oppgaver, er vist i tabellen
nedenfor.
Brøk som del av en helhet er klart representert flest ganger i alle de tre
matematikklæreverkene. Vi finner 38 slike oppgaver i Multi 4B, 18 slike oppgaver i Multi 7B
og 27 slike oppgaver i Matemagisk. Ved å sammenlikne med antall oppgaver under de andre
aspektene, ser vi at det er en skjev fordeling i læreverkene Multi 4B og 7B. Brøkoppgaver
med brøk som del av en helhet er klart i overtall. I Matemagisk er det en litt fordeling mellom
del av en helhet og brøk som operator, i forhold til de to andre bøkene. Her er det 12
oppgaver hvor brøken fungerer som operator. I Multi 7B er det seks operatoroppgaver, mens i
Multi 4B finner vi kun tre oppgaver. Vi finner også i bøkene oppgaver der brøken fungerer
som tallstørrelse. I Multi 4B er det seks slike oppgaver, i Multi 7B er det fire, mens i
Matemagisk finner vi hele 20 oppgaver. Det er mange slike oppgaver i denne boken fordi det
var satt av 10 oppgaver der elevene skulle plassere brøker på tallinjer. Det er ingen oppgaver i
15
Multi 4B og Matemagisk der brøk fungerer som kvotient eller forhold mellom tall. Men i
Multi 7B finner vi tre kvotient-oppgaver og en forhold-oppgave. Det er ikke kritikkverdig at
man ikke finner kvotientoppgaver, da læreplan for matematikk i Kunnskapsløftet ikke sier at
elevene skal kunne dividere med brøker på 7.trinn (Kunnskapsdepartementet, 2006).
Av disse tre læreverkene ser vi at Multi 7B har brøkoppgaver med alle de fem brøkaspektene.
De to andre læreverkene har tre av fem aspekter i sine oppgaver. Det er allikevel en skjev
fordeling mellom antall oppgaver til hvert aspekt og vi ser at bøkene har flest oppgaver der
brøk fungerer som del av en helhet.
Brøk som del
av en helhet
Brøk som
tallstørrelse
Brøk som
kvotient
Brøk som
forhold
mellom tall
Brøk som
operator
Multi 4B
38 oppgaver
6 oppgaver
3 oppgaver
18 oppgaver
4 oppgaver
27 oppgaver
20 oppgaver
Multi 7B
3 oppgaver
1 oppgave
6 oppgaver
Matemagisk
4B
16
12
oppgaver
HVILKE IMPLIKASJONER HAR BRUKEN AV ULIKE ASPEKTER
AV BRØK FOR ELEVENES FORSTÅELSE AV BRØK ?
Problemstillingen gikk ut på hvilke aspekter av brøk som forekommer i undervisning og
læreverk, samt hvilke implikasjoner denne bruken har å si for elevers brøkforståelse. Ved å
gjøre undersøkelser i klasserommet og i matematikklæreverk, er det klart at vi finner ulike
aspekter av brøk. I både observasjonen av timen til Ninni og Astrid finner vi bruk av de fem
nevnte brøkaspektene. Allikevel er det tilsynelatende en skjev fordeling mellom bruken av de
ulike aspektene, samt bevisstheten hos lærerne når de velger brøkoppgaver. I de undersøkte
læreverkene finner vi også en skjev fordeling av aspektene. Hva har dette å si for elevene?
LÆRERENS UNDERVISNING
For Ninni er det lite å kunne kritisere henne for undervisningen, da hun overlot timen til
læreverket Multi 7B. Elevene fikk jobbet med et variert utvalgt av brøkaspekter. Også Astrid i
4.klassen, brukte flere aspekter i timen sin.
Allikevel kan man si at Ninni kanskje ikke var helt klar over hvilke aspekter elevene jobbet
med, på grunnlag av samtalen før timen, og at hun derfor ikke kunne ha hatt et kritisk blikk på
hvilke oppgavetyper elevene jobbet med den timen. Det kan være hun la andre kriterier til
grunn, da hun tenkte oppgavene var greie å jobbe med, eller at hun stoler på læreverket. På
denne måten kan det kanskje være at Ninni blir ”læreverkets trell”, der man binder seg til
læreverket og ikke går vekk fra boken, for å lage egne oppgaver og undervisningsopplegg.
Astrid virker forvirret over oppgavene fra nettressursen til Multi, der brøken fungerte som
operator. Hun var usikker på elevenes svar, og hennes usikkerhet kan tyde på at hun ikke
hadde et stødig forhold til brøk som operator. Astrid valgte også å ta i bruk brøk som del av
en helhet da hun selv skulle lage noen brøkoppgaver på slutten av timen.
Både Ninni og Astrid har kanskje den oppfatningen av at brøk som del av en helhet en et
enkelt og godt utgangspunkt når man driver brøkopplæring. Ninni fortalte dette før den
observerte timen. Astrid valgte å bruke en arealmodell i sin time for å snakke om deler av en
helhet, samt å bruke en pizza da hun skulle nærmere forklare elevene en oppgave i timen. I
følge Dickson et al. (1984) er jo nettopp denne tilnærmingen, med brøk som del av en helhet,
et godt utgangspunkt, da det er dette aspektet flest elever synes er det enkleste av de fem
brøkaspektene å forstå. Også Solem et al. (2010) mener dette er et godt utgangspunkt for det
første møtet med brøk i den første matematikkopplæringen.
17
På en annen side er det som tidligere nevnt, flere problematiske sider ved ha et for stort fokus
på brøk som del av en helhet, for elevers brøkforståelse. Dersom Astrid fortsetter å velge brøk
som del av en helhet, vil det oppstå et problem når vi kommer til uekte brøker. Både Hinna et
al. (2012) og (Kleve, 2014) hevder at et problem oppstår ved en slik situasjon. Aspektet brøk
som del av en helhet er ikke lenger hensiktsmessig når vi snakker om uekte brøker, altså
dersom vi har mer enn 1. Hvis elevene har en meget god forståelse for brøk som del av en
helhet, og liten eller ingen forståelse om de andre fire brøkaspektene, er det helt klart at
elevene har en mangelfull forståelse for brøkbegrepet. Dersom vi tar utgangspunkt i
læreverket Ninni tok i bruk i timen, kan vi se i tabellen på side 16, at elevene får i kapittelet
arbeidet med mange oppgaver med brøk som del av en helhet. Man kan ikke si noe om Ninnis
elevers brøkforståelse, men dersom de over flere klassetrinn har arbeidet med mange slike
oppgaver, kan det ha en uheldig konsekvens for deres forståelse for brøk.
MATEMATIKKLÆREVERK
I Multi 4B, Multi 7B og Matemagisk 4B er det som nevnt tidligere flere oppgaver der brøk
fungerer på ulik vis. Vi finner ikke oppgaver der brøk fungerer som forhold eller operator i
bøkene for 4. årstrinn. At vi ikke finner operator-oppgaver, er ikke kritikkverdig, da elevene
ikke skal kunne dividere med brøker mellom 1.-7.årstrinn (Kunnskapsdepartementet, 2006).
Det er verdt å trekke frem at Matemagisk 4B har relativ jevn fordeling mellom brøk som del
av en helhet og brøk som operator, samt en del oppgaver med brøk som tallstørrelse. Dette er
positivt i forhold til Multi 4B og 7B der vi finner svært mange oppgaver med brøk som del av
en helhet, og mye færre oppgaver med de andre fire brøkaspektene.
Som tidligere nevnt påpeker Askew (2001) at det er et gap mellom forskning og det som
brukes av materiale i klasserommet. Han påpeker at det ofte er tidligere lærere som lager
lærebøkene og at ny forskning derfor ikke for innpass, men at den gamle resirkuleres. Når det
gjelder Multi kan dette ikke brukes som et argument for at boken ikke er god til
brøkundervisning. En av forfatterne, Bjørnar Alseth, har doktorgrad i barns læring av
matematikk, Mona Røsseland er allmennlærer med master i undervisningsvitenskap med vekt
på matematikk, mens Gunnar Nordberg har vært matematikklærer i grunnskolen og ved
lærerutdanningen, samt en erfaren kursholder (Gyldendal, 2010).
Det kan tenkes at selv om det i Multi er en skjev fordeling av ulike brøkaspekter i oppgavene,
har disse tre forfatterne fokusert på andre områder innenfor matematikkdidaktikk som er
forskningsbasert. Eksempler på dette kan være bruk av ulike løsningsmetoder, konkretisering
eller lite bruk av standardalgoritmer.
18
Det er allikevel, slik som Dickson et al. (1984) også nevner, for stort fokus på oppgaver med
brøk som del av en helhet. Det er dette fokuset i læreverkene som kanskje er med på skape
problematikk for elevene når de skal arbeide med oppgaver der vi finner de fire andre
aspektene av brøk. Med tanke på illustrasjoner og kontorisering av brøkoppgaver kan det
tenkes at forfatterne av Multi har lagt til grunn at det er enklere å illustrere brøk som del av en
helhet fordi det kan gjøres svært konkret for elevene. Eksempler på dette er bruk av pizzaer
eller brusflasker. For brøk som operator, kvotient, forhold og tallstørrelse, kan det være
vanskeligere å illustrere disse på en så konkret måte. Dette er kanskje en annen grunn til det er
flere oppgaver der brøken fungerer som del av en helhet, fordi man kan illustrere og bruke
bilder for at flere elever skal få en forståelse. På en annen side er det viktig at man som lærer
har en innsikt i hvilke aspekter vi har i brøk, hva disse går ut på og hvilke slike oppgaver vi
finner i læreverket vi arbeider i sammen med elevene våre. Elevene må også ha en forståelse
for at brøk også kan være et punkt på en tallinje eller som svar i et divisjonsstykke (Anghileri,
2001).
STEMTE HYPOTESEN?
Hypotesen var som følger; læreren vil støtte seg til brøk som del av en helhet i sin
undervisning av brøk. Etter å ha observert to lærere kan man si at denne hypotesen stemte
delvis. Ninni underviste ikke i sin time, men elevene fikk gjennom oppgavene i Multi 7B,
jobbet med flere oppgaver med ulike brøkaspekter. Allikevel ser vi at det i dette læreverket er
et overtak av oppgaver der brøk fungerer som del av en helhet. I Astrid sin time jobbet
elevene med oppgaver der brøk fungerer som del av en helhet, men de jobbet også med
oppgaver fra nettressursen til Multi 4B, der brøken fungerte som operator. Astrid valgte å
bruke brøk som del av en helhet da hun selv skulle undervise, slik som det er vist i illustrasjon
9 og 10. På grunnlag av dette kan vi si at både Ninni og Astrid støttet seg til brøk som del av
en helhet, men det ble også tatt i bruk oppgaver med flere brøkaspekter, ved hjelp av Multi 4B
på nett og læreverket Multi 7B.
19
AVSLUTNING
OPPSUMMERING
Denne undersøkende oppgaven har hatt som formål å undersøke forekomsten av de ulike
brøkaspektene i læreverk og i undervisning. Gjennom to observasjoner på fjerde og sjuende
trinn, samt undersøkelser av tre ulike matematikklæreverk, ser vi at det forekommer flere
aspekter av brøk i både undervisning og i læreverkene. Allikevel er det, spesielt i
læreverkene, hyppig bruk av brøkaspektet ”brøk som del av en helhet”. Både forskning, og
spesielt en av læreren som ble observert, mener at brøk som del av en helhet er det enkleste
aspektet for elever å forstå. Allikevel peker annen forskning på at bruk av få aspekter av brøk
i undervisningen, er med på å skape en ufullstendig brøkforståelse hos elever. Det er også
nevnt at elever kan få en like god forståelse for brøk, uten bruk av brøk som del av en helhet.
En mulig grunn til fokuset på dette aspektet i lærebøker, kan være en enkle måten det er å
illustrere og konkretisere dette aspektet ved hjelp av figurer, som en pizza.
KONKLUSJON
I arbeidet med å undersøke brøkundervisning i skolen, er denne oppgaven med på å sette et
søkelys på både lærers faglige kunnskaper, men også deres kritiske sans til bruken av
læreverk i matematikk. Matematikklærere må være klar at brøker kan opptre på forskjellig
vis, samtidig som man er oppdatert på forskning innenfor faget. Det er et dilemma som
oppstår i en travel hverdag, der man som lærer har svært mange andre arbeidsoppgaver. Det
er viktig at lærere får muligheten til å oppdatere seg innen forskning, ved hjelp av kurs og
videreutdanning. Min undersøkelse av brøkaspekter kan brukes som et utgangspunkt i en mye
større, og omfattende studie der man kartlegger enda flere lærere om deres bruk av
brøkaspektene i klasserommet. Den er også med på å sette et søkelys innenfor
matematikkfaget, på problemer som oppstår i spennet mellom lærerens faglige kunnskaper,
oppdatering på forskning og det som skjer i klasserommet.
Undersøkelsene og kunnskapen jeg har opparbeidet meg med denne oppgaven har gjort meg
enda mer bevisst på hvor viktig det er å drive forskningsbasert undervisning innenfor
matematikk og hvor viktig læreren er for elevers matematiske forståelse. Jeg er bevisst over at
det sikkert finnes andre svakheter med de læreverkene man tar i bruk i undervisningen. Som
lærer vil jeg være klar over at man kan bruke alle de fem aspektene når man arbeider med
brøk, og at man ikke nødvendigvis må introdusere elevene for brøk ved hjelp av brøk som del
av en helhet.
20
VIDERE ARBEID
Videre er det viktig med flere, grundigere longitudinelle studier der man kartlegger og
undersøker hva bruken av brøk som del av en helhet har å si for elevers brøkforståelse. Det er
viktig å kartlegge hva lærere har av kunnskaper og tanker om hvordan de underviser brøk i
matematikk og hva de vet om forskning på området. Hva skjer dersom man ikke tar i bruk
brøk som del av en helhet i det heletatt? Vil det forbedre elevenes forståelse av brøk? Vil
bruken av flere aspekter hjelpe elevene i høyere trinn på grunnskole og videregående nivå?
Hva har lærerens misoppfatninger og manglende kunnskaper om brøkaspektene ha å si for
elever? Bør man være kritiske til norske matematikklæreverk? Dette er spørsmål som krever
videre undersøkelse.
21
LITTERATURLISTE
Alseth, B., Kirkegaard, H., Nordberg, G., & Røsseland, M. (2011). Multi 4b Grunnbok. Oslo
Gyldendal Undervisning
Alseth, B., Nordberg, G., & Røsseland, M. (2009). Multi 7b Grunnbok. Oslo: Gyldendal
Undervisning.
Anghileri, J. (2001). Principles and Practices in Arithmetic Teaching Storbritannia Open
University Press.
Anghileri, J. (2006). Teaching number sense. London: Continuum International Publishing
Group.
Askew, M. (2001). What does it mean to learn? What is effective teaching? I J. Anghileri
(Red.), Principles and Practices in Arithmetic teaching (s. 134-146). Buckingham:
Open University Press
Christoffersen, L., & Johannessen, A. (2012). Forskningsmetode for lærerutdanningene.
Oslo: Abstrakt forlag.
Dickson, L., Brown, M., & Gibson, O. (1984). Children learning Mathematics: A Teacher's
Guide to Recent Reseach London Cassell Educational Ltd.
Gyldendal. (2010). Hentet 16.04 2014, fra http://www.gyldendal.no/Forfattere/.
Gyldendal. (2014 ). Multi 1-4 Nettoppgaver Multi Hentet 16. april 2014, fra
http://web3.gyldendal.no/multi/1-4nettoppgaver/multi4b/kapittel10/oppgaveA/nivaa2
Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., & Gustavsen, T. S. (2012).
Matematikkundervisning
for
grunnskolelærerutdanningen
Bind
QED 1-7.
Kristiansand:
Høyskoleforlaget.
Jensen, M., Eikre, M., Vestbø, A., Flobak, M., & Sandvik, J. (2014 ). Mappekrav 6. Ulike
aspekter og representasjonsformer for brøk Institutt for lærerutdanning og
internasjonale studier Oslo
Kleve, B. (2014). Kunnskapskvartetten i matematikk. I T. S. H. Gustavsen, K. R. C. Borge, I.
C. Andersen, P.S. (Red.), QED 5-10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen
Bind 2 (pp. 589-620). Oslo: Cappelen Damm AS.
Kroknes, T. E., Kavén, A., & Persson, H. (2014). Matemagisk 4B. Grunnbok. . Oslo
Aschehoug.
Kunnskapsdepartementet.
(2006).
Læreplanverket
for
Kunnskapsløftet.
Oslo
Utdanningsdirektoratet.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and Translations among representation
in Mathematics Learning and Problem Solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of
22
Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 33–40). Hillsdale:
Lawrence Erlbaum Associates.
McIntosh, A. (2007). ALLE TELLER! Skipnes: Matematikksenteret.
Pedersen, B. B., Pedersen, P. I., & Skoogh, L. (2005). Abakus. Matematikk for barnetrinnet.
Grunnbok 7B. Oslo: Aschehoug.
Rangnes, T. E., Rasch-Halvorsen, A., & Aasen, O. (2009). Tusen millioner 7B. Oslo:
Cappelen Damm Undervisning.
Solem, I. H., Alseth, B., & Nordberg, G. (2010). Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1.
til 4. trinn. Oslo Gyldendal Akademisk.
23
VEDLEGG 1: EGENERKLÆRING OM FUSK OG PLAGIERING
24
VEDLEGG 2: OBSERVASJONSSKJEMA
Sted: Grunnskole i Oslo
Dato: 28.01.2015
Lærer: ”Ninni”
Klassetrinn: 7.klasse
Klokkeslett: 10:15 - 11:00
Fokus: Aspekter av brøk i oppgaver som læreren gir til elevene. S. 46 & 47 i Multi 7B
TID
10:25
AKTIVITET
Går gjennom timens mål
OBSERVASJONER
Lærer snakker med elevene om hva som er ukas
mål. Elevene sitter å lytter. Elevene skal jobbe hver
for seg med oppgaver. De skal jobbe med Multi.
10:30
Oppgaveløsing s. 45-46 i
Elevene sitter å jobber hver for seg med oppgaver.
Multi 7B
En assistent og lærer diskuterer sammen om en av
brøkoppgavene. Lærer: ”Hvis du ganger 6 og 1, da
blir det?” Elev: ”Seks” - samtaler om hvordan man
med standaraldgoritme for multiplikasjon av brøk.
25
ASPEKT AV BRØK
10:34
To elever er ferdige og skal løse to grubleoppgaver
sammen. De blir raskt ferdige. Lærer kommer bort
til elevene. ”Dere må vise hvordan dere tenkte”
Elev: ”Jeg tenkte bare i hodet”. Lærer sier de må
bevise svaret sitt.
10:37
Elevene fortsetter med ulike brøkoppgaver i
matematikkboka.
Oppgavetyper som observeres fra bøkene:
Brøk som forhold
- Kake som er delt opp i ulike geometriske former.
Forhold mellom antall kakestykker og pris per
stykke.
- 36 drops. 1/6 av dem er røde. Hvor mange er
Brøk som operator
røde?
- Plassere brøker på en tallinje
Brøk som tallstørrelse
- Multiplikasjon av brøk m. ”kakediagram-
Brøk som tallstørrelse
illustrasjon.
10:43
Oppgave i bok ”Del et rektangel inn i åtte ulike
Brøk som del av en helhet. En elev
deler på 3 forskjellige måter”.
forsto ikke hvordan hun kunne
tegne på tre forskjellige måter (del
et rektangel i åtte ulike deler)
26
10:55
En
annen
elev
sitter
fast
i
en
multiplikasjonsoppgaven der hun må gange et helt
tall med en brøk. En annen elev har bare ganget det
hele tallet med telleren også fått svaret som en
uekte brøk (standardalgoritme).
11:00
Avslutning av timen
Lærer forteller at timen er ferdig og at det er
spisefri.
Elevene rydder vekk matematikkbøker og finner
frem matpakker og drikke.
27
Brøk som tallstørrelse
Sted: Grunnskole i Oslo
Dato: 9.03.2015
Lærer: ”Astrid” 4.klasse
Klokkeslett: 11:30 - 12:30
Fokus: Aspekter av brøk i undervisning. Multi 4B - kapittel om brøk. Brøk nettressurs fra Multi 4B.
TID
11:30
AKTIVITET
Oppstart av timen
OBSERVASJONER
ASPEKT AV BRØK
Deler ut regnebok (skrivebok)
”Ikke åpne boka di”
Elever finner frem blyanter
11:32
Mål for timen
Jeg kan regne med brøk
11:35
Regne oppgaver fra Multi
Oppgave 1: ”Hvor stor brøkdel er lilla ball? (mange fargede baller i en
(nettside) sammen i plenum
klase)
Svar: 3/6
Lærer: ”Kan vi skrive brøken på en annen måte?”
Elev: ”1/2” Lærer: Ja dette skal vi jobbe mer med.
Elevene jobber med 2 oppgaver til som ligner
Når oppgaven gir svar ½ syntes elevene at det var vanskelig
28
Brøk som del av en helhet
Oppgave 4: ”1/8 er grønne kuler. Hvor mange kuler er grønne?
Brøk som operator
Svar: 1 kule
Oppgave 5: ”2/4 er gul. Hvor mange kuler er gule?
Brøk som operator
Svar: 2
Oppgave 6: Samme oppgave. Elev ”eeeh jeg bare… vet ikke..”
Brøk som operator
2/6 er 6. Svar: 3. Eleven forklarer. ”To poser dele de på seks personer.
Da får de 3 hver.”
Refleksjon - det er 12 kuler. 4 av de er grønne. Brøken 2/6 er forkortet.
Lærer: ”4 av 12 er det samme som 2 av 6. Skjønner dere det?
Elever: ”Jaaaa”.
En lik oppgave igjen. Nå er det 4/4 er grønne. Hvor mange kuler er
grønne?
Elev: ”Det blir alle. Fordi 4/4 er alle fargelagt.”
Lærer: Jaaa riktig. Når teller og nevner er like, så blir det én.
Brøk som del av en helhet
Skal forklare dette. Lærer ”Jeg har en pizza (tegner på flippover). Så
deler jeg den i 4. Hvis jeg farger 4 pizzastykker, så er hele figuren
farget. Hvis du skjønner at 4/4 er en hel, så ta handa på hodet.
Lærer, videre. ”Hva om jeg gjør sånn (deler brøken opp i 8 deler). Jeg
har delt den opp i flere deler. Hvor mye er fargelagt nå?
29
Elev ”Null av 8”.
Lærer ”Hva mener du?”
”Jeg trodde du tok vekk pizzaen”
Elev 2: 8/8.
Lærer ”Er dette det samme som 4/4?
Elev 4 ”Ja det er samme som 4/4 fordi det er hele som er fargelagt
uansett”.
Elev 3 ”jeg trodde man skulle ta vekk hele pizzaen”
Elev 4 ”Ja det er samme som 4/4 fordi det er hele som er fargelagt
uansett”.
Lærer ”Ja, nevneren viser hvor mange vi har”
Elev 5: uansett hvor mange stykker, så er det fortsatt hele pizzaen.
Lærer: ”Ja. Dette er det samme som én”
Assistent - blander seg inn: ”Hva er 4 DELT på 4?” Elevene ”én”.
1/3 er blå. Lærer tegner opp 6 kuler. deler de så inn i to og to. Spør
elevene. ”Hvor mange kuler er det inni én sånn del?” Elev: ”2.”
Lærer : ”Dere må bruke deling”.
Ny oppgave igjen som ligner
Lærer: ”1/4 er grønn. Hvor mange kuler er grønne? (Det er 12 kuler)
Elev: ”3”.
Lærer: Ja, kan du forklare det? Kan du si hvordan du tenkte?
30
Brøk som operator
Elev: ”….:”
Assistent ”Hvor mange kuler er det til sammen?
Elev ”12”.
Lærer: ”Hva blir 12 delt på 4? Vi deler mengden inn i 4 deler.
Assistent: Dere må lære. Dere kan bare multiplisere. Snakker om
utviding av brøker. Ganger 3 oppe og nede.
Lærer: ”Det assistent sier skal vi lære senere”.
Assistent: ”Dere kan bare lære dette så går det mye raskere”.
12:05
Brøkspill
Lærer deler ut et spill. Hun skal så forklare elevene spillet ”Dere har
Brøk som del av helhet? Men ingen
spillet i boka. Se litt på den og se om dere skjønner den”.
kontekst.
Lærer forklarer spillet ”Hva står det under terningkast 1?”
Elev: 1 av 6.
Lærer: Ja, så hvis du kaster 1, hva skal jeg fargelegge? Jo 1 av 6 av
denne figuren. Hva er brøken? Hva er 1av6 av denne figuren?
Elev: 2.
Lærer forklarer på en EGEN figur som er delt inn i 12 deler (samme
som spillet).l Hun forklarer ved å dele denne figuren inn i 6 deler. De
ser sammen da at 1/6 er det samme som 2/12. Hun snakker så om at når
de får terningkast 6, at man skal farge ½. Det er halvparten. Hvor mange
skal vi farge? Jo, 6. Det er halvparten av 12.
Lærer: ”Det er sånn at dere skal kaste terning. Den som farger alle
rutene vinner”.
31
12:25
Figurer på flippover
Lærer tegner opp 2 figurer (se illustrasjon). Hun skriver ¼ ved siden av
den ene figuren.
”Denne har dette hatt i boka før”.
Lærer ”Hvis jeg skal fargelegge 1 fjerdedel av denne figuren. Hvordan
gjør jeg det?”. Vi må gjøre noe med denne figuren.
Elev ”vi må dele den én gang til.”
Lærer ”Alle delene må være like store”.
Lærer ”Hvor mange deler er figur nr. 2.
Elev ”2”
Lærer ”Ja. nå skal du fargelegge den ¾. Hva må du gjøre her når du skal
farge 3 av 4?”
Elev: deler den opp til 4 deler og fargelegger 3 av dem.
Lærer: ”Hvem skjønte det?” De fleste elevene rekker opp hånden.
32
Brøk som del av en helhet