Ratkaisut

SOVE LLU STE HTÄV
Ä
G
RAVITAATI O LA I STA
lTlr
leiden mr ja lxz välinen gravitaatiovoima
(vetovoima) Fon
ka ppa
F_l/
mLmz
r2
kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg)
r on kappaleiden keskipisteiden välinen etäisyys (m)
y on gravitaatiovakio ( = G, f)
y = 6,67428.10't1Nm2/kg2 (MAOL s. 7o)(musta Maol)
y = 6,67259-10-11 Nmz/kgz {MAOL s, 71} {kelt" Maol}
gravitaatiovuorovaikutus pitää tähtiä ja tähtijärjestelmiä koossa ja hallitsee
taivaa n ka ppa leiden ja ga la ksien iikkeitä sekä mää rää maail manka i kkeuden
I
Esim. 1.
Laske Maan ja Kuun välisen gravitaatiovoiman suuruus.
Maan massa on5,974.LO24 kg ja Kuun massa on7,348.1022 kg.
Maan ja Kuun keskimääräinen etäisyys on 384 400 km.
Ratkaisu.
F = 2.0.1020 N.
Esim, 2.
Määritä Auringon massa olettaen, että Maa kiertää Aurinkoa
ympyräradalla. Maan keskimääräinen etäisyys Auringosta on
1,49,59787.10e m ja kiertoaika Auringon ympäri 365,25 d.
Ratkaisu.
Gravitaatiovoima vaikuttaa säteen suunnassa ja pakottaa Maan
kiertämään radallaan Auringon ympäri. Maan Iiikeyhtälö Aurinkoa
kiertävällä ympyräradalta on
Skalaariyhtälöksi saadaan
tr@.
Auringon rTassa M = 2,0-10s kg. {Vrt. MAOL s. 119 (111}}.
Huom! Maan keskinopeus radalla v = 29,78 mfs on ännettu taulukossa {MAOL s. L20 (112})"
i
i-"
Geostationäärinen satelliitti: Tehtävä.
Tietoliikennesatelliitit välittävät radiolinkeillä tietoa avaruuden kautta maa-aseman
ja vastaanottimien välillä. Tietoliikennesatelliitit ja sääsatelliitit ovat ns.
geostationäärisiä satelliitteja, jotka pysyvät maapallon pyöriessä päiväntasaajan
yläpuolella Maan pinnalta katsottuna paikallaan.
a) Kirjoita satelliitin liikeyhtälö. Piirrä kuvio.
b) Mitä olettamuksia tehtävässä edellytetään?
c) Mikä on tämän satelliitin kiertoaika?
d) Kuinka korkealla maanpinnasta geostionääriset satelliitit liikkuvat?
e) Laske geostationäärisen satelliitin kiertoradan pituus ja ratanopeus.
Määritä satelliitin kiihtyvyys.
f)
Maapallon massa M = 5,974.1024 kg ja ekvaattorisäde R = 6378,140 km.
Gravitaatiovakio y = 6,67428.10-11 Nm2/kg2 (Musta MAOL s. 70),
(v = 6,67259.10-t1 Nm2/kg2 (Keltainen MAOL s. 71). Vrt. Physica 5, Esim. 4, s. 58.
Vastaukset:
a)b)c)d) ks. Physica 5, Esim.4, s.58.
d) 36 000 km
e) 265 000 km, 3,1 km/s.
f) 0,22 m/sz.
3
PATKAI{U
'
Esim. 1.
Laske Maan ja Kuun välisen gravitaatiovoiman suuruus.
Maan massa on 5,974.LO24 kS ja Kuun massa on 7,348.1022 kg.
Maan ja Kuun keskimääräinen etäisyys on 384 400 km.
Ratkaisu.
,_/L2
F =
r
6,67259.rr-tt
*;
.5'974'1-0u kS'7'?4q,7\n
kg
(3,844.10'm)
=
1,982.10'oN.
F = 2,0.1020 N.
Esim. 2.
Määritä Auringon massa olettaen, että Maa kiertää Aurinkoa
ympyräradalla. Maan keskimääräinen etäisyys Auringosta on
L49,59787-LAe m ja kiertoaika Auringon ympäri 355,25 d.
Ratkaisu.
Gravitaatiovoima vaikuttaa säteen suunnassa ja pakottaa Maan
kiertämään radallaan Auringon ympäri. Maan liikeyhtälö Aurinkoa
kiertäväIIä ym pyrä radalla onEV;4.
Skalaa riyhtä löksi saadaa n
mM v'
fr r, : *;
(gravitaatiovoima = keskeisvoima)
josta saadaan Auringon massaksi lauseke
2
M -,,
Maan ratanopeus y =
r
L
t ='!-'
T
(*)
* 29,79ittry, joka
365,25.24-3600s s-
-2n'149'59787'l}em
sijoitetaan yhtälöön (*), jolloin saadaan
vr
2
z
(zg,7g.ro3
f)'
.L4g,sg7r7
6,67259.10tt
-Los
m
#
=
I,99.
1030
kg
ks'
Auringon massa M = 2.0.10s0 kg. {Vrt. MAOL s. 119 t
}).
Huom I Maan keskinopeus radalla v = 29,78 m/s on annettu taulukossa (MAOL s. 120
{
)).
+
F.Ar t<,+ I -ru
a)
5r,qre
§
*
,4
5L| rr N
Ålr rg
vfrr,tr-ä
*Å ,+ n/ å Ynåq JV, I rq.nt nl
( v-n]:
ir
t; f s
fEs =
rJ-
ff'lo.
fiu*
rt O VO t 14A
.f /|-T€Lr rr ?l rv Y P, rv
G tzAY' T^A
,
an=
r
ev§L,t r.rfx
t-
fr0n
i.-
Pq
S
( gc^v t Ta ATt ov o tn^
; F€SF€ITVo,HA)
'r
F =P9
= lrl'i
M
ri
Ft
yr
t'
T,+a
p-x P-* DALL,r.
R,+
h
\
5
b)
T€ HrÅvä
rv
oL€ Tvtrfe tr.'
Fyraäfar+ta
ltr
M€ rV YH ?V RÅLt
Tar^r
(a,=an=St
Q*
t
tr€
=o)
RaTAr',o P€vD€*' sgu &w"t lcr
o M vrÅ rro (muTTx suu,vTx rtr;vrrud
JÅ
K
lll+TYYYYJ o rv No &nnäLl-
Ic tr FlrTyYyr-rÄ
* €l nvtT^ \rolr,lÅ
ltC\/t
fr/ VAt lv
6 {zÅ v, T/r ATt o\fat H.t
-
c)
6
E-o .f ?a
f I JYY
rt o nvÄ Å et M€ N .t:l
?rt t t(4
rv
t(^^ .\r
"ہLt,
fv
n AA Fl^
?rl
Åtvr*'NTA,f^Å \r/ fv
y t A't'vol€ rtÅ. §År€ LLt I Tt rV
r<^ T ä HÄaP^LLoN
K te Rro
bYs /41 KA.
?väae"H^l
rvÄ
H o€
lr=
]x
?
93 h §6 rnio 4, ta t
23r93h Å- ?4h
=,
e
d)
G f<AV,
t rÅi
Ra PALLä;{ rv-
T^,r Tt o \ro I H,t
sA r€ LL t' Tl ,v
T€ (LIr ?l /V Lll l§€YHTå.LA
a.
t.
ofv
,)-r<or{ö^N nuFlt^'v
y4;-e = rn-t'f
f fPt = u:
'Lls
Y
r
W
s-affr
tT
El
-
YH,
r
=w'
ry_§
r
--
4flrz
§ga8*r,4*rd
T*
ra
I
§r{{ rv
-?
4Tr'r'=
Ytr4Tz
i' 4rr'
l
i
yt4T*
§1
r3
r
=w
4172
'rl-
F
'9,!l:r1:: l!"
Y+-
l-
#,
qrrr.tt'V §r,_r:::_y§
4fra
f = *et63 187 rn ,ry 4et63kn
§A
r€ LLtrrl rv grå'f rYYJ
11
lV N
rtNrrAJr/{ ofv
h s f * R s 4et63krvr'- GSag
h 5= 3§ 7&5 kn § 3q oop ero.
I
bn
6€o.rr^Trorv^AK-tJ€fV .fxT€Å\ilrrfv
Kle eTöRADtN PtrvY{ O}./ YnrYRÅlv
§€ F{Änv f ,ruuJ
s = ltl'r = å'[l' 4e t63 kn
t F Lcq ?te km ^A, 2 G§ ooa krn
Ra.r. ^{o ?€us
1}
us *t
= 264 zt*
k,n
33, 13 h
(;§ 3a?5+ =
rla 7,t+
å7F
r
=
-
.rr I tO? f Eh
3)o1 §
k ru.
.s
P
{)
KocId Ä .rÅ?c Åtll 1-1.lt Lll FFuv
yrf
RÅ&^D/rLLÅ J^ TAJ^Ir€lCÅ
Y n PY RÅ r-'t Fr€ €JJÄ/ Mtt N Jrr rgrtllrznJ
F t, *lrYvYa J oN NO Rntt lr f< l l l{ rYt/Yv rra;
ot
s, rt F).
(s
a-n1.
1l-= = 1e t63 l84rn
?1
An F O( ?27J
ä§
or 9'å
ä
,y