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Praxishandbuch
für „Mathematik“
8. Schulstufe
überarbeitete Neuauflage 2011
Information für Lehrer/innen
Bildungsstandards –
für höchste Qualität
an Österreichs Schulen
Praxishandbuch
für „Mathematik“ 8. Schulstufe
Impressum
Herausgeber:
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens
Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung
Stella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B, 2. OG / 1020 Wien
Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe
2., überarbeitete Auflage
BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2011
ISBN 978-3-7011-7778-3
Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg
& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services
Layout & Satz: Sandra Hechenberger, BIFIE I Zentrales Management & Services
Redaktion & Lektorat: Isabella Benischek, Alexander Ruprecht, Stefan Terler & Waltraud Weber
Druck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L.
Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG
© by Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co. KG, Graz 2011
www.leykamverlag.at
Der Text zu den Bildungsstandards (Kompetenzbereiche usw.) sowie die Aufgabenbeispiele können
für Zwecke des Unterrichts an österreichischen Schulen sowie von den Pädagogischen Hochschulen
im Bereich der Lehrer/innenaus-, Lehrer/innenfort- und Lehrer/innenweiterbildung in dem für die
jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Website des BIFIE (www.bifie.at) heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden. Ebenso ist die Vervielfältigung der Texte und Aufgabenbeispiele auf einem anderen Träger als Papier (z. B. im Rahmen von PowerPoint-Präsentationen) für
Zwecke des Unterrichts gestattet.
Autorinnen und Autoren:
Mag. Hans Christian Neureiter (Koordinator)
Mag. Sieglinde Fürst
Mag. Elisabeth Mürwald
Mag. Christa Preis
Fotos Kapitel 4 © by Christa Preis
Gastbeiträge:
Univ.-Prof. DI Dr. Werner Peschek, IDM/AECC Mathematik, Universität Klagenfurt
Mag. Herbert Neureiter, BIFIE Salzburg
Koordination:
Mag. Gabriele Friedl-Lucyshyn
Mag. Waltraud Weber
Mag. Ira Werbowsky
Kontakt:
hc.neureiter@bifie.at
Inhalt
3Vorwort
5
1. Was sind und wozu dienen Standards für den Mathematikunterricht?
13
2. Kompetenzen an Aufgaben sichtbar gemacht
33
3. Variation von Aufgaben
57
4. Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht
79
5. Unterstützungsmaterialien für den Unterricht und Diagnoseinstrumente
82
6. Erste nationale Standardüberprüfung (Mathematik 8. Schulstufe)
88Bundesgesetzblatt
95Literaturverzeichnis
96Anhang
Hinweise für die Benutzung des Praxishandbuchs:
Alle Aufgaben in diesem Handbuch befinden sich auch im Aufgabenpool Mathematik
Sekundarstufe I auf der Website http://aufgabenpool.bifie.at/ und können dort als PDFoder als Word-Datei heruntergeladen werden.
Die Bedeutung der Icons ist:
K
Zuordnung im Kompetenzmodell
☞
Hinweis für den Unterricht in leistungsschwachen Gruppen

Didaktischer Hinweis
Vorwort
Das Wiener Zentrum des Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen
Schulwesens (BIFIE) hat den gesetzlichen Auftrag, die Implementierung der Bildungsstandards zu unterstützen. Dies
geschieht in vielfältiger Weise – durch die Entwicklung von
Konzepten und Strategien, durch die Nutzung der Möglichkeiten des Internets, durch die Publikation von Materialien
u. v. a. m.
Das vorliegende Praxishandbuch zu den Bildungsstandards
Mathematik, 8. Schulstufe, setzt sich zum Ziel, allen Interessierten einen umfassenden Einblick in das Konzept dieser
Bildungsstandards zu geben und Lehrerinnen und Lehrern
Anregungen und Hilfen bei der Umsetzung dieses Konzepts
zu bieten.
Die Leitideen des Konzepts der Bildungsstandards Mathematik sind die Kompetenzorientierung des Unterrichts und die Nachhaltigkeit des Lernens, wobei als Kriterien
für die Auswahl der Inhalte des Unterrichts die Prinzipien „Lebensvorbereitung“ und
„Anschlussfähigkeit“ gelten.
Diesen Leitideen entsprechend werden im Praxishandbuch zuerst die Bildungsstandards
und das Kompetenzmodell vorgestellt und durch eine Vielzahl von Aufgaben illustriert.
Anschließend wird gezeigt, wie Aufgaben variiert werden können, um neben dem
„Rechnen und Operieren“ auch die Handlungsbereiche „Darstellen, Modellbilden“,
„Interpretieren“ und „Argumentieren, Begründen“ anzusprechen. Kapitel 4 liefert Vorschläge aus der Praxis, die den langfristigen Kompetenzaufbau und die Nachhaltigkeit im Unterricht unterstützen. Abschließend werden die verfügbaren schriftlichen und
elektronischen Materialien für die 5. bis 8. Schulstufe vorgestellt und es wird ein Einblick
in die nationalen Standardüberprüfungen gegeben.
Wir hoffen, mit dieser Publikation die Praktiker/innen bei ihrer anspruchsvollen Aufgabe
zu unterstützen, erwünschte Lernergebnisse im Fach Mathematik nachhaltig abzusichern.
LSI Mag. Gabriele Friedl-Lucyshyn
Leiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung
Bildungsstandards –
für höchste Qualität
an Österreichs Schulen
Mathematik5
1. Was sind und wozu dienen Standards
für den Mathematikunterricht?
Werner Peschek, Universität Klagenfurt
Mit der Einführung der sogenannten „Bildungsstandards“ folgte die österreichische Bildungspolitik und -bürokratie einem unübersehbaren internationalen Trend, Bildungszustände durch quantitative empirische Daten zu erheben, zu beschreiben und zu
vergleichen. Die in einer breiten Öffentlichkeit als blamabel dargestellten und wahrgenommenen PISA-Ergebnisse haben den Eifer der Bildungsverantwortlichen dabei
sicher beflügelt.
Seit 2008 ist die Einführung von Bildungsstandards für verschiedene Schulstufen und
Fächer, darunter Mathematik in der 8. Schulstufe (M8), im österreichischen Schulwesen
gesetzlich verankert, seit 2009 gibt es dazu eine Verordnung (BGBl. II 1/2009), die
die Festlegung und Implementierung der Standards weitgehend regelt, ab 2012 wird
österreichweit überprüft.
In der Folge werden Sinn und Zweck von Standards jedoch nicht anhand der juristischen Notwendigkeiten und Sprachgebräuchen verpflichteten gesetzlichen Vorgaben,
sondern aus didaktischer Perspektive diskutiert, und es werden wesentliche Elemente des der Verordnung zu M8 zugrunde liegenden Konzepts der „Standards für die
mathematischen Fähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der
8. Schulstufe“ (IDM, 2007) dargelegt.
1.1 Wozu Standards für den Mathematikunterricht der 8. Schulstufe?
Verbindlichkeit vs. Freiraum
Jedes soziale System hat das Spannungsfeld zwischen Vergemeinschaftung und individuellem Freiraum zu bearbeiten. Vergemeinschaftung ist unverzichtbar für Kommunikation
und Kooperation, für gemeinsame Werte, für gemeinsam getragene Verantwortung und
Identitätsfindung – insgesamt für etwas, was manche als Allgemeinbildung bezeichnen.
Individueller Freiraum ist unverzichtbar für individuelle Entfaltung, für Innovation und
Selbstverwirklichung. Manche sehen darin den Kern von Bildung.
Das Verhältnis von Vergemeinschaftung und Freiraum ist dabei ein dialektisches: Ohne
verpflichtend Gemeinsames sind Freiräume als solche gar nicht wahrnehmbar, ohne
deutlich erkennbare Freiräume steht alles „Gemeinsame“ zur Disposition.
Im österreichischen Bildungssystem wurde in den letzten Jahrzehnten viel Positives in
Richtung Differenzierung (in Schultypen, Leistungsgruppen, schulspezifische Schwerpunktsetzungen, unterrichtliche Binnendifferenzierung) bis hin zur Individualisierung
getan und erreicht. Standards sind das Bemühen, das Gemeinsame wieder stärker in
den Blick zu nehmen, ihm explizit Bedeutung zuzuweisen, ohne dabei die Freiräume
wesentlich einzuschränken, sie vielmehr als solche deutlicher wahrnehmbar und sichtbar zu machen. Was nicht zum verbindlich Gemeinsamen gehört, also nicht Standard
ist, fällt in den Freiraum, der nur dadurch eingeschränkt sein soll, dass er im Sinne der
fachbezogenen (Aus-)Bildung sinnvoll genützt werden muss.
Output- vs. Inputsteuerung
Lehrpläne fokussieren auf den unterrichtlichen Input, also darauf, was im Unterricht
gemacht werden soll. Standards fokussieren auf den Ertrag von Unterricht, auf den
unterrichtlichen „Output“, also darauf, welche (möglichst längerfristig verfügbaren)
Fähigkeiten Schülerinnen und Schüler im Unterricht erwerben. Manche dieser Fähigkeiten werden, wenn sie längerfristig verfügbar sind, heute gerne als „Kompetenzen“
bezeichnet.
Anders als etwa der Unterricht in skandinavischen Ländern weist der (Mathematik-)
Unterricht in deutschsprachigen Ländern geringe Outputorientierung auf: Als Lehrerin
bzw. Lehrer fühlt man sich vor allem dazu verpflichtet, einen „guten“ Unterricht zu
machen, also die Qualität des Inputs hoch zu halten. Selbstverständlich erwartet man,
1
6
1
Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe
dass ein entsprechend guter Unterricht auch einen entsprechend zufriedenstellenden
Output verursacht. Den Output aber ebenso in den Blick zu nehmen wie den Input,
sich für einen zufriedenstellenden Output in gleicher Weise verantwortlich zu fühlen wie
für einen ansprechenden Input und ein genaueres, systematisches Wissen über die
jeweilige Wirkung bestimmter unterrichtlicher Maßnahmen im Hinblick auf den damit
erreichten Output als wichtiges Steuerungswissen für eigene curriculare Planungen
und Entscheidungen zu begreifen, das hat im deutschsprachigen (Mathematik-)Unterricht keine sehr ausgeprägte Tradition.
Normativ vs. diagnostisch
Ein Standard ist immer (auch) normativ, ihm geht eine Festlegung (nach irgendwelchen
Kriterien) voraus und er soll Gültigkeit und Verbindlichkeit haben – eben „Standard“
sein – für eine bestimmte Gruppe. Standards für die mathematischen Fähigkeiten der
österreichischen Schülerinnen und Schüler in der 8. Schulstufe legen somit normativ
fest, über welche mathematischen Fähigkeiten die Gruppe der österreichischen Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe verfügen soll; sie schreiben also vor,
dass entsprechende Fähigkeiten im Unterricht entwickelt werden sollen.
Standards müssen aber auch überprüfbar sein. Nicht, oder zumindest nicht vorrangig,
um Lehrerinnen und Lehrer dazu anzuhalten, die vorgegebenen Standards ernst zu
nehmen und sich im Unterricht bestmöglich um die Erreichung dieser Standards zu
bemühen, sondern vor allem deshalb, weil erst eine saubere Überprüfung gesicherte
Hinweise darauf geben kann, hinsichtlich welcher Kompetenzen das Bildungssystem,
die Schule oder der jeweilige Unterricht die erwünschten Wirkungen hervorgebracht
hat und hinsichtlich welcher Kompetenzen Nachbesserungen, besondere Unterstützungen, Änderungen von Rahmenbedingungen etc. erforderlich wären (Diagnosefunktion).
Standards sind somit dualer Natur: Zum einen ist die normativ-präskriptive Seite entscheidend, die vorschreibt, wie der Output aussehen sollte (Outputsteuerung), zum
anderen ist aber auch die empirisch-diagnostische Seite unverzichtbar, die Aussagen
darüber macht, wie der Output tatsächlich aussieht (Outputkontrolle). Jede dieser beiden
Seiten ist auf zumindest drei Ebenen interessant: Auf Ebene des gesamten Bildungssystems, auf Schulebene und auf Klassenebene. Damit ergibt sich (gedanklich) eine
„Wirkungsmatrix der Standards“ mit sechs Feldern:
normativ
(Outputsteuerung)
diagnostisch
(Outputkontrolle)
Bildungssystem Verordnung der Standards
Systemmonitoring
Schule
schulspezifische Festlegungen
in Fachkonferenzen bzw.
-gruppen
Ergebnisse bundesweiter oder
schulspezifischer Tests
Klasse
Unterrichtsplanung
Evaluation von Unterricht
Bildungs- oder Leistungsstandards?
Kognitive Dispositionen (Fähigkeiten/Kompetenzen) werden anhand erbrachter Leistungen sichtbar und partiell überprüfbar. Mathematische Standards versuchen, über
mathematische Leistungen messbare Anteile im breiten Spektrum mathematischer
Fähigkeiten festzulegen bzw. zu überprüfen.
Wenn sich Bildung – als neuzeitliche Antwort auf die Frage, was den Menschen zum
Menschen macht (vgl. Heymann, 1996, S. 42 ff.) – in kleine Häppchen-Aufgaben packen und in 120 Minuten verlässlich überprüfen ließe, dann müsste man kein besonderes Aufheben um diese Leitidee menschlicher Entwicklung machen. Selbstverständlich
ist das, was man in einigen Hundert Testaufgaben überprüfen kann, nicht mathematische Bildung. Noch weniger kann es ein Standard für mathematische Bildung sein.
Mathematische Standards sind Leistungsstandards, die sich auf einen kleinen, messbaren
Ausschnitt mathematischer Fähigkeiten beziehen. Sie erfassen nicht mathematische
Mathematik7
Bildung oder definieren einen Standard für Bildung. Aber sie können mathematische
Fähigkeiten identifizieren und beschreiben, die für unsere Gesellschaft wie auch für das
Leben und die Entwicklung der/des Einzelnen in unserer Gesellschaft unerlässlich sind
und ihr/ihm (mathematische) Bildung überhaupt erst ermöglichen.
Pointiert ausgedrückt: Ein Mathematikunterricht, der sich darauf beschränkt, die Schülerinnen und Schüler zur Lösung der Standardaufgaben zu befähigen, ist armselig und
kommt an mathematische Bildung kaum heran. Ein Mathematikunterricht, der sich
jedoch begründeten Standards entzieht, ist gesellschaftlich inakzeptabel und erschwert
oder verhindert mathematische Bildung.
1.2 Bildungstheoretische Orientierungen
Es ist kein leichtes Unterfangen, begründet auszuwählen und festzulegen, wie viel und
welche Mathematik Schülerinnen und Schüler einer Klasse gelernt und welche mathematischen Fähigkeiten sie bis zu einem bestimmten Zeitpunkt nachweislich entwickelt
haben sollen. Die Schwierigkeit einer solch normativen Festlegung erhöht sich beträchtlich,
wenn sich diese Frage nicht nur für die eigene Klasse, sondern für alle österreichischen
Schülerinnen und Schüler stellt. Wer ist überhaupt dazu berufen, Standards für alle
festzulegen, wer ist dazu berechtigt, wer dazu ermächtigt? (Man muss bei diesen drei
Fragen nicht notwendigerweise auf dieselben Antworten kommen.) Vor allem aber:
Nach welchen Kriterien (Normen) sollen solche Entscheidungen getroffen werden?
Es ist naheliegend, auch recht bequem, vor allem aber realistisch, von den jeweils gültigen Lehrplänen auszugehen. Lehrpläne sind ein Faktum, sie steuern den Input und es
erscheint wenig erfolgversprechend, den Output weit abseits des Inputs anzusiedeln.
Allerdings sagen Lehrpläne wenig über den Output aus und noch weniger über einen
messbaren Output, sie lassen Interpretationsspielräume und eröffnen damit wichtige
Freiräume (nicht zuletzt auch für diverse Differenzierungen).
Fachliche Kriterien werden bei der Festlegung von Standards ebenso eine gewichtige
Rolle spielen müssen (Schulmathematik sollte doch zumindest kompatibel bleiben mit
der außerhalb von Schule vorfindlichen Mathematik) wie fachdidaktische Überlegungen. Allerdings:
„ … weder aus der mathematischen Disziplin selbst noch aus einer Analyse der objektiven
Verwendung der Mathematik in unserer Gesellschaft allein lassen sich Maßstäbe gewinnen, die bezüglich der Frage, welche und wie viel Mathematik alle Heranwachsenden in unserer Gesellschaft auf welche Weise lernen sollten, ein klares Urteil erlauben“
(Heymann, 1996, S. 9).
Dazu ist vielmehr ein Standpunkt außerhalb des Faches erforderlich, etwa ein bildungstheoretischer Standpunkt:
Ausgangspunkt ist nicht die (objektive Seite der) Mathematik, Ausgangspunkt ist vielmehr das Individuum und dessen Rolle in unserer Gesellschaft. Konkreter formuliert:
Wie viel Mathematik und welche Mathematik sollen Heranwachsende zu ihrem eigenen
Nutzen und zum Nutzen der Gesellschaft lernen?
Das der Verordnung „Bildungsstandards im Schulwesen“ (BGBl. II 1/2009) für M8 zugrunde liegende Konzept (IDM, 2007) basiert auf bildungstheoretischen Überlegungen,
insbesondere orientieren sich Identifikation und Festlegung der dort dargelegten Standards für den Mathematikunterricht am Ende der 8. Schulstufe an zwei einander ergänzenden bildungstheoretischen Anforderungen, nämlich „Lebensvorbereitung“ und
„Anschlussfähigkeit“, die in diesem Konzept in folgender Weise beschrieben werden:
Lebensvorbereitung
Eine weitgehend unbestrittene Aufgabe der (Pflicht-)Schule ist es, die S&S auf das
Leben in unserer Gesellschaft vorzubereiten, ihnen das für eine selbstbestimmte und
aktive Teilnahme am Leben in dieser Gesellschaft notwendige Rüstzeug mitzugeben.
Für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe I wird es also vor allem darum
gehen, die Lernenden mit jenem mathematischen Wissen und Können auszustatten,
das für eine aktive, unbehinderte, reflektierte, kritische, emanzipierte Teilnahme am
Leben in unserer Gesellschaft erforderlich/unerlässlich ist. (Dieses Anliegen bildet auch
1
8
1
das Kernstück der dem PISA-Test Mathematik zugrunde liegenden „mathematical
literacy“.)
Mathematik begegnet uns in lebensweltlichen Zusammenhängen in vielfältiger Weise:
Täglich und fast überall trifft man auf mathematische Zeichen, Darstellungen und
Objekte – Mathematik ist Inventar unserer Lebenswelt. Dieses mathematische Inventar
ist dann auch wesentliches Mittel menschlicher Verständigung – Mathematik ist ein
wichtiges Mittel menschlicher (Massen-)Kommunikation.
Mathematik ist aber auch eine spezifische Brille, durch die wir die Welt sehen, und sie
ist zugleich auch ein Instrument, mit dem wir die Welt, in der wir leben, strukturieren,
ordnen und gestalten. Mathematik ist also sowohl Erkenntnis- als auch Konstruktionsmittel.
Nicht zuletzt ist die Mathematik mit ihren Verfahren aber auch ein Werkzeug zur Lösung
von (mathematisch modellierten) Problemen und mit ihren logischen wie heuristischen
Strategien eine spezifische Technik des Problemlösens – Mathematik ist eine Denktechnologie.
Mathematische Standards, die sich an der Lebensvorbereitung orientieren, werden
sich also nicht auf operative Aspekte der Mathematik beschränken können, sondern
auch konstruktive (z. B. Modellbilden) und vor allem kommunikative Aspekte der Mathematik (etwa Darstellen, Interpretieren, Begründen) in den Blick nehmen müssen, diese
reflektieren und vernetzen.
Da die vielfältigen gegenwärtigen und zukünftigen Lebenssituationen der Lernenden
kaum vorhersehbar, jedenfalls aber nicht vorwegnehmbar sind, ist jedoch weniger
spezifisches Wissen und Können gefordert als die flexible Anwendung grundlegenden
Wissens und Könnens auf vielfältige, auch weniger vertraute Situationen. Zugleich
ist auch die für die Problemstellungen und -lösungen geforderte Authentizität keine
strikte, sondern eher eine potenzielle: Problemstellungen und -lösungen müssen nicht
notwendigerweise unverändert realen (Alltags-)Situationen bzw. den lebensweltlichen
Erfahrungen der S&S entnommen werden, entsprechende Bezüge sollten aber herstellbar sein.
Anschlussfähigkeit
Viele S&S besuchen nach der 8. Schulstufe weiterführende Schulen, in denen Mathematik als Pflichtfach geführt wird oder mathematische Kenntnisse in anderen Fächern
benötigt und fachspezifisch weiterentwickelt werden. Ähnliches gilt für die Berufsausbildung sowie für spätere Berufe, in denen weiterführende mathematische Anforderungen
auftreten.
Anschlussfähigkeit fokussiert auf mathematisches Wissen und Können, die als Grundlage für eine weiterführende mathematische Ausbildung bzw. für die Bewältigung von
mathematischen Anforderungen, die über Alltagserfordernisse hinausgehen, hilfreich
erscheinen. Anschlussfähigkeit ist in diesem Sinne eine Form der „Kommunikationsfähigkeit“ (Kommunikation mit mathematisch höher Gebildeten) wie auch Lebensvorbereitung im weiteren Sinne (etwa im Sinne „lebenslangen Lernens“).
Anschlussfähigkeit erfordert nicht grundsätzlich andere mathematische Fähigkeiten als die unmittelbare Lebensvorbereitung, sie verweist jedoch auch auf inhaltliche
Erweiterungen, nimmt auf eine deutlichere Explizierung (inner-)mathematischer Zusammenhänge und Strukturen Bedacht und betont spezifische mathematische Tätigkeiten
(Formalisieren, Definieren, Beweisen u. Ä.) stärker. (IDM, 2007, S. 7 f.)
In IDM (2007) werden diese allgemeinen bildungstheoretischen Orientierungen für vier
mathematische Inhaltsbereiche der Schulstufen 5 bis 8 konkretisiert.
Mathematik9
1.3 Ein Modell für mathematische Kompetenzen bzw. Standards
(nach IDM, 2007)
Einige Begriffsklärungen
Im Konzept der Standards M8 wird dargelegt, wie die Begriffe „Kompetenz“,
„mathematische Kompetenz“ und „mathematische Standards“ verwendet werden
(siehe IDM, 2007, S. 9 f.):
Unter Kompetenzen werden längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten verstanden,
die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten
in variablen Situationen auszuüben, sowie die Bereitschaft, diese Fähigkeiten und
Fertigkeiten einzusetzen.
Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten, auf mathematische Inhalte sowie auf die Art und Komplexität der erforderlichen Vernetzungen.
Mathematische Standards meinen jene Teilmenge messbarer mathematischer Kompetenzen, über die Schülerinnen und Schüler einer bestimmten Schulstufe verfügen
sollten.
Das Kompetenzmodell
Mathematische Kompetenzen haben nach obiger Definition eine Handlungsdimension
(auf welche Art von Tätigkeit sie sich beziehen, also was getan wird), eine Inhaltsdimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit etwas getan wird) und eine
Komplexitätsdimension (bezogen auf die Art und den Grad der Vernetzungen).
Für jede Dimension mathematischer Kompetenzen sind unterschiedliche Ausprägungen vorstellbar: unterschiedliche mathematische Handlungen, unterschiedliche
mathematische Inhalte sowie unterschiedliche Arten und Grade der Komplexität.
Im hier verwendeten Modell mathematischer Kompetenzen werden „verwandte“ Handlungen zu Handlungsbereichen (H1, H2 …), „verwandte“ Inhalte zu Inhaltsbereichen (I1,
I2 …) und „verwandte“ Arten bzw. Grade von Vernetzungen zu Komplexitätsbereichen
(K1, K2 …) zusammengefasst:
Komplexität
Kompetenz (H3, I2, K2)
math. Handlung
I2
math. Inhalt
H3
Ein Modell mathematischer Kompetenzen
Eine spezifische mathematische Kompetenz in dem hier verwendeten Sinne wird also
durch einen bestimmten Handlungsbereich, einen bestimmten Inhaltsbereich und
durch einen bestimmten Komplexitätsbereich, also durch ein Tripel (z. B. (H3, I2, K2)),
charakterisiert und festgelegt. Eine spezifische Kompetenz etwa ist die Fähigkeit zur
Interpretation (Handlungsbereich) von mathematischen Darstellungen funktionaler
Sachverhalte (Inhaltsbereich), wobei mehrere Fakten/Zusammenhänge/ Darstellungen/
Handlungen miteinander in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich).
1
10
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Festlegung der Standards M8 im Kompetenzmodell
Die mathematischen Standards für die 8. Schulstufe beschreiben jene mathematischen
Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickelt
haben sollten.
Auswahl, Konkretisierung und Festlegung dieser mathematischen Standards
orientieren sich am eingangs dargelegten bildungstheoretischen Rahmen (unter
Bedachtnahme auf den zurzeit gültigen Lehrplan), ihre Beschreibung erfolgt entlang der
Dimensionen des zuvor beschriebenen Modells mathematischer Kompetenzen.
Für die mathematischen Standards am Ende der 8. Schulstufe wurden die folgenden
vier zentralen mathematischen Tätigkeiten bzw. Tätigkeitsbereiche identifiziert und als
gleich bedeutsame Handlungsbereiche festgehalten:
H1 Darstellen,
Modellbilden
Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer
Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation
bzw. Repräsentationsform.
Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem
gegebenen Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen (um diese dann in mathematischer
Form darzustellen), allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vorzunehmen u. Ä.
H2 Rechnen,
Operieren
Rechnen im engeren Sinn meint die Durchführung elementarer
Rechenoperationen mit konkreten Zahlen, Rechnen in einem
weiteren Sinn meint die regelhafte Umformung symbolisch
dargestellter mathematischer Sachverhalte.
Operieren meint allgemeiner und umfassender die Planung
sowie die korrekte, sinnvolle und effiziente Durchführung von
Rechen- oder Konstruktionsabläufen und schließt z. B. geometrisches Konstruieren oder auch das Arbeiten mit bzw. in
Tabellen und Grafiken mit ein.
H3 Interpretieren
Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten,
Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen
im jeweiligen Kontext zu deuten.
H4 Argumentieren, Argumentieren meint die Angabe von mathematischen AsBegründen
pekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Argumentieren erfordert eine korrekte
und adäquate Verwendung mathematischer Eigenschaften/
Beziehungen, mathematischer Regeln sowie der mathematischen Fachsprache.
Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die
zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt.
Die Inhalte wurden unter Bedachtnahme auf den derzeit gültigen Lehrplan ausgewählt
und nach innermathematischen Gesichtspunkten zu folgenden vier Inhaltsbereichen
zusammengefasst:
I1
Zahlen und
Maße
Verschiedene Zahlen und Maße (insbesondere auch in lebenspraktischen Anwendungen); konkret:
natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen
Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen; Potenzschreibweise (mit ganzzahligen Exponenten), Wurzeln
Rechenoperationen, Rechengesetze und -regeln
Anteile, Prozente, Zinsen
Maßeinheiten (für Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen,
Zeiten und zusammengesetzte Größen)
Mathematik11
I2
Variable,
Variable, Terme und (Un-)Gleichungen; verschiedene Darstelfunktionale
lungen funktionaler Zusammenhänge; konkret:
Abhängigkeiten
Variable und Terme
einfache Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen
lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
verbale, tabellarische, grafische und symbolische Darstellung funktionaler Zusammenhänge; lineare Funktionen; direkte und indirekte Proportionalität
I3
Geometrische
Figuren und
Körper
Grundlegende geometrische Begriffe; einfache geometrische
Figuren und Körper, deren Eigenschaften und Darstellung
(Zeichnung, Konstruktion); konkret:

I4
Punkt, Gerade, Ebene; Strecke, Winkel; Parallele, Normale
Symmetrie, Ähnlichkeit
Dreiecke, Vierecke, Kreis
Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel
Satz von Pythagoras
Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und Volumsformeln
Statistische
tabellarische Darstellung statistischer Daten
Darstellungen
Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Streifendiagramm, Piktound Kenngrößen
gramm, Liniendiagramm; Streudiagramm
absolute und relative Häufigkeiten
arithmetisches Mittel, Median, Quartile
Spannweite, Quartilsabstand
Mathematische Anforderungen bzw. die zu ihrer Bewältigung erforderlichen Kompetenzen können sich nicht nur hinsichtlich der erforderlichen Handlung und hinsichtlich
des mathematischen Inhalts, sondern sehr wesentlich auch hinsichtlich der zu bewältigenden Komplexität unterscheiden. Die Komplexitätsdimension der mathematischen
Standards versucht diesen unterschiedlichen Anforderungen durch drei Komplexitätsbereiche modellhaft Rechnung zu tragen:
K1 Einsetzen von
Grundkenntnissen und
-fertigkeiten
Einsetzen von Grundkenntnissen und -fertigkeiten meint die
Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.
In der Regel ist nur reproduktives mathematisches Wissen
und Können oder die aus dem Kontext unmittelbar erkennbare
direkte Anwendung von mathematischen Kenntnissen bzw.
Fertigkeiten geringer Komplexität erforderlich.
K2 Herstellen von
Verbindungen
Das Herstellen von Verbindungen ist erforderlich, wenn der
mathematische Sachverhalt und die Problemlösung komplexer
sind, sodass mehrere Begriffe, Sätze, Verfahren, Darstellungen bzw. Darstellungsformen (aus verschiedenen mathematischen Gebieten) oder auch verschiedene mathematische
Tätigkeiten in geeigneter Weise miteinander verbunden werden
müssen.
K3 Einsetzen von
Reflektieren meint das Nachdenken über Zusammenhänge,
Reflexionswisdie aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt nicht
sen, Reflektieren unmittelbar ablesbar sind.
Reflektieren umfasst das Nachdenken über eine mathematische Vorgehensweise (Lösungsweg/Lösung, Alternativen),
über Vor- und Nachteile von Darstellungen/Darstellungsformen bzw. über mathematische Modelle (Modellannahmen,
Idealisierungen, Aussagekraft, Grenzen des Modells, Modellalternativen) im jeweiligen Kontext sowie das Nachdenken
über (vorgegebene) Interpretationen, Argumentationen oder
Begründungen.
1
12
Reflexionswissen ist ein anhand entsprechender Nachdenkprozesse entwickeltes Wissen über Mathematik.
Reflexion(swissen) kann in vielfältiger Weise sichtbar werden:
durch Dokumentation von Lösungswegen, durch entsprechende Entscheidungen, oft aber auch durch entsprechende
Argumentationen und Begründungen.
1
Die Komplexität einer Aufgabe beeinflusst die objektive Anforderung, sie ist jedoch kein
geeignetes Maß für die subjektive oder psychometrische Schwierigkeit!
Noch einmal: Kompetenzen und Standards M8
Handlungsbereiche
H1
H2
H3
H4
Inhaltsbereiche
(H3, I2, K1)
Kompetenz
I1
I2
I3
I4
Komplexitätsbereiche
K1
K2
K3
Jeder der vier Handlungsbereiche ergibt verknüpft mit einem der vier Inhaltsbereiche
und verknüpft mit einem der drei Komplexitätsbereiche eine Kompetenz – insgesamt
erhält man somit 48 Kompetenzen. Durch diese 48 Kompetenzen sind die Standards
für die mathematischen Fähigkeiten der österreichischen Schülerinnen und Schüler am
Ende der 8. Schulstufe festgelegt.
In der Verordnung (BGBl. II 1/2009) werden diese 48 Kompetenzen durch sogenannte
„Deskriptoren“ charakterisiert, also verbal beschrieben. Für die in obiger Grafik dargestellte Kompetenz etwa heißt es:
„Die Schülerinnen und Schüler können algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellte Strukturen und (funktionale) Zusammenhänge beschreiben und im jeweiligen
Kontext deuten.“
(BGBl. II 1/2009, Anlage, S. 14)
Mathematik13
2. Kompetenzen an Aufgaben
sichtbar gemacht
Mathematische Voraussetzungen für den Erwerb von Kompetenzen sind Vorstellungen
(„Wie ist etwas?“) und Fertigkeiten („Wie geht das?“) im Umgang mit Zahlen und geometrischen Objekten. Auf diesen Grundlagen baut der Unterricht der Sekundarstufe I
auf.
Ziel des Lernprozesses ist die Aneignung langfristig verfügbarer Kompetenzen und
nicht nur das Abarbeiten von mathematischen Inhalten.
Eine kompetenzorientierte Aufgabenkultur erfordert nicht sensationell neue Beispiele,
sondern eine neue Brille, mit der man aus der Handlungsdimension des Kompetenzmodells auf die Ziele und die Qualität der Aufgaben schaut. Traditionell ist der Blick
aus der Inhaltsdimension, man versucht die Inhalte des Lehrplans abzuarbeiten. Jetzt
stehen die mathematischen Handlungen der Lernenden im Mittelpunkt, die bei der
Bearbeitung von Inhalten auszuführen sind.
Kompetenzorientiertes Lernen
Persönliche Disposition
motivationale und volitionale
Aspekte
Vorerfahrungen, Wissen, Können,
Denk- und Handlungsmuster
Lernaktivität
Kompetenzorientierte
Aufgabenkultur
Materielle Lernumgebung
Lernmedien, elektronische
Werkzeuge
Man beachtet auch die Einflüsse anderer wichtiger Parameter auf den Lernprozess, die
den Erwerb von Kompetenzen begünstigen/behindern können.
Dazu gehören die Vorkenntnisse und die für das Problemlösen erforderlichen heuristischen Strategien genauso wie die motivationale Disposition und natürlich auch die
verfügbaren Lernmedien und Technologien (vgl. Heugl, 2009).
Der nachhaltige Aufbau von Kompetenzen ist nur dann möglich, wenn Mathematikunterricht nicht als eine Verabreichung von „Kochrezepten“, sondern als ein auf Verstehen beruhender Lernprozess gesehen wird. Das eigenständige Entwickeln von
Lösungsstrategien ist daher höher zu bewerten als stets abrufbares Formelwissen. Ein
Unterricht, in dem alle Handlungsdimensionen zum Tragen kommen, wird aber nicht
auf sicheres Kopfrechnen und Automatisieren von gewissen Grundkenntnissen und
Fertigkeiten verzichten können.
Eine Vertiefung der Lernaktivität kann nicht nur durch eine geänderte Aufgabenkultur,
sondern auch durch Variation von Methoden und Sozialformen erfolgen.
2
14
Die ausgewählten Aufgaben unterschiedlicher Komplexität berücksichtigen alle vier
Handlungs- und alle vier Inhaltsbereiche.
2
Die Autorinnen und Autoren waren bemüht, die Aufgaben in diesem Kapitel so zu erstellen, dass die einzelnen Kompetenzen möglichst deutlich sichtbar werden. Es wird
aber wohl z. B. kein Operieren ohne Interpretieren der Rechenschritte und Lösungen,
kein Modellieren ohne – zumindest für sich selbst – Argumentieren geben. Auch inhaltliche Überschneidungen sind oft unvermeidlich. Die Aufgaben werden immer den
Bereichen zugeordnet, in denen der inhaltliche Schwerpunkt und die zentrale Handlung
liegen.
2.1 Darstellen, Modellbilden – H1
Modellbilden meint u. a. die Übersetzung von Sprache in ein passendes mathematisches Modell. Diese Tätigkeit ist immer auch mit einer Form von Darstellung (z. B. eine
Formel aufstellen) verknüpft. Übersetzungsprozesse innerhalb der Mathematik (z. B.
einen Funktionsterm grafisch darstellen) bedeuten ein innermathematisches Modellieren. Daher ist der Wechsel der unterschiedlichen Darstellungsformen (z. B. eine Zahl
in Bruch-, Dezimal- und Prozentdarstellung angeben können) dem Bereich H1 zuzuordnen.
Darstellen bzw. innermathematisches Modellieren tritt in vielen Formen auf:
zu einer Tabelle eine geeignete grafische Darstellung anfertigen
geometrische Figuren oder Körper mit einer Freihandskizze oder mittels Lineal abbilden
Funktionsterme grafisch darstellen
Beim Modellbilden geht es um das Erkennen von Mathematisierungsmustern und das
Erkennen von Abhängigkeiten zwischen Größenbereichen. „Modellierungskompetenz“
entwickeln bedeutet also, das Repertoire an mathematischen Modellen schrittweise zu
erweitern (vgl. Heugl, 2009).
Mathematik15
Aufgabe „Zahlengerade“
Markiere auf einer Zahlengeraden die folgenden Zahlen:
1,5; – __
 6  ; 1;
8
5  ; 4,2
 __
2
Lösung bzw. möglicher Lösungsweg:
2
Titel/Thema
Kompetenz
Zahlengerade
H1, I1, K1
H1
Darstellen: Es geht um den Wechsel zwischen der symbolischen Darstellung von Zahlen und ihrer Darstellung auf der Zahlengeraden.
I1
Zahlen und Maße: Es geht um symbolische und grafische Darstellungen
von Zahlen.
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen: Die Aufgabe erfordert grundlegendes
Wissen über die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Zahlen.
Anmerkung
Die unterschiedliche Schreibweise in der Angabe (z. B. 1,5) und in der
Lösung (z. B. 1.5) entspricht der Realität („Lebensvorbereitung“), dass es
keine weltweit einheitliche Schreibweise für Dezimalzahlen gibt.
K
Aufgabe „Bremsweg“
Die Länge des Bremswegs bei einem Auto hängt vor allem von der Fahrgeschwindigkeit ab.
Als Faustregel gilt, dass die Länge B des Bremswegs (in m) errechnet werden kann, indem man die
Geschwindigkeit v (in km/h) quadriert und das Ergebnis durch 100 dividiert.
Stelle diese Faustregel für die Berechnung der Länge des Bremswegs B als Formal dar.
B = ____
  v    
100
2
Titel/Thema
Kompetenz
Bremsweg
H1, I2, K1
H1
Darstellen: Ein mathematischer Sachverhalt (Zusammenhang) ist verbal dargestellt und soll in die Sprache der Mathematik (Gleichung mit
Zeichen und Symbolen) übertragen werden.
I2
Variable: Ein funktionaler Zusammenhang (Abhängigkeit der Bremsweglänge von der Geschwindigkeit) wird durch eine Gleichung in zwei
Variablen ausgedrückt.
K1
Einsetzen von Grundfertigkeiten: Das Anschreiben des Quadrats einer
Variablen und der anschließenden Division durch 100 ist elementar.
Anmerkung
Mathematisch gesehen handelt es sich bei der Lösung um eine Formel,
physikalisch jedoch nicht, weil die Maßeinheiten nicht übereinstimmen.
K
16
Aufgabe „Schule 1“
In einer Schule sind 12-mal so viele Kinder wie Lehrpersonen.
Stelle diesen Sachverhalt durch eine Gleichung dar, wenn gilt:
K .......... Anzahl der Kinder
L .......... Anzahl der Lehrpersonen
2
K = 12 · L
K
Titel/Thema
Kompetenz
Schule 1
H1, I2, K1
H1
Darstellen: In einem gegebenen Sachverhalt müssen mathematische
Beziehungen erkannt und durch eine Gleichung dargestellt werden.
I2
Variable und funktionale Abhängigkeiten: Das Darstellen des gegebenen
funktionalen Zusammenhangs erfolgt mithilfe von Variablen.
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen
Mathematik17
Aufgabe „Kleine Würfel“
Maria baut aus kleinen Würfeln mit der Kantenlänge 1 cm verschiedene größere Würfel.
Die neuen Würfel, die Maria baut, dürfen nicht hohl sein.
Wie viele kleine Würfel benötigt sie jeweils?
Vervollständige die Tabelle
Anzahl der
kleinen Würfel
Kantenlänge des
neuen Würfels
8
2 cm
2
3 cm
64
5 cm
Anzahl der
kleinen Würfel
Kantenlänge des
neuen Würfels
8
2 cm
27
3 cm
64
4 cm
125
5 cm
Titel/Thema
Kompetenz
Kleine Würfel
H1, I3, K1
H1
Modellbilden: Im gegebenen Sachverhalt des Bauens größerer Würfel
sind die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen.
I3
Geometrische Körper: Würfel
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen
Anmerkung
Diese Aufgabe eignet sich auch, um im Unterricht die Formel für den
Rauminhalt eines Würfels (Quaders) mithilfe einer großen Anzahl von
kleinen Würfeln selbsttätig zu finden. Dadurch ist gewährleistet, dass
die Schüler/innen in der Folge die Formel nicht nur als unverstandenes
Rezept verwenden.
Ist die Formel bereits bekannt, so ist die Zuordnung primär H2, I3, K1,
aber auch in diesem Fall wird bei vielen Schülerinnen und Schülern unwillkürlich das Modell der kleinen Würfel, die Schicht für Schicht den großen
Würfel aufbauen, mitschwingen.
K

18
Aufgabe „Klassensprecherwahl“
Stelle das Ergebnis der Klassensprecherwahl mithilfe eines geeigneten Computerprogramms
in einem passenden Diagramm dar.
Kandidat/in
2
Stimmenanzahl
Sabine
4
Maria
12
Sebastian
Waltraud
2
10%
2
20%
Lösung10%
bzw. möglicher Lösungsweg:
Sabine
Waltraud
10%
Sebastian
20%
10%
Maria
Sabine
Waltraud
Sebastian
60%
Maria
60%
70%
60%
50%
70%
40%
60%
30%
50%
20%
40%
10%
30%
0%
20%
Sabine
Maria
Sebastian
Waltraud
10%
K
0%
Titel/Thema
Kompetenz
Sabine Klassensprecherwahl
Maria
H1, I4, K1
Sebastian
Waltraud
H1
Darstellen: Ein gegebener mathematischer Sachverhalt muss mit Technologieeinsatz in eine andere Darstellungsform übertragen werden.
I4
Statistische Darstellungen
K1
Die Aufgabe erfordert grundlegende Fertigkeiten im Umgang mit einem
geeigneten Computerprogramm.
Mathematik19
2.2 Rechnen, Operieren – H2
Diese Kompetenz umfasst unterschiedliche Fertigkeiten (Rechnen, Zeichnen ...), aber auch das Planen
von Lösungswegen.
Wichtig für die Kompetenzentwicklung sind folgende Teilaspekte:
Strukturerkennungskompetenz: Die Notwendigkeit dieser Kompetenz ist nichts Neues. Empirische
Untersuchungen haben gezeigt, dass ein großer Teil der Schülerfehler beim algebraischen Operieren
auf Strukturerkennungsfehler zurückzuführen ist. Eine wesentliche Grundlage für diese Kompetenz
ist die Kenntnis der algebraischen Gesetze und Regeln.
Handkalkülkompetenz: Eine Automatisierung elementarer Rechenfertigkeiten in den verschiedenen
mathematischen Inhaltsbereichen ist auch bei Verfügbarkeit von Technologie unerlässlich. Komplexere
Operationen sollten aber auf die technologischen Werkzeuge ausgelagert werden.
Werkzeugkompetenz: Ohne Beherrschung der verwendeten Werkzeuge kann die geplante Operation nicht ausgeführt werden. Die ständige Weiterentwicklung der Werkzeugkompetenz muss ein
expliziter Teil des Lernprozesses werden (vgl. Heugl, 2009).
2
Aufgabe „Sebastians Hausübung“
Sebastian hat bei seiner Hausübung nur bei einer Rechnung das richtige Ergebnis erhalten.
Erkläre ihm, was er falsch gemacht hat.
„Ich hab bei beiden
Rechnungen ganz
gleich gerechnet!“
453 + 199 + 1 = 453 + 200 = 653
342 – 201 – 1 = 342 – 200 = 142
Wenn eine Rechnung keine Klammern enthält, muss von „links nach rechts“ gerechnet werden.
Sebastian hat gerechnet, als ob Klammern vorhanden wären,
453 + (199 +1) bzw. 342 – (201 – 1).
Das ist bei der Addition möglich, weil das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) gilt. Bei der
Subtraktion mehrerer Zahlen erhält man aber ein falsches Ergebnis, weil das Assoziativgesetz bei
der Subtraktion nicht gilt.
Richtig wäre: 342 – 201 – 1 = 141 – 1 = 140
Titel/Thema
Kompetenz
Sebastians Hausübung
H2, I1, K3
H2
Rechnen, Operieren: Es geht um das Operieren mit natürlichen Zahlen.
I1
Zahlen und Maße: Rechnen mit natürlichen Zahlen
K3
Reflektieren: Es muss über richtiges bzw. falschen Operieren nachgedacht werden.
K
20
Aufgabe „Gleichung“
Löse folgende Gleichung:
(x + 3,2) · x = x2 + 4,8
x = 1,5
2
K

Titel/Thema
Kompetenz
Gleichung
H2, I2, K1
H2
Rechnen: Im Mittelpunkt der Aufgabe steht die regelhafte Umformung eines
symbolisch dargestellten Sachverhalts. Neben dem Distributivgesetz und
dem Potenzieren müssen vor allem Äquivalenzumformungen im Rahmen
des Lösens einer Gleichung angewendet werden. Die Verwendung von
Dezimalzahlen in der Angabe führt dazu, dass man die Lösung nicht unmittelbar sieht. Damit wird das tatsächliche Durchführen regelhafter Umformungen notwendig.
I2
Variable: Das Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten ist dem
Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“ zugeordnet.
K1
Einsetzen von Grundfertigkeiten: Auch wenn der Lösungsweg hier
mehrere Schritte umfasst, bleibt die Aufgabe doch im Bereich K1, weil
es immer um das regelhafte Umformen in Bezug auf das Lösen von Gleichungen geht. Möglich wäre auch eine Zuordnung zu K2, wenn man an
ein Verbinden der Termumformung (x + 3,2) · x mit den anschließenden
Äquivalenzumformungen zum Gleichungslösen denkt.
Aufgabe „Zwei Gleichungen“
Löse das Gleichungssystem:
I: 3c – 4d = – 7
II:
c=d–1
c = 3, d = 4
K
Titel/Thema
Kompetenz
Zwei Gleichungen
H2, I2, K1
H2
Operieren: Hier steht das Operieren im Vordergrund. Es bieten sich
sowohl das Substitutionsverfahren als auch das Additionsverfahren als
effiziente Lösungswege an.
I2
Variable: Das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen
ist dem Inhaltsbereich I2 zugeordnet.
K1
Einsetzen von Grundfertigkeiten: Auch wenn der Lösungsweg hier
mehrere Schritte umfasst, bleibt die Aufgabe doch im Bereich K1, weil
es immer um das regelhafte Umformen in Bezug auf das Lösen von Gleichungen geht.
Mathematik21
Aufgabe „Satz von Thales“
Konstruiere mithilfe eines dynamischen Geometrieprogramms (wie z. B. GeoGebra) ein Dreieck
ABC, dessen Eckpunkte A und B die beiden Endpunkte des Durchmessers eines Halbkreises sind.
Der Eckpunkt C liegt auf dem Halbkreis.
Bewege den Punkt C entlang des Halbkreises und miss an 5 Stellen die Größe des Winkels ∠ ACB
und notiere die Ergebnisse deiner Messungen.
2
γ1
γ
M
Der gemessene Winkel hat immer eine Größe von 90°.
Titel/Thema
Kompetenz
Satz von Thales
H2, I3, K1
H2
Der Konstruktionsablauf muss geplant und korrekt durchgeführt werden.
I3
Konstruktion von einfachen geometrischen Figuren
K1
Einsetzen von Grundfertigkeiten
K
22
Aufgabe „Figur“
Ermittle den Flächeninhalt der dargestellten Figur.
10 cm
10 cm
20 cm
20 cm
2
12 cm
12 cm
18 cm
18 cm
10 cm
20 cm
20 cm
10 cm
A1
A2
A1
A2
12 cm
12 cm
18 cm
18 cm
12 
A = A1 + A2 = _______
 20 + 
 
· 8 + 12 · 10 = 128 + 120 = 248
2
A = 248 cm2
K
Titel/Thema
Kompetenz
Figur
H2, I3, K2
H2
Rechnen, Operieren: Die effiziente Berechnung der Gesamtfläche setzt
eine entsprechende Planung voraus.
I3
Geometrische Figuren: Flächenformeln für Dreiecke und Vierecke
K2
Herstellen von Verbindungen: Zur Lösung der Aufgabe muss eine effiziente
Planung mit der Anwendung verschiedener Flächenformeln verbunden
werden.
Mathematik23
Aufgabe „Rechteck“
Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 24 m2. Länge und Breite des Rechtecks (in Meter) sind
ganze Zahlen.
Welche Seitenlängen kann das Rechteck haben? Gib alle Möglichkeiten an.
Länge der Seite a
Länge der Seite b
Flächeninhalt
1m
24 m
24 m2
2m
12 m
24 m2
3m
8m
24 m2
4m
6m
24 m2
Titel/Thema
Kompetenz
Rechteck
H2, I3, K3
H2
Operieren: Die Aufgabe erfordert die Planung und effiziente Durchführung
der Ermittlung der Seitenlängen.
I3
Es geht um die Darstellung der Zahl 24 als Produkt von zwei ganzzahligen
positiven Faktoren in einer anschaulichen Anwendung.
K3
Es geht um ein Reflektieren über verschiedene Darstellungsformen der Zahl
24 als Produkt von zwei ganzzahligen positiven Faktoren.
Anmerkung
Durch die „Einkleidung“ der dahinterstehenden Aufgabe „Stelle die Zahl
24 als Produkt zweier positiver ganzzahliger Faktoren dar“ erhalten die
Schüler/innen die Möglichkeit, das Beispiel mit einer Vorstellung aus ihrer
Lebenserfahrung zu verknüpfen.
2
K

Aufgabe „Körpergröße“
Sebastian ist mit einer Körpergröße von 148 cm der größte Schüler in seiner Klasse.
Allerdings beträgt die Spannweite der Körpergröße der Schüler nur 9 cm.
Wie groß ist der kleinste Schüler in Sebastians Klasse?
Der kleinste Schüler in Sebastians Klasse hat eine Körpergröße von 139 cm.
Titel/Thema
Kompetenz
Körpergröße
H2, I4, K1
H2
Rechnen, Operieren: Der Rechenablauf muss geplant und korrekt durchgeführt werden.
I4
Statistische Darstellungen und Kenngrößen: Spannweite
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten: Die entsprechende
Rechnung ist aus dem Kontext unmittelbar erkennbar und von geringer
Komplexität.
K
24
2.3 Interpretieren – H3
Interpretieren von Fakten, Zusammenhängen und Darstellungen wird in vielen Aufgaben zum Tragen
kommen, auch wenn eine Aufgabe nicht ausdrücklich dem Handlungsbereich H3 zugewiesen ist.
Interpretieren umfasst im Besonderen
2
das Analysieren von Begriffen und Formulierungen
das Ablesen von Werten aus Grafiken oder Tabellen und deren Deutung im gegebenen Zusammenhang
das Erkennen von Zusammenhängen und deren Deutung im gegebenen Zusammenhang
das Deuten von Rechenergebnissen und Rechnerdarstellungen
das Erkennen von zutreffenden Interpretationen und brauchbaren Lösungswegen
Aufgabe „Geldbetrag“
Ein Geldbetrag wird verdoppelt.
Welche Aussagen sind richtig?
A Der neue Geldbetrag ist um 100 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag.
B Der neue Geldbetrag beträgt 200 % des ursprünglichen Geldbetrags.
C Der neue Geldbetrag ist um 200 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag.
D Der ursprüngliche Betrag ist um 50 % kleiner als der neue Geldbetrag.
E Der neue Geldbetrag ist um 50 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag.
Richtig sind die Aussagen A, B und D.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Geldbetrag
H3, I1, K3
H3
Interpretieren: Die Aufgabe verlangt zu erkennen, ob die jeweilige Interpretation die gegebene Aussage „Ein Geldbetrag wird verdoppelt“ richtig
deutet.
I1
Zahlen und Maße: Prozentrechnen
K3
Reflektieren: Die Aufgabe erfordert ein Nachdenken über die vorgegebenen Interpretationen und eine Entscheidung, welche dieser Interpretationen
korrekt sind.
Mathematik25
Aufgabe „Aufzug“
Das Diagramm stellt näherungsweise die Probefahrt eines Aufzugs in einem Hochhaus mit
8 Stockwerken dar.
Beschreibe den Fahrtverlauf des Aufzugs in Worten.
2
Der Aufzug steht 3 Sekunden im 4. Stockwerk.
Dann fährt er mit konstanter Geschwindigkeit 4 Sekunden lang bis zum 6. Stockwerk.
Dort steht er 4 Sekunden.
Dann fährt er 6 Sekunden lang bis zum 3. Stockwerk.
Dort steht er 4 Sekunden.
Dann fährt er 6 Sekunden lang bis ins Parterre.
Titel/Thema
Kompetenz
Aufzug
H3, I2, K1
H3
Interpretieren: Die grafisch dargestellte Bewegung eines Lifts soll entsprechend gedeutet, d. h. in Worten beschrieben werden.
I2
Funktionale Abhängigkeiten: Ausgangspunkt ist eine grafische Darstellung
des funktionalen Zusammenhangs zwischen der Zeit und dem Aufenthaltsort des Liftes.
K1
Einsetzen von Grundfertigkeiten: Es ist notwendig, der Grafik entsprechende
Wertepaare zu entnehmen. Dies ist eine grundlegende Fertigkeit.
K
26
Aufgabe „Schule 2“
In einer Schule sind L Lehrpersonen und K Kinder.
Was sagt die Gleichung K = 12 · L aus?
In der Schule befinden sich 12-mal so viele Kinder wie Lehrpersonen.
2
K
Titel/Thema
Kompetenz
Schule 2
H3, I2, K1
H3
Interpretieren: Die Aufgabe verlangt, dass aus einer mathematischen Darstellung, nämlich einer Gleichung, der Sachverhalt erkannt, im Kontext
richtig interpretiert und sprachlich dargelegt wird.
I2
Variable und funktionale Abhängigkeiten: Es handelt sich um eine einfache
Gleichung (Formel).
K1
Einsatz von Grundkenntnissen
Aufgabe „Sparzinsen“
Die Zinsen Z, die jeder Sparer in Österreich nach einem Jahr und nach Berücksichtigung der
Kapitalertragssteuer (KESt) tatsächlich erhält, können mit folgender Formel berechnet werden
K·p
(K ist das Anfangskapital, p ist der Bankzinssatz, ____
 100  
ist die Höhe der Zinsen ohne
Berücksichtigung der KESt):
K·p
Z = _____
 
  · 0,75
100
Interpretiere den Faktor 0,75. Welche Bedeutung hat dieser Faktor für den Sparer?
0,75 entspricht __
 34 bzw. 75 %. Für den Sparer bedeutet dies, dass ein Viertel oder 25 % des
Zinsertrags nicht an ihn ausbezahlt wird, sondern als Kapitalertragssteuer an das Finanzamt bezahlt
werden muss.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Sparzinsen
H3, I2, K1
H3
Interpretieren: Eine mathematische Darstellung – hier die Formel für die Sparzinsen nach Abzug der KESt – muss im Kontext gedeutet werden. Da das
Interpretieren als wichtiger Bereich des Handelns im Mathematikunterricht
betrachtet wird, sollten die Schüler/innen auch das Fachwort als solches
verstehen (vgl. „Argumentieren“). Der Faktor 0,75 ist im Rahmen der Berechnung der tatsächlichen gutgeschriebenen Zinsen erklärend zu deuten.
I2
Variable, funktionale Abhängigkeiten: Der funktionale Zusammenhang
zwischen Sparzinsen, Kapital, Bankzinssatz und Kapitalertragssteuer ist
in der Sprache der Mathematik als Gleichung (Formel) mit mehreren Variablen dargestellt.
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen: Die Aufgabenstellung selbst beschränkt
sich auf die korrekte Deutung des Faktors 0,75.
Mathematik27
Aufgabe „Auto“
Ein Auto ist auf einer geradlinigen Teststrecke auf dem Weg vom Start zum Ziel. Es kann dabei
fahren oder stehen. Es kann beschleunigen, bremsen oder mit konstanter Geschwindigkeit fahren.
Die vier Abbildungen zeigen Graphen, die diese Möglichkeiten darstellen.
s ... Entfernung vom Startpunkt (zurückgelegter Weg)
v ... Geschwindigkeit
t ... Zeit
2
Vier Vorschläge (A, B, C, D), die beschreiben, was die Abbildungen in Hinblick auf dieses Auto
bedeuten, liegen vor.
Ordne die Abbildungen den Beschreibungen zu.
v
s
Abbildung 1
t
Abbildung 2
t
v
Abbildung 3
Beschreibung
Abbildung 4
t
Abbildung
A: Das Auto beschleunigt.
B: Das Auto steht.
C: Das Auto bremst.
D: Das Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
Beschreibung
Abbildung
A: Das Auto beschleunigt.
2
B: Das Auto steht.
1
C: Das Auto bremst.
3
D: Das Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
4
28
K
2
Titel/Thema
Kompetenz
Auto
H3, I2, K3
H3
Interpretieren: Den grafischen Darstellungen müssen die passenden Interpretationen zugeordnet werden.
I2
Funktionale Abhängigkeiten: Funktionale Zusammenhänge sind grafisch
dargestellt.
K3
Reflektieren: Die Interpretationen der Abbildungen liegen bereits vor. Um die
Aufgabe zu lösen, muss über diese Interpretationen nachgedacht werden.
Anmerkung
Falls jemand die Aufgabe „von unten nach oben“ bearbeitet, also jeweils
zuerst eine der Beschreibungen liest und dann darüber nachdenkt, welche
der Abbildungen diese Beschreibung korrekt darstellt, dann wäre dieser
Vorgang mit H1, I2, K3 zu klassifizieren.
Aufgabe „Boxplot“
Der Boxplot in der Abbildung gibt einen Überblick über das Bruttojahreseinkommen in € der
Angestellten eines Unternehmens.
Notiere möglichst viele Informationen, die du der Darstellung entnehmen kannst.
0
10.000
20.000
30.000 40.000
50.000 60.000 70.000
Frauen
Männer
Das höchste Einkommen der Männer beträgt 60 000 €, das der Frauen 42 000 €.
25 % der Frauen verdienen weniger als 10 000 €.
25 % der Männer verdienen mehr als 40 000 €.
50 % der Frauen verdienen zwischen 10 000 € und 30 000 € usw.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Boxplot
H3, I4, K1
H3
Interpretieren: Aus einer grafischen Darstellung (Boxplot) müssen Daten
abgelesen werden. Diese Daten sind im Zusammenhang mit dem Einkommen der Angestellten zu deuten.
I4
Statistische Darstellungen und Kenngrößen: Es handelt sich um eine grafische Darstellung statistischer Daten und Kenngrößen.
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen: Das Wissen um die Aussagekraft eines
Boxplots muss angewendet werden.
Mathematik29
2.4 Argumentieren, Begründen – H4
Aufgaben aus diesem Handlungsbereich enthalten Fragestellungen der Art

Begründe …
Zeige, dass …
Überprüfe …
Widerlege …
Beweise …
2
Je nach Entwicklungsstand und intellektuellen bzw. sprachlichen Fähigkeiten der Schüler/innen wird
sich die Qualität von Argumenten bzw. Beweisen unterscheiden. Auch Schüler/innen mit niedrigem
Leistungsniveau sollen immer wieder in diesem Bereich arbeiten. Das „Reden über“ wird im Mathematikunterricht über „Erklären“ und „Plausibelmachen“ weiter bis hin zu Denktechnologien des Beweisens
entwickelt (vgl. Heugl, 2009).
Aufgabe „Potenzrechnen“
Eine Rechenregel für das Rechnen mit Potenzen lautet:
ar · as = ar+s
a ∈ R, r, s ∈ N
Begründe die Gültigkeit dieser Regel.
Lösungsweg 1:
ar = a · a · a · ..... · a
r Faktoren
as = a · a · a · ..... · a
s Faktoren
a · a · a · ..... · a · a · a · a · ..... · a = a · a · a · ..... · a = ar + s
r Faktoren
s Faktoren
r + s Faktoren
Lösungsweg 2:
Eine mögliche Begründung könnte auch verbal erfolgen, etwa:
„Die Hochzahl gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Wird der Faktor a r-mal und
dann nochmals s-mal angeschrieben, so sind es r + s Faktoren.“
Für weniger leistungsstarke Schüler/innen wäre auch die Angabe eines Beispiels mit konkreten
Hochzahlen wie a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 und dem Zusatz „So kann man das mit allen Hochzahlen
machen“ eine akzeptable Begründung.
☞
Titel/Thema
Kompetenz
Potenzrechnen
H4, I1, K1
K
H4
Argumentieren, Begründen: Die angeführte Rechenregel muss durch eine
Argumentationskette begründet werden.
I1
Zahlen und Maße: Potenzschreibweise, Rechengesetze und Rechenregeln
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen: Die Potenzschreibweise als eine verkürzt angeschriebene Multiplikation zu verstehen, ist elementares Wissen.
30
Aufgabe „Division durch 5“
Erika dividiert eine dreistellige natürliche Zahl mit der Einerziffer 3 durch die Zahl 5.
Sie behauptet: Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl und der Rest ist 0.
Begründe, warum diese Behauptung sicher falsch ist.
Die Behauptung ist falsch, weil eine durch 5 teilbare Zahl entweder die Einerziffer 5 oder 0
haben muss.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Division durch 5
H4, I1, K3
H4
Argumentieren, Begründen: Ein mathematischer Aspekt, der gegen die
angegebene Lösung spricht, muss genannt werden.
I1
Zahlen und Maße: Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen
K3
Reflektieren: Das Reflektieren umfasst hier das Nachdenken über eine
bereits vorliegende Lösung.
Aufgabe „Temperatur in der Atmosphäre“
Die Abbildung zeigt den Temperaturverlauf in der Atmosphäre.
Begründe, weshalb diese Abbildung nicht den Graphen einer Funktion darstellt (wenn man die
Höhe als abhängige Größe und die Temperatur als unabhängige Größe betrachtet).
110
100
Thermosphäre
90
80
Höhe in Kilometer
2
70
Mesosphäre
60
50
40
30
20
10
0
Stratosphäre
Ozonmaximum
Mount Everest
–110
Troposphäre
–55
0
Temperatur in °C
20
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, d. h. jedem Argument x wird genau ein Funktionswert
f(x) zugeordnet. Bei dieser Aufgabe werden aber einer bestimmten Temperatur, z. B. 0 °C, mehrere
Höhen zugeordnet.
Mathematik31
Titel/Thema
Kompetenz
Temperatur in der Atmosphäre
H4, I2, K3
H4
Argumentieren, Begründen: Ein mathematischer Aspekt, der gegen die
Sichtweise spricht, dass es sich um eine Funktion handelt, muss angeführt
werden. Dies erfordert die exakte Verwendung der mathematischen Fachsprache.
I2
(Funktionale) Abhängigkeiten: Der Zusammenhang zwischen Temperatur
und Höhe ist grafisch dargestellt.
K3
Reflektieren: Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert das Nachdenken über
Zusammenhänge, die aus dem dargestellten mathematischen Sachverhalt (Zusammenhang zwischen Temperatur und Höhe) nicht unmittelbar
ablesbar sind. Über eine entsprechende Begründung muss nachgedacht
werden.
K
Aufgabe „Gärtner“
Ein Gärtner spannt eine Knotenschnur (die Abstände zwischen
zwei benachbarten Knoten sind immer gleich groß)
so wie in der Skizze dargestellt.
Er sagt: „Nun habe ich für das Blumenbeet einen
rechten Winkel festgelegt!“
Wieso kann er das mit Recht behaupten und wo liegt der rechte Winkel?
Wenn der Abstand zwischen 2 Knoten mit t bezeichnet wird, so würde für ein rechtwinkliges
Dreieck gelten: (5t)2 = (3t)2 + (4t)2 (pythagoreischer Lehrsatz).
Dies ist der Fall, denn 25t² = 9t² + 16t². Also gilt: Das Dreieck ist rechtwinklig.
Der rechte Winkel liegt zwischen den beiden kürzeren Seiten.
Titel/Thema
Kompetenz
Gärtner
H4, I3, K1
H4
Argumentieren, Begründen: Die Aufgabe verlangt eine Begründung mithilfe eines mathematischen Lehrsatzes.
I3
Geometrische Figuren: Satz des Pythagoras
K1
Einsatz von Grundkenntnissen
K
32
Aufgabe „Rechtwinkliges Dreieck“
Begründe:
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den
Kathetenlängen a und b kann mithilfe
der Formel A = __
 1   · a · b berechnet werden.
2
2
a) Das rechtwinklige Dreieck kann wie in der Abbildung zu
einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b ergänzt werden,
dessen Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Dreiecks ist.
b) Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann mithilfe der Formel
A =  __12 · a · ha berechnet werden. Im rechtwinkligen
Dreieck stimmt die Höhe ha aber mit b überein.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Rechtwinkliges Dreieck
H4, I3, K1
H4
Argumentieren, Begründen: Die Aufgabe verlangt die mathematische Begründung einer Formel.
I3
Geometrische Figuren: Es handelt sich um die Flächenformel einer einfachen
geometrischen Figur.
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten
Mathematik33
3. Variation von Aufgaben
In diesem Kapitel wird anhand von vier Aufgabenreihen gezeigt, wie der Schwerpunkt
von Aufgaben durch Veränderungen der Fragestellung in andere Handlungsbereiche
verlagert werden kann.
Dabei wird von Inhalten ausgegangen, die in der Regel in jedem Unterricht fest verankert sind (Satz von Pythagoras, arithmetisches Mittel, Polynommultiplikation, lineare
Funktionen), meist aber überwiegend innerhalb des Handlungsbereichs H2 „Rechnen,
Operieren“ bearbeitet werden.
Ein wesentliches Ziel des Konzepts der Bildungsstandards Mathematik ist es, den
Fokus auch auf die Handlungsbereiche H1 „Darstellen, Modellbilden“, H3 „Interpretieren“ und H4 „Argumentieren, Begründen“ zu legen. Dafür sprechen in jedem Fall
folgende Gründe:
Diese Handlungsbereiche werden vom aktuellen Lehrplan im Teil 1 ausdrücklich
gefordert.
Eine möglicherweise gegebene Vernachlässigung dieser Handlungsbereiche in
Österreich scheint sich in den Ergebnissen internationaler Vergleichsstudien niederzuschlagen.
Die neue Form der standardisierten Reifeprüfung in Mathematik wird vermehrt über
das reine Rechnen und Operieren hinausgehen.
Viele Lehrbücher für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I nehmen diese
neue Zielrichtung bereits mit auf, dennoch sind die Lehrer/innen auch selbst gefordert,
herkömmliche Aufgabenstellungen so zu variieren, dass die Bereiche H1, H3 und H4
mehr Gewicht erhalten. Dazu wollen die Aufgabenreihen

3.1Erdbeerland
3.2Schikursessen
3.3Pythagoras
3.4Polynommultiplikation
Anregungen bieten. Die Aufgabenreihe
3.5Prozentrechnen
ist ein Beispiel für eine Variation im Bereich der Komplexität.
3
34
3.1 Erdbeerland
Die folgende Serie von acht Variationen einer Aufgabe orientiert sich inhaltlich an der aktuellen und vor
allem zukünftigen Erfahrungswelt der Schüler/innen, indem sie u. a. zum Nachdenken einlädt, wann
ein teurer Anfahrtsweg beim Kauf von Erdbeeren sinnvoll ist.
Mit unterschiedlichen Fragestellungen können nicht nur alle vier Handlungsbereiche (H1, H2, H3, H4)
und alle drei Komplexitätsstufen (K1, K2, K3) angesprochen, sondern auch wesentliche Fertigkeiten
aus dem Inhaltsbereich „Funktionen“ wie Aufstellen von Funktionstermen, Bestimmen von Funktionswerten bzw. Errechnen von Argumenten bei gegebenen Funktionswerten, Zeichnen von Graphen und
Ablesen von Informationen aus vorgegebenen Graphen geübt werden.
☞
3
Die Anforderungen an die Schüler/innen sind so gewählt, dass einige der Aufgaben auch an Schüler/innen mit niedrigerem Leistungsniveau gestellt werden können.
Ausgangssituation:
Familie König möchte Erdbeeren kaufen.
Im Obstgeschäft kostet 1 kg Erdbeeren 4 €.
Im Erdbeerland kostet 1 kg Erdbeeren 2 €.
Für die Fahrt zum Erdbeerland muss Familie König mit 6 € Gesamtfahrtkosten rechnen.
H1 Darstellen, Modellbilden
In Aufgabe 1 wird das Aufstellen einer Formel (eines Funktionsterms) verlangt, d. h. ein zum Kontext
passendes Modell muss gewählt werden. In Aufgabe 2 ist das Modell (lineare Funktion) bereits vorgegeben und es ist eine andere Darstellungsform dieses Modells (Graph) gesucht.
Aufgabe 1
Stelle eine Formel für die Gesamtkosten KE im Erdbeerland und die Gesamtkosten KO im
Obstgeschäft auf, wenn jeweils x kg Erdbeeren gekauft werden.
KE = ………………………..
KO = ………………………..
KE = 2x + 6
K
KO = 4x
Titel/Thema
Kompetenz
Erdbeerland, Aufgabe 1
H1, I2, K1
H1
Die Aufgabe verlangt die Tätigkeit des Modellbildens, weil aus dem gegebenen Text ein funktionaler Zusammenhang zu erkennen und als Formel
darzustellen ist.
I2
Die Modelle sind lineare Funktionen.
K1
Für die 8. Schulstufe ist das Aufstellen dieser Formeln eine Grundfertigkeit.
Mathematik35
Aufgabe 2
Beim Einkauf von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6.
Im Obstgeschäft betragen die Kosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €).
Stelle die beiden Kostenfunktionen grafisch in einem Koordinatensystem dar.
3
Titel/Thema
Kompetenz
H1, I2, K1
H1
Die Aufgabe verlangt die Tätigkeit des Darstellens. Funktionen, die in
Termdarstellung vorliegen, sollen gezeichnet, also in eine andere Darstellungsform gebracht werden.
I2
Die verlangten Darstellungen sind Graphen linearer Funktionen.
K1
Für die 8. Schulstufe ist die Darstellung linearer Funktionen eine Grundfertigkeit.
K
36
H2 Rechnen, Operieren
Die Berechnung von Funktionswerten sowie die Berechnung von Argumenten bei gegebenen Funktionswerten wird dem Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ zugeordnet. In diesem Handlungsbereich ist auch die Aufgabe 3C (Berechnung der Koordinaten eines Schnittpunkts) anzusiedeln.
Aufgabe 3A
Beim Einkaufen von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6.
Im Obstgeschäft betragen die Gesamtkosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €).
Wie hoch sind jeweils die Gesamtkosten für 4 kg Erdbeeren?
KE = 2 · 4 + 6 = 14
KO = 4 · 4 = 16
Beim Kauf von 4 kg Erdbeeren entstehen im Erdbeerland Gesamtkosten von 14 € und im
Obstgeschäft Gesamtkosten von 16 €.
3
Aufgabe 3B
Wie viel kg kann Familie König in beiden Fällen jeweils um 24 € kaufen?
2x + 6 = 24
x= 9
4x = 24
x= 6
Um 24 € kann Familie König im Erdbeerland 9 kg und im Obstgeschäft 6 kg Erdbeeren kaufen.
Aufgabe 3C
Wie viel kg Erdbeeren muss man kaufen, damit die Gesamtkosten gleich hoch sind?
Lösung mithilfe einer Gleichung
Lösung mithilfe einer Tabelle
2x + 6 = 4x
2x = 6
x=3
MengeErdbeerlandObstgeschäft
1 kg
8 €
4€
2 kg
10 €
8€
3 kg
12 €
12 €
4 kg
14 €
16 €
Kauft man 3 kg Erdbeeren, sind die Gesamtkosten im Obstgeschäft und im Erdbeerland gleich hoch.
K
Titel/Thema
Kompetenz
Erdbeerland, Aufgaben 3A, 3B, 3C
H2, I2, K1
H2
Bei den Aufgaben 3A und 3B werden in Terme (Formeln) Zahlen eingesetzt und Werte berechnet. Aufgabe 3C erfordert die Planung und Durchführung der entsprechenden Berechnung, evtl. auch durch Arbeiten mit
Tabellen oder Grafiken.
I2
Rechenoperationen aus dem Bereich der linearen Funktionen
K1
Für die 8. Schulstufe ist das Durchführen dieser Rechenoperationen eine
Grundfertigkeit.
Mathematik37
H3 Interpretieren
Ausgehend von der Aufgabe 3 kann man mit etwas geänderter Angabe die Kompetenz vom Operieren
zum Interpretieren verschieben. Das Ablesen von Argumenten oder Funktionswerten in einer Grafik
(Aufgabe 4) ist ebenso der Handlungsdimension H3 „Interpretieren“ zuzuordnen wie das Deuten von
Funktionstermen und grafischen Darstellungen im entsprechenden Kontext (Aufgaben 5, 6 und 6A).
Aufgabe 4
Die Grafik zeigt die Graphen der Kostenfunktionen für den Kauf von Erdbeeren durch Familie König
im Obstgeschäft und im Erdbeerland.
3
a) Lies aus der Grafik ab, wie hoch die Gesamtkosten beim Kauf von jeweils 4 kg Erdbeeren sind.
b) Lies aus der Grafik ab, wie viel kg Erdbeeren jeweils um 8 € gekauft werden können.
38
Lösung bzw. möglicher Lösungsweg für a):
3
Für Familie König betragen die Gesamtkosten für 4 kg Erdbeeren bei einer Fahrt ins
Erdbeerland 14 €. Im Obstgeschäft bezahlt sie für 4 kg Erdbeeren 16 €.
Lösung bzw. möglicher Lösungsweg für b):
Familie König kann um 8 € im Erdbeerland 1 kg Erdbeeren und im Obstgeschäft
2 kg Erdbeeren kaufen.
K
Titel/Thema
Kompetenz
H3, I2, K1
H3
Aus Grafiken müssen Werte abgelesen und im Kontext gedeutet werden.
I2
Aufgabe aus dem Bereich der linearen Funktionen
K1
Für die 8. Schulstufe erfordert diese Interpretation Grundkenntnisse.
Anmerkung
Falls eine Schülerin/ein Schüler einwendet: „Für 1 kg Erdbeeren mache
ich doch keine Fahrt ins Erdbeerland“, so ist dieser Einwand sicher berechtigt.
Mathematik39
Aufgabe 5
Die Kosten für x kg Erdbeeren (in €) im Obstgeschäft kann man mit der Formel KO = 4x berechnen.
Was gibt in diesem Zusammenhang die Zahl 4 an?
Die Zahl 4 gibt den Preis von 1 kg Erdbeeren an (in €).
Titel/Thema
Kompetenz
H3, I2, K1
H3
Zusammenhänge in der Funktionsgleichung müssen erkannt und im Kontext gedeutet werden.
I2
K1
Aufgabe 6
Die Grafik zeigt die Gesamtkosten für Familie König beim Kauf von Erdbeeren in einem
Obstgeschäft bzw. im Erdbeerland.
Wie kann man in diesem Zusammenhang den Schnittpunkt der Geraden interpretieren?
Der Schnittpunkt der Geraden bedeutet, dass hier die Gesamtkosten für beide Fälle
gleich groß sind. Familie König ersteht in beiden Fällen 3 kg Erdbeeren.
K
3
40
K

Titel/Thema
Kompetenz
H3, I2, K1
H3
Grafisch gegebene Zusammenhänge müssen beschrieben und im Kontext gedeutet werden.
I2
K1
Man könnte dieselbe Aufgabe auch mit einer offeneren Fragestellung versehen:
Aufgabe 6A
3
Notiere mindestens 3 Informationen, die man der obigen Grafik (Aufgabe 6) entnehmen kann.
a)
b)
c)
d)
K
☞
Wenn Familie König 3 kg Erdbeeren kauft, sind die Gesamtkosten im Obstgeschäft und im
Erdbeerland gleich hoch.
Kauft Familie König weniger als 3 kg, ist der Einkauf im Obstgeschäft günstiger, kauft Familie König mehr, sollte sie ins Erdbeerland fahren.
Im Obstgeschäft kostet 1 kg 4 €.
Im Erdbeerland kostet 1 kg 2 €.
Titel/Thema
Kompetenz
Erdbeerland, Aufgabe 6A
H3, I2, K3
H3
Grafisch gegebene Zusammenhänge müssen beschrieben und im Kontext gedeutet werden.
I2
K3
Das Entnehmen von Informationen aus dem Diagramm setzt voraus, dass
ein Nachdenkprozess über den Zusammenhang der mathematischen
Darstellung und dem Einkauf bei verschiedenen Anbietern stattfinden
muss. Insbesondere für die Antwort d) gilt, dass diese Information nicht
unmittelbar aus der Grafik ablesbar ist.
Anmerkung
Anhand dieser Fragestellung ist ersichtlich, dass die Bearbeitung von
Aufgaben in der höchsten Komplexitätsstufe auch von Schülerinnen und
Schülern mit niedrigem Leistungsniveau verlangt werden kann.
Mathematik41
H4 Argumentieren, Begründen
Die Aufgaben 7 und 8 erfordern das Formulieren und Begründen einer mathematischen Vermutung.
Aufgabe 7
Die Gesamtkosten für Familie König beim Einkauf von x kg Erdbeeren im Erdbeerland betragen
daher KE = 2x + 6.
a) Wie verändert sich der Graph der Kostenfunktion KE, wenn das Erdbeerland den Preis pro kg erhöht?
b) Wie verändert sich der Graph der Kostenfunktion, wenn Familie König kostenlos mit dem
Nachbarn zum Erdbeerland mitfahren kann?
3
Begründe deine Aussagen.
a) Die neue Kostenfunktion verläuft steiler, weil die Größe der Steigung dem Preis für 1 kg
entspricht.
b) Die neue Kostenfunktion verläuft durch den Nullpunkt parallel zur Ursprünglichen, weil jetzt
beim Kauf von 0 kg keine Kosten entstehen.
Titel/Thema
Kompetenz
H4, I2, K2
H4
Die Schüler/innen müssen ein Argument nennen, das ihre Sichtweise belegt.
I2
K2
Verschiedene mathematische Tätigkeiten wie z. B. das Interpretieren der
Steigung als Preis pro kg und das Wissen um den Funktionsverlauf bei
verschiedener Steigung müssen miteinander verbunden werden.
K
42
Aufgabe 8
Familie König möchte Erdbeeren kaufen. Im Erdbeerland kostet 1 kg Erdbeeren 2 €.
Peter König macht eine Tabelle, aus der die Gesamtkosten beim Kauf einer bestimmten
Menge Erdbeeren ersichtlich sind.
Menge in kg
Gesamtkosten in €
1
2
3
4
5
.
.
8
10
12
14
16
.
.
Besteht zwischen der Menge der gekauften Erdbeeren und den Gesamtkosten ein direktes oder ein
indirektes Verhältnis oder keines von beiden? Begründe deine Meinung.
3
Es besteht kein direktes Verhältnis, denn bei einem direkten Verhältnis müssten z. B. bei 4 kg
Erdbeeren die Gesamtkosten genau doppelt so hoch sein wie bei 2 kg Erdbeeren.
Es besteht auch kein indirektes Verhältnis, denn bei mehr Erdbeeren sind die Gesamtkosten
nicht geringer, sondern höher.
Also: keines von beiden.
K
☞
Titel/Thema
Kompetenz
H4, I2, K1
H4
Es muss erkannt werden, dass weder ein direktes noch ein indirektes
Verhältnis vorliegt. Diese Entscheidung muss begründet werden.
I2
K1
Für die 8. Schulstufe ist das Erkennen von direkten und indirekten Verhältnissen ein Einsetzen von Grundwissen.
Anmerkung
Begründen wird von Schülerinnen und Schülern mit niedrigem Leistungsniveau am ehesten über Rechnen funktionieren. Verbales Begründen bedarf einer gewissen Übung. Werden Schüler/innen immer wieder dazu
angehalten, Argumente für oder gegen eine bestimmte Sichtweise zu
nennen, dann kann man auch verbale Begründungen in einfacher Form
erwarten.
Mathematik43
3.2 Schikursessen
Die Aufgaben, die wir mit unseren Schülerinnen und Schülern bearbeiten, sind oft in Teilaufgaben untergliedert, und diese werden meist mit a), b) … oder 1), 2) … bezeichnet.
In der folgenden Aufgabe werden Teilaufgaben nach den angesprochenen Handlungsbereichen – als
H1, H2, H3 und H4 – benannt bzw. eingeteilt.
Die Fragestellungen sind gut geeignet, um auch Schüler/innen mit niedrigem Leistungsniveau unter
anderem die Stärken und Schwächen der Kenngröße „arithmetisches Mittel“ begreifbar zu machen.
☞
Aufgabe „Wie hat euch das Essen geschmeckt?“
Das Jugendsportheim „Jugend alpin“ bittet am Ende jedes Schikurses die Schüler/innen, das
Essen – also die gesamte Hausverpflegung während ihres Aufenthaltes – mit Punkten zu bewerten.
Die Skala reicht von
0 Punkten = „Zum Glück hatte ich ausreichend Jause von zu Hause mitgenommen“ bis zu
5 Punkten = „Einfach großartig, ich habe sicher zugenommen“.
Punktezahl
L
Anzahl der Befragten
0
1
2
3
4
5
2
8
15
15
8
2

H1: Stelle das Ergebnis der Befragung grafisch dar.
H2: Berechne den Mittelwert der Punktezahlen, die von den Schülerinnen und Schülern
abgegeben wurden.
In der Woche zuvor wurde eine andere Schikursgruppe befragt. Das Säulendiagramm stellt das
Ergebnis dieser Umfrage dar.
Anzahl der Personen
35
30
25
20
15
10
5
0
0 Punkte
1 Punkt
2 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
5 Punkte
H3: Wie viele Schüler/innen haben bei dieser Umfrage die Qualität des Essens mit
mindestens 3 Punkten bewertet?
H4: Der Küchenchef gab zu diesem Säulendiagramm folgenden Kommentar ab: „Normalerweise bin ich mit einer durchschnittlichen Punktezahl von 2,5 Punkten zufrieden. Aber
wenn ich genauer hinschaue, muss ich sagen: Diesen Menüplan darf ich nicht noch einmal
machen!“
Wieso behauptet er das? Begründe.
3
44
H1
Anzahl der Personen
20
15
10
3
5
0
0 Punkte
1 Punkt
2 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
5 Punkte
H2
Die Berechnung des arithmetischen Mittels ergibt eine durchschnittliche Punktezahl von 2,5.
H3
36 Schüler/innen haben die Qualität des Essens mit mindestens drei Punkten bewertet.
H4
Die Bearbeitung dieser Fragestellung gibt Anlass zum „Reden über Mathematik“ (Aussagekraft
des arithmetischen Mittels, Streuung …).
Die Begründung sollte darauf Bezug nehmen, dass die Streuung der Punktezahlen sehr groß ist,
etwa durch folgende Formulierungen:
„Die Meinungen über die Qualität des Essens waren extrem. Entweder wurde es mit der
höchsten Punktezahl bewertet oder völlig abgelehnt. Kaum jemandem hat es durchschnittlich
geschmeckt.“
„Weil es zu vielen nicht geschmeckt hat.“
„Es sollten mehr Kinder sein, denen es zumindest einigermaßen geschmeckt hat.“
„Da kann man nicht sagen, das Essen ist eigentlich okay, weil dann hätten viel mehr Schüler/innen 3 und 4 Punkte geben müssen.“
Mathematik45
Titel/Thema
Handlungsbereiche
Schikursessen
H1, H2, H3, H4
K
Bei der Bearbeitung der Aufgabenreihe „Schikursessen“ werden alle vier Handlungsbereiche
trainiert bzw. zeigen die Schüler/innen, wie fit sie in den einzelnen Handlungsbereichen sind.
Im ersten Teil müssen die Schüler/innen zuerst einen Sachverhalt, der durch eine Tabelle beschrieben
wird, in eine andere Darstellungsform übertragen (H1). Im Anschluss daran ist das arithmetische
Mittel zu berechnen, der Rechenablauf ist zu planen und effizient durchzuführen (H2).
Im zweiten Teil sind aus einer mathematischen Darstellung, dem Säulendiagramm, Werte abzulesen
und entsprechend zu deuten (H3). Weiters sind Argumente zu nennen, die gegen die Verwendung
des arithmetischen Mittels als Kenngröße der durchgeführten Befragung sprechen (H4).
Mit Ausnahme des Teiles „H4“ müssen bei der Bearbeitung dieser Aufgabe nur Grundkenntnisse
und Grundfertigkeiten eingesetzt werden. Sie ist daher für Schüler/innen aller Leistungsniveaus
durchführbar. Der Argumentationsteil „H4“ erfordert das Nachdenken über Zusammenhänge, die
aus der Darstellung nicht unmittelbar ablesbar sind. Auch dieser Teil kann und soll durchaus auch
von Schülerinnen und Schülern mit niedrigerem Leistungsniveau bearbeitet werden. Durch Hilfestellungen – wie Begriffe notieren, Satzanfänge bilden … u. Ä. – können auch sie Aufgaben dieser
Art bewältigen.
Während sich H1, H2 und H3 auf der Komplexitätsstufe 1 befinden, also Grundkenntnisse und
Grundfertigkeiten angewendet werden müssen, verlangt H4 beim Anführen der entsprechenden
Begründung ein gutes Reflexionswissen, daher ist diese Teilaufgabe in K3 anzusiedeln.
☞
3
46
3.3 Pythagoreischer Lehrsatz
Aufgaben zum Lehrsatz des Pythagoras fehlen wahrscheinlich in keinem Unterricht. Doch oft erschöpfen
sie sich im Berechnen von Längen mithilfe der Formel „a² + b² = c²“ und sind somit dem Handlungsbereich H2 zuzuordnen.
Anhand dieser Aufgabenreihe wird gezeigt, dass die Schüler/innen durch verschiedene Fragestellungen angehalten werden können, sich auch im Darstellen, Interpretieren und Argumentieren zu üben.
Erinnere dich:
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt der Lehrsatz des Pythagoras:
Der Flächeninhalt des Quadrats über der längsten Seite (Hypotenuse) ist gleich groß wie die
Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den kürzeren Seiten (Katheten).
3
Aufgabe 1
Stelle diesen Sachverhalt für das rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen 3 cm,
4 cm und 5 cm grafisch dar.
K
☞
Titel/Thema
Kompetenz
Pythagoreischer Lehrsatz, Aufgabe 1
H1, I3, K2
H1
Problemrelevante mathematische Zusammenhänge müssen identifiziert
werden. Die entsprechende Darstellung muss angefertigt werden.
I3
Satz von Pythagoras
K2
Darstellungsformen aus verschiedenen Bereichen müssen geeignet miteinander verbunden werden.
Anmerkung
Für leistungsschwächere Schüler/innen kann es hilfreich sein, wenn der
Hinweis „Unterteile dabei die entstehenden Quadrate in Teilflächen von
1 cm² Größe“ ergänzt wird.
Mathematik47
Aufgabe 2A
Berechne den Flächeninhalt des dritten Quadrats.
3
A = 16 cm² + 9 cm² = 25 cm²
Titel/Thema
Kompetenz
Pythagoreischer Lehrsatz, Aufgabe 2A
H2, I3, K1
H2
Der Rechenablauf muss geplant und durchgeführt werden.
I3
Satz von Pythagoras
K1
Ein grundlegender mathematischer Satz gelangt zur Anwendung.
K
48
Aufgabe 2B
Berechne den Flächeninhalt A des Quadrats über der kürzeren Kathete.
3
A = 49 cm² – 36 cm² = 13 cm²
K
Titel/Thema
Kompetenz
Pythagoreischer Lehrsatz, Aufgabe 2B
H2, I3, K3
H2
Der Rechenablauf muss geplant und durchgeführt werden.
I3
Satz von Pythagoras
K3
Es ist notwendig, über Zusammenhänge nachzudenken, die aus dem dargestellten mathematischen Sachverhalt nicht unmittelbar ablesbar sind.
Mathematik49
Aufgabe 3
Entscheide jeweils, ob die angeführte Behauptung für das Dreieck in der Abbildung wahr oder
falsch ist.
Behauptung
wahr
falsch
Für das abgebildete Dreieck gilt r² + s² = t².
______
Für das abgebildete Dreieck gilt s = √ r2 + t2 
 .
3
Für das abgebildete Dreieck gilt r = t² – s².
Für das abgebildete Dreieck gilt t =
______
.
√ r2 + s2 
Für das abgebildete Dreieck gilt s² = t² – r².
Für das abgebildete Dreieck gilt t² = (r + s)².
Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s.
Behauptung
wahr
Für das abgebildete Dreieck gilt r² + s² = t².
Für das abgebildete Dreieck gilt s =
______
 .
√ r2 + t2 
X
X
Für das abgebildete Dreieck gilt r = t² – s².
Für das abgebildete Dreieck gilt t =
______
√ r2 + s2 
 .
Für das abgebildete Dreieck gilt s² = t² – r².
falsch
X
X
X
Für das abgebildete Dreieck gilt t² = (r + s)².
X
Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s.
X
Titel/Thema
Kompetenz
H3, I3, K3
H3
Aus einer mathematischen Darstellung muss ein Sachverhalt erkannt werden.
I3
Satz von Pythagoras
K3
Es muss über vorgegebene Interpretationen nachgedacht werden.
K
50
Aufgabe 4
Zwei Quadrate mit der Seitenlänge (a + b) werden durch je vier
rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b und der
Hypotenusenlänge c teilweise abgedeckt.
Gib in Hinblick auf die folgende Abbildung der zwei teilweise abgedeckten Quadrate eine
Argumentationskette an, aus der folgt: a² + b² = c²
3
Quadrat 1
Quadrat 2

Der Flächeninhalt der beiden ursprünglichen Quadrate ist gleich groß.
Auch der abgedeckte Anteil ist gleich groß.
Daher muss auch der nicht abgedeckte Anteil gleich groß sein.
Beim Quadrat 1 hat der nicht abgedeckte Anteil den Flächeninhalt a² + b².
Beim Quadrat 2 hat der nicht abgedeckte Anteil den Flächeninhalt c².
Daher gilt a² + b² = c2.
K

Titel/Thema
Kompetenz
H4, I2, K3
H4
Die Schüler/innen müssen eine Argumentationskette angeben, die zur
Schlussfolgerung führt.
I2
Satz von Pythagoras
K3
Reflexionswissen wird durch die Dokumentation des Lösungsweges
sichtbar.
Diadaktischer
Hinweis
Die acht angesprochenen Dreiecke sollen wirklich (aus einem farbigen,
kopierten Blatt) ausgeschnitten und auf die Quadrate 1 und 2 aufgeklebt
werden.
Mathematik51
3.4 Polynommultiplikation
Erinnere dich an die Regel für die Multiplikation zweier Polynome: „Werden zwei Polynome miteinander multipliziert, so wird jedes Glied des ersten Polynoms mit jedem Glied des zweiten
Polynoms multipliziert.“
H2 Rechnen, Operieren
Aufgabe 1
Multipliziere folgende Binome: (x+v) · (y+w) =
3
(x+v) · (y+w) = xy + xw + vy + vw
Titel/Thema
Kompetenz
Polynommultiplikation, Aufgabe 1
H2, I2, K1
H2
Die elementare Rechenoperation des Multiplizierens zweier (einfacher)
Terme wird durchgeführt.
I2
Der Sachverhalt ist durch Variablen dargestellt.
K1
Die Regel für das Multiplizieren von Polynomen wird direkt angewendet.
H1 Darstellen, Modellbilden
Aufgabe 2
Erinnere dich: Das Produkt von zwei positiven Zahlen kann man als Flächeninhalt eines Rechtecks
deuten.
a) Stelle das Produkt a · b grafisch dar.
b) Stelle das Produkt (c+d) · e grafisch dar.
c) Stelle das Produkt (x+v) · (t+w) grafisch dar.
Anmerkung: Alle vorkommenden Variablen stehen für positive Zahlen.
a)
b
ab
a
b)
e
(c+d) e
c
d
K
52
c)
w
(x+v) (t+w)
t
v
x
K
3
Titel/Thema
Kompetenz
H1, I2, K2
H1
Darstellen: Ein symbolisch gegebener Sachverhalt wird grafisch dargestellt.
I2
Variable: Der ursprüngliche Sachverhalt ist durch einen Term dargestellt.
w
Herstellen von Verbindungen:
Bei b) und c) muss zusätzlich die Fertigkeit
die Summe von zwei Zahlen als Summe von zwei Strecken
t
darstellen zu können.
K2
(t+w)
(x+v)
einfließen,
ay
by
H3 Interpretieren
x
bx
ax
Aufgabe 3
cy
y
cx
x
v
c
b stellt das Produkt von zwei Polynomen grafisch dar.
a folgende Grafik
Die
Welche Polynome werden miteinander multipliziert?
Lies aus der Grafik auch ab, welche Teilprodukte entstehen. Schreibe die Multiplikation der beiden
Polynome sowie das Ergebnis der Multiplikation an.
ay
by
cy
y
ax
bx
cx
x
a
b
c
(a+b+c) · (x+y) = a · x + a · y + b · x + b · y + c · x + c · y
K
Titel/Thema
Kompetenz
H3, I2, K2
H3
Interpretieren: Der Flächeninhalt der Gesamtfigur wird im Kontext als Produkt von Polynomen gedeutet. Die Teilflächen werden als Teilprodukte
gedeutet.
I2
Rechenoperationen mit Termen sind grafisch dargestellt.
K2
Herstellen von Verbindungen: Das Wissen um die Berechnung des
Flächeninhalts eines Recktecks (A = Länge mal Breite) muss mit der
Fähigkeit verbunden werden, die Summe mehrerer Strecken als Summe
mehrerer Zahlen zu deuten.
Mathematik53
H4 Argumentieren, Begründen
Aufgabe 4A
Erinnere dich: Das Ergebnis der Multiplikation von zwei positiven Zahlen kann man als Flächeninhalt
eines Rechtecks darstellen.
Die Regel für die Multiplikation von zwei Binomen lautet:
(a + b) · (c + d) = ac + bc + ad + bd
Begründe die Richtigkeit dieser Formel für positive Werte der Variablen mithilfe einer geeigneten
Grafik. Erläutere deine Grafik in Worten. Du kannst dabei auch Variablen verwenden.
ad
bd
d
ac
bc
c
a
b
3
Aus der Abbildung sieht man, dass bei der grafischen Darstellung der Multiplikation von (a+b) · (c+d)
vier Teilflächen entstehen, nämlich die Rechtecksflächen a · c, b · c, a · d und b · d.
Die Gesamtfläche entspricht der Summe der vier Teilflächen. Damit ist die Gleichheit in der behaupteten Regel bewiesen.
Titel/Thema
Kompetenz
Polynommultiplikation, Aufgabe 4A
H4, I2, K2
H4
Begründen: Eine mathematische Regel wird bewiesen.
I2
Variable: Es geht um äquivalente Darstellungen von Termen.
K2
Herstellen von Verbindungen: Geometrische Vorstellungen sind mit algebraischen Inhalten zu verbinden.
K
ab
bb
b
aa
ab
a
a
b
54
Aufgabe 4B
Eine der binomischen Formeln lautet: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Begründe die Richtigkeit dieser Formel für positive Werte der Variablen durch einen grafischen
Beweis.
Schreibe dazu das Quadrieren als Multiplikation an und stelle diese Multiplikation grafisch dar.
Verwende diese Darstellung dann als Grundlage für deinen Beweis in Worten und Variablen.
3
ab
bb
b
aa
ab
a
a
b
Aus der Abbildung sieht man, dass bei der grafischen Darstellung des Produktes von (a+b) · (a+b)
vier Teilflächen entstehen, nämlich zwei Quadrate und zwei Rechtecke. Die Quadrate haben den
Flächeninhalt a · a = a² und b · b = b². Die zwei Rechtecke sind gleich groß und haben jeweils den
Flächeninhalt a · b.
Die vier Teilflächen zusammen ergeben deshalb die behauptete Summe a² + 2ab + b².
K
Titel/Thema
Kompetenz
Polynommultiplikation, Aufgabe 4B
H4, I2, K2
H4
Begründen: Eine mathematische Regel wird bewiesen.
I2
Variable: Es geht um äquivalente Darstellungen von Termen.
K2
Herstellen von Verbindungen: Geometrische Vorstellungen sind mit
algebraischen Inhalten zu verbinden.
Mathematik55
3.5 Prozentrechnen – Variation der Komplexität einer Aufgabe
Handlungsbereich H2 (Rechnen, Operieren)
Eine immer wieder auftretende Fragestellung (Skonto, Rabatt, MwSt. etc.) ist die Berechnung von
p % einer Größe.
Bei der Berechnung von Prozenten handelt es sich um Operieren – es geht darum, den Rechenablauf
zu planen und effizient und korrekt durchzuführen.
Inhaltsbereich I1 (Zahlen und Maße)
1
Da Prozente eine andere Darstellungsform eines Bruches (1 % =  ___
   ) sind, ist die Berechnung von z. B.
100
3
__
3 % (genau wie z. B.  5 ) von einer Größe ein Rechnen mit Zahlen und daher im Bereich I1 anzusiedeln.
Liegt eine Rechnung mit einfachen Zahlen − wie 3 % von 2 000 € − vor, so erwartet man, dass dies
im Kopf gerechnet werden kann.
3
Weil beim Kopfrechnen viele Menschen lieber mit ganzen Zahlen arbeiten, ist der Gedankengang dabei
wohl eher, zuerst 1 % zu berechnen und diesen Wert mit 3 zu multiplizieren (und nicht mal 0,03 zu
rechnen). Ähnlich kann man aber beim Kopfrechnen auch mit __
 35 von einer Größe verfahren, also zuerst
durch 5 und dann mal 3 rechnen. Dabei impliziert der Rechenablauf, der ja auch in schriftlicher Form
erfolgen kann, ein direktes Verhältnis, also eine funktionale Abhängigkeit.
Anteile, Prozente und Zinsen werden im Kompetenzmodell jedoch dem Inhaltsbereich I1 zugeordnet,
weil ein Rechnen über ein direktes Verhältnis nicht zwingend notwendig ist. Dies schließt aber nicht
aus, dass das Rechnen über das direkte Verhältnis (z. B. mithilfe einer Tabelle) durchaus ein effektiver
Lösungsweg v. a. für leistungsschwächere Schüler/innen sein kann.
Komplexitätsstufe K1:
Aufgabe
Ein Kapital von € 8 500,- wird mit 3,5 % im Jahr verzinst. Berechne die Zinsen nach einem Jahr.
3,5 % von 8 500  8 500 · 0,035 = 297,5
Die Zinsen nach einem Jahr betragen € 297,50.
Die Lösung dieser Aufgabe erfordert nur den Einsatz von grundlegenden mathematischen
Kenntnissen, deren Anwendung aus dem Kontext unmittelbar abzulesen ist.
Aufgabe
Eine Streckenlänge wird mit 8 500 m angegeben. Bei der Messung kann aber ein Fehler von
maximal 2 % aufgetreten sein. Wie lang ist die Strecke mindestens bzw. höchstens?
2 % von 8 500  85 · 2 = 170
8 500 − 170 = 8 330
8 500 + 170 = 8 670
Die Strecke ist mindestens 8 330 m und höchstens 8 670 m lang.
☞
56
Die Bearbeitung der Aufgabe verlangt hier die Verbindung mehrerer mathematischer Begriffe bzw.
Tätigkeiten. Über das Berechnen der Prozentwerte hinaus sind Kenntnisse über die operative Ermittlung von Schranken und die korrekte Anwendung des Begriffs mindestens bzw. höchstens erforderlich.
Aufgabe
Den Schülerinnen und Schülern der 2. Klasse wird folgende Aufgabe gestellt:
Ein Kapital von € 8 500,- wird mit 3,5 % im Jahr verzinst.
Beschreibe, wie du die Zinsen für ein Jahr berechnen würdest.
3
Folgende Lösungsvorschläge kommen:
Susi: Ich rechne 8 500 mal 3,5 und dividiere das Ergebnis durch 100.
Maria: Ich dividiere 8 500 durch 3,5.
Manuel: Ich rechne 8 500 mal 3,5.
Karin: Ich rechne 85 mal 3,5. Das Ergebnis dividiere ich durch 100.
Erich: Ich rechne 8 500 mal 0,035.
Hannah: Ich dividiere 8 500 durch 100 und multipliziere das Ergebnis mit 3,5.
Entscheide für jeden der sechs Vorschläge, ob er zum richtigen Ergebnis führt.
Korrekt sind die Lösungsvorschläge von Susi, Erich und Hannah.
Die Ausführung der Rechenoperationen ist nicht notwendig. Die Aufgabe erfordert aber ein Reflektieren
über die Korrektheit der vorgeschlagenen Rechenabläufe, was einschließt, dass auch verschiedene
Beschreibungen bzw. Lösungswege verstanden und als äquivalent erkannt werden.
Mathematik57
4. Kompetenzaufbau im
Mathematikunterricht
Langfristiger Kompetenzaufbau soll unsere Schüler/innen befähigen, am Ende der
Sekundarstufe I ihre nachhaltig erworbenen mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten in variablen Situationen erfolgreich einsetzen zu können. Dies ist ein sehr hohes
Ziel, zu dem es keinen „Königsweg“ gibt, der die Erreichung dieses Zieles auch garantiert.
Die folgenden Ausführungen verstehen sich deshalb als Sammlung von Impulsen, die
unter verschiedenen Gesichtspunkten Ideen für einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht bieten können.
4.1 Langfristiger Kompetenzaufbau im Handlungsbereich
„Argumentieren, Begründen“ (H4)
Ein wesentlicher Aspekt des Mathematikunterrichts ist es, kritische Fragen zu stellen,
zu argumentieren und zu begründen. Das sind Fähigkeiten, die über das Fach Mathematik
hinaus den Schülerinnen und Schülern zur Bewältigung der an sie gestellten Aufgaben
in unterschiedlichsten Lebensbereichen mitgegeben werden sollten.
Gedankengänge zu erklären, Sachverhalte plausibel zu machen und letztendlich auch
exakt zu begründen und zu beweisen, muss im Laufe der Jahre langsam aufgebaut,
immer wieder eingefordert und geübt werden. Je nach Leistungsvermögen, Entwicklungsstand und sprachlicher Kompetenz der Schüler/innen wird es bei der Lösung
dieser Aufgaben große individuelle Unterschiede geben. Der Einsatz verschiedener
Medien, Methoden und Sozialformen unterstützt dabei die Schüler/innen. Der sukzessive Aufbau der Argumentationsfähigkeit soll sich am Entwicklungsstand der Kinder
orientieren. Handlungen an konkreten Objekten führen zu formalen Operationen, die
möglich werden, wenn die geistige Entwicklung ein Abstrahieren von Problemen ohne
konkrete Anschauungsgebundenheit erlaubt.
Der Aufbau von Kompetenzen im Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ soll
hier an Beispielen aus dem Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“ gezeigt
werden. Argumentieren beginnt mit „über etwas reden“. Dies ist nur dann möglich,
wenn Vorstellungen von Objekten vorhanden sind. Strecke (Umfang), Flächeninhalt und
Volumen, Form einer Figur bzw. eines Körpers sollen zuerst „begreifbar“ gemacht und
dann als Begriffe im Bewusstsein soweit vorhanden sein, dass altersadäquate Beweisführungen bzw. das Anführen von Argumentationsketten möglich sind.
Ziel dieser sich über die gesamte Sekundarstufe I erstreckenden Unterrichtssequenzen ist, die Abhängigkeit des Umfangs und des Flächeninhalts einer Figur sowie des
Volumens eines Körpers von der Länge der Seiten bzw. Kanten zu erkennen und die
Art der Abhängigkeit argumentativ zu belegen bzw. zu beweisen.
Die ersten vier Aufgaben in diesem Kapitel dienen einerseits der Begriffsklärung (Umfang – Flächeninhalt), zeigen aber andererseits auch den Anfang des Beweisens auf,
nämlich im Reden Behauptungen zu widerlegen oder Vermutungen durch Argumente
plausibel zu machen.
Unterschiedliche Zugangsmethoden zur gleichen Problemstellung nehmen auf die individuellen Bedürfnisse der Schüler/innen Rücksicht.
4
58
Aufgaben ab der 4. bzw. 5. Schulstufe

Bei Durchführung dieser Aufgaben könnte in Partner- oder Gruppenarbeit gearbeitet werden. Wird
von jeder Kleingruppe der Beweis in Form einer Darstellung auf einem Plakat verlangt, kann sich durch
das Präsentieren der unterschiedlichen Gedanken und Lösungswege eine spannende mathematische
Diskussion ergeben. In solchen Gesprächen werden oft Gedankenwege sichtbar, die der Lehrperson
Denkfehler aufzeigen und ihr Möglichkeiten zum Beheben von Defiziten geben.
Aufgabe 1
Susi behauptet: Wenn man die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt, verdoppelt sich auch sein
Flächeninhalt.
Untersuche, ob diese Behauptung richtig ist.
Die Behauptung wird durch Angeben eines Gegenbeispiels widerlegt.
Dies kann rechnerisch oder durch eine Zeichnung geschehen.
4
K

Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 1
H4
Die Schüler/innen sollten die Möglichkeit erhalten, auf individuelle Weise
vorzugehen, sei es durch Zeichnen, Ausschneiden von Quadraten, Legen
von Plättchen usw.
Aufgabe 2
Martin behauptet: Der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten a und b verdoppelt sich, wenn man
die Länge der Seite a verdoppelt.
Widerlege diese Aussage.
Kannst du zusätzlich herausfinden, wie man die Längen der Rechteckseiten ändern muss, damit
sich der Umfang verdoppelt?
Die Behauptung wird durch Angeben eines Gegenbeispiels widerlegt.
Dies kann rechnerisch oder durch eine Zeichnung geschehen.
K
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 2
H4
Anmerkung
Die zweite Fragestellung hat keine eindeutige Lösung. Vielleicht kommt
eine Antwort wie: „Wenn es 5 cm lang und 3 cm breit ist, muss ich es
z. B. 9 cm lang und 7 cm breit machen.“ Daran könnte sich jetzt eine
Aufforderung anschließen, nachzudenken, ob es nicht eine „Regel“ für
das Verdoppeln des Umfangs gibt, wenn man die Seitenlängen gar nicht
kennt.
Als Antworten wären „Man muss jede Seite verdoppeln“ oder „Man
muss die Summe von Länge und Breite verdoppeln“ zu erwarten. Liegen
Kenntnisse der Ähnlichkeit schon vor, dann könnten Überlegungen erfolgen, wie man den Umfang verdoppeln könnte, damit das neue Rechteck
dem ursprünglichen Rechteck ähnlich ist.
Mathematik59
Aufgabe 3
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man
a) die Länge a verdoppelt
b) die Breite b verdoppelt
c) die Länge a und die Breite b verdoppelt?
D
C
b
Erkläre dein Ergebnis deiner Sitznachbarin/deinem Sitznachbarn.
Fertige dazu eine geeignete Zeichnung an.
A
a
B
a) b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich, weil das ursprüngliche Rechteck im neuen Rechteck genau zweimal Platz hat. (Hinweis auf die ergänzte Zeichnung)
c) Der Flächeninhalt vervierfacht sich, weil das ursprüngliche Rechteck im neuen Rechteck genau viermal Platz hat. (Hinweis auf die ergänzte Zeichnung)
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 3
H4
Die Schüler/innen sollen auch hier trotz vorgegebener Zeichnung (auf die
gegebenenfalls auch verzichtet werden könnte) die Möglichkeit erhalten,
auf individuelle Weise vorzugehen, sei es durch Ausschneiden von Rechtecken, Zusammenlegen von gleichgroßen Heften usw.
K

Aufgabe 4
Frau Bauer sagt zu ihrem Mann: „Unser rechteckiger Gemüsegarten ist mir zu klein. Der Garten
sollte eine doppelt so große Anbaufläche haben.“ Herr Bauer antwortet: „Wir haben genug Platz.
Wir machen einfach jede Seite doppelt so lang. Und weil ich deinen Wunsch kenne, habe ich auch
schon eine neue, im Vergleich zur jetzigen doppelt so lange Beeteinfassung gekauft.“ Schreib auf,
was Frau Bauer ihrem Mann antworten wird, wenn sie sich die Antwort genauer überlegt hat.
Es sollte erkannt werden, dass eine Verdopplung beider Rechteckseiten nicht zur doppelten,
sondern vierfachen Anbaufläche führt. Zur doppelten Anbaufläche passt keine doppelt so lange
Beeteinfassung.
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 4
H4
Diese Aufgabe kann für einen Ortswechsel genutzt werden. So könnten
z. B. im Schulhof oder in der Pausenhalle ein altes und ein neues Beet
markiert werden. Für die Beeteinfassung kann eine Schnur dienen. Schüler/innen werden durch solche praktischen Aktivitäten zusätzlich motiviert
und machen direkte Erfahrungen mit Größen: Wie groß könnte so ein
Gemüsebeet sein? Welche Maße sind realistisch und sinnvoll?
K

4
60
Aufgaben ab der 5. und 6. Schulstufe
Aufgabe 5
Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Begründe deine Antwort.
Verdoppelt man jede Kantenlänge eines Würfels, so ist das Volumen des neuen Würfels
A)
B)
C)
D)
E)
doppelt so groß
dreimal so groß
viermal so groß
achtmal so groß
vierundzwanzigmal so groß
Die richtige Antwort ist D). Das Volumen des neuen Würfels ist achtmal so groß, weil der ursprüngliche Würfel auf der Grundfläche viermal Platz hat und dann noch einmal vier ursprüngliche Würfel
darauf gelegt werden können.
Wird von Schülerinnen und Schülern mit konkret angenommenen Kantenlängen argumentiert, die
dann verdoppelt werden, so soll dies als wichtiger Hinweis gewertet werden, der die Antworten
A), B), C) und E) ausschließt. Diese Argumentation beweist aber noch nicht die Richtigkeit der
Antwort D) für beliebige Kantenlängen.
4
K

Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 5
H4
Mithilfe einer großen Anzahl kleiner Würfel gleicher Kantenlänge können
diese Begründungen auch haptisch durchgeführt werden. Die Raumvorstellung wird durch das Darstellen mit Würfelmodellen unterstützt. Es
können auch kleinere Würfel (z. B. Clixi) in einen entsprechend größeren
geschlichtet werden.
Ausgehend von der Rechtecksfläche – unterstützt durch eine Skizze –
wird die Flächenänderung bei Verdopplung der Seitenlängen von den
Schülerinnen und Schülern eher durch eine Zeichnung als durch eine
Rechnung erklärt werden. Das Berechnen von Umfang und Flächeninhalt
mit konkreten Zahlen oder das Abzählen von Längen- bzw. Flächeneinheiten macht die Vermutungen plausibel.
Das Übertragen der Aufgabenstellung auf das Volumen bei Aufgabe 5
(Raumvorstellung) erschwert die Argumentation. Sie wird aber in dieser
Altersstufe auch eher geometrisch und nicht algebraisch sein. Konkrete
Zahlenbeispiele machen ebenfalls die Vermutung plausibel.
Schon in dieser Altersstufe muss darauf hingewiesen werden, dass die
Gültigkeit einer Aussage für alle Rechtecke (Würfel) durch Anführung
einiger Zahlenbeispiele noch nicht gegeben ist (Unterscheidung: Plausibelmachen – Beweisen).
Ab der 7. Schulstufe soll das Rechnen mit Variablen dazu befähigen,
Beweise allgemein (z. B. Würfel: Vneu = 2a · 2a · 2a = 8 · a · a · a = 8 Valt)
zu führen.
Sehr leistungsschwache Schüler/innen werden vermutlich über das Stadium des Plausibelmachens nicht hinauskommen und dem konkreten
Denken verhaftet bleiben, aber auch damit haben sie einen wesentlichen
Schritt zum Begreifen von Zusammenhängen getan.
Mathematik61
Aufgaben ab der 7. und 8. Schulstufe
Aufgabe 6
Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Widerlege diese Aussage.
Es genügt das Anführen eines einzigen Gegenbeispiels, um die Aussage zu widerlegen:
z. B. a = 3 cm, b = 5 cm und A = 15 cm² sowie a1 = 6 cm , b1 = 10 cm und A1 = 60 cm².
Damit ist gezeigt, dass A1 nicht doppelt so groß ist wie A. Damit ist die Aussage widerlegt.
Aufgabe 7
Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so verdoppelt sich der Umfang.
Beweise diese Aussage.
u = 2 · (a + b)
4
uneu = 2 · (2a + 2b) = 2 · 2 · (a + b) = 2 · u
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 7
H4
K
Eine mögliche Antwort könnte aus einer Zeichnung mit Beschriftung und
der Angabe des jeweiligen Umfangs bestehen:
Anmerkung
u1 = 2a + 2b
u2 = 2 · (2a + 2b)
Sollte statt der letzten Zeile nur u2 = 2 · u1 stehen, stellt dies trotz Zeichnung keine vollständige Argumentationskette dar.
Aufgabe 8
Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so vervierfacht sich der Flächeninhalt.
Beweise diese Aussage.
A=a·b
Aneu = 2 · a · 2 · b = 4 · a · b = 4 · A
62
Aufgabe 9
Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen a, b, c. Wird jede Kantenlänge verdoppelt, so
verachtfacht sich das Volumen.
Beweise diese Aussage!
Vneu = 2a · 2b · 2c = 8 · abc = 8 Valt
K
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgaben 7, 8, 9
H4
Anmerkung
Wird bei den Aufgaben 7, 8 und 9 von den Lernenden mit konkret angenommenen Seiten- bzw. Kantenlängen argumentiert, die dann verdoppelt
werden, so soll dies als wichtiger Hinweis gewertet werden, dass die Behauptung stimmen könnte (Plausibelmachen). Diese Argumentation beweist aber noch nicht die Richtigkeit der Aussage für alle Rechtecke bzw.
alle Quader.
In der Bearbeitung in dieser Altersstufe wird von leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern eine algebraische Argumentationskette erwartet.
4
Aufgabe ab der 8. Schulstufe
Aufgabe 10
Das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von der Größe G = 8 und einer Höhe h wird
durch die Funktion V(h) = 8 · h beschrieben.
Zeige: Wird die Höhe a-mal so lang, so wächst das Volumen auf das a-fache.
Welcher Funktionstyp liegt vor?
Welche Form von Proportionalität liegt vor?
V(h) = 8 · h
V(a · h) = 8 · a · h = a · 8 · h = a · V(h)
Es liegt eine homogene lineare Funktion vor.
Es liegt eine direkte Proportionalität vor.
K
Titel/Thema
Handlungsbereich
Aufgabe 10
H4
Anmerkung
Die hier gegebenen Anregungen können auf viele ähnliche Aufgaben
(Kreisfläche, Zylindervolumen u. v. m.) angewandt werden.
Mathematik63
4.2 Langfristiger Kompetenzaufbau im Inhaltsbereich
„Funktionale Abhängigkeiten“ (I2)
Die Schüler/innen sollen am Ende der Sekundarstufe I in der Lage sein, funktionale Zusammenhänge
innerhalb und außerhalb der Mathematik zu identifizieren und diese Zusammenhänge, wo es sinnvoll
ist, mathematisch mithilfe von Funktionen in unterschiedlicher Form darstellen können (Tabelle, Graph,
Term, Funktionsgleichung), um in der Folge entsprechende Berechnungen anstellen zu können. Gleichzeitig sollen sie befähigt werden, grafische Darstellungen richtig zu interpretieren.
Erste Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen machen die Schüler/innen bereits in der Volksschule in der qualitativen Auseinandersetzung mit Aufgaben aus ihrem Erfahrungsbereich – obwohl
ihnen beispielsweise die Begriffe „direkt oder indirekt proportional“ nicht bekannt sind und sie auch
keinerlei algebraische Kompetenzen haben. Diese Grunderfahrungen sollen beim Kompetenzerwerb
im Sinne einer vertikalen Vernetzung entsprechend berücksichtigt werden.
Bei den ersten Begegnungen mit funktionalen Zusammenhängen in unterschiedlichen Handlungsbereichen soll stets die qualitative Behandlung im Vordergrund stehen, wobei auch die tätige Auseinandersetzung nicht zu kurz kommen darf. Erfahrungen durch eigenes „Tun“ sichern die Nachhaltigkeit
der erworbenen Kompetenzen.
Die folgende Aufgabenreihe illustriert an verschiedenen Beispielen, wie grundlegende Kompetenzen im
Inhaltsbereich „Funktionale Abhängigkeiten“ nachhaltig erworben werden können.
4
Aufgabe 1 „Muster legen“, „Treppen bauen“
Lege aus Plättchen die abgebildeten Figuren. Trage in die Tabelle die Anzahl der Plättchen ein,
die für die Figuren benötigt werden.
Wie viele Plättchen benötigst du für eine Figur 5 der gleichen Art?
a)
Anzahl der
Plättchen
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 5
b)
Anzahl der
Plättchen
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 5
64
Aufgabe 2 „Ergänzen, Vervollständigen“
a) Ergänze den fehlenden Preis.
b) Im Kochbuch steht, dass man für einen
Kuchen 25 dag Mehl benötigt. In der
Bäckerei werden mehrere Kuchen gebacken.
Wie viel dag Mehl benötigt man für die
angegebene Anzahl von Kuchen?
c) Vervollständige die Tabelle.
1 kg Äpfel
2€
3 kg Äpfel
€
1 Kuchen
25 dag Mehl
2 Kuchen
dag Mehl
4 Kuchen
dag Mehl
6 Kuchen
dag Mehl
Seitenlänge
des Quadrats
Umfang
des Quadrats
2 cm
3 cm
4 cm
4
K

Titel/Thema
Inhaltsbereich
Aufgabe 2
I2
Eine Fortführung erfahren diese Aufgabenstellungen, wenn ab der 5. bzw.
6. Schulstufe direkte und indirekte Proportionalitäten untersucht und mithilfe von Tabellen bzw. grafisch dargestellt werden. In der Diskussion um
die Behandlung der „Schlussrechnungen“ hat sich heute weitgehend die
Erkenntnis durchgesetzt, dass dieser Aufgabentyp überhaupt nur unter
dem Gesichtspunkt von Funktionen in seinem Kern verstanden werden
kann (Vollrath & Weigand, 2007, S. 170).
Mathematik65
Aufgabe 3 „Darstellen, Erfinden, Handeln, Diskutieren“
Bei der Bearbeitung von Aufgabenstellungen, wie sie im Folgenden exemplarisch angeführt
werden, erleben die Schüler/innen einen Zugang zum Thema „Graphen funktionaler Zusammenhänge“ durch eigenes Darstellen, Erfinden, Handeln und durch Diskussion.
a) Ergänze zu folgender Geschichte einen passenden Funktionsgraphen.
Fahrt in den Urlaub mit Hindernissen
Zeitig am Morgen starten Vater und Mutter gemeinsam mit ihren beiden Kindern und dem Familienhund Pepe die Fahrt in den Urlaub. Gemächlich fahren sie auf der Landstraße dahin. Doch
plötzlich ruft Mutter: „Ich glaube, ich habe vergessen, das Bügeleisen auszuschalten.“ Es nützt
alles nichts – sie müssen umkehren. Etwas verärgert fährt Vater, der am Steuer sitzt, mit deutlich
größerer Geschwindigkeit zurück nach Hause. Ein kurzer Aufenthalt dort genügt, um festzustellen:
Das Bügeleisen war ausgeschaltet. Nun kann es aber wirklich losgehen. Ohne weitere Pannen erreichen sie ihren Urlaubsort. Unterwegs machen sie noch einen kurzen Stopp bei einer Raststätte,
weil der Hund Pepe ein bisschen Bewegung braucht und die Kinder durstig sind.
b) Maria hat heute auf ihrem Schulweg einiges erlebt. Notiere eine Schulweggeschichte,
die zum abgebildeten Graphen passt.
4
Entfernung von Zuhause
Zeit
66
c) „Graphen gehen“ (nach einer Idee aus mathematik lehren, Heft 156, Oktober 2009)
Arbeitsauftrag:
• Bildet Gruppen zu je vier Personen.
• Markiert einen Punkt auf dem Boden, z. B. mit Kreide.
• Schülerin/Schüler 1 bewegt sich nun so, wie in der Abbildung 1 dargestellt.
Die anderen Gruppenmitglieder entscheiden, ob die Bewegung richtig ist.
• Schülerin/Schüler 2 bewegt sich nun so, wie in der Abbildung 2 dargestellt.
usf.
Entfernung vom Punkt
4
Zeit
Abbildung 1
Zeit
Abbildung 2
Mathematik67
Zeit
Abbildung 3
4
Zeit
Abbildung 4
Titel/Thema
Inhaltsbereich
Aufgabe 3c
I2
Hinweis
Die Aufgabe „Graphen gehen“ kann besonders gut im Schulhof oder in der
Pausenhalle durchgeführt werden.
K

68
Aufgabe 4
a) Fülle eine Tasse mit heißem Wasser und miss in regelmäßigen Abständen die Wassertemperatur. Notiere die Messwerte in einer Tabelle und stelle sie grafisch dar.
b) Miss die Länge einer Metallfeder. Hänge verschiedene Massen an die Feder und notiere jeweils die Längenänderung der Feder. Stelle den Zusammenhang zwischen der angebrachten Masse und der Längenänderung grafisch dar.
c) Entzünde eine dünne Kerze. Miss ihre Länge in Abhängigkeit von der Brenndauer.
Notiere die Messwerte in einer Tabelle und stelle sie grafisch dar.
4
K

Titel/Thema
Inhaltsbereich
Aufgabe 4
I2
Hinweis
Wird der untersuchte Prozess anschließend durch eine passende Funktion
modelliert und mithilfe einer Funktionsgleichung dargestellt, so erleben
die Schüler/innen, dass es möglich wird, Fragen zu beantworten, ohne
das Experiment jedesmal neu durchführen zu müssen.
Mathematik69
Aufgabe 5
Eine lineare Funktion wird durch die Funktionsgleichung f(x) = k · x + d dargestellt, wobei k und d
beliebige reelle Zahlen sein können.
Untersuche mithilfe eines dynamischen Geometrieprogramms (z. B. GeoGebra), wie sich der
Graph der Funktion ändert, wenn du den Wert von k bzw. d änderst (siehe Abb.1 und Abb. 2).
Halte deine Ergebnisse schriftlich fest.
Abbildung 1
4
Abbildung 2
Titel/Thema
Inhaltsbereich
Aufgabe 5
I2
Hinweis
Die Aufgabenstellung ist bewusst offen formuliert, um den Lernenden die
Möglichkeit zu geben, die Aufgabe selbständig zu strukturieren und eigene
Lösungswege zu gehen.
Anmerkung
Weitere Anregungen zum Themenbereich „Funktionen“ finden sich im
Kapitel 3 „Variation von Aufgaben“.
K

70
4.3 Nachhaltigkeit durch den Einsatz von Spielen
im Mathematikunterricht
Emotionen sind im Lernprozess von großer Bedeutung. Ein förderliches Lernklima wird auch durch
Lachen und Fröhlichkeit erzeugt. Selbst sonst langweilig erscheinende Inhalte werden in einem
Spiel verpackt zu Herausforderungen, denen man sich gerne und mit Begeisterung stellt. Lernspiele
machen Kompetenzbereiche individuell erlebbar. Sie sind eine hilfreiche und motivationsfördernde
Ergänzung und Unterstützung des Unterrichts. Mathematische Spiele machen den Schülerinnen und
Schülern dann besonders viel Spaß, wenn über das mathematische Können hinaus auch der Glücksfaktor eine Rolle spielt, wenn also ohne weiteres auch einmal eine leistungsschwächere Gruppe gewinnen
kann. Die Festigung und Nachhaltigkeit von Inhalten und mathematischen Handlungen wird vor allem
dadurch erreicht, dass diese Inhalte und Handlungen immer wiederkehren können, ohne dass die
Schüler/innen Langeweile dabei verspüren. Die folgenden drei Spiele sollen dies verdeutlichen.
Remembery
„Remembery“ überträgt die Idee des Spieles „Memory“ auf mathematische Inhalte. Dies ermöglicht die Festigung dieser Inhalte auf eine Weise, die spielerisch und nachhaltig zugleich ist.
4
Spielregel:
2 bis 4 Spieler/innen. Die Kärtchen werden mit der Textseite nach unten auf den Tisch gelegt. Die
Jüngste dreht zwei Kärtchen ihrer Wahl um. Sagen die beiden Kärtchen inhaltlich dasselbe aus
und erkennt dies die Spielerin auch, so darf sie dieses Kärtchenpaar an sich nehmen und weitere
zwei Kärtchen umdrehen. Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so werden diese beiden Kärtchen
wieder umgedreht und die Spielerin links neben der Jüngsten setzt in gleicher Weise fort.
Gewonnen hat, wer am Schluss die meisten Kärtchenpaare besitzt. (Spielregel wegen Verständlichkeit nicht gegendert)
Die im Anhang als Kopiervorlage vorhandene Variante dieses Spiels ist primär dem Handlungsbereich H1 zuzuordnen. Es geht um die Übersetzung verbaler Formulierungen von Operationen in
symbolische Darstellungen von Operationen. (Anmerkung: Da diese Übersetzung auf den Spielkarten bereits vollzogen ist und der Zusammenhang zwischen zwei Kärtchen nur mehr richtig
erkannt und gedeutet werden muss, ist auch ein H3-Anteil („Interpretieren“) vorhanden). Inhaltlich
geht es um das Arbeiten mit Zahlen (I1), von der Komplexität her trifft K1 im Sinn des Einsetzens
von Grundfertigkeiten zu.
Tipps zur Verwendung der Kopiervorlage im Anhang:
Es empfiehlt sich, die Vorlage auf farbiges, dickes Papier zu kopieren, sodass keine Worte oder
Rechenterme durchscheinen. Eine Folierung der Spielkärtchen erhöht die Haltbarkeit und die
Attraktivität dieses Unterrichtsmaterials.
Mathematik71
Quartett
Die im Anhang als Kopiervorlage bereitgestellten Quartettkarten eignen sich zum nachhaltigen
Training verschiedener Fertigkeiten: Brüche als Teile des Ganzen zu erkennen, Umwandlung von
Brüchen in Dezimalzahlen, grafische Darstellung von Prozentsätzen.
Besonders wichtig ist die Möglichkeit, die Schüler/innen auf spielerische Weise mit dem Begriff der
relativen Häufigkeit vertraut zu machen. Was bedeutet eine relative Häufigkeit von z. B. 0,4?
0,4 entspricht 40 %, aber genau so dem Bruch __
 25 , der gedeutet werden kann als 2 von 5.
2 von 5 wiederum wird auch grafisch dargestellt.
5

5
5
2
5
5
0,4
2
2
5
5
5
5
5
5
0,4 2
0,4
5
5
0,4
5
5
5
5
5
5
40%
40%
40%
5
40%
Spielanleitung:
Die Karten werden auf 3 bis 4 Spieler/innen gleichmäßig verteilt. Jeder versucht, möglichst viele
Quartette (d. h. 4 Karten mit derselben Nummer) zu bekommen. Der jüngste Spieler beginnt zu
fragen. Jan: „Elisabeth, ich möchte von dir die Grafik, auf der  __12 abgebildet ist“ (oder: „die Karte,
auf der 50 % steht“ usw.). Wenn Elisabeth die Karte hat, gibt sie diese an Jan und Jan fragt weiter.
Wenn Elisabeth die Karte nicht hat, sagt sie „abgeblitzt“. Jetzt darf Elisabeth weiter fragen.
Hinweis:
Man darf nur nach einer Karte fragen, bei der man selbst schon einen Teil des Quartetts hat.
4
72
Cubic
„Cubic“ ist ein Spiel, das nur einige Würfel und eine Tafel benötigt.
Grundgedanke des Spiels: Die Augenzahlen der Würfel entsprechen den Zahlen 1 bis 6. Diese
zufällig entstandenen Zahlen müssen durch + , – , · , : und Klammern so verknüpft werden, dass
der entstehende Rechenterm eine der von der Spielleiterin vorgegebenen Zahlen ergibt.
Beispiel: Die Spielleiterin schreibt die folgende Tabelle an die Tafel:
4
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Gruppe 4
Peter
Stefanie
Ali
Nida
15 16 17 18 19 20
15 16 17 18 19 20
15 16 17 18 19 20
15 16 17 18 19 20
Die geworfenen Augenzahlen sind 6, 1 und 4. Ein möglicher Term, der zum gewünschten
Ergebnis führt, wäre: 6 · (4 – 1). Die Gruppe, die gerade gewürfelt hat, dürfte nun die Zahl 18 aus
ihrer Zahlenreihe streichen. Die Gruppe könnte aber auch entscheiden, den Term
(6 – 1) · 4 zu nehmen und in dieser Runde die Zahl 20 streichen.
Gewonnen hat jene Gruppe, die als erste alle ihre Zahlen streichen konnte (oder die innerhalb
einer festgelegten Zeit, z. B. 20 Minuten, die meisten Zahlen streichen konnte).
Weitere Spielregeln:
• Die Klasse/Lerngruppe wird in drei oder höchstens vier Gruppen eingeteilt.
• Eine Schülerin darf Assistentin der Spielleiterin sein. Sie schreibt jeweils die geworfenen
(Augen-)Zahlen einer Gruppe in das freie Feld der Tabelle und streicht eine der vorgegebenen
Zahlen, falls die betreffende Gruppensprecherin eine korrekte Lösung vorgeschlagen hat.
• Jede Gruppe wählt eine Gruppensprecherin. Diese nennt jeweils den Term, für den sich die Gruppe entschieden hat. Nur die Antwort der Gruppensprecherin zählt.
• Jede Gruppe bekommt drei Würfel. Die drei Würfel wandern innerhalb der Gruppe von
Schülerin zu Schülerin weiter. Pro Runde würfelt immer nur eine Schülerin.
• Es würfelt immer nur eine Gruppe. Sie hat bis zu 45 Sekunden Zeit, einen geeigneten Rechen-
term zu finden. Zur Überwachung der 45 Sekunden kann eine Zeitmesserin eingeteilt werden, die evtl. eine Sanduhr erhält.
• Jede (Augen-)Zahl muss verwendet werden und jede Zahl darf nur einmal verwendet werden.
• In jeder Runde kann nur eine Zahl der Zahlenreihe gestrichen werden.
• Ab der 7. Schulstufe dürfen aus den gewürfelten (Augen-)Zahlen auch Potenzen gebildet
werden. (Spielregeln wegen besserer Lesbarkeit nicht gegendert)

Hinweise aus der Praxis:
Das Spiel weckt Emotionen und verlangt Disziplin. Dennoch kann es auch in großen Klassen
erfolgreich eingesetzt werden. Gut bewährt haben sich die letzten 25 Minuten einer Unterrichtseinheit.
Das Spiel eignet sich besonders zur Festigung des richtigen Einsatzes von Klammern und der
korrekten Anwendung der Vorrangregeln.
Mathematik73
4.4 Nachhaltigkeit durch regelmäßige Kurzwiederholungen
und informelle Kontrollen
Regelmäßige Wiederholungen auch länger zurückliegender mathematischer Inhalte sind für den Aufbau mathematischer Kompetenzen unverzichtbar. Dieser Forderung trägt der regelmäßige Einsatz der
in diesem Kapitel vorgestellten Methode „Kopfübungen“ am Beginn der Mathematikstunde Rechnung.
Die Methode „Code“ ermöglicht der Lehrkraft einen raschen Einblick in den aktuellen Leistungsstand
der Klasse in bestimmten Bereichen und bietet damit eine Grundlage für die weitere Planung des
Unterrichts.
Methode „Kopfübungen“
Kopfübungen enthalten Beispiele zu länger zurückliegenden mathematischen Inhalten, die nachhaltig verfügbar sein sollen. Bewährt hat sich der regelmäßige ritualisierte Einsatz (etwa einmal pro
Woche) am Beginn der Unterrichtsstunde.
104
PraxishandbuchBildungsstandards8.Schulstufe
Kopfübungen
1) Zum Bemalen einer quadratischen Holzplatte reicht eine Dose Farbe. Wie viele Dosen benötigt man, wenn man eine quadratische
Platte mit doppelter Seitenlänge bemalt?
2) Der Mittelwert dreier Zahlen ist 25. Zwei der
Zahlen sind 15 bzw. 35. Bestimme die dritte
Zahl.
3) Berechne den Umfang eines Rechtecks, das
6 m lang und 2 m breit ist.
4) Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt
64 cm². Wie lang ist eine Seite?
5) Ermittle die Lösung der Gleichung
2·z + 8 = 12 im Kopf.
6) Michael hat m Kugeln, Sarah hat um
8 Kugeln mehr als Michael. Welche 2
Gleichungen passen zum Text, wenn Sarah
s Kugeln hat?
□ m+8=s
□ m–8=s
□ m+s=8
□ s–8=m
Das Aufgabenblatt wird als Folie auf dem Overhead-Projektor aufgelegt oder über den Beamer
projiziert. Die Schüler/innen ermitteln in Einzelarbeit die Lösungen und notieren sie im Heft. Im
Anschluss daran kann eine Lösungsfolie aufgelegt werden, mit deren Hilfe die Schüler/innen die
Anzahl ihrer richtigen Antworten ermitteln.
Eine anonymisierte Rückmeldung an die Lehrperson kann in der Form erfolgen, dass die Schüler/innen auf einem Kontrollblatt notieren, welche Aufgaben von ihnen richtig gelöst worden sind.
Dieses Kontrollblatt wird von der Lehrkraft eingesammelt und liefert wertvolle Hinweise, welche
Inhalte einer Auffrischung bedürfen.
Die obige Abbildung zeigt ein Beispiel für eine Overheadfolie mit Kopfübungen. Die entsprechende
Kopiervorlage befindet sich im Anhang.
4
74
Methode „Code“
Das Konzept der Bildungsstandards beinhaltet als wesentliches Ziel eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht. Um Rückmeldungen über das
tatsächliche Wissen und Können aller Schüler/innen einer Klasse bzw. Lerngruppe zu erhalten,
sind schriftliche informelle Kontrollen hilfreich.
Die im Folgenden beschriebene Methode „Code“ liefert der Lehrperson Informationen über den
aktuellen Leistungsstand ihrer Klasse und den Schülerinnen und Schülern eine individuelle Rückmeldung.
Vorgangsweise bei der Methode „Code“:
Die Schüler/innen erhalten – in der Regel ohne vorherige Ankündigung – ein Kontrollblatt. Sie
schreiben in kleiner Schriftgröße auf die Rückseite des Blattes einen fünfstelligen Code. Dieser
dient später zum Wiederfinden des eigenen Kontrollblatts. Anschließend bearbeiten sie die
Aufgaben auf der vorderen Seite in Einzelarbeit. Nach Abschluss der Einzelarbeit werden die
Kontrollblätter eingesammelt, durchgemischt und wieder ausgeteilt. Gemeinsam mit der Lehrperson kontrolliert jede Schülerin/jeder Schüler die Aufgaben auf dem vor ihr/ihm liegenden Blatt und
vergibt die entsprechende Punktezahl. Nach jeder Frage notiert die Lehrkraft auf ihrem Kontrollblatt, wie viele Schüler/innen die Aufgabe vollständig, teilweise oder gar nicht gelöst haben. Anschließend werden die erreichten Punkte addiert und auf dem Kontrollblatt vermerkt. Die Kontrollblätter werden wieder eingesammelt und können von den Schülerinnen und Schülern am Beginn
der folgenden Pause abgeholt werden. Bei dieser Methode wird niemand bloßgestellt und so ist
auch niemand veranlasst, beim Lehrer-Schüler-Gespräch eine falsche Lösung zu verschweigen.
4
Offene Fragen sind für die Methode „Code“ nur bedingt geeignet. Stellt man auch solche, so ist
für die Auswertung mehr Zeit erforderlich.
1. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5
O Teiler von 30
O Vielfaches von 30
O Summand von 30
2. Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28
O Teiler von 7
O Vielfaches von 7
O Quotient von 7
Im Anhang findet sich ein Beispiel (Kopiervorlage) für ein Kontrollblatt im Sinn der Methode
„Code“. Es enthält primär Wissensfragen. Wissen allein ist zwar noch keine Kompetenz, aber
Kompetenz setzt fast immer Wissen voraus.
Bewertungsvorschlag für die Aufgaben auf dem Kontrollblatt im Anhang:
Je ein Punkt bei den Aufgaben, wo genau eine Antwort richtig ist (1, 2, 4, 5, 6, 9, 11).
Je zwei Punkte bei den Aufgaben, wo zwei Antworten richtig sind bzw. wo nichts anzukreuzen ist
(3, 7, 8, 10, 13). Ist bei diesen Aufgaben nur eine richtige Aussage angekreuzt (aber keine falsche)
bzw. fehlt bei Nr. 3 ein Teiler oder wird bei Nr. 7 „6“ und bei Nr. 8 „24“ angegeben, dann gibt es
jeweils einen Punkt. Bei Nr. 12 gibt es für jede richtige Antwort einen halben Punkt.
Bei diesem Bewertungsvorschlag sind maximal 21 Punkte erreichbar.
Mathematik75
4.5 Nachhaltigkeit durch Technologieeinsatz
Der Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht entlastet von Routinen, sodass sich die Schüler/innen nicht auf operative Vorgänge und Rechenrichtigkeit konzentrieren müssen. Somit können die
Lernenden ihre Konzentration vorwiegend Tätigkeiten widmen, die dem Kompetenzerwerb in anderen
Bereichen, etwa „Darstellen, Modellbilden“ oder „Interpretieren“ dienen.
Gleichzeitig fördern Sie als Lehrerin/Lehrer selbstgesteuertes, individuelles und entdeckendes Lernen.
Der Unterricht wird interessanter und abwechslungsreicher.
Mit entsprechender Vorbereitung und Mithilfe lassen sich Tabellenkalkulationsprogramme und dynamische
Geometriesoftware auch gut bei Schülerinnen und Schülern mit niedrigem Leistungsniveau einsetzen.
Die folgenden Aufgaben zeigen exemplarisch, welche Möglichkeiten sich beim Einsatz einer Tabellenkalkulation (hier Excel) eröffnen.
Aufgabe „Schulfest“
Beim dreitägigen Schulfest verkaufen die Schüler/innen gegrillte Spezialitäten und Getränke.
Diese sollen zu folgenden Preisen angeboten werden.
4
Erstelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ein Formular, das die Berechnung der
täglichen Einnahmen für unterschiedliche Verkaufszahlen ermöglicht.
Titel/Thema
Handlungsbereich
Schulfest
H1
Hinweis
Bei Verwendung einer Tabellenkalkulation liegt der Schwerpunkt dieser
Aufgabe im Handlungsbereich H1. Im gegebenen Sachverhalt sind zuerst
die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen und anschließend in mathematischer Form mithilfe von Formeln darzustellen.
K
76
Aufgabe „Mittelwert“
Bestimme mithilfe einer Tabellenkalkulation das
arithmetische Mittel und den Median der Höhe des
Taschengelds der sechs Schüler.
Untersuche den Einfluss von Ausreißern auf das
arithmetische Mittel bzw. auf den Median, indem du
Taschengeldhöhe von Schüler 6 veränderst.
Was stellst du fest?
Taschengeld
Schüler 1
€ 10,00
Schüler 2
€ 12,00
Schüler 3
€ 14,00
Schüler 4
€ 8,00
Schüler 5
€ 6,00
Schüler 6
€ 25,00
Taschengeld
4
Schüler 1
€ 10,00
Schüler 2
€ 12,00
Schüler 3
€ 14,00
Schüler 4
€ 8,00
Schüler 5
€ 6,00
Schüler 6
€ 25,00
arithmetische Mittel
Median
€ 12,50
€ 11,00
arithmetisches Mittel
Median
=MITTELWERT(B3:B8)
=MEDIAN(B3:B8)
Erhält beispielsweise der Schüler 6 ein Taschengeld in der Höhe von € 70,00, so bleibt der Median
unverändert. Das arithmetische Mittel hingegen hat dann den Wert von € 20,00. Das arithmetische
Mittel wird vom Ausreißer stark beeinflusst, der Median hingegen ändert sich nicht.
K

Titel/Thema
Mittelwert
Kompetenz
H3, I4, K1
Hinweis
Durch die Variation der Datenliste ist es ohne zusätzliches Operieren
möglich, den Einfluss von Ausreißern auf die statistischen Kenngrößen
arithmetisches Mittel bzw. Median zu untersuchen. Der Schwerpunkt der
Aufgabe liegt somit im Bereich H3, I4, K1.
Mathematik77
Aufgabe „Bevölkerungswachstum“
Im Jahr 2009 lebten im afrikanischen Staat Nigeria 140 Millionen Menschen.
Die Bevölkerung in diesem Land nimmt sehr stark zu. Jedes Jahr wächst die
Bevölkerung um 3 %.
Nütze zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben ein
Tabellenkalkulationsprogramm.
Quelle: wikipedia
a) Erstelle eine Tabelle, aus der man die Bevölkerungszahlen der kommenden 25 Jahre ablesen kann. Nimm an, dass sich während dieser Zeit die Zuwachsrate nicht ändert.
b) Wie viele Menschen würden im Jahr 2015 in Nigeria leben?
c) Wann würde die Anzahl der Menschen in Nigeria 200 Millionen betragen?
d) Stelle das Bevölkerungswachstum für eine Wachstumsrate von 3 % grafisch dar.
e) Nimm an, dass die jährliche Wachstumsrate durch geeignete Maßnahmen auf 2 % gesenkt werden kann. Untersuche die Auswirkungen. Was stellst du fest?
a) und d)
4
Einsatz der
Formel
=B3*1,03
b) Im Jahr 2015 würden ca. 167 Millionen Menschen in Nigeria leben.
c) Im Jahr 2021, also 12 Jahre nach 2009, würden rund 200 Millionen Menschen in Nigeria leben.
78
e) Vergleich des Bevölkerungswachstums bei unterschiedlicher Wachstumsrate:
(orange: 3 %,lila: 2 %)
Anfangs sind die Auswirkungen gering, doch über einen längeren Zeitraum sind sie sehr stark. Zum
Beispiel würde im Jahr 2037 der Unterschied bereits mehr als 70 Millionen Menschen ausmachen.
4
K

Titel/Thema
Handlungsbereiche
Bevölkerungswachstum
H1, H3
Hinweis
Die Variation der Wachstumsrate ohne zusätzlichen Rechenaufwand macht
es möglich, dass die Schüler/innen die Eigenschaften von (unterschiedlichen) Wachstumsprozessen aktiv untersuchen können. Auch Vergleiche
mit linearem Wachstum sind möglich.
Mathematik79
5. Unterstützungsmaterialien für den Unterricht und Diagnoseinstrumente
Im Folgenden sind relevante Materialien genannt und kurz beschrieben, die der Lehrkraft als Unterstützung zum Einsatz im Unterricht dienen sollen.
5.1 www.bifie.at, die Website des Bundesinstituts für Bildungs forschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
Auf dieser Website finden sich alle aktuellen Informationen zu den österreichischen
Bildungsstandards.
5.2 Standards für die mathematischen Fähigkeiten österreichischer
Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe
Unter diesem Titel wird das „Kompetenzmodell Mathematik der österreichischen
Bildungsstandards“, das auch diesem Praxishandbuch zugrunde liegt, ausführlich
beschrieben und vor allem durch 48 Orientierungsaufgaben illustriert, die die jeweiligen
Kompetenzbereiche abdecken:
http://www.uni-klu.ac.at/idm/downloads/Standardkonzept_Version_4-07.pdf
5.3 Informelle Kompetenzmessung (IKM M7)
Dieses Online-Diagnoseinstrument wird in Kooperation mit der Universität Wien und
Arbeitsgruppen (Taskersteller/innen) erstellt. Es ist als Selbstevaluierungstool konzipiert
und besteht aus Aufgabensammlungen, die analog zu den Standardüberprüfungen
gestaltet und wissenschaftlich validiert und geeicht sind. Damit wird es Lehrerinnen
und Lehrern ermöglicht, den bis dato erreichten Leistungsstand ihrer Schüler/innen in
Bezug auf die in den Standards formulierten Zielkompetenzen differenziert nach Kompetenzbereichen festzustellen. Lehrer/innen erhalten hilfreiche Anleitungen zur Interpretation der erzielten Ergebnisse, darüber hinaus werden didaktische Empfehlungen
zur weiteren Unterrichtsgestaltung sowie eine Verlinkung zu den bestehenden Aufgabensammlungen zur Verfügung gestellt, die auf die Ergebnisse in ihrer Gruppe abgestimmt sind. Eine treffsichere Diagnose, wo eine Klasse und jede einzelne Schülerin/
jeder einzelne Schüler im Bezug auf die in den Standards formulierten anzustrebenden
Lernergebnisse steht, erlaubt es Lehrerinnen und Lehrern, im Unterricht gezielt und
rechtzeitig nachzusteuern. Für etwaig notwendige Maßnahmen werden in der Rückmeldung methodisch-didaktische Anregungen angeboten.
Beginnend mit Frühjahr 2010 steht IKM Mathematik jeweils im Mai/Juni bzw. im September/Oktober/November zur Verfügung.
Die Durchführung erfordert inklusive Erläuterung für die Schüler/innen eine Schulstunde (50 Minuten). In der Sekundarstufe I läuft IKM online über eine Plattform ab. Zur
Wahrung des Datenschutzes ist es ausschließlich der betreffenden Lehrkraft möglich,
die Ergebnisse der IKM individuell der jeweiligen Schülerin/dem jeweiligen Schüler zuzuordnen.
Durch die Einführung der Bildungsstandards steht nicht mehr der Input in der Unterrichtsarbeit der Lehrkräfte im Mittelpunkt, sondern der Fokus im Unterricht ist auf die
Kompetenzen der Lernenden gerichtet. Als ein besonders wichtiges Kennzeichen von
kompetenzorientiertem Unterricht wird individuelle Lernbegleitung angesehen: die Ler-
5
80
nenden werden gezielter als bisher in ihren individuellen Lernprozessen unterstützt und
begleitet; Lehrkräfte stellen gezielter differenzierte Lernangebote bereit. Das bedeutet
für die Lehrenden eine neue Sichtweise auf das Lernen der Schüler/innen. Es bedeutet
aber nicht, dass Unterricht neu erfunden werden muss, sondern dass Lehrer/innen nur
verstärkt ihre diagnostischen Fähigkeiten einsetzen, damit die entwickelten Stärken
und die vorhandenen Lernfortschritte der Schüler/innen wahrgenommen werden, was
durch den Einsatz von IKM möglich ist. Es steht nicht mehr der Fehler im Mittelpunkt,
sondern die erworbenen Kompetenzen. Keinesfalls dient die IKM als Ersatz oder als
verbindliche Leistungsbeurteilung für Schüler/innen.
Schüler/innen benötigen Gelegenheiten zur Reflexion des Lernens, die mittels IKM
angeleitet erfolgen kann. Damit wird auf lange Sicht in der direkten Erfahrung auch
die Notwendigkeit zur Nachhaltigkeit für Schüler/innen nachvollziehbar, wenn bei den
Aufgabenstellungen durch die Lehrkraft länger Zurückliegendes mit gerade Gelerntem
verknüpft wird: Grundlagen sollen stets abrufbar und damit immer präsent sein.
5.4 Der Aufgabenpool Mathematik Sekundarstufe I
Dieser Online-Aufgabenpool auf der Basis des Kompetenzmodells Mathematik der
Bildungsstandards zeichnet sich vor allem durch seine integrierte Suchfunktion aus.
Aufgaben können nach folgenden Kriterien abgerufen werden: Handlungsbereich,
Inhaltsbereich, Komplexitätsbereich, Schulstufe, Leistungsniveau. Der Aufgabenpool wird ständig durch neue Aufgaben ergänzt. Er ist zu finden auf der Website
http://aufgabenpool.bifie.at/.
Der Aufgabenpool Mathematik Sekundarstufe I kann auf mehrfache Weise genutzt werden:
5
Zur Verdeutlichung des Kompetenzmodells: Werden zu bestimmten Bereichen
illustrierende Aufgaben gesucht, so können mithilfe der Suchfunktion schnell entsprechende Aufgaben gefunden werden.
Zur Anreicherung des Unterrichts: Die Downloadfunktion sowohl im PDF- als auch
im Word-Format ermöglicht die Nutzung der Aufgaben im Unterricht sowohl als
Originalaufgaben als auch in Form von Aufgabenvariationen.
Im Zusammenhang mit den Diagnoseinstrumenten auf der bifie-Website: Zeigt
sich bei einer Vergleichsarbeit eine Schwäche in einem bestimmten Bereich, so
können mit der Auswahlfunktion des Aufgabenpools rasch passende Aufgaben
gefunden werden, die den diagnostizierten Schwächebereich ansprechen.
5.5Broschüren
Im Zuge der Pilotphasen zu den Bildungsstandards M8 und in den Folgeprojekten zu
diesen Pilotphasen – insbesondere im „Projekt Mathematische Bildung von der 5. bis
8. Schulstufe (P[MB:5-8])“ – sind vielfältige Begleitmaterialien entstanden, die sich dadurch auszeichnen, dass sie auf sehr breiter Basis erprobt wurden und die Rückmeldungen einer sehr großen Zahl von Lehrerinnen und Lehrern in ihre Weiterentwicklung
eingeflossen sind.
In diesen gedruckten Begleitmaterialien wird eine Fülle von Methoden und Inhalten
vorgestellt und in sehr praxisorientierter Weise den Lehrkräften zur Verfügung gestellt.
Die Unterrichtsentwicklung mit dem Blick auf die Bildungsstandards steht dabei im Mittelpunkt. Diese Broschüren wurden vom BMUKK herausgegeben und können gegen
eine Bearbeitungsgebühr von € 2,18 pro Lieferung sowie einen geringen Versandkostenanteil beim AMEDIA Servicebüro bezogen werden (office@amedia.co.at, Tel. 01 982
13 22 – 365).
Jede der folgenden Broschüren hat einen Umfang zwischen 60 und 100 Seiten:
Exemplarische, beziehungsreiche Aufgaben
Diese Aufgaben bieten viele Anregungen in methodischer Hinsicht (wachsende
Gruppe, Gruppenpuzzle (Expertengruppe), innere Differenzierung) und von der Art
Mathematik81

der Aufgabenstellung her (Lebensbezug, Multiple Choice, offene Aufgaben). Auch
das Konzept Bauaufgaben – Bausteinaufgaben wird vorgestellt.
MathematikMethoden – Heft 1
In diesen Broschüren werden die Methoden Museumsrundgang, Stationenlernen,
Doppelkreis (Kugellager), Stafettenpräsentation, Informationssuche mit Bewegung,
Dosenmathematik und Fishbowl präsentiert und hilfreiche Tipps aus der Praxis weitergegeben.
Basismathematik – Heft 1 und Heft 2
Hier werden Wege beschrieben, wie durch spezielle Methoden im Unterricht Problemlösungsstrategien entwickelt werden können, die die Stärken der Schüler/innen
unterstützen (Arbeiten mit Bedingungskarten, Auftragsbox, Verpackungswettbewerb, Kopfübungen).
Unter http://mb-gemeinsamlernen.bmukk.gv.at stehen alle oben genannten Broschüren
im PDF-Format zum Download zur Verfügung, wobei die Aufgaben und die Methodenblätter auch einzeln abrufbar sind.
5
82
6. Erste nationale Standardüber prüfung (Mathematik 8. Schulstufe)
Einführung
Mit dem Schuljahr 2011/12 wird der erste Überprüfungszyklus der Bildungsstandards
für Mathematik auf der 8. Schulstufe gestartet. Im Jahr 2013 findet die Überprüfung
in Englisch statt, Deutsch folgt 2014. Im Jahr 2012 werden also flächendeckend die
Kompetenzen der Schüler/innen in Mathematik überprüft.
In diesem Kapitel wird ein Ausblick auf die erste nationale Standardüberprüfung in
Mathematik gegeben. Um die Ziele und die Form der Standardüberprüfungen besser
verständlich zu machen, werden zunächst die gesetzlichen Grundlagen beschrieben.
Im Anschluss daran finden Sie einen kurzen Rückblick auf die im Frühjahr 2009 durchgeführte Baseline-Testung und die im Mai 2011 durchgeführte Pilotierung. Im letzten
Abschnitt wird ausführlich auf die Standardüberprüfung in Mathematik eingegangen.
Gesetzliche Grundlagen für die Durchführung der
Standardüberprüfungen
Mit der gesetzlichen Verordnung der Bildungsstandards (BGBl. II Nr. 1/2009) wurde
vom Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) der Grundstein für
die Standardüberprüfungen ab dem Schuljahr 2011/12 gelegt. Die Verordnung definiert
drei gleichwertige Funktionen der Bildungsstandards. Neben der Orientierungs- und
Förderungsfunktion ist in § 3 Abs. 4 als Funktion der Bildungsstandards auch die Evaluationsfunktion festgelegt. Gemäß der Verordnung „sollen Bildungsstandards wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen“ (ebd., § 3 Abs. 1 Z 3). Näheres
dazu ist im folgenden Gesetzesauszug beschrieben:
6
„Durch periodische Standardüberprüfungen sind die von den Schülerinnen und Schülern bis zur 4. bzw. zur 8. Schulstufe erworbenen Kompetenzen objektiv festzustellen
und mit den angestrebten Lernergebnissen zu vergleichen. Standardüberprüfungen
sind auf Anordnung der Schulbehörden für die 8. Schulstufe ab dem Schuljahr 2011/12
und für die 4. Schulstufe ab dem Schuljahr 2012/13 durchzuführen und deren Auswertungen sind den Schulen rückzumelden. Die Auswertungen der Standardüberprüfung
und deren Rückmeldungen haben so zu erfolgen, dass sie für Zwecke der Qualitätsentwicklung an den Schulen herangezogen werden können.“ (ebd., § 3 Abs. 4)
Gemäß der oben beschriebenen Evaluationsfunktion spielt die Standardüberprüfung
dadurch eine wichtige Rolle für die Qualitätsentwicklung auf Schul- und Systemebene,
da die von den Schülerinnen und Schülern erreichten Ergebnisse als Anknüpfungspunkt für Qualitätsentwicklungsmaßnahmen an den Schulen dienen können. Nach
dem BIFIE-Gesetz zählt diese Aufgabe zu den Kernaufgaben, die das BIFIE wahrzunehmen hat (BGBl. I Nr. 25/2008). Das BIFIE Salzburg übernimmt Aufgaben wie die
Überprüfung der Bildungsstandards und deren Analyse sowie die Aufbereitung und
Rückmeldung der Ergebnisse. Die Implementierung der Bildungsstandards und die
Entwicklung entsprechender Unterstützungsmaßnahmen zur Qualitätsentwicklung obliegt dem BIFIE Wien.
Rückblick auf die Baseline-Testung 2009 auf der
8. Schulstufe
Die Verordnung zu den Bildungsstandards ist am 1. Jänner 2009 in Kraft getreten.
Um Informationen über die zum Zeitpunkt der Verordnung vorhandenen Kompetenzen
der Schüler/innen am Ende der 8. Schulstufe zu erlangen, wurde im Jahr 2009 eine
Ausgangsmessung (Baseline-Testung) durchgeführt. Ziele dieser Ausgangsmessung
Mathematik83
waren, sowohl Vergleichsdaten für die Standardüberprüfung 2012 zu erheben als auch
die Testabläufe und die Rückmeldung der Auswertungen an die Schüler/innen und
Schulen zu erproben. Die Baseline-Testung für das Fach Mathematik wurde am 7. Mai
2009 durchgeführt. Die Auswahl der Schulen erfolgte nach dem Prinzip der Zufallsstichprobe. Somit wurden an insgesamt 204 Schulen etwa 10 000 Schülerinnen und
Schülern jeweils ein Testheft mit den Mathematikaufgaben und ein Schülerfragebogen
zur Bearbeitung vorgelegt.
Es gab verschiedene Testheftformen mit drei unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen.
Eine solche Vorgangsweise garantiert, dass den Schülerinnen und Schülern insgesamt
viele verschiedene Testaufgaben (Testitems) zur Bearbeitung vorgelegt werden, jedoch
die individuelle Testzeit für die einzelne Schülerin/den einzelnen Schüler möglichst kurz
gehalten wird. Bei der Baseline gab es pro Testheft 36 Aufgaben, für deren Lösung die
Schüler/innen 90 Minuten Zeit hatten. Nach jeweils 45 Minuten Arbeitszeit hatten die
Schüler/innen 15 Minuten Pause. Die Antworten zu den Testaufgaben (sog. Testitems)
mussten in separate Antwortbögen eingetragen werden. Dabei wurden verschiedene
Antwortformate eingesetzt.
Alle Daten wurden am BIFIE Salzburg verarbeitet. Danach wurden die Leistungsdaten mit den Hintergrundinformationen aus dem Schülerfragebogen und Basisdaten
zur Schule aus dem Schulbogen zusammengeführt. Das Resultat daraus – die Ergebnisrückmeldung – wurde an die verschiedenen Akteure rückgemeldet (Interessierten
stehen die Fragebögen unter https://www.bifie.at/node/422 zum Download zur Verfügung). Das Hauptziel der Ausgangsmessung war die Ermittlung des Kompetenzstands
in Österreich auf Basis der Zufallsstichprobe. Die Rückmeldung an die Stichprobenschulen diente einerseits der Erprobung des Rückmeldesystems und gab andererseits
den von der Baseline betroffenen Schulen eine erste Gelegenheit, datengestützt an
der Qualitätsentwicklung in der Schule zu arbeiten. (Im Technischen Bericht finden interessierte Leser/innen detaillierte Informationen, abrufbar unter https://www.bifie.at/
buch/1116).
Die Pilotierung der Mathematik-Items 2011
In der Vorbereitung auf die Standardüberprüfung wurde eine große Anzahl an neuen
Testaufgaben entwickelt. Als Kooperationspartner wurde dafür das Österreichische
Kompetenzzentrum für Mathematikdidaktik (IDM/AECC) in Klagenfurt beauftragt. Dabei wurde der Fokus stärker auf die Entwicklung halboffener und offener Antwortformate gerichtet. Ebenso wurden die Antwortformate Multiple Choice auf richtig/falsch
und 1 aus 4 erweitert.
Neue Items werden immer, bevor sie bei Standardüberprüfungen zum Einsatz kommen, pilotiert, um sie auf ihre Qualität hin zu überprüfen und abzusichern. So wurden
auch die neu entwickelten Testaufgaben für die Überprüfung 2012 im Mai 2011 auf der
8. Schulstufe pilotiert – und zwar an einer Stichprobe von 60 Schulen und ca. 2 800
Schülerinnen und Schülern. Hinsichtlich des Testdesigns gab es bei der Pilotierung
2011 im Vergleich zur Baseline-Testung 2009 einige Neuerungen:
Zum einen wurden neue Antwortformate eingesetzt (s. o.) und zum anderen mussten
die Schüler/innen ihre Antworten nicht mehr auf separate Antwortbögen, sondern direkt in das Testheft schreiben. Zur Vergleichbarkeit von Schülerleistungen und Schwierigkeitsgrad zwischen Baseline und Pilotierung kamen bei der Pilotierung neu entwickelte Testaufgaben und auch solche, die bereits bei der Baseline-Testung verwendet
wurden, zum Einsatz.
Im Rahmen der Pilotierung wurde auch der Schülerfragebogen eingesetzt, um ihn hinsichtlich Verständlichkeit und Umfang für den Einsatz bei der Standardüberprüfung
zu überprüfen. Darüber hinaus ermöglichte die Pilotierung die Erprobung logistischer
Abläufe, der Testleiterinstruktionen und des Rückmeldesystems.
6
84
Ausblick auf die Standardüberprüfung im Schuljahr
2011/12
Dieser Abschnitt gibt Antwort auf die Frage, wer, wann und wie überprüft wird und unter welchen Rahmenbedingungen die Überprüfung in Mathematik auf der 8. Schulstufe
im Frühjahr 2012 stattfindet.
Zielgruppe
Die Bildungsstandards haben gemäß BIST-Verordnung drei Funktionen, nämlich eine
Orientierungs-, eine Förderungs- und eine Evaluationsfunktion. Diese Funktionen gelten
für alle Schüler/innen, die eine öffentliche oder eine private Schule besuchen, die sowohl die gesetzlich geregelte Schulartbezeichnung Volksschuloberstufe, Hauptschule
(inkl. der Schulversuche der NMS) oder Allgemeinbildende Höhere Schule trägt als auch
mit Öffentlichkeitsrecht ausgestattet ist. So wie die Orientierungs- und Förderfunktion
gilt auch die Evaluationsfunktion grundsätzlich für alle Schüler/innen der 8. Schulstufe,
d. h., sie sind alle zur Teilnahme verpflichtet. Aus der Evaluationsfunktion werden aber in
einer Novelle der BIST-Verordnung bestimmte Schülergruppen ausgenommen:
1) Alle Schüler/innen, die den Status einer außerordentlichen Schülerin/eines außerordentlichen Schülers haben, sowie Schüler/innen mit sonderpädagogischem Förderbedarf, die nach dem Lehrplan der Allgemeinen Sonderschule oder nach dem
Lehrplan einer niedrigeren Schulstufe unterrichtet werden.
2) Alle Schüler/innen mit Körper- und Sinnesbeeinträchtigung, sofern sie bei der Standardüberprüfung die Testaufgaben mit den allenfalls zur Verfügung stehenden Unterrichts- oder Hilfsmitteln unter den vorgesehenen Testbedingungen voraussichtlich nicht lösen können.
Testzeitpunkt
6
Damit sichergestellt ist, dass möglichst alle Schüler/innen die gleichen Rahmenbedingungen vorfinden, findet die Überprüfung österreichweit am 23. Mai 2012 statt.
In begründeten Ausnahmefällen kann der Ersatztermin am 31. Mai 2012 in Anspruch
genommen werden. Dieser Termin wurde vom BMUKK in Abstimmung mit dem BIFIE
festgelegt und bereits im Lauf des Schuljahres 2010/11 den betroffenen Schulbehörden und Schulen kommuniziert.
Testdesign
Verschiedene Testheftformen
Der Test muss so konstruiert sein, dass die in der Verordnung zu den Bildungsstandards angesprochene Evaluationsfunktion (§ 3 Abs. 4 des BGBI. II Nr. 1/2009) möglichst gut erfüllt wird. Um die Belastung jeder einzelnen Schülerin/jedes einzelnen Schülers möglichst gering zu halten, wird die Testzeit auf eine Bearbeitungsdauer von 90
Minuten begrenzt. Um die in den Bildungsstandards definierten Kompetenzen möglichst breit abdecken zu können, werden – so wie bereits bei der Pilotierung – verschiedene Testheftformen eingesetzt. Damit wird erreicht, dass jede Schülerin/jeder Schüler
etwa 45 bis 50 Aufgaben zur Bearbeitung vorgelegt bekommt, aber insgesamt viele
verschiedene Testaufgaben zum Einsatz gelangen. Somit kommt für die Überprüfung
eines jeden Kompetenzbereichs eine ausreichende Menge unterschiedlicher Testitems
zum Einsatz, deren Ergebnisse für die standortbezogene Qualitätsentwicklung genutzt
werden können.
Die Verwendung verschiedener Testheftformen hat folgende Vorteile: Die Kompetenzbereiche in Mathematik werden breit abgedeckt. Der Einsatz möglichst vieler verschie-
Mathematik85
dener Testheftformen vermeidet in der Klasse das Abschreiben, was in weiterer Folge
die Aussagekraft der Ergebnisse erhöht. Ebenso wird bei der Testhefterstellung auf
Ausgewogenheit hinsichtlich der vier Inhalts- und Handlungsbereiche geachtet. Zusätzlich wird ein Fokus auf die Vergleichbarkeit der Antwortformate gerichtet. Bezüglich
Schwierigkeit und Bearbeitungsdauer liegt Ausgewogenheit vor.
Das Kompetenzmodell legt folgende Bereiche fest (vgl. BGBI. II Nr. 1/2009 sowie IDM,
2007):
Inhaltsbereiche
Handlungsbereiche
Komplexitätsbereiche
Zahlen und Maße
Darstellen,
Modellbilden
Einsetzen von Grundkenntnissen und -fertigkeiten
Variable, funktionale
Abhängigkeiten
Rechnen, Operieren
Herstellen von
Verbindungen
Geometrische Figuren
und Körper
Interpretieren
Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren
Statistische Darstellungen
und Kenngrößen
Argumentieren,
Begründen
Eine spezifische mathematische Kompetenz wird durch einen bestimmten Inhaltsbereich, Handlungsbereich und Komplexitätsbereich (= 48 Gitternetzpunkte) festgelegt.
Aus testtheoretischen Gründen werden in der Testung nur solche Aufgaben (= Test
items) eingesetzt, die sich sowohl einem Inhaltsbereich als auch einem Handlungsbereich eindeutig zuordnen lassen. Somit ergeben sich Testitems zu 16 mathematischen
Kompetenzen, da für die Überprüfung die Aufgaben nicht weiter nach Komplexitätsbereichen unterschieden werden.
Antwortformate
Für die Überprüfung der mathematischen Kompetenzen kommen offene, halboffene
und geschlossene (d. h. Multiple Choice (MC)) Antwortformate zum Einsatz. Offene und
halboffene Antwortformate müssen von eigens geschulten Personen nach genauen
Kriterien bewertet werden, während geschlossene Antwortformate eingescannt und
elektronisch weiterverarbeitet werden.
Offenes Antwortformat: Beim offenen Antwortformat formulieren die Schüler/innen
ihre Antwort selbst und können diese verbal frei gestalten. Diese Items überlassen
es vollständig der Schülerin/dem Schüler, wie sie/er die Aufgabenstellung löst. Dieses Antwortformat wird verwendet, wenn Schüler/innen z. B. eine Begründung
schreiben, ihren Lösungsweg beschreiben oder etwas konstruieren müssen.
Halboffenes Antwortformat: Auch halboffene Items überlassen die Antwortformulierung der Schülerin/dem Schüler. Die Aufgabe ist jedoch im Unterschied zum offenen Item so präzise gestellt, dass die Antwort mit geringem Aufwand als richtig oder
falsch bewertet werden kann. Solche Items verlangen von den Schülerinnen und
Schülern z. B. kurze Antworten, eine Zahl oder eine Konstruktion.
Geschlossenes Antwortformat: Beim geschlossenen Antwortformat stehen den
Schülerinnen und Schülern zu einer Frage mehrere vorformulierte Antworten zur
Auswahl zur Verfügung.
• Richtig-Falsch-Items (zum Ankreuzen) bestehen aus einer Aussage und zwei Antwortalternativen („richtig“ oder „falsch“/„ja“ oder „nein“), von
denen eine zutrifft. Um die Ratewahrscheinlichkeit zu minimieren, werden solche Items nur blockweise, d. h. in Dreier- oder Vierergruppen, vorgelegt.
• Multiple-Choice-Items (zum Ankreuzen): Die Schülerin/der Schüler muss
aus mehreren zur Wahl gestellten Antwortmöglichkeiten diejenige
auswählen, die sie/er für richtig hält.
6
86
Interne und externe Testleitung
Bei der Überprüfung sollen möglichst alle Schüler/innen die gleichen Rahmenbedingungen vorfinden, damit die Ergebnisse vergleichbar sind. Aus diesem Grund wird
der Testablauf standardisiert, was wiederum Voraussetzung für valide Testergebnisse
ist. Darum werden zum einen der Testablauf, die Testinstruktionen und die Testzeiten
genau vorgegeben, zum anderen werden die Tests von eigens geschulten Personen –
sog. Testleiterinnen und Testleitern – administriert.
Es wird zwischen „interner“ und „externer“ Testleitung unterschieden. Überprüfungen,
die von Lehrerinnen und Lehrern der eigenen Schule administriert werden, werden mit
„interne Testleitung“ bezeichnet. Führen hingegen schulexterne Personen die Überprüfungen in den Klassen durch, wird der Begriff „externe Testleitung“ angewendet.
Das BMUKK hat festgelegt, dass in 90 % aller Klassen die Tests von Lehrerinnen und
Lehrern der eigenen Schule geleitet werden. Dabei nominiert die Schulleitung Lehrpersonen aus der eigenen Schule, wobei für die Mathematiküberprüfung fachfremde
Lehrpersonen, die die zu testende Klasse auch in keinem Gegenstand unterrichten,
auszuwählen sind. Die von der Schulleitung als interne Testleiter/innen nominierten
Lehrpersonen werden im Rahmen einer Fortbildung an der Pädagogischen Hochschule speziell für diese Funktion geschult.
In etwa 10 % der Klassen wird die externe Testleitung als Qualitätssicherungsmaßnahme für die Ergebnisse auf der Systemebene eingesetzt. Als zusätzliche Qualitätssicherungsmaßnahme findet an 3 % der intern getesteten Klassen eine Beobachtung der
Testdurchführung durch Qualitätsprüfer/innen statt. Dieser Personenkreis dokumentiert
die Qualität der Datenerhebung und liefert Informationen für eine weitere Optimierung
der Prozesse. Sowohl die Qualitätsprüfer/innen als auch die externen Testleiter/innen
sind Lehrpersonen, die ebenfalls in der Testadministration speziell geschult werden.
Testablauf
Die Standardüberprüfung beginnt am Testtag in der Regel mit Beginn des normalen
Vormittagsunterrichts und dauert (einschließlich Instruktionen, Erklärungen und Pausen) etwa drei Unterrichtseinheiten.
6
Hier zur Illustration schematisch der Ablauf der Überprüfung:
Begrüßung, allgemeine
Erklärungen und
Instruktionen
ca. 10 min
Testphase 1
45 min
Pause
15 min
Testphase 2
45 min
Pause
10 min
Fragebogen
25 min
Als Testzeit ist eine Dauer von maximal 90 Minuten festgelegt. Damit wird die Testzeit
je Schülerin/Schüler so kurz wie möglich gehalten und gleichzeitig sichergestellt, dass
ausreichend Informationen von jeder Schülerin und jedem Schüler vorliegen, um zuverlässige und informative Rückmeldungen über die Ergebnisse an alle Zielgruppen
(Schüler/innen, Lehrer/innen, Schulleitungen) geben zu können.
Im Anschluss an den Test bearbeiten die Schüler/innen einen kurzen Fragebogen. Er
soll Auskunft über jene Faktoren geben, die zur Erklärung des Kompetenzerwerbs beitragen können. Sowohl das BMUKK als auch die Schulpartner werden in die Auswahl
der Inhalte der Fragebögen vom BIFIE einbezogen.
Mathematik87
Die Ergebnisrückmeldung
Ziel der Ergebnisrückmeldung ist es, sichtbar zu machen, inwieweit die lt. Verordnung
anzustrebenden mathematischen Kompetenzen zum Zeitpunkt der Überprüfung von
den Schülerinnen und Schülern tatsächlich erreicht werden. Schüler/innen, Lehrpersonen und Schulleiter/innen können ihre Ergebnisse auf einer Plattform im Internet etwa
ein halbes Jahr nach dem Test abrufen. Die Anonymität der einzelnen Schüler/innen
bleibt gewährleistet, indem nur die Schülerin/der Schüler selbst ihr/sein persönliches
Testergebnis erfährt. Die Lehrer/innen bzw. die Schulleitung erhalten ausschließlich zusammengefasste bzw. anonymisierte Ergebnisse.
Die Schulleitung nimmt im Rahmen des Qualitätsentwicklungsprozesses eine wichtige
Rolle ein. Sie erhält deshalb einen Schulbericht, der die Ergebnisse der Schule als Gesamtes sowie die Ergebnisse der einzelnen Unterrichtsgruppen in den jeweiligen Kompetenzbereichen beinhaltet. Aufgabe der Schulleitung ist es nun, sich mit den Ergebnissen auseinanderzusetzen, sie sachlich zu analysieren und objektiv zu interpretieren.
Gemeinsam mit dem Kollegium sollen auf Basis der rückgemeldeten Daten und Fakten
die Stärken und Optimierungspotenziale herausgearbeitet werden und – darauf aufbauend – konkrete Ziele und verbindliche Maßnahmen gesetzt werden. Somit hat die
Schulleitung die verantwortungsvolle Aufgabe, diesen Qualitätsentwicklungsprozess zu
initiieren und zu begleiten. Unterstützung dabei bieten Rückmeldemoderatorinnen und
-moderatoren (s. u.).
Auf Systemebene sollen die Ergebnisse Informationen darüber geben, welche schulischen Rahmenbedingungen die erreichten Kompetenzen möglicherweise beeinflussen, um damit mögliche politische Handlungsfelder aufzuzeigen. Diese Ergebnisse
werden als Berichte an das BMUKK und in den Bundesländern etwa ein halbes Jahr
nach der Testung rückgemeldet. Relevante Informationen für Entscheidungsträger sind
z. B.: die Orientierung über den Leistungsstand bezüglich der Bildungsstandards, die
Leistungen der Schüler/innen im Vergleich zu anderen Vergleichsgruppen, Informationen zur Streuung der Schülerleistungen und Hinweise auf Stärken und Schwächen im
relativen Vergleich der mathematischen Kompetenzbereiche.
Unterstützung bei der Rückmeldung
Die Rückmeldeergebnisse können am Schulstandort für einen nachfolgenden Qualitätsentwicklungsprozess herangezogen werden. Dieser liegt in der gemeinsamen
Verantwortung der Schulleiter/innen und Lehrer/innen. Damit der Wissenstransfer zwischen Empirie (= Schulbericht) und Praxis (= aktives Handeln) vollzogen werden kann,
bedarf es einer Übersetzungsleistung und eines Austausches unter Kolleginnen und
Kollegen. Für diesen Schritt braucht es vor allem schulinternes Wissen und Kenntnisse
der Rahmenbedingungen vor Ort.
Um Schulen und Schulleiter/innen bei dieser Transferleistung zu unterstützen, werden an den Pädagogischen Hochschulen vom BIFIE Rückmeldemoderatorinnen und
-moderatoren ausgebildet. Diese können von der Schulleitung bei der Pädagogischen
Hochschule angefordert werden. Deren Aufgabe ist es, die Schulleitung und ggf. die
Lehrpersonen bei der sachlichen Analyse und der objektiven Interpretation der Ergebnisse sowie bei einer faktenbasierten Ergebnisaufbereitung zu unterstützen.
Nähere und ausführliche Informationen zur Standardüberprüfung 2012 finden Interessierte in der Broschüre Bildungsstandards in Österreich. Überprüfung und Rückmeldung (abrufbar unter https://www.bifie.at/node/560) und in der im Herbst 2011
erscheinenden Informationsbroschüre zur Standardüberprüfung Mathematik 2012.
88
BUNDESGESETZBLATT
FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH
Jahrgang 2008
117. Bundesgesetz:
Ausgegeben am 8. August 2008
Teil I
Änderung des Schulunterrichtsgesetzes
(NR: GP XXIII RV 606 AB 636 S. 65. BR: AB 7998 S. 759.)
117. Bundesgesetz, mit dem das Schulunterrichtsgesetz geändert wird
Der Nationalrat hat beschlossen:
Das Schulunterrichtsgesetz, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. I
Nr. 28/2008, wird wie folgt geändert:
1. In § 17 wird nach Abs. 1 folgender Abs. 1a eingefügt:
„(1a) Der zuständige Bundesminister hat für einzelne Schulstufen der in § 1 genannten Schularten (Formen,
Fachrichtungen) Bildungsstandards zu verordnen, wenn dies für die Entwicklung und Evaluation des
österreichischen Schulwesens notwendig ist. Bildungsstandards sind konkret formulierte Lernergebnisse, die sich
gemäß dem Lehrplan der jeweiligen Schulart (Form, Fachrichtung) auf einzelne Pflichtgegenstände oder auf
mehrere in fachlichem Zusammenhang stehende Pflichtgegenstände beziehen. Die individuellen Lernergebnisse
zeigen das Ausmaß des Erreichens grundlegender, nachhaltig erworbener Kompetenzen auf. Der Lehrer hat bei
der Planung und Gestaltung seiner Unterrichtsarbeit die Kompetenzen und die darauf bezogenen
Bildungsstandards zu berücksichtigen sowie die Leistungen der Schüler in diesen Bereichen zu beobachten, zu
fördern und bestmöglich zu sichern. Die Verordnung hat über die Festlegung von Schularten, Schulstufen und
Pflichtgegenständen hinaus insbesondere die Ziele der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und
Durchführung von Unterricht, der bestmöglichen Diagnostik und individuellen Förderung durch konkrete
Vergleichsmaßstäbe und der Unterstützung der Qualitätsentwicklung in der Schule sicher zu stellen. Es ist
vorzusehen, dass die Ergebnisse von Standardüberprüfungen so auszuwerten und rückzumelden sind, dass sie für
die langfristige systematische Qualitätsentwicklung in den Schulen nutzbringend verwertet werden können.“
1a. § 19 Abs. 2a lautet:
„(2a) An allgemein bildenden höheren Schulen ist in der letzten Stufe abweichend von Abs. 2 am Ende des
ersten Semesters keine Schulnachricht auszustellen.“
1b. § 19 Abs. 2b entfällt.
2. § 42 Abs. 6 letzter Satz lautet:
„Hat der Prüfungskandidat vor dem Antritt zur Externistenprüfung eine Schule besucht und eine oder mehrere
Stufen dieser Schule nicht erfolgreich abgeschlossen, so darf er zur Externistenprüfung über eine Schulstufe der
betreffenden Schulart (Form, Fachrichtung) oder über die Schulart (Form, Fachrichtung) frühestens zwölf Monate
nach der zuletzt nicht erfolgreich abgeschlossenen Schulstufe antreten.“
3. In § 82 wird nach Abs. 5m folgender Abs. 5n eingefügt:
„(5n) § 17 Abs. 1a, § 19 Abs. 2a und § 42 Abs. 6 dieses Bundesgesetzes in der Fassung des Bundesgesetzes
BGBl. I Nr. 117/2008 treten mit 1. September 2008 in Kraft. § 19 Abs. 2b tritt mit Ablauf des 31. August 2008
außer Kraft.“
Fischer
Gusenbauer
Mathematik89
BUNDESGESETZBLATT
FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH
Jahrgang 2009
1. Verordnung:
Ausgegeben am 2. Jänner 2009
Teil II
Bildungsstandards im Schulwesen
1. Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandards
im Schulwesen
Auf Grund des § 17 Abs. 1a des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das
Bundesgesetz BGBl. I Nr. 117/2008, wird verordnet:
Geltungsbereich
§ 1. Diese Verordnung legt in der Anlage für die nachstehend genannten Pflichtgegenstände
Bildungsstandards für die 4. Schulstufe der Volksschule sowie für die 8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, der
Hauptschule und der allgemein bildenden höheren Schule fest:
1. Volksschule, 4. Schulstufe: Deutsch/Lesen/Schreiben, Mathematik;
2. Volksschuloberstufe, Hauptschule und allgemein bildende höhere Schule, jeweils 8. Schulstufe: Deutsch,
Lebende Fremdsprache (Englisch), Mathematik.
Begriffsbestimmungen
§ 2. Im Sinne dieser Verordnung sind
1. „Bildungsstandards“ konkret formulierte Lernergebnisse in den einzelnen oder den in fachlichem
Zusammenhang stehenden Pflichtgegenständen, die sich aus den Lehrplänen der in § 1 genannten
Schularten und Schulstufen ableiten lassen. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegenden
Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der jeweiligen Schulstufe in der
Regel verfügen sollen;
2. „Kompetenzen“ längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die von Lernenden
entwickelt werden und die sie befähigen, Aufgaben in variablen Situationen erfolgreich und
verantwortungsbewusst zu lösen und die damit verbundene motivationale und soziale Bereitschaft zu
zeigen;
3. „grundlegende Kompetenzen“ solche, die wesentliche inhaltliche Bereiche eines Gegenstandes abdecken
und somit für den Aufbau von Kompetenzen, deren nachhaltiger Erwerb für die weitere schulische und
berufliche Bildung von zentraler Bedeutung ist, maßgeblich sind;
4. „Kompetenzmodelle“ prozessorientierte Modellvorstellungen über den Erwerb von fachbezogenen oder
fächerübergreifenden Kompetenzen. Sie strukturieren Bildungsstandards innerhalb eines
Unterrichtsgegenstandes und stützen sich dabei auf fachdidaktische sowie fachsystematische
Gesichtspunkte;
5. „Kompetenzbereiche“ fertigkeitsbezogene Teilbereiche des Kompetenzmodells.
Funktionen der Bildungsstandards
§ 3. (1) Bildungsstandards sollen Aufschlüsse über den Erfolg des Unterrichts und über
Entwicklungspotentiale des österreichischen Schulwesens liefern. Darüber hinaus sollen sie
1. eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht bewirken,
2. durch konkrete Vergleichsmaßstäbe die bestmögliche Diagnostik als Grundlage für individuelle
Förderung sicher stellen und
3. wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen.
(2) Zum Zweck der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht
haben die Lehrerinnen und Lehrer den systematischen Aufbau der zu vermittelnden Kompetenzen und die auf
diese bezogenen Bildungsstandards bei der Planung und Gestaltung ihrer Unterrichtsarbeit zu berücksichtigen
(Orientierungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 1).
(3) Die Leistungen der Schülerinnen und Schüler sind in allen Schulstufen unter Zugrundelegung der
Bildungsstandards für die 4. bzw. für die 8. Schulstufe besonders zu beobachten und zu analysieren. Auf der Basis
des diagnostischen Vergleiches von zu erlangenden und individuell erworbenen Kompetenzen ist eine
90
bestmögliche individuelle Förderung der Schülerinnen und Schüler sicher zu stellen (Förderungsfunktion gemäß
Abs. 1 Z 2).
(4) Durch periodische Standardüberprüfungen sind die von den Schülerinnen und Schülern bis zur 4. bzw.
zur 8. Schulstufe erworbenen Kompetenzen objektiv festzustellen und mit den angestrebten Lernergebnissen zu
vergleichen. Standardüberprüfungen sind auf Anordnung der Schulbehörden für die 8. Schulstufe ab dem
Schuljahr 2011/12 und für die 4. Schulstufe ab dem Schuljahr 2012/13 durchzuführen und deren Auswertungen
sind den Schulen rückzumelden. Die Auswertungen der Standardüberprüfung und deren Rückmeldungen haben so
zu erfolgen, dass sie für Zwecke der Qualitätsentwicklung an den Schulen herangezogen werden können.
Maßnahmen der Qualitätsentwicklung sind zu dokumentieren und periodisch zu evaluieren (Evaluationsfunktion
gemäß Abs. 1 Z 3).
Standardüberprüfungen
§ 4. (1) An öffentlichen und mit dem Öffentlichkeitsrecht ausgestatteten Schulen der in § 1 genannten
Schularten sind hinsichtlich der in § 1 Z 1 und 2 genannten Pflichtgegenstände und Schulstufen im Abstand von
drei Jahren Standardüberprüfungen durchzuführen.
(2) Bei den Standardüberprüfungen ist durch validierte Aufgabenstellungen der Grad der
Kompetenzerreichung durch die Schülerinnen und Schüler zu messen. Die gestellten Aufgaben müssen sich aus
den Bildungsstandards ableiten lassen. Sie sind so zu wählen, dass die individuellen Testergebnisse, nachdem sie
zu den Bildungsstandards in Relation gesetzt wurden, Aufschluss über den nachhaltigen Erwerb von
Kompetenzen ermöglichen.
(3) Als Verfahren der Standardüberprüfung kommen
1. Tests mit schriftlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen und mathematischen Gegenständen sowie
2. Befragungen mit mündlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen Gegenständen
in Betracht.
(4) Die Auswertungen der Standardüberprüfungen haben so zu erfolgen, dass auf deren Basis Maßnahmen
zur Qualitätsentwicklung bundesweit, landesweit und schulbezogen erfolgen können. Die individuellen
Ergebnisse der Standardüberprüfung dürfen nicht auf eine bestimmte Schülerin oder auf einen bestimmten Schüler
zurückgeführt werden können, außer durch diese oder diesen selbst.
(5) Die Bestimmungen über die Leistungsfeststellungen und -beurteilungen bleiben von dieser Verordnung
unberührt.
Inkrafttreten
§ 4. Diese Verordnung tritt mit 1. Jänner 2009 in Kraft.
Schmied
BGBl. II - Ausgegeben am 2. Jänner 2009 - Nr. 1
12 von 15
Mathematik91
- kurze, einfache Notizen und Mitteilungen schreiben, die sich auf unmittelbare Bedürfnisse
Auszug beziehen
für Mathematik
8. Schulstufe
(A2),
- einfache Texte zB zu Bildimpulsen oder Schlüsselwörtern (key words) schreiben (A2).
3. Abschnitt
Mathematik
Das Kompetenzmodell für Mathematik auf der 8. Schulstufe legt „Inhaltsbereiche“ fest, wobei die
jeweiligen Anforderungen durch bestimmte, in „Handlungsbereichen“ dargelegte Tätigkeiten
konkretisiert werden. Der „Komplexitätsbereich“ beschreibt Art und Grad der erforderlichen Vernetzung.
Handlungsbereich: „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“
Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können
- gegebene arithmetische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen,
wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist,
- gegebene arithmetische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen,
wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen,
Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen,
- Aussagen über die Angemessenheit sowie über Stärken und Schwächen verschiedener
mathematischer Darstellungen (Modelle) arithmetischer Sachverhalte machen und bewerten.
Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden – Inhaltsbereich „Variable, funktionale
Abhängigkeiten“
- gegebene algebraische Sachverhalte und funktionale Abhängigkeiten in eine (andere)
mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von
Grundkenntnissen erforderlich ist,
- gegebene algebraische Sachverhalte und funktionale Abhängigkeiten in eine (andere)
mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen
mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden
müssen,
mathematischer Darstellungen (Modelle) algebraischer Sachverhalte und funktionaler
Abhängigkeiten angeben und bewerten.
Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und
Körper“
- gegebene geometrische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen,
wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist,
- gegebene geometrische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen,
Darstellungen (Modelle) geometrischer Sachverhalte machen und bewerten.
Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und
Kenngrößen“
- gegebene statistische Sachverhalte (Daten) in eine (andere) mathematische Darstellung
übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist,
- gegebene statistische Sachverhalte (Daten) in eine (andere) mathematische Darstellung
übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen,
Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen,
www.ris.bka.gv.at
BGBl. II - Ausgegeben am 2. JäPraxishandbuch
nner 2009 - Nr. 1Bildungsstandards 8. Schulstufe
92
Darstellungen (Modelle) statistischer Sachverhalte machen und bewerten.
Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“
- elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit konkreten Zahlen und Größen durchführen
sowie Maßeinheiten umrechnen,
- elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit konkreten Zahlen und Größen durchführen
sowie Maßeinheiten umrechnen, wobei diese Operationen miteinander, mit anderen
mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten verbunden werden
müssen,
- Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit, Genauigkeit und Korrektheit arithmetischer
Operationen und Lösungswege machen und bewerten sowie Rechenabläufe dokumentieren.
Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“
- elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit Variablen und Termen durchführen, einfache
Terme und (Un-)Gleichungen umformen sowie einfache (Un-)Gleichungen und lineare
Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen,
- elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit Variablen und Termen durchführen, einfache
Terme und (Un-)Gleichungen umformen sowie einfache (Un-)Gleichungen und lineare
Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen, wobei diese (Rechen-)Operationen miteinander,
mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten
verbunden werden müssen,
- Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit und Korrektheit algebraischer Operationen und
Lösungswege machen und bewerten sowie Rechenabläufe dokumentieren.
Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“
- elementare geometrische Konstruktionen durchführen,
- elementare geometrische Konstruktionen durchführen, wobei dafür auch Verbindungen zwischen
Konstruktionsschritten, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen)
oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen,
- Aussagen zur Abfolge, Zulässigkeit und Korrektheit elementarer geometrischer Konstruktionen
machen und bewerten sowie Konstruktionsabläufe dokumentieren.
Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und
Kenngrößen“
- einfache Operationen und Manipulationen in und mit statistischen Daten durchführen,
- einfache Operationen und Manipulationen in und mit statistischen Daten durchführen, wobei
dafür auch Verbindungen mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen,
- Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit und Korrektheit einfacher Operationen bzw.
Manipulationen mit statistischen Daten machen und bewerten sowie derartige Operationen
dokumentieren.
Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“
- Zahlenwerte aus Tabellen, grafischen oder symbolischen Darstellungen ablesen und sie sowie
Rechenoperationen und Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten,
- Zahlenwerte aus Tabellen, grafischen oder symbolischen Darstellungen ablesen, sie miteinander,
mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten
verbinden und sie sowie Rechenoperationen und Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext
deuten,
www.ris.bka.gv.at
BGBl. II - Ausgegeben am 2. Jänner 2009 - Nr. 1
Mathematik93
- Aussagen zur Angemessenheit und Aussagekraft kontextbezogener Interpretationen von
Zahlenwerten, Rechenoperationen und Rechenergebnisse machen und bewerten.
Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“
- algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellte Strukturen und (funktionale) Zusammenhänge
beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten,
- algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellte Strukturen und (funktionale) Zusammenhänge
beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten, wobei dafür auch Verbindungen mit anderen
mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden
müssen,
algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellten (funktionalen) Zusammenhängen machen
und bewerten.
Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“
- geometrische Figuren, Körper und Eigenschaften/Beziehungen beschreiben und im jeweiligen
Kontext deuten,
- geometrische Figuren, Körper und Eigenschaften/Beziehungen beschreiben und im jeweiligen
Kontext deuten, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen,
geometrischen Figuren, Körpern und Eigenschaften/Beziehungen machen und bewerten.
Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und Kenngrößen“
- Werte aus statistischen Tabellen und Grafiken ablesen, Strukturen, Muster und Zusammenhänge
erkennen und diese sowie statistische Kennzahlen im jeweiligen Kontext deuten,
- Werte aus statistischen Tabellen und Grafiken ablesen, Strukturen, Muster und Zusammenhänge
erkennen, und diese sowie statistische Kennzahlen im jeweiligen Kontext deuten, wobei die
Daten miteinander, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder
Tätigkeiten in Verbindung gesetzt werden müssen,
statistischen Tabellen, Grafiken und Kennzahlen machen und bewerten.
Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“
- mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein
bestimmtes arithmetisches (Rechen-)Modell, eine arithmetische Operation, eine arithmetische
Eigenschaft/Beziehung, einen arithmetischen Lösungsweg oder eine bestimmte Lösung sprechen,
bestimmtes arithmetisches (Rechen-)Modell, eine arithmetische Operation, eine arithmetische
Eigenschaft/Beziehung, einen arithmetischen Lösungsweg oder eine bestimmte Lösung sprechen,
- zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente bzw. Begründungen bezüglich
arithmetischer
(Rechen-)Modelle,
arithmetischer
Operationen,
arithmetischer
Eigenschaften/Beziehungen, arithmetischer Lösungswege oder Lösungen erkennen sowie
begründen, warum eine arithmetische Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist.
Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ –
Abhängigkeiten“
www.ris.bka.gv.at
Inhaltsbereich
„Variable,
funktionale
BGBl. II - Ausgegeben am 2. JäPraxishandbuch
nner 2009 - Nr. 1Bildungsstandards 8. Schulstufe
94
bestimmtes algebraisches oder funktionales Modell, eine algebraische oder funktionale
Darstellung, eine algebraische Operation oder einen bestimmten algebraischen Lösungsweg
sprechen,
bestimmtes algebraisches oder funktionales Modell, eine algebraische oder funktionale
Darstellung, eine algebraische Operation oder einen bestimmten algebraischen Lösungsweg
sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen,
algebraischer oder funktionaler Darstellungen und Modelle, bezüglich algebraischer Operationen
oder algebraischer Lösungswege erkennen sowie begründen, warum eine algebraische oder
funktionale Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist.
Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und
Körper“
bestimmtes geometrisches Modell, eine geometrische Darstellung, eine geometrische
Konstruktion, eine geometrische Eigenschaft/Beziehung oder einen bestimmten geometrischen
Lösungsweg sprechen,
bestimmtes geometrisches Modell, eine geometrische Darstellung, eine geometrische
Konstruktion, eine geometrische Eigenschaft/Beziehung oder einen bestimmten geometrischen
Lösungsweg sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten
(Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen,
geometrischer Darstellungen und Modelle, bezüglich geometrischer Konstruktionen,
geometrischer Eigenschaften/Beziehungen oder geometrischer Lösungswege erkennen sowie
begründen, warum eine geometrische Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist.
Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und
Kenngrößen“
- mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen die
Verwendung einer bestimmten statistischen Kennzahl, einer statistischen Darstellung, eines
statistischen Satzes, einer statistischen Vorgehensweise oder einer bestimmten Interpretation
statistischer Daten sprechen,
- mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen die
Verwendung einer bestimmten statistischen Kennzahl, einer statistischen Darstellung, eines
statistischen Satzes, einer statistischen Vorgehensweise oder einer bestimmten Interpretation
statistischer Daten sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen
Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen,
statistischer Darstellungen und Kennzahlen, bezüglich statistischer Sätze, bezüglich bestimmter
statistischer Vorgehensweisen oder bestimmter Interpretationen statistischer Daten erkennen
sowie begründen, warum eine solche Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist.
www.ris.bka.gv.at
Mathematik95
Literaturverzeichnis
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Leuders, T. (Hrsg.) (2003). Mathematik Didaktik, Praxishandbuch für die Sekundarstufe
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Maaß, K. (2007). Mathematisches Modellieren, Aufgaben für die Sekundarstufe I. Berlin: Cornelsen.
mathematik lehren. Seelze: Friedrich. (pädagogische Zeitschrift für den Mathematik
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Vollrath, H.-J. & Weigand, H. G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. München: Spektrum.
96
Anhang
Kopiervorlage Remembery 1
die Hälfte von
ein Viertel von
drei Viertel von
vermindere um 4
so erhält man
Spielregel: 2 bis 4 Spieler. Die Kärtchen
werden verdeckt auf den Tisch gelegt.
Der Jüngste dreht zwei Kärtchen seiner
Wahl um. Sagen die beiden Kärtchen
inhaltlich dasselbe aus und erkennt
dies der Spieler auch, so darf er dieses
Kärtchenpaar an sich nehmen und
weitere zwei Kärtchen umdrehen.
Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so
werden diese beiden Kärtchen wieder
umgedreht und der Spieler links neben
dem Jüngsten setzt in gleicher Weise
fort. Gewonnen hat, wer am Schluss
die meisten Kärtchenpaare besitzt.
vermehre um 4
das Vierfache von
vier Drittel von
4 Prozent von
teile durch 3
das Doppelte von
Mathematik97
Kopiervorlage Remembery 2
:2
:4
· 0,75
=
Spielregel: 2 bis 4 Spielerinnen. Die
Kärtchen werden verdeckt auf den Tisch
gelegt. Die Jüngste dreht zwei Kärtchen ihrer Wahl um. Sagen die beiden
Kärtchen inhaltlich dasselbe aus und
erkennt dies die Spielerin auch, so darf
sie dieses Kärtchenpaar an sich nehmen
und weitere zwei Kärtchen umdrehen.
Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so
werden diese beiden Kärtchen wieder
umgedreht und die Spielerin links neben
der Jüngsten setzt in gleicher Weise
fort. Gewonnen hat, wer am Schluss die
meisten Kärtchenpaare besitzt.
+4
·4
4
·
3
4
·
100
:3
·2
-4
98
Kopiervorlage Quartett 1
1
1
2
1
0,5
1
50%
2
1
4
2
25%
1
2
0,25
2
1
Spielanleitung:
Die Karten werden auf 3 bis 4 Spieler
gleichmäßig verteilt. Jeder versucht,
möglichst viele Quartette (d. h. 4 Karten
mit derselben Nummer) zu bekommen.
Der jüngste Spieler beginnt zu fragen.
Jan: „Peter, ich möchte von dir die
Grafik, auf der _
 12 abgebildet ist“ (oder:
„die Karte, auf der 50 % steht“ usw.).
Wenn Peter die Karte hat, gibt er sie an
Jan und Jan fragt weiter. Wenn Peter
die Karte nicht hat, sagt er „abgeblitzt“.
Jetzt darf Peter weiter fragen.
Hinweis:
Man darf nur nach einer Karte fragen,
bei der man selbst schon einen Teil des
Quartetts hat.
Mathematik99
3
3
4
3
0,75
3
75%
4
1
5
4
20%
3
4
0,2
4
Spielanleitung:
Die Karten werden auf 3 bis 4 Spielerinnen gleichmäßig verteilt. Jede versucht,
möglichst viele Quartette (d. h. 4 Karten
mit derselben Nummer) zu bekommen.
Die jüngste Spielerin beginnt zu fragen.
Eva: „Anna, ich möchte von dir die
Grafik, auf der _ 21 abgebildet ist“ (oder:
„die Karte, auf der 50 % steht“ usw.)
Wenn Anna die Karte hat, gibt sie diese
an Eva und Eva fragt weiter. Wenn
Anna die Karte nicht hat, sagt sie „abgeblitzt“. Jetzt darf Anna weiter fragen.
Hinweise:
Man darf nur nach einer Karte fragen,
bei der man selbst schon einen Teil des
Quartetts hat.
100
5
2
5
5
0,4
5
40%
6
3
5
6
60%
5
6
0,6
6
Ersatzkarte
Mathematik101
7
4
5
7
0,8
7
80%
8
1
8
8
12,5%
7
8
0,125
8
Ersatzkarte
102
9
1
10
9
0,1
9
10%
10
3
10
10
30%
9
10
0,3
10
Ersatzkarte
Mathematik103
104
Vorlage für Overheadfolie
Kopfübungen
Platte mit doppelter Seitenlänge bemalt?
Zahl.
6 m lang und 2 m breit ist.
64 cm². Wie lang ist eine Seite?
2·z + 8 = 12 im Kopf.
s Kugeln hat?
□ m+8=s
□ m–8=s
□ m+s=8
□ s–8=m
Mathematik105
Vorlage für Overheadfolie
Kopfübungen
mit Lösungen
Platte mit doppelter Seitenlänge bemalt? 4 Dosen
Zahl. Die dritte Zahl ist 25.
6 m lang und 2 m breit ist. u = 16 m
64 cm². Wie lang ist eine Seite? 8 m
2·z + 8 = 12 im Kopf. z = 2
s Kugeln hat?
X m+8=s
□ m–8=s
□ m+s=8
X s–8=m
Methode Code: Teiler, Vielfache, Primzahlen Achtung: Es können bei jeder Nummer auch 2 oder 3 Auswahlantworten richtig sein! 1. 2. 3. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5 O Teiler von 30 O Vielfaches von 30 O Summand von 30 Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28 O Teiler von 7 O Vielfaches von 7 O Quotient von 7 Notiere alle Teiler der Zahl 18: _______________ 4. 1 und 18 nennt man 5. 9 ist ein O Primfaktoren von 18 O echte Teiler von 18 O unechte Teiler von 18 O Primfaktor von 18 O echter Teiler von 18 O unechter Teiler von 18
6. Zwei Zahlen, die nur 1 als gemein‐ samen Teiler haben, heißen O O O Primzahlen zusammengesetzte Zahlen teilerfremd 7. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 36 und 60. ggT (36,60) = 8. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 4. kgV (2,3,4) = 9. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 3 teilbar ist durch 3 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 3 teilbar ist O sie auch durch 9 teilbar ist 10. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 2 teilbar ist durch 2 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 2 teilbar ist O sie eine gerade Zahl ist 11. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 4 teilbar ist durch 4 teilbar, wenn O sie eine gerade Zahl ist O die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist 12. Setze das Zeichen für „ teilt“ „ ” oder „ teilt nicht“ „ “ ein! 2 6 456 456 13. Eine Primzahl 3 9 456 456 4 10 O hat keine echten Teiler O hat genau zwei Teiler O ist ein Produkt von Primfaktoren 456 456 5 25 456 456 Methode Code: Teiler, Vielfache, Primzahlen Lösungsblatt Achtung: Es können bei jeder Nummer auch 2 oder 3 Auswahlantworten richtig sein! 1. 2. 3. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5 X Teiler von 30 O Vielfaches von 30 O Summand von 30 Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28 O Teiler von 7 X Vielfaches von 7 O Quotient von 7 Notiere alle Teiler der Zahl 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 4. 1 und 18 nennt man 5. 9 ist ein O Primfaktoren von 18 O echte Teiler von 18 X unechte Teiler von 18 O Primfaktor von 18 X echter Teiler von 18 O unechter Teiler von 18 6. Zwei Zahlen, die nur 1 als gemein-‐ samen Teiler haben, heißen O O X Primzahlen zusammengesetzte Zahlen teilerfremd
7. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 36 und 60. ggT (36,60) = 12 8. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 4. kgV (2,3,4) = 12 O die Einerstelle durch 3 teilbar ist 9. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn X die Ziffernsumme durch 3 teilbar ist O sie auch durch 9 teilbar ist
X die Einerstelle durch 2 teilbar ist 10. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 2 teilbar ist X sie eine gerade Zahl ist 11. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 4 teilbar ist durch 4 teilbar, wenn O sie eine gerade Zahl ist X die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist
12. Setze das Zeichen für „ teilt“ „ ” oder „ teilt nicht“ „ “ ein! 2 6 456 456 13. Eine Primzahl 3 9 456 456 4 10 456 456 X hat keine echten Teiler X hat genau zwei Teiler O ist ein Produkt von Primfaktoren
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ISBN 978-3-7011-7778-3